BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Giáo trình xác suất thống kê.trong tài liệu này các bạn sẽ được tiếp xúc với các công thức cơ bản.Tài liệu về bài tập trắc nghiệm xác suất thống kê giúp các bạn sinh viên rèn luyện kỹ năng làm bài tập. Lý thuyết xác suất thống kê là một bộ phận của toán học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu ... Giáo trình gồm 6 chương tương ứng với 4 đơn vị học trình

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

HUỲNH HỮU DINH

BÀI GIẢNG TOÁN THỐNG KÊ

MSSV:

Họ tên:

TPHCM - Ngày 8 tháng 3 năm 2015

ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

Xét một tập hợp chính Ω và giả sử ta quan tâm tới biến lượng X đo

lường một dấu hiệu gì đó của cá thể trong tập hợp chính Về mặt Toán

học, X được coi là một BNN (giá trị của nó thay đổi từ cá thể này sang

cá thể khác) Phân bố xác suất của X rất khó nắm bắt, và thông thường

ta giới hạn ở việc xác định một số tham số đặc trưng của X như giá trị

trung bình (kỳ vọng), phương sai, trung vị (median), mode, Các tham

số này không thể xác định chính xác được, mà phải ước lượng từ giá trị

của X trên một mẫu chọn ngẫu nhiên Như vậy bài toán ước lượng tham

số được phát biểu như sau:

Giả sử X là một BNN có tham số đặc trưng θ nào đó (chưa biết) mà

ta đang quan tâm Vấn đề đặt ra là: Căn cứ trên n giá trị x1, x2, , x n của X đo được trên một mẫu kích thước n lấy ra từ tập hơp chính, cần tìm giá trị gần đúng θ ∗ của θ.

Định nghĩa 1.1 Một hàm θ ∗ = S n (x1, x2, , x n) của n giá trị

x1, x2, , x n được gọi là một ước lượng điểm cho θ.

Để cho gọn ta sẽ gọi tắt ước lượng điểm là ước lượng Để khảo sát

về mặt Toán học, ta sẽ coi x1, x2, , x n là giá trị quan sát được (hay giá

trị thực nghiệm) của mẫu tổng quát X1, X2, , X n, trong đó các BNN

X1, X2, , X n độc lập với nhau và có cùng phân bố với X.

Như vậy ước lượng θ ∗ = S n là một hàm của n BNN X1, X2, , X n và

do đó nó cũng là một BNN Giá trị của θ ∗ cũng thay đổi từ mẫu quansát này sang mẫu quan sát khác

Việc lựa chọn một ước lượng nào là “tốt” được căn cứ trên các tiêuchuẩn dưới đây

Định nghĩa 1.2 Ước lượng S n được gọi là ước lượng không chệch cho θ nếu ES n = θ

Ước lượng S n được gọi là ước lượng vững nếu với mọi ϵ > 0 ta có

lim

n →∞ P ( |S n − θ| ≤ ϵ) = 1.

Ước lượng S n được gọi là hiệu quả nếu S n là ước lượng không chệch và phương sai DS n là nhỏ nhất trong lớp tất cả các ước lượng không chệch.

Tính chất không chệch có nghĩa là ước lượng S n không có sai số hệthống

Tính chất vững đảm bảo cho ước lượng S n gần θ tùy ý với xác suất

cao khi kích thước mẫu đủ lớn

1.1.1 Ước lượng giá trị trung bình µ

Giả sử X là BNN với EX = µ (chưa biết) µ được gọi là giá trị trung

sẽ được dùng làm ước lượng cho µ.

Định lý 1.1 Trung bình mẫu là ước lượng không chệch và vững cho

1.1.2 Ước lượng phương sai σ2

Giả sử X là BNN với DX = σ2 (chưa biết) σ2 được gọi là phương sai

của tập hợp chính Nếu ta có một mẫu gồm n giá trị x1, x2, , x n của X

thì một cách hợp lí phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh

Kết quả trên chứng tỏ cS2 là một ước lượng chệch.

Do đó, nếu ta xét phương sai mẫu đã hiệu chỉnh

một mặt hàng được nhập khẩu, tỉ lệ sinh viên đến từ Miền Tây trongtrường Đại học Công Nghiệp TP.HCM, v.v

Xét biến lượng X xác định như sau:

Nếu x1, x2, , x n là một mẫu gồm n giá trị quan sát của X thì x1 +

x2+ + x n là số cá thể mang đặc tính A của mẫu và

f = x1+ x2+· · · + x n

n

chính là tần suất xuất hiện đặc tính A trong mẫu.

Ta thấy f là giá trị quan sát của BNN

F = X1+ X2+· · · + X n

n

trong đó X1, X2, , X nlà các BNN độc lập với nhau và có cùng phân bố

với X Vì EX = p nên ta dễ dàng chứng minh được f là một ước lượng không chệch và vững cho p.

Chú ý 1.1 Từ đây trở về sau, để tiện cho việc trình bày phần lí thuyết,

các mẫu được xem xét mà mẫu tổng quát

1.2 Ước lượng khoảng

Bài toán tìm ước lượng khoảng đặt ra như sau: Căn cứ trên mẫu quan

sát X1, X2, , X n , hãy xác định một khoảng (a; b) để khoảng đó chứa tham số θ với xác suất 1 − α cho trước (1 − α thường được chọn là 0, 95 hay 0, 99) Một cách chính xác hơn, khoảng ước lượng được định nghĩa

như sau:

Định nghĩa 1.3 Khoảng có hai đầu mút a = a(X1, X2, , X n) và

b = b(X1, X2, , X n)được gọi là khoảng ước lượng với độ tin cậy 1 −α nếu P (a ≤ θ ≤ b) = 1 − α.

Chú ý 1.2 Hai đầu mút a, b của khoảng ước lượng là hai BNN Chúng

là hàm của X1, X2, , X nnên thay đổi từ mẫu này cụ thể này sang mẫu

cụ thể khác

Khoảng ước lượng chỉ cho ta biết với một xác suất cao khoảng này

chứa θ chứ ta không chắc chắn θ có nằm trong khoảng ước lượng hay

không (trừ khi chúng ta xác định toàn bộ tập chính, mà điều này khôngthể thực hiện trong thực tế)

1.2.1 Ước lượng khoảng cho kỳ vọng

Phương sai σ2 đã biết

Định lý 1.2 Giả sử X ∼ N(µ, σ2)trong đó σ2 đã biết Với độ tin cậy

1− α, gọi z α là giá trị thỏa mãn φ(z α) = 1− α

Chứng minh Vì các BNN X i , i = 1, n độc lập và có cùng phân bố với

X ∼ N(µ, σ2)nên X ∼ N(µ, σ2

n), suy ra Z = (X −µ) σ √ n ∼ N(0, 1) Khi đó P

Ví dụ 1.1 Đo chiều cao (đơn vị cm) 100 sinh viên trường Đại học Công

Nghiệp TP HCM ta được trung bình mẫu x = 160cm Giả sử độ lệch chuẩn σ của chiều cao người trưởng thành là 8cm, hãy xác định khoảng

ước lượng chiều cao trung bình của sinh viên trường ĐHCN trong cáctrường hợp sau:

1) Độ tin cậy 95%

2) Độ tin cậy 99%

3) Độ tin cậy 98%

Giải Từ đề bài ta có n = 100; x = 160cm; σ = 8cm.

1) Với đô tin cậy 95% ta được z α = 1, 96 Vậy khoảng ước lượng chiều

cao trung bình của sinh viên trường ĐHCN là

)

= (158, 43; 161, 57)

2) Với đô tin cậy 99% ta được z α = 2, 58 Vậy khoảng ước lượng chiều

cao trung bình của sinh viên trường ĐHCN là

)

= (157, 94; 162, 06)

Phương sai σ2 chưa biết và kích thước mẫu n ≥ 30

Trong nhiều trường hợp, ta không biết được phương sai của tập hợp

chính Nếu kích thước mẫu n > 30 thì ta có thể xấp xỉ σ2 bằng phương

sai đã hiệu chỉnh s2 của mẫu

Khi đó, khoảng ước lượng trung bình với độ tin cậy 1− α sẽ là

)

.

Ví dụ 1.2 Một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 sinh viên của trường ĐHCN

TP.HCM được hỏi về quãng đường họ đi từ nhà tới trường Giá trị trung

bình và độ lệch chuẩn đã hiệu chỉnh của mẫu này tương ứng là 5km và

0, 8km Với độ tin cậy 95%, hãy xác định khoảng ước lượng quãng đường

trung bình đi học của tất cả sinh viên trường ĐHCN TP.HCM

Giải Từ đề bài ta tính được n = 100; x = 5km; s = 0, 8km; z α = 1, 96.

Do đó, khoảng ước lượng quãng đường trung bình đi học của tất cả sinhviên trường ĐHCN là

Ví dụ 1.3 Trường ĐHCN TP.HCM tiến hành một cuộc điều tra xem

trung bình một sinh viên của trường tiêu hết bao nhiêu tiền gọi điệnthoại trong một học kỳ Một mẫu ngẫu nhiên gồm 49 sinh viên được

chọn và số tiền chi cho việc gọi điện thoại của họ như sau (đơn vị nghìn

Ví dụ 1.4 Để xác định chiều cao trung bình (đơn vị m) của các cây bạch

đàn trong một khu rừng bạch đàn rất lớn, người ta chọn ngẫu nhiên 64cây để đo Kết quả thu được như sau:

Khoảng chiều cao Số cây

Giải Để dễ tính toán, mỗi khoảng chiều cao ta sẽ lấy trung điểm của

khoảng làm đại diện Từ đây, ta tính được n = 64; x = 8, 09; s = 1, 2 và

Phương sai σ2 chưa biết và n < 30

Cơ sở cho việc xây dựng khoảng ước lượng cho trường hợp này dựa vàođịnh lý sau:

Định lý 1.3 Giả sử X ∼ N(µ, σ2)và X1, X2, , X n là các BNN độc lập với nhau và có cùng phân bố với X Khi đó, BNN T = (X −µ) S √ n sẽ

có phân bố Student với bậc tự do n − 1, tức T ∼ t n −1 , trong đó

Ví dụ 1.5 Một phương pháp điều trị bệnh mới đang được xem xét

nghiệm thu Một chỉ tiêu để đánh giá hiệu quả của phương pháp là

số ngày trung bình µ từ lúc điều trị cho đến khi bệnh nhân khỏi bệnh.

Một mẫu ngẫu nhiên gồm 16 bệnh nhân được theo dõi và số ngày điềutrị cho tới khi bệnh nhân khỏi bệnh được ghi lại như sau:

4 4 5 8 6 10 3 9

2 6 4 7 9 11 6 8Với độ tin cậy 95%, hãy xác định khoảng ước lượng trung bình sốngày cần thiết để bệnh nhân được điều trị hết bệnh

Giải Từ đề bài ta tính được n = 16; x = 6, 375; s = 2, 630; t15

Ví dụ 1.6 Khảo sát một mẫu gồm 12 người ở một địa phương A cho

thấy số lần họ đi xem phim trong 1 năm như sau:

14 16 17 17 24 20 32 18 29 31 15 35

Với độ tin cậy 95%, xác định khoảng ước lượng trung bình số lần một

người ở địa phương A đi xem phim trong thời gian 1 năm.

Giải Từ đề bài ta tính được n = 12; x = 22, 333; s = 7, 512; t11

α = 2, 201.

Khi đó, khoảng ước lượng trung bình số lần một người ở địa phương

A đi xem phim trong thời gian 1 năm là (17, 560; 27, 106). 

1.2.2 Ước lượng khoảng cho tỉ lệ

Giả sử trong tập hợp chính, mỗi cá thể của nó mang hay không mang

một đặc tính A nào đó Gọi p là tỉ lệ cá thể mang đặc tính A trong toàn

bộ tập chính (p chưa biết) Ta muốn ước lượng tham số p này dựa trên

mẫu điều tra

Giả sử trong một mẫu kích thước n có k cá thể mang đặc tính A Chúng ta đã biết tần xuất mẫu f = k

n là một ước lượng không chệch và

vững cho p Bài toán đặt ra là xây dựng khoảng ước lượng cho p với độ

tin cậy 1− α Để thực hiện điều này ta tìm hiểu kết quả sau:

Định lý 1.4 Cho X i , i = 1, n là các BNN Becnulli độc lập với nhau

Vì F ∼ N(p, p(1 −p)

n ) nên (F √ −p) √ n

p(1 −p) ∼ N(0, 1) Do đó, khoảng ước lượng

cho p với độ tin cậy 1 − α là

)

.

Ví dụ 1.7 Trước ngày bầu cử tổng thống, một cuộc thăm dò dư luận đã

được tiến hành Người ta chọn ngẫu nhiên 400 người để hỏi ý kiến thì

có 240 người nói rằng họ sẽ bỏ phiếu cho ông A Tìm khoảng ước lượng cho tỉ lệ cử tri bỏ phiếu cho ông A với độ tin cậy 95%.

Giải Từ đề bài ta tính được n = 400; f = 240

)

= (55, 2%; 64, 8%) 

Ví dụ 1.8 Ở cây ngọc trâm thì đặc tính lá phẳng hay lá nhăn là do một

gen có hai alen, A trội và a lặn, quyết định Các đồng hợp tử AA và dịhợp tử Aa có lá phẳng, còn đồng hợp tử aa có lá nhăn Trong số 560 cây

có được khi lai hai dị hợp tử thì có 110 cây lá nhăn Tìm khoảng ước

lượng cho xác suất p để có cây lá nhăn khi lai hai dị hợp tử với độ tin

cậy 95% Số liệu trên có phù hợp với lí thuyết của Mendel hay không (lí

thuyết của Mendel cho rằng p = 14)?

Giải Từ đề bài ta tính được n = 560; f = 110

)

= (16, 35%; 22, 93%)

Vì p = 1

4 không thuộc khoảng (16, 35%; 22, 93%) nên số liệu trên

không phù hợp với lí thuyết của Mendel 

1.2.3 Ước lượng khoảng cho phương sai

Giả sử X ∼ N(µ, σ2) Tập hợp chính ở đây là tập hợp tất cả các giá trị

của X Một mẫu có kích thước n bao gồm các giá trị X1, X2, , X n thu

được từ n quan sát độc lập từ X Với mẫu được lấy, ta muốn tìm khoảng ước lượng cho σ2 với độ tin cậy 1− α.

Trước hết, ta tìm hiểu kết quả quan trọng sau:

Ví dụ 1.9 Đường kính của một chi tiết máy do Xí nghiệp A sản xuất là

một BNN có phân phối chuẩn Chọn ngẫu nhiên 9 chi tiết máy ta tính

được độ lệch chuẩn đã hiểu chỉnh là s = 0, 1 Với độ tin cậy 95%, xác

định khoảng ước lượng cho phương sai của toàn bộ chi tiết máy do Xínghiệp A sản xuất

Giải Từ giả thiết đề bài ta có

1.3 Xác định kích thước mẫu

Với độ tin cậy 1− α đã cho, ta thấy có mối quan hệ giữa kích thước mẫu

n và độ dài khoảng ước lượng Kích thước mẫu n càng lớn thì độ dài

khoảng ước lượng càng nhỏ, nghĩa là độ chính xác của ước lượng của

ta càng cao Tuy nhiên, kích thước mẫu lớn thì đòi hỏi nhà nghiên cứuphải tốn nhiều thời gian, tiền bạc và công sức để khảo sát Vậy bài toánđặt ra là: Cần chọn kích thước mẫu tối thiểu là bao nhiêu để đạt được

độ chính xác mong muốn

1.3.1 Trường hợp ước lượng cho trung bình

Giả sử ta muốn ước lượng µ với sai số không quá ϵ cho trước và độ tin

cậy 1− α Ta biết rằng với xác suất 1 − α thì

Công thức trên chỉ áp dụng được khi biết σ Nhưng thông thường σ

không được biết Để khắc phục điều này, ta lấy sơ bộ một mẫu có kích

thước m > 30 để tính x và s Sau đó, trong công thức (1.1), ta sẽ thay σ bằng s Khi đó, n =⌈(z α s

)2⌉

≥ 30.

được thỏa mãn

Ví dụ 1.10 Ta muốn xây dựng một khoảng ước lượng cho khối lượng

trung bình của các gói đường được đóng bằng máy tự động với độ tin

cậy 99% Điều tra sơ bộ một mẫu cho ta x = 11, 8kg, độ lệch chuẩn đã hiệu chỉnh s = 0, 9kg Hỏi cần phải lấy kích thước mẫu tối thiểu là bao nhiêu để đạt được sai số không vượt quá 0, 1kg ?

Giải Từ giả thiết ta có x = 11, 8kg; s = 0, 9kg; ϵ = 0, 1kg; z α = 2, 58 Cỡ mẫu nhỏ nhất thỏa yêu cầu đề bài là n =⌈(z α s

ϵ

)2⌉

Ví dụ 1.11 Một cuộc nghiên cứu được tiến hành nhằm xác định lương

trung bình các luật sư giỏi ở Mỹ dựa trên một mẫu điều tra Hỏi cần lấymẫu với kích thước tối thiểu là bao nhiêu để sai số không vượt quá 100USD, với độ tin cậy được ấn định là 95% ? Biết rằng độ lệch tiêu chuẩn

1.3.2 Trường hợp ước lượng cho tỉ lệ

Giả sử ta muốn ước lượng tỉ lệ p với sai số không quá ϵ cho trước và độ

tin cậy 1− α Ta biết rằng với xác suất 1 − α thì

|F − p| ≤ z α

√

p (1 − p) n

Ví dụ 1.12 Một nhà nông học muốn ước lượng tỉ lệ nảy mầm của một

loại hạt giống

1) Với 1000 hạt đem gieo thì có 640 hạt nảy mầm Tìm khoảng ướclượng tỉ lệ hạt nảy mầm với độ tin cậy 90% Sai số ở đây là bao nhiêu ?2) Nếu muốn có khoảng ước lượng tỉ lệ hạt nảy mầm với độ tin cậy90% và sai số không vượt quá 0, 02 thì cần lấy mẫu với kích thước tối

thiểu là bao nhiêu ?

Giải 1) Từ giả thiết ta có n = 1000; f = 1000640 = 0, 64; z α = 1, 64 Vì

)

= (59, 98%; 68, 02%)

KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT

THỐNG KÊ

Trong chương này chúng ta sẽ đề cập đến một vấn đề rất quan trọngtrong Thống kê: Đó là vấn đề kiểm định giả thiết thống kê Nội dungcủa bài toán như sau:

Căn cứ trên các số liệu thu được, hãy cho kết luận về một giả thiếtthống kê nào đó mà ta quan tâm

Một giả thiết thống kê là một giả thiết về sự phân bố của tập hợpchính đang xét

Nếu phân bố đó được đặc trưng bởi các tham số (như giá trị trungbình, phương sai, ) thì giả thiết thống kê là giả thiết về tham số củaphân bố nó Một số thí dụ về giả thiết thống kê:

• Tập hợp chính có phân bố chuẩn với kỳ vọng là 3.

• Phương pháp điều trị A chữa khỏi 90% bệnh nhân.

• Tuổi thọ trung bình của hai loại bóng đèn A và B là như nhau.

Từ nay trở đi một giả thiết sẽ được hiểu là một giả thiết thống kê.Một qui tắc hay một thủ tục dẫn đến việc chấp nhận hay bác bỏ giảthiết đã nêu gọi là kiểm định (test) thống kê

Giả thiết được đưa ra kiểm nghiệm được kí hiệu là H0 và được gọi là

giả thiết không Đó là giả thiết là ta nghi ngờ và muốn bác bỏ Thường

đi kèm với giả thiết H0 là một đối thiết, ký hiệu H1 H1 sẽ được chấp

Như vậy, chúng ta sẽ quyết định bác bỏ giả thiết H0 nếu xác suất

xuất hiện một sự kiện quan sát được, tính trong điều kiện giả thiết H0

đúng, là “nhỏ”

Sau đây ta sẽ trình bày một số ví dụ để minh họa ý này

Ví dụ 2.1 Gieo một đồng tiền 1000 lần ta thấy xuất hiện mặt sấp 700

lần Ta nghi ngờ xác suất xuất hiện mặt sấp cao hơn mặt ngữa và nhiệm

vụ của ta là kiểm tra điều đó Gọi p là xác suất xuất hiện mặt sấp Như vậy, giả thiết H0 là p = 0, 5 và đối thiết H1 là p > 0, 5 Nếu giả thiết H0đúng, tức p = 0, 5, thì xác suất gieo 1000 lần đồng xu được 700 lần mặt sấp là C700

1000

1

2 1000 = 5, 067 × 10 −38 Giá trị xác suất này quá nhỏ nên ta có

thể bác bỏ H0 và chấp nhận H1

Ví dụ 2.2 Mọi cuộc nghiên cứu ở Mỹ cho biết trẻ em Mỹ ở độ tuổi đến

trường tiêu thụ trung bình 19,4 OZ sữa 1 ngày (OZ: chữ viết tắt củaounce, đơn vị đo lường Anh: 1 OZ = 28,35g)

Trong một mẫu ngẫu nhiên gồm 140 trẻ em, người ta tính đượclượng sữa trung bình chúng uống là 18,5 OZ với độ lệch tiêu chuẩn là6,8 OZ Điều này có cho phép ta kết luận là trung bình lượng sữa tiêuthụ ít hơn 19,4 OZ hay không ?

Giải Gọi µ là lượng sữa tiêu thụ trung bình của một đứa trẻ trong một

ngày Như vậy, giả thiết H0 là µ = 19, 4 và đối thiết H1 là µ < 19, 4 Nếu giả thiết H0 đúng, ta sẽ tính xác suất để trung bình mẫu X bé hơn hay bằng 18, 5.

Như đã biết, BBN X có phân bố chuẩn (hoặc xấp xỉ chuẩn) với kỳ

2 = 0, 0582.

Xác suất này không nhỏ lắm (thông thường xác suất bé hơn 0,05 mới

được xem là nhỏ) Do đó, ta chưa có cơ sở để bác bỏ H0 Nói cách khác,chúng ta chưa thể khẳng định lượng sữa tiêu thụ trung bình của trẻ ít

Trong khi đưa ra quyết định cho các tình huống tương tự như trên,

phải lựa chọn giữa hai giả thiết H0 và H1, ta có thể phạm hai loại sailầm:

• Bác bỏ H0 trong khi H0 đúng, mà ta gọi là sai lầm loại I.

• Chấp nhận H0 trong khi H0 sai, mà ta gọi là sai lầm loại II.

Sai lầm loại I tương tự như sai lầm của quan tòa khi kết án nhầmngười vô tội, còn sai lầm loại II tương tự như tha bổng người có tội.Một kiểm định thống kê được gọi là lý tưởng nếu làm cực tiểu cả sailầm loại I và sai lầm loại II Tiếc thay không tồn tại một kiểm định lý

tưởng như vậy Nếu ta làm giảm sai lầm loại I thì làm tăng sai lầm loại

II và ngược lại

Trong một xã hội văn minh, người ta có xu hướng thừa nhận việc kết

án nhầm người vô tội là một sai lầm nghiêm trọng hơn nhiều so với sailầm tha bổng kẻ có tội Trong bài toán kiểm định giả thiết cũng vậy Tacoi sai lầm loại I là nghiêm trọng hơn sai lầm loại II Thành thử người

ta cố định trước xác suất sai lầm loại I Xác suất của việc mắc sai lầm

loại I còn gọi là mức ý nghĩa, ký hiệu α Xác suất mắc sai lầm loại II được ký hiệu là β Con số 1 − β được gọi là lực lượng của kiểm định Lực

lượng của kiểm định là xác suất bác bỏ H0 khi H0 sai Thông thường α được lấy là 0, 05; 0, 02 và 0, 01 Trong tập hợp các kiểm định thống kê có cùng mức ý nghĩa α, thống kê nào có β nhỏ nhất được xem là tốt nhất.

Các kiểm định được sử dụng trong chương này đều đã được chứng minhmột cách chặt chẽ là các kiểm định tốt nhất

Cần lưu ý rằng khi kiểm định thống kê dẫn tới việc chấp nhận H0

thì β bằng bao nhiêu thì ta không biết Thành thử, việc chấp nhận H0được hiểu là các chứng cứ và số liệu đã có chưa đủ cơ sở để bác bỏ H0,cần phải được nghiên cứu tiếp

Các bước cần thiết trong việc tiến hành một kiểm định giả thiếtthống kê:

1 Phát biểu giả thiết H0 và đối thiết H1

2 Định rõ mức ý nghĩa α (xác suất mắc sai lầm loại I).

3 Chọn test thống kê

4 Chọn miền bác bỏ H0

5 Tính giá trị của test thống kê từ mẫu quan sát được

6 Kết luận bác bỏ hay chấp nhận H0 tùy theo giá trị của test thống

kê có rơi vào miền bác bỏ giả thiết hay không

2.2 Kiểm định giả thiết về giá trị trung bình

Giả sử X ∼ N(µ, σ2) Tập hợp chính ở đây là tập hợp tất cả các giá trị

của X Một mẫu có kích thước n bao gồm các giá trị X1, X2, , X n thu

được từ n quan sát độc lập từ X Ta muốn kiểm định giả thiết về µ.

2.2.1 Phương sai σ2 đã biết

Bài toán 2.1 Ta muốn kiểm định giả thiết H0với đối thiết H1như sau:

H0 : µ = µ0

H1 : µ ̸= µ0

ở đây µ0 là giá trị cho trước