BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên cao đẳng, đại học môn xác suất thống kê Giáo trình xác suất thống kê.rong tài liệu này các bạn sẽ được tiếp xúc với các công thức cơ bản.Tài liệu về bài tập trắc nghiệm xác suất thống kê giúp các bạn sinh viên rèn luyện kỹ năng làm bài tập.

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

HUỲNH HỮU DINH

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT

MSSV:

Họ tên:

TP.HCM - Ngày 16 tháng 3 năm 2015

1 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT 5

1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 5

1.2 QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ 8

1.2.1 Quan hệ kéo theo 8

1.2.2 Quan hệ tương đương 8

1.2.3 Tổng hai biến cố 9

1.2.4 Tích hai biến cố 10

1.2.5 Các biến cố xung khắc 10

1.2.6 Hiệu của hai biến cố 11

1.2.7 Biến cố đối lập 11

1.2.8 Qui tắc De Morgan 12

1.3 KHÔNG GIAN CÁC BIẾN CỐ SƠ CẤP 13

1.4 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 14

1.4.1 Định nghĩa xác suất theo nghĩa cổ điển 14

1.4.2 Định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê 19

1.4.3 Định nghĩa xác suất theo nghĩa hình học 22

1.5 CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 25

1.5.1 Công thức cộng xác suất 25

1.6 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN 28

1.6.1 Công thức nhân xác suất 30

1.6.2 Sự độc lập và phụ thuộc của các biến cố 34

1.6.3 Công thức xác suất đầy đủ 38

1.6.4 Công thức Bayes 40

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT

Các khái niệm đầu tiên trong xác suất là “phép thử” và “biến cốn sơ

cấp” Phép thử được hiểu là một thí nghiệm, một quan sát về một hiện

tượng hay tính chất nào đó Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác

nhau, các kết quả này được gọi là các biến cố sơ cấp (hay sự kiện sơ cấp) Biến cố sơ cấp thường được ký hiệu là các chữ cái in hoa đôi khi

kèm theo các chỉ số: A, B, C, , A1, A2, , A n ,

Ví dụ 1.1 Một số ví dụ về phép thử và biến cố sơ cấp:

• Tung một đồng tiền, đó là một phép thử Kết quả có thể xảy ra là

“xuất hiện mặt số”, đó là một biến cố sơ cấp; “xuất hiện mặt hình”,cũng là một biến cố sơ cấp

• Một người mua một tờ vé số, đây là một phép thử Các biến cố

sơ cấp xuất hiện là “người mua trúng số” hoặc “người mua khôngtrúng số”

• Gieo một con xúc xắc, đây là một phép thử Các biến cố sơ cấp xuất

hiện là “xuất hiện mặt i chấm” với i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Định nghĩa 1.1 Biến cố của một phép thử là một tập hợp mà mỗi

phần tử của nó là biến cố sơ cấp của phép thử đang xét.

Hình 1.1 Hai mặt của đồng tiền Hình 1.2 Con xúc xắcTrong Ví dụ 1.1, ta đặt

Định nghĩa 1.2 Biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử

được gọi là biến cố không, ký hiệu ∅.

• Chọn ngẫu nhiên hai lá từ một bộ bài tây, biến cố “xuất hiện hai

lá át cơ” là một biến cố không

• Biến cố “có sự sống trên sao Mộc” là biến cố không.

Hình 1.3 Sao mộc Hình 1.4 Bài tây

Định nghĩa 1.3 Biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử được

gọi là biến cố chắc chắn, ký hiệu Ω.

1.2 QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

Định nghĩa 1.4 Ta nói biến cố A thuận lợi cho biến cố B khi và chỉ

khi A xảy ra thì B xảy ra, ký hiệu A ⊂ B.

A

Ω

B

Hình 1.6

Ví dụ 1.4 Gieo một con xúc xắc Ta xét các biến cố:

• A : “xuất hiện mặt hai chấm”.

• B : “xuất hiện mặt có số chấm chẵn”.

Ta thấy khi biến cố A xảy ra thì biến cố B sẽ xảy ra Do đó A ⊂ B.

Định nghĩa 1.5 Ta nói biến cố A tương đương với biến cố B khi và

chỉ khi A ⊂ B và B ⊂ A, ký hiệu A = B.

• A : “xuất hiện mặt năm chấm”.

• B : “xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho năm”.

Ta thấy A = B.

Định nghĩa 1.6 Tổng hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi có ít

nhất một trong hai biến cố xảy ra, ký hiệu A + B.

Từ định nghĩa ta có thể xác định biến cố tổng A + B : “A hoặc B”

1.2.4 Tích hai biến cố

Định nghĩa 1.8 Tích hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi A và

B cùng xảy ra, ký hiệu AB.

Từ định nghĩa ta có thể xác định biến cố tích AB: “A và B”.

Định nghĩa 1.9 Tích các biến cố A1, A2, , A n là biến cố xảy ra khi

và chỉ khi tất cả các biến cố A i cùng xảy ra, ký hiệu là A1A2 A n

Định nghĩa 1.10 Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu

chúng không thể cùng xảy ra, hay nói cách khác AB = ∅.

Ví dụ 1.8 Gieo một con xúc xắc Đặt

• A : “xuất hiện mặt một chấm”.

• B : “xuất hiện mặt hai chấm”.

Hai biến cố A và B xung khắc với nhau vì biến cố AB : “xuất hiện

mặt một chấm cùng lúc với mặt hai chấm” là biến cố không

Định nghĩa 1.11 Hiệu của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi

A xảy ra nhưng B không xảy ra, ký hiệu A \ B.

Định nghĩa 1.12 Biến cố B được gọi là biến cố đối lập của biến cố

• B : “xuất hiện mặt hai chấm”.

• C : “xuất hiện mặt có số chấm không bé hơn hai”.

Ví dụ 1.11 Kiểm tra chất lượng bốn sản phẩm Đặt A i :“sản phẩm thứ

i tốt” với i = 1, 4 Hãy biểu diễn qua A i các biến cố sau:

Giải 1 Xét biến cố A : “tất cả các sản phẩm đều tốt” Ta thấy A xảy ra

khi các biến cố A i , i = 1, 4 xảy ra Do đó A = A1A2A3A4

2 Xét biến cố B : “tất cả các sản phẩm đều xấu” Ta thấy B xảy ra khi tất cả các biến cố A i , i = 1, 4 đều không xảy ra Do đó A = A1 A2 A3 A4

3 Xét biến cố C : “có ít nhất một sản phẩm tốt” Ta thấy C xảy

ra khi ít nhất một trong các biến cố A i , i = 1, 4 xảy ra Do đó C =

A1+ A2+ A3+ A4

4 Xét biến cố D : “có ít nhất một sản phẩm xấu” Ta thấy D xảy

ra khi ít nhất một trong các biến cố A i , i = 1, 4 không xảy ra Do đó

D = A1+ A2+ A3+ A4

5 Xét biến cố E : “có đúng một sản phẩm tốt” Ta thấy E xảy ra khi có một biến cố trong các biến cố A i , i = 1, 4xảy ra, ba biến cố còn lại không

xảy ra Do đó E = A1A2A3A4+A1A2A3A4+A1A2A3A4+A1A2A3A4 

Định nghĩa 1.13 Tập hợp tất cả các kết quả của phép thử được gọi

là không gian các biến cố sơ cấp, ký hiệu Ω.

Có thể thấy rằng không gian các biến cố sơ cấp là tập hợp các kết quảloại trừ lẫn nhau, không thể tách nhỏ hơn, sao cho bất kỳ biến cố nàocủa phép thử đều có thể biểu diễn duy nhất qua các phần tử của tậphợp đó

Ví dụ 1.12 Gieo một con xúc xắc Không gian các biến cố sơ cấp là

Ω ={A1, A2, A3, A4, A5, A6}

với A i : “xuất hiện mặt có i chấm”, i = 1, 6.

Ví dụ 1.13 Tung một đồng xu Không gian các biến cố sơ cấp ở đây là

Ω ={N, S}

với N : “xuất hiện mặt ngửa” và S: “xuất hiện mặt sấp”.

Ví dụ 1.14 Tung đồng thời hai đồng xu Không gian các biến cố sơ cấp

ở đây là

Ω ={NN, SN, NS, SS}

Ví dụ 1.15 Tung một đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa thì

dừng Không gian các biến cố sơ cấp ở đây là

Ω = {N, SN, SSN, SSSN, SSSSN, }

Ví dụ 1.16 Tung đồng thời hai con xúc xắc Không gian các biến cố sơ

cấp ở đây là

Ω = {(i, j) : 1 ≤ i ≤ 6, 1 ≤ j ≤ 6}

Xét không gian các biến cố sơ cấp hữu hạn phần tử có đồng khả năngxảy ra

Ω ={A1, A2, , A m }

Xét biến cố A ⊂ Ω Ký hiệu n(A) là số biến cố sơ cấp chứa trong A.

Định nghĩa 1.14 (Định nghĩa xác suất theo nghĩa cổ điển).

Xác suất của biến cố A, ký hiệu là P (A), được tính bằng công thức

P (A) = n(A)

n(Ω) .

Ví dụ 1.17 Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất Tính xác suất biến

Ví dụ 1.18 Tung một đồng xu cấn đối, đồng chất Tính xác suất biến

cố “xuất hiện mặt ngửa”

Giải Khi tung một đồng xu, không gian các biến cố sơ cấp có đồng khả

năng xảy ra là Ω ={N, S}

Đặt A : “xuất hiện mặt ngửa” ≡ N.

Khi đó P (A) = n(A)

n(Ω) =

1

Ví dụ 1.19 Tung đồng thời hai đồng xu cân đối, đồng chất Tính xác

suất biến cố “xuất hiện mặt sấp ở cả hai đồng xu”

Giải Không gian các biến cố sơ cấp của phép thử này là

Ω = {NN, SS, NS, SN}

Đặt A : “xuất hiện mặt sấp ở cả hai đồng xu”.

Khi đó ta có P (A) = n(A)

n(Ω) =

1

Ví dụ 1.20 Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất Tìm xác

suất các biến cố sau:

1 Chỉ xuất hiện một mặt 6 chấm

2 Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện.

3 Tổng số chấm trên hai con xúc xắc chia hết cho 5

4 Tích số chấm xuất hiện trên hai con chia hết cho 5

Giải Khi gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất ta được

không gian các biến cố sơ cấp là

2 Đặt B : “có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện” Khi đó, B =

{(6, j) : 1 ≤ j ≤ 6} ∪ {(i, 6) : 1 ≤ i ≤ 6} Ta suy ra n(B) = 11 Vậy

(i, j) : ij chia hết cho 5}

Ta thấy D xảy ra khi có ít nhất một trong hai số i, j là số 5 Do đó, D = {(5, j) : 1 ≤ j ≤ 6} ∪ {(i, 5) : 1 ≤ i ≤ 6} Ta

Tính chất 1.1 Xác suất theo nghĩa cổ điển có các tính chất sau:

4 Vì A + A = Ω nên P (A + A) = 1 Mặt khác A, A xung khắc nên

1 = P (A + A) = P (A) + P (A) Do đó P (A) = 1 − P (A). 

Nhận xét 1.1 Tính chất 3 có thể mở rộng cho trường hợp n biến cố đôi

một xung khắc Cụ thể hơn, nếu n biến cố A1, A2, , A n đôi một xung

1 Đặt A : “lấy được đúng một phế phẩm” Khi đó n(A) = C1

4C2

6 = 60

Vậy P (A) = 60

120 =

1

2.

2 Đặt B : “lấy được ít nhất một phế phẩm” Khi đó B : “không lấy

được phế phẩm nào” Áp dụng tính chất 3 ta được

P (B) = 1 − P (B) = 1 − C63

C3 10

= 5

Ví dụ 1.22 Từ một hộp đựng 5 bi đỏ, 4 bi vàng, 6 bi xanh và 9 bi trắng,

chọn ngẫu nhiên 4 bi Tính xác suất có ít nhất hai bi cùng màu

Giải Ta đặt biến cố A : “có ít nhất hai bi cùng màu trong 4 bi lấy ra”.

Khi đó A : “cả bốn bi lấy ra đều có màu khác nhau” Áp dụng tính chất

3ta được P (A) = 1 − P(A)

= 1− 4× 5 × 6 × 9

C4 24

Ví dụ 1.23 Một lớp học có n sinh viên Tính xác suất có ít nhất hai

sinh viên trong lớp trùng ngày sinh nhật

Giải Ta đặt A : “có ít nhất hai sinh viên trong lớp học trùng ngày sinh

nhật” Rõ ràng nếu ta tính trực tiếp P (A) thì rất khó khăn vì lúc đó có quá nhiều trường hợp xảy ra, tuy nhiên nếu ta tính P (A) thì công việc đơn giản hơn nhiều Ta có P (A) = n(A)

Ví dụ 1.24 Liễu cần hỏi bao nhiêu người để có 50:50 cơ hội tìm được

một người có cùng ngày sinh?

Giải Giả sử số người Liễu cần hỏi là n, đặt biến cố A : “ tìm được một

người có cùng ngày sinh với Liễu” Ta cần xác định n để P (A) = 0, 5 Áp

dụng tính chất 3 ta được

P (A) = 1 − P (A) = 1 −364n

365n

1.4.2 Định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê

Muốn xác định xác suất của biến cố A theo nghĩa cổ điển thì ta phải

xác định không gian hữu hạn các biến cố sơ cấp có đồng khả năng xảy

ra Điều đó không phải khi nào cũng tồn tại (ví dụ như đồng xu khôngđồng chất), để khắc phục nhược điểm trên người ta đưa ra định nghĩaxấc suất theo quan điểm thống kê

Xét phép thử ℘ và biến cố A nào đó trong phép thử Lặp lại phép thử

n lần, gọi n A là số lần biến cố A xuất hiện Tỷ số f A

n = n A

n được gọi là

tần suất xuất hiện biến cố A khi thực hiện n phép thử ℘.

Định nghĩa 1.15 (Định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê)

Xác suất của biến cố A, ký hiệu P (A), được xác định bằng công thức

P (A) = lim

n→∞ f

A

n

Ví dụ 1.25 Để xác định xác suất của biến cố “xuất hiện mặt sấp” khi

tung đồng xu, Buffon và Pearson đã tiến hành tung đồng xu nhiều lần.Sau đây là bảng kết quả:

Người thí nghiệm Số lần tung Số lần sấp Tần suất

Ví dụ 1.26 Vấn đề tính xác suất sinh con trai hay con gái từ lâu được

các nhà sinh lý học, nhân chủng học nghiên cứu Người Trung Hoa cổ

đã thống kê và đưa ra tỷ lệ sinh con gái là 0, 5 Laplace đã nghiên cứu

vấn đề này ở London, Petecburg, Berlin trong 10 năm và đưa ra tỷ sốsinh con gái là 21

43 Dacnon nghiên cứu sinh đẻ ở Pháp và cho số liệu sau:Năm 1806 1816 1836 1856 1903 1920Tần suất sinh con gái 0,485 0,484 0,485 0,487 0,488 0,489

Ví dụ 1.27 Trong những năm 1989 - 1999, trên toàn thế giới, trung

bình mỗi năm có 18 triệu chuyến bay, 24 tai nạn máy bay chết người,

và 750 người chết trong tai nạn máy bay Cũng trong khoảng thời gian

đó ở nước Pháp, trung bình mỗi năm có khoảng 8000 người chết vì tainạn ô tô, trên tổng số 60 triệu dân Từ các số liệu trên, chúng ta có thểtính: xác suất để một người ở Pháp chết vì tai nạn ô tô trong một năm là

8000

60000000 = 0, 0133%; xác suất để đi một chuyến bay gặp tai nạn chết người

là 24

18000000 = 0, 00013%, chỉ bằng một phần trăm xác suất bị chết do tai

nạn ô tô trong 1 năm (ta tạm coi tỉ lệ tai nạn ô tô Pháp tương tự như trênthế giới) Nếu một người một năm bay 20 chuyến, thì xác suất bị chết

vì tai nạn máy bay trong năm bằng khoảng 20× 0, 000133% = 0, 00266%,

tức chỉ bằng 1

5 xác suất bị chết vì tai nạn ô tô trong năm

Ví dụ 1.28 Ông Gregor Mendel (1822 - 1884) là một tu sĩ người Áo

thích nghiên cứu sinh vật Ông ta trồng nhiều giống đậu khác nhautrong vườn của tu viện, và ghi chép tỉ mẫn về các tính chất di chuyền

và lai giống của chúng Năm 1866, Mendel công bố một bài báo về cáchiện tượng mà ông quan sát được, và lí thuyết của ông để giải thích cáchiện tượng Một trong những quan sát trong đó là về màu sắc: Khi laiđậu hạt vàng với đậu hạt xanh (thế hệ thứ nhất) thì các cây lai (thế hệthứ hai) đều ra đậu hạt vàng, nhưng tiếp tục lai các cây đậu hạt vàngthế hệ thứ hai này với nhau, thì đến thế hệ thứ ba xác suất ra đậu hạtxanh là 1

“Yy” cũng là màu vàng Đến thế hệ thứ ba, khi lai “Yy” với “Yy” thì cóbốn khả năng xảy ra: “YY”, “Yy”, “yY”, “yy” Về lí thuyết, có thể coi bốnkhả năng trên là có xác suất xảy ra bằng nhau Bởi vậy xác suất để câythứ ba có gen “yy” (hạt màu xanh) là 1

4 Trong rất nhiều năm sau khicông bố, công trình của Mendel không được các nhà khoa học quan tâmđến, nhưng ngày nay Mendel được coi là cha tổ của di truyền học

Tính chất 1.2 Cũng giống như xác suất theo nghĩa cổ điển, xác suất

theo nghĩa thống kê cũng có các tính chất sau:

Nhận xét 1.2 Tính chất 3 có thể mở rộng cho trường hợp n biến cố đôi

một xung khắc Cụ thể hơn, nếu n biến cố A1, A2, , A n đôi một xung

khắc thì P (A1+ A2 +· · · + A n ) = P (A1) + P (A2) +· · · + P (A n)

Như đã biết, định nghĩa xác suất theo nghĩa cổ điển có hai hạn chế lớn:

• Số biến cố sơ cấp của phép thử là hữu hạn.

• Các biến cố sơ cấp của phép thử phải có cùng khả năng xuất hiện.

Định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê khắc phục được hạn chế

các sự kiện đồng khả năng) người ta đưa vào định nghĩa xác suất theo

nghĩa hình học Xét một phép thử ℘ có vô hạn các biến cố sơ cấp đồng

khả năng xảy ra Giả sử ta có thể biểu diễn không gian các biến cố sơ cấp

Ωthành một miền hình học Γ nào đó Ở đây Γ có thể là một đoạn thẳng,một miền phẳng, một khối không gian, v.v Những biến cố thuận lợi

cho biến cố A có thể hợp thành một miền con Γ A ⊂ Γ.

Định nghĩa 1.16 Độ đo của miền Γ A , kí hiệu là m(Γ A), được hiểu

là độ dài nếu Γ A là đoạn thẳng; là diện tích nếu Γ A là miền phẳng;

là thể tích nếu Γ A là khối không gian.

Với những giả thiết và định nghĩa trên, ta định nghĩa xác suất theonghĩa hình học như sau:

Định nghĩa 1.17 (Định nghĩa xác suất theo nghĩa hình học)

Xác suất của biến cố A, ký hiệu P (A), được xác định bằng công thức

P (A) = m(Γ A)

m(Γ) .

Ví dụ 1.29 Một xạ thủ bắn vào một tấm bia hình tròn có tâm O và bán

kính R Tính xác suất để xạ thủ bắn trúng bia sao cho khoảng cách từ điểm trúng tới tâm O không quá số r cho trước (r < R) Ở đây ta giả

thiết xạ thủ luôn bắn trúng bia

Giải Ta xem hình vẽ sau:

Γ

r R

ΓA

Đặt biến cố A : “điểm trúng cách O một khoảng không vượt quá r” Khi đó A có thể được biểu diễn bằng hình tròn tâm O bán kính r Mặt khác, tập tất cả các điểm trúng tạo thành hình tròn tâm O bán kính R.

Ví dụ 1.30 Bẻ gẫy ngẫu nhiên thành ba đoạn một đoạn thẳng có chiều

dài là a Tính xác suất để ba đoạn đó tạo thành một tam giác.

Giải Ta xem hình vẽ sau:

O

B

A M

N

Γ

x y

Không giảm tổng quát ta giả sử a = 1 Gọi x, y là độ dài lần lượt của đoạn chia thứ nhất và đoạn chia thứ hai Khi đó ta có x > 0, y > 0

và x + y < 1 nên miền các biến cố sơ cấp có cùng khả năng xảy ra là

Γ = ∆OAB.

Đặt biến cố A : “ba đoạn tạo thành một tam giác” Ta sẽ xác định Γ A

Vì hai đoạn đầu có độ dài lần lượt là x, y nên đoạn thứ ba sẽ có độ

dài là 1− x − y Ba đoạn này tạo thành một tam giác khi và chỉ khi

Ta thấy miền ΓA chính là ∆M N P Khi đó

m(Γ A) S ∆M N P 1



Nhận xét 1.3 Các tính chất của xác suất theo nghĩa hình học cũng

tương tự như tính chất của xác suất theo nghĩa cổ điển và theo nghĩathống kê nên ta không nêu ra ở đây Bạn đọc tự ghi nhận và chứng minhnhư một bài tập

Đối với xác suất theo nghĩa cổ điển, nếu A ̸= ∅ thì P (A) > 0 Nhưng

đối với xác suất theo nghĩa hình học thì điều đó không chính xác Chẳng

hạn, trong Ví dụ 1.29 nếu ta đặt biến cố B : “xạ thủ bắn trúng tâm” thì