Bài giảng xác suất thống kê biến ngẫu nhiên

Phân loại bnnRời rạc Giá trị X liệt kê được thành một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn Bnn X Liên tục Giá trị X lấp đầy một khoảng hay một số khoảng của trục số, hoặc cả trục số... Luật ph

CHƯƠNG 2

BIẾN NGẪU NHIÊN

Khái niệm biến ngẫu nhiên

• Biến ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị phụ thuộc vào kết quả của phép thử ngẫu nhiên Giá trị của nó là ngẫu nhiên không dự đoán trước được

• Kí hiệu: X, Y, Z…

Khi đĩ X là một biến ngẫu nhiên.

Lưu ý: “X=1” hay “X=0” là các biến cố.

0 1

nếuSấp X

nếu Ngửa



= 



Ví dụ 2

• Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp Đặt Y là

số viên bi vàng có trong 2 viên lấy ra

• Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên

• Ta có:

• “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào???

{ 0 1 2 ; ; }

Y ∈

Định nghĩa (tham khảo)

Biến ngẫu nhiên X là một ánh xạ từ không gian mẫu các biến cố sơ cấp vào tập số thực

Phân loại bnn

Rời rạc

Giá trị X liệt kê được thành

một dãy số hữu hạn hoặc vô

hạn

Bnn X

Liên tục

Giá trị X lấp đầy một khoảng hay một

số khoảng của trục số, hoặc cả trục

số

Luật phân phối xác suất

• Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng.

– Xác suất để bnn nhận một giá trị bất kì

– Xác suất để bnn nhận giá trị trong một khoảng bất kì

• Dạng thường gặp: công thức, bảng ppxs, hàm ppxs, hàm mật độ

Luật phân phối_Công thức

Ví dụ 1 Một người nhắm bắn một mục tiêu cho đến khi nào bắn trúng một phát thì thôi (số phát bắn không hạn chế) Xác suất bắn trúng của mỗi phát đều bằng p Tìm qui luật ppxs của số viên đạn được sử dụng

Luật phân phối_Công thức

Luật phân phối_Công thức

• Qui luật ppxs của X là:

• X gọi là có phân phối hình học

Bảng ppxs

• Ví dụ 2 Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm đạt loại A Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A lấy ra?

5 2

=

=

∑

Luật ppxs_Bảng

Ví dụ 2 Có 2 kiện hàng Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu Kiện 2 có 6 sản

phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm và từ kiện 2 ra 1 sản phẩm Lập luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra?

Giải:

Gọi Y là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra

⇒ Y=0,1,2,3

Gọi Ai là bc có i sản phẩm tốt lấy ra từ kiện 1

Gọi Bj là bc có j sản phẩm tốt lấy ra từ kiện 2

Luật ppxs_Bảng

• Bảng phân phối xác suất:

P 2/35 11/35 16/35 6/35

Luật ppxs_ Hàm phân phối

• Hàm phân phối xác suất hay hàm phân bố, ký hiệu F(x), định nghĩa như sau:

Luật ppxs_ Hàm phân phối

Luật ppxs_ Hàm phân phối

• Cho X là bnn rời rạc có tập giá trị được sắp

• Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x, x là một giá trị bất kì.

• Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên trái số x

• Xác suất X thuộc [a,b)

) ( b F ( ) ( ) a

P a X ≤ < = b − F

Luật ppxs_ Hàm phân phối

Luật ppxs_ Hàm phân phối

Hàm mật độ xác suất

• Cho X là bnn liên tục

• Người ta chứng minh được rằng

P(X=a)=0 với mọi giá trị của a

Để mô tả bnn liên tục ta dùng hàm mật độ

Hàm f(x) là hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên X nào đó nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:

( ) ( )

Hàm mật độ xác suất

• Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X là đạo hàm cấp 1 của hàm

phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên đó, ký hiệu f(x)

Tính chất

• Một hàm số bất kì thỏa mãn 2 tính chất đầu tiên i) ii) sẽ là hàm mật độ của một

biến ngẫu nhiên liên tục nào đấy

( ) ( )

CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG

• Kỳ vọng (Expected Value) E(X)

• Phương sai (Variance) V(X), Var(X)

• Độ lệch chuẩn (Standard Error)

x p

E X

x f x dx

∞ +

Tính chất 1)Tính chất 1: E(C)=C với C là hằng số

2)Tính chất 2: E(C+X)=C+E(X)

3)Tính chất 3: E(C.X)=C.E(X)

4)Tính chất 4: E(X Y)=E(X) E(Y)

5)Tính chất 5: E(X.Y)=E(X).E(Y) nếu X và Y độc lập 6)Tính chất 6: E(

x p

X

x f x dx

ϕ ϕ

Phương sai (Variance)

2 2

,nếu X rời rạc ,nếu X liên tục.

i i i

x p E X Var X

• XA, XB là lãi suất thu được trong một năm (đơn vị %) khi đầu tư vào 2 công ty A,

B một cách độc lập Cho biết quy luật phân phối của 2 biến ngẫu nhiên trên như sau:

P 0,05 0,1 0,3 0,4 0,15

P 0,1 0,2 0,2 0,25 0,15 0,1

• Đầu tư vào công ty nào có lãi suất kỳ vọng cao hơn?

• Đầu tư vào công ty nào có mức độ rủi ro ít hơn?

• Nếu muốn đầu tư vào cả 2 công ty thì nên đầu tư theo tỉ lệ nào sao cho:

– Thu được lãi suất kỳ vọng lớn nhất?

– Mức độ rủi ro về lãi suất thấp nhất?

Độ lệch chuẩn

• V(X) đo độ dao động, phân tán, đồng đều, tập trung của X

• V(X) có đơn vị là bình phương đơn vị của X

• σ(X) có đơn vị là đơn vị của X

( ) X Var X ( )

Tính chất của phương sai

nếu các X độc lập toa

Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa

E(X)=3,5 : giá trị trung bình theo xác suất của X là 3,5 Hay nếu ta thực hiện phép thử

n lần (n đủ lớn) thì giá trị trung bình của X trong n lần đó sẽ xấp xỉ 3,5

Theo thống kê việc 1 người Mỹ 25 tuổi, xác suất

Sống thêm 1 năm là 0.992

Chết trong vòng 1 năm tới là 0,008

Một chương trình bảo hiểm đề nghị người tham gia bảo hiểm cho sinh mạng người

đó trong vòng 1 năm

Số tiền chi trả 1000 USD

Lệ phí tham gia là 10 USD

Ví dụ 2

• Gọi X là lợi nhuận thu được trên 1 người tham gia bảo hiểm Ta có:

• Ta thấy lợi nhuận kì vọng là một số dương nên công ty bảo hiểm có thể làm ăn có lãi

• Tất nhiên tính trên điều kiện số người tham gia bảo hiểm là đủ lớn

Cho bnn liên tục X có hàm mật độ

a) Kiểm tra lại f(x)

b) Tính E(X), V(X)

( ) ( )

1 2

Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: tháng) với hàm mật độ như sau:

• Hàm phân phối xác suất:

• Giả sử một cửa hàng sách định nhập về một số cuốn truyện trinh thám Nhu cầu hàng năm về loại sách này như sau:

• Cửa hàng mua sách với giá 7USD một cuốn, bán ra với giá 10USD một cuốn

nhưng đến cuối năm phải hạ giá với giá 5USD một cuốn Cửa hàng muốn xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận kì vọng là lớn nhất

Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33

P 0,3 0,15 0,3 0,25

Ví dụ 5

• Gọi Xi là số tiền lời khi nhập thêm i cuốn sách (ngoài 30 cuốn)

• Số tiền lời khi nhập 30+i (cuốn) là: Yi= 90+Xi

Hệ số biến thiên

• Kí hiệu: CVx.

• Đo mức độ thuần nhất của bnn CVx càng nhỏ bnn càng thuần nhất.

• So sánh độ phân tán của các bnn không có cùng đơn vị, không có cùng kỳ vọng

e e

Hệ số bất đối xứng

• Đồ thị đối xứng

α =

Hệ số nhọn

• Kí hiệu:

• Đặc trưng cho độ nhọn của hàm mật độ so với đồ thị của phân bố chuẩn

• Biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn thì α4=3

Hệ số nhọn

• α4>3 đồ thị hàm mật độ nhọn hơn so với phân phối chuẩn

• α4=3 đồ thị hàm mật độ tù hơn so với phân phối chuẩn

1 2

x

−µ

− σ

=

σ π

1 2

x

−µ

− σ

=

σ π

Kiểm tra 30’

• 1 Một lô sản phẩm gồm 100 sản phẩm trong đó có 90 sản phẩm tốt và 10 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm (chọn 1 lần) Gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra

• Tìm phân phối xác suất của X

• Viết hàm phân phối và tính E(X); Var(X) và P(X≥1)?