Bài giảng xác suất thống kê ước lượng tham số

• Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho tham số θ.. Ước lượng hiệu quả• Thống kê T=fX1;X2;…;Xn gọi là ước lượng hiệu quả của tham số θ

CHƯƠNG 7 ƯỚC LƯỢNG

THAM SỐ

Nhắc lại thống kê mẫu

• Thống kê mẫu: hàm của các bnn thành phần trong mẫu

• Cho mẫu ngẫu nhiên: W=(X1;X2;…Xn), thống kê mẫu có dạng:

• T=f(X1;X2;…;Xn)

• Thống kê T cũng là một bnn

Ước lượng

• Tổng thể có tham số θ chưa biết

• Ta muốn xác định tham số này

• Lấy một mẫu cỡ n

• Từ mẫu này tìm cách xác định gần đúng giá trị của tham số θ của tổng thể

• Ước lượng điểm: dùng một giá trị

• Ước lượng khoảng: dùng một khoảng

Ước lượng

• Ước lượng điểm: không chệch, hiệu quả, vững…

• Ước lượng khoảng: đối xứng, một phía, hai phía…

Ước lượng điểm

• Dùng một giá trị để thay thế cho giá trị của tham số θ chưa biết của tổng thể

• Giá trị này là giá trị cụ thể của một thống kê T nào đó của mẫu ngẫu nhiên

• Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho tham số θ

• Ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: không chệch, hiệu quả, vững …

Ước lượng không chệch (ƯLKC)

• Thống kê T=f(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng không chệch của tham số θ nếu:

• Nếu E(T)≠θ thì ước lượng T gọi là một ước lượng chệch (ƯLC) của tham số θ

• Độ chệch của ước lượng:

E(T) = θ

E(T) − θ

σ σ

là ƯL không chệch của

là ƯL không chệch của

là ƯL không chệch của là ƯL chệch

Ước lượng KC tốt hơn

• Cho X, Y là hai ULKC của tham số θ

Ví dụ 1.

• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn)

a) CMR: các thống kê sau:

đều là các ước lượng không chệch của µ

b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn

Ước lượng hiệu quả

• Thống kê T=f(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng hiệu quả của tham số θ nếu:

• T là ULKC của θ

• V(T) nhỏ nhất so với mọi ULKC khác xây dựng trên cùng mẫu ngẫu nhiên trên

• Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để đánh giá

BĐT Cramer-Rao

• Cho tổng thể có dấu hiệu nghiên cứu X là bnn có hàm mật độ xác suất dạng f(x,θ)

và thỏa mãn một số điều kiện nhất định

• Cho T là một ƯLKC của θ Ta có:

Ví dụ 2.

• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể có kì vọng µ và phương sai σ2 Xét 2 thống kê:

a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng không chệch của µ

b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn.1 1 ( )2 1 2

2 2

1 2

µ σ

σ π σ

X

S S

Ước lượng vững

• Cho thống kê T=f(X1;X2;…;Xn)

• Thống kê T gọi là ước lượng vững của tham số θ nếu:

• Khi này ta nói thống kê T hội tụ theo xác suất đến tham số θ khi cỡ mẫu tiến về vô cùng

• Để đánh giá ước lượng vững ta dùng BĐT Chebyshev (Trê bư sép)

Các ước lượng vững

• Từ kết quả Chương 5, ta chứng minh được:

$( ) 2 ( ) 2

Ước lượng khoảng

• Giả sử tổng thể có tham số θ chưa biết Dựa vào mẫu ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) sao cho:

P(a < θ <b)=(1 - α) khá lớn

Khi đó ta nói, (a;b) là khoảng ước lượng của tham số θ với độ tin cậy (1 - α)

Độ tin cậy thường được cho trước và khá lớn

Ước lượng khoảng

• (a; b): khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng

• (1 - α): độ tin cậy của ước lượng

• |b - a|=2ε: độ rộng khoảng tin cậy

• ε : độ chính xác (sai số)

• Vấn đề: tìm a, b như thế nào? (1 - α) là bao nhiêu thì phù hợp

Phân phối của trung bình mẫu

Tổng thể Trung bình mẫu Kích thước mẫu

Tìm khoảng ước lượng cho µ

• Ta thông qua thống kê Z (vì đã có ppxs xác định)

• Với cùng độ tin cậy, tìm khoảng ước lượng cho Z

• Giải bpt tìm ngược lại khoảng ước lượng cho tham số µ

• Các tiêu chuẩn: đối xứng, bên phải, bên trái

Khoảng tin cậy

• Khoảng tin cậy hai phía của μ:

• Khoảng tin cậy bên trái của μ:

• Khoảng tin cậy bên phải của μ:

Nhớ các khoảng tin cậy_th 1,2

• Hai phía:

• Phía trái:

• Phía phải:

( X − ε ; X + ε ) ( −∞ ; X + ε ) ( X − +∞ ε ; )

1 2

α σ

ε = t −

n

1 2 2

Nhớ các khoảng tin cậy_th 3

• Hai phía:

• Phía trái:

• Phía phải:

( X − ε ; X + ε ) ( −∞ ; X + ε ) ( X − +∞ ε ; )

1 2

S t

n

α

ε = −

1 2 2

S t

n

α

ε = −

Nhớ các khoảng tin cậy_th 4

• Hai phía:

• Phía trái:

• Phía phải:

( X − ε ; X + ε ) ( −∞ ; X + ε ) ( X − +∞ ε ; )

1

2

n

S t

n

S t

Ví dụ 1

• Một trường đại học thực hiện về nghiên cứu số giờ tự học của sinh viên trong 1 tuần Chọn ngẫu nhiên 200 sinh viên cho thấy số giờ tự học trong tuần trung bình là 18,36 giờ, độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 3,92 giờ Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số giờ tự học trung bình của sinh viên trường này trong một tuần

Ví dụ 2

• Một công ty muốn ước lượng số tài liệu (trang) được chuyển bằng fax trong một ngày Kết quả thu thập được từ 15 ngày cho thấy trung bình một ngày có 267 trang tài liệu được chuyển bằng fax, và theo kinh nghiệm từ các văn phòng tương tự thì

độ lệch chuẩn là 32 trang Giả sử rằng số tài liệu chuyển bằng fax trong một ngày có phân phối chuẩn, với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số trang tài liệu được chuyển

đi trong một ngày

Ví dụ 3.

• Công ty điện thoại thành phố muốn ước lượng thời gian trung bình của một cuộc điện thoại đường dài vào ngày cuối tuần với độ tin cậy 95% Mẫu ngẫu nhiên 20 cuộc gọi đường dài vào cuối tuần cho thấy thời gian điện thoại trung bình là 14,8 phút; độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 5,6 phút Giả sử thời gian gọi có pp chuẩn

• Đáp số:

( 12,1791;17,4208 )

b. Giả sử chưa biết σ Hãy ước lượng với độ tin cậy 99% cho mức lương trung bình Để có sai số

≤ 0,08 triệu đồng thì cần khảo sát tối thiểu bao nhiêu công nhân?

Lương tháng 0.8 1,0 1,2 1,3 1,5 1,7 2 2,3 2,5

Số công nhân 1 1 2 2 2 3 2 2 1

Phân phối của tỷ lệ mẫu

Tổng thể Tỷ lệ mẫu Kích thước mẫu

Bài toán

• Tổng thể có tỷ lệ p chưa biết (về tính chất A nào đó)

• Ta lấy mẫu cỡ n (trên 30)

• Tìm cách ước lượng khoảng tỷ lệ p này với độ tin cậy (1-α)

• Cách làm: giống như phần ước lượng trung bình

• Khác: ta xấp xỉ:

Nhớ các khoảng tin cậy

1 2

1

α

ε = t − F − F

n

Ví dụ

• Một nghiên cứu được thực hiện nhằm ước lượng thị phần của sản phẩm bánh kẹo nội địa đối với các mặt hàng bánh kẹo Kết quả điều tra mẫu ngẫu nhiên 100 khách hàng thấy có 34 người dùng sản phẩm bánh kẹo nội địa

• Hãy ước lượng tỷ lệ khách hàng sử dụng bánh kẹo nội địa với độ tin cậy 95%?

• Đ/S: từ 24,72% đến 43,28%

Ước lượng phương sai

• Tổng thể có phân phối chuẩn (nếu không cần lấy mẫu trên 30)

• Phương sai tổng thể chưa biết

• Lấy mẫu cỡ n Tìm cách ước lượng phương sai với độ tin cậy (1-α)

• Biết µ hoặc chưa biết µ

• Cách làm tương tự ước lượng trung bình và tỷ lệ

Phân phối của hàm PS mẫu

Tổng thể PS mẫu Hàm của PS mẫu

~

n

i i

X

nS Z

2

1 2

1

n

i i

Nhớ các khoảng tin cậy_TH1

Nhớ các khoảng tin cậy_TH2

Ví dụ

• Một nhà sản xuất quan tâm đến biến thiên của tỉ lệ tạp chất trong một loại hương liệu được cung cấp Chọn ngẫu nhiên 15 mẫu hương liệu thì thấy độ lệch chuẩn đã hiệu chỉnh về tỉ lệ tạp chất là 2,36% Giả sử tỷ lệ tạp chất có phân phối chuẩn Ước lượng phương sai về tỉ lệ tạp chất trong hương liệu với độ tin cậy 95%

CHÚ Ý

• ĐỀ BÀI KHÔNG NÓI KHOẢNG NÀO THÌ MẶC ĐỊNH LÀ KHOẢNG 2 PHÍA

Bài 1

• Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân của một xí nghiệp thì thấy lương trung bình là 1,35 triệu đồng/tháng Giả sử lương công nhân tuân theo qui luật chuẩn với σ=0,2 triệu đồng

a)Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng mức lương trung bình của công nhân trong toàn xí nghiệp?

b)Với độ tin cậy 98% hãy tìm khoảng ước lượng bên trái cho mức lương trung bình của công nhân trong toàn xí nghiệp?

c) Với độ tin cậy 96%; tìm khoảng tin cậy bên phải cho điểm trung bình XSTK của

sinh viên toàn trường?

Bài 3

• Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo qui luật chuẩn với độ lệch chuẩn 100h

a) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm thì thấy mỗi bóng tuổi thọ trung bình

là 1000h Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn với độ tin cậy 95%?b) Với độ chính xác là 15h Hãy xác định độ tin cậy?

c) Với độ chính xác là 25h và định độ tin cậy là 95% thì cần thử nghiệm bao nhiêu

bóng?

Bài 4

• Một lô hàng có 5000 sản phẩm Chọn ngẫu nhiên 400 sản phẩm từ lô hàng thì thấy

có 360 sản phẩm loại A

a) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A trong lô hàng với độ tin cậy 96%?

b) Tìm khoảng tin cậy bên phải của tỉ lệ sản phẩm loại A trong kho ở độ tin cậy 97%?c) Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A của lô hàng đạt độ chính xác 150 sản

phẩm và độ tin cậy 99% thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm?

Bài 5

• Trọng lượng các bao xi măng ở một của hàng bán vật liệu xây dựng tuân theo qui luật chuẩn Kiểm tra 20 bao thấy trọng lượng trung bình của mỗi bao là 48kg

và phương sai mẫu điều chỉnh là s2=(0,5 kg)2

a) Tìm khoảng ước lượng bên trái của trọng lượng trung bình một bao xi măng

thuộc của hàng đó với độ tin cậy 95%?

b) Khi ước lượng hai phía, với độ chính xác 0,26 kg thì độ tin cậy là bao nhiêu?

c) Với độ chính xác 0,16 kg, độ tin cậy 95% Hãy xác định cỡ mẫu n trong bài toán

ước lượng 2 phía?

Bài 6

• Để ước lượng số cá trong hồ người ta đánh bắt 2000 con, đánh dấu rồi thả xuống

hồ Sau đó người ta đánh lên 400 con thì thấy có 40 con bị đánh dấu

a) Với độ tin cậy 95%, số cá trong hồ khoảng bao nhiêu con?

b) Tìm số cá tối đa trong hồ với độ tin cậy 97%?

c) Tìm số cá tối thiểu trong hồ với độ tin cậy 98%?

Bài 7

• Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một kho đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu

a) Ước lượng tỉ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp với độ tin cậy 94%?

b) Với sai số cho phép 3%, hãy xác định độ tin cậy?

Bài 9

• Điều tra về số lượt gửi xe máy trong 121 ngày ở FTU ta có bảng sau:

• Những ngày có từ 1000 lượt gửi trở lên là những ngày đông

Số lượt 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200 1200-1300 1300-1400 1400-1500

Bài 9

a) Ước lượng số lượt gửi xe trung bình một ngày ở FTU với độ tin cậy 99%.

b) Khi ước lượng tỉ lệ những ngày đông với mẫu trên, nếu muốn độ tin cậy là 95% và độ chính

xác tối đa 8% thì cần điều tra tối thiểu bao nhiêu ngày?

c) Ước lượng số lượt gửi xe tối đa ở độ tin cậy 95%?

d) Ước lượng tỷ lệ ngày đông tối thiểu ở độ tin cậy 99%?

e) Ước lượng độ lệch chuẩn của số lượt gửi một ngày với độ tin cậy 95% biết

• Số lượt xe gửi trung bình là 1000 lượt/ngày

• Không biết số lượt gửi xe trung bình

Bài 10

• Trọng lượng các bao gạo được đóng gói tự động với trọng lượng qui định

là 27,5 kg Kiểm tra ngẫu nhiên 41 bao trong kho gồm 2000 bao gạo, ta thấy:

a) Với mẫu trên, ước lượng trọng lượng trung bình một bao gạo với độ tin

Bài 11

• Chiều cao của thanh niên ở một địa phương là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình 160 cm và độ lệch chuẩn 10 cm.Tính xác suất chọn ngẫu nhiên 5 lần độc lập, mỗi lần 25 thanh niên, thì có đúng 2 lần chiều cao trung bình của nhóm thanh niên chọn được cao hơn 158cm

Bài 12

• Trọng lượng các bao xi măng (đơn vị: kg) được đóng tự động là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Kiểm tra ngẫu nhiên 101 bao mới đóng người

ta thu được kết quả sau:

a) Với mẫu trên, ước lượng trọng lượng trung bình của các bao xi măng

với độ tin cậy 99%.

b) Ước lượng tỉ lệ bao xi măng có trọng lượng từ 49kg trở xuống với độ tin

cậy 99%?

Trọng lượng 48-48,5 48,5-49 49-49,5 49,5-50 50-50,5