Tín hiệu số xử lý dữ liệu chương 6

Faculty of Computer Science and EngineeringHCMC University of Technology 268, av.. Ly Thuong Kiet, District 10, HoChiMinh city NHANH FFT.

Faculty of Computer Science and Engineering

HCMC University of Technology

268, av Ly Thuong Kiet,

District 10, HoChiMinh city

NHANH (FFT)

DSP – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

§ Tính DFT: xác nh chuỗi N giá trị phức {X ) khi t trước chuỗi

)()

W n x k

X

N

n

kn N

1 0

) (

1 )

W k

X N

n x

N

k

kn N

FT IDFT

N j

0

2 2

1

0

2 2

) ( )

) ( )

(

) ( )

) ( )

(

N n

N

kn I

N

kn R

I

N n

N

kn I

N

kn R

R

n x n

x k

X

n x n

x k

X

Giải thuật tính DFT tối ưu mỗi phép tốntheo những cách khác nhau

k N

N k N

k N

N k N

W W

hoàn Tuần

W W

xứng Đối

=

−

=

+ + / 2

Phương pháp chia-trị

x(N-1)

… x(2)

x(1) x(0)

N-1

… 2

1 0

x(L-1,M-1)

… x(L-1,1)

x(L-1,0) L-1

x(2,0) 2

x(1,M-1)

… x(1,1)

x(1,0) 1

x(0,M-1)

… x(0,1)

x(0,0) 0

M-1

… 1

0

l m

DSP – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

(

) , ( )

, (

W m l x q

p X

Với:

x(n) : theo c t X(k) : theo hàng

lq N

Mpl N

mLq N

MLmp N

l mL q Mp

W( + )( + ) =

pl L

pl M N

Mpl N

mq M

mq L N

mqL N

Nmp N

W W

W

W W

W W

1

lp L L

l

M

m

mq M

lq

W q

,

(

10

)()

W n x k

X

N n

kn N

DFT M ñiểm F(l q) G(l q)

DFT L ñiểm X(p q)

123

Giải thuật 1

n = l + mL

k = Mp + q

DSP – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

§ Mô hình tính toán DFT ñi m thông qua việc tính DFT 3 iểm và DFT 2 iểm

§ Giải thuật tính FFT cơ số 2

ª Nếu N = r 1 r 2 r 3 …r v = r v → mô hình tính DFT có cấu trúc u (chỉ dùng 1 DFT r iểm)

ª r = 2 → FFT cơ số 2

ª Chọn M = N/2 v L = 2

x(5) x(3)

X(5) X(4)

Phương pháp chia-trị

DF

T 3

ñiểm

x(1)

W 6 lq

X(0) X(1) X(2)

X(3)

x(1) x(3) … x(N-1)

x(0) x(2) … x(N-2) l=0

) 1 2 ( 1

) 2 / (

()

2(

)()

(

1, ,

1,0)

()

(

N m

m k N N

m

mk N

old n

kn N even

n

kn N

N n

kn N

W m

x W

m x

W n x W

n x

N k

W n x k

X

2 /

1 , 0 )

( )

(

) ( )

( )

(

2 1

2 /

1 ) 2 / (

0

2 2

/

1 ) 2 / (

0 1

−

= +

k F W k

F

W m f

W W

m f k

X

k N

km N N

m

k N

km N N

m

2 / , , 1 , 0 )

( )

(

2 / , , 1 , 0 )

( )

(

2 2

1 1

2 /

2 /

N k

k F m

f

N k

k F m

N k

W + / 2 = −

F 1 (k), F 2 (k) tuần hoàn chu k N/2

−

= +

=

1 , ,

1 , 0 )

( )

( )

(

1 , ,

1 , 0 )

( )

( )

(

2 2

1 2

2 2

1

N k

N N

N k

N

k k

F W k

F k

X

k k

F W k

F k

X

DSP – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

1 , 0 )

( )

(

1 , ,

1 , 0 )

( )

(

2 2

2

2 1

1

N k

N

N

k k

F W k

G

k k

F k

−

= +

=

1 , ,

1 , 0 )

( )

( )

(

1 , ,

1 , 0 )

( )

( )

(

2 2

1 2

2 2

1

N N

N

k k

G k

G k

X

k k

G k

G k

x(1)x(3)

x(4)

x(N -2)

F 2 (0)

F 2 (1) F

2 (2)

F 2 (N/2-1)

x(N -2)

F 1 (0)

F 1 (1) F

1 (2)

F 1 (N/2-1)

D FT

N /2

ñ iể m

X(N/2-1)

G 1 (N/2-1)

X(N/2)

X(N/2+1)

X(N-1)

§ Ti p t c phân f1(n) và f2(n) thành các chuỗi N/4 ñi m

1,0)

12

()

(

1, ,

1,0)

2()

(

1, ,

1,0)

12

()

(

1, ,

1,0)

2()

(

4 2

22

4 2

21

4 1

12

4 1

11

N N N N

n n

f n

v

n n

f n

v

n n

f n

v

n n

f n

−

= +

−

= +

=

1 , ,

1 , 0 )

( )

( )

(

1 , ,

1 , 0 )

( )

( )

(

1 , ,

1 , 0 )

( )

( )

(

1 , ,

1 , 0 )

( )

( )

(

4 22

2 / 21

4 2

4 22

2 / 21

2

4 12

2 / 11

4 1

4 12

2 / 11

1

N k

N N

N k

N

N k

N N

N k

N

k k

V W

k V k

F

k k

V W

k V k

F

k k

V W

k V k

F

k k

V W

k V k

F

DFT N/4 ñiểm

DSP – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

x(4)x(6)x(1)

x(3)

x(5)x(7)

-1

X(0) X(1)

X(2)

X(3) X(4) X(5)

Bộ nhớ:

+ Vào : (a,b) – số phức+ Ra : (A,B) – số phức+ Có thể lưu (A,B) ñè lên (a,b)

è Chỉ cần N ô nhớ phức (2N ô nhớ thực)

è Tính toán tại chỗ

FFT cơ số 2

x(7) x(7)

x(7)

x(3) x(5)

x(6)

x(5) x(3)

x(5)

x(1) x(1)

x(4)

x(6) x(6)

x(3)

x(2) x(4)

x(2)

x(4) x(2)

x(1)

x(0) x(0)

x(0)

Bộ nhớ

Phân chia

Bộ nhớ

Phân chia

Bộ nhớ

111 111

111

011 101

110

101 011

101

001 001

100

110 110

011

010 100

010

100 010

001

000 000

000

Địa chỉ

Phân chia

Địa chỉ

Phân chia

Địa chỉ

§ Thứ t chuỗi dữ liệu vào sau khi phân (v-1) lần

ª Biểu diễn các chỉ số ở dạng nhị phân

ª Chuỗi sau khi phân chia sẽ là lấy theo thứ tự ñảo các bit

X(2)

X(1) X(4)

FFT cơ số 4

x(0)x(1)x(2)x(3)

x(4)x(5)x(6)x(7)

L = 4, M = N/4

N = 4v

x(4n)x(4n+1)x(4n+2)x(4n+3)

) , (

) 4

( )

, (

) 1 (

, , 1 , 0

3 , 2 , 1 ,

0 )

, ( )

, (

3 , 2 , 1 , 0 )

, ( )

, (

4

4

4 /

0

4 /

3

0

4

q p X

q p X

l m x

m l x

q

l W

m l x q

l F

p W

q l F W q

p X

N

N N

m

mq N

l

lp lq

) , 2 (

) , 1 (

) , 0 (

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

) , 3 (

) , 2 (

) , 1 (

) , 0 (

3 2 0

q F

W

q F

W

q F

W

q F

W

j j

j j

q X

q X

q X

q X

q N

q N

q N N

lp L L

l

M m

mq M

lq

W q

( )

, (

q N

W2

q N

W3

-j

-1

j -1

1 -1

j -1 -j

0 q 2q

3q

) , 0 (

) , 0 (

) , 0 (

1 0

1 0

1 0

1 0

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0

0 1

0 1

0 1

0

0 1

0 1

) , 3 (

) , 2 (

) , 1 (

) , 0 (

3 2 0

q F

W

q F

W

q F

W

q F

W

j

j

q X

q X

q X

q X

q N

q N

q N N

Biểu di n lại nhân ma trận

(3N/8)log 2 N : Nhân phức (giảm 25% vs FFT 2 ) Nlog 2 N : Cộng phức (bằng FFT 2 )

3vN/4 = (3N/8)log 2 N : Nhân phức (giảm 25% vs FFT 2 ) 12vN/4 = (3N/2)log 2 N : Cộng phức (tăng 50% vs FFT 2 )

Hiện thực các giải thuật FFT

§ FFT c số 2

ª Tính toán hìn ướm: (N/2)log 2 N lần

ª Hệ số quay W N k : ược tính một lần và lưu trong bảng

ª Bộ nhớ: 2N nếu muốn việc tính toán ược thực hiện tại chỗ

• 4N nếu muốn n giản hóa các tác vụ chỉ số và iều khiển; ng thời cho phép chuỗi nhập và xuất theo úng thứ tự

ª Cấu trúc hiện thực của giải thuật (qui t c vs bất qui t c)

ª Kiến trúc của các bộ DSPs (x lý song song các tác vụ)

1 0

) (

1 )

W k

X N

n x

N

k

kn N

DSP – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

Ứng dụng của các giải thuật FFT

x n

x

n x n

x n

x

2

) ( )

( )

(

2

) ( )

( )

(

* 2

* 1

(

) ( )

( 2

1 )

(

* 2

* 1

n x DFT n

x DFT k

X

n x DFT n

x DFT k

) (

) ( )

(

* 2

1 2

* 2

1 1

k N

X k

X k

X

k N

X k

X k

=

) (

)

*

k N

X n

x ←  →DFTN −

Ứng dụng của các giải thuật FFT

§ Tính DFT của chuỗi thực 2N iểm

) (

) ( )

(

* 2

1 2

* 2

1 1

k N

X k

X k

X

k N

X k

X k

=

1

0

2 2

1

0 1

1

0

) 1 2 ( 2 1

0

2 2

) ( )

(

) 1 2

( )

2 ( )

(

N

n

nk N

k N N

n

nk N

N

n

k n N N

n

nk N

W n x W

W n x

W n

g W

n g

k G

1 ,

, 1 , 0 )

( )

( )

(

1 ,

, 1 , 0 )

( )

( )

(

2 2

1

2 2

−

= +

=

N k

k X

W k

X N

k G

N k

k X

W k

X k

G

k N

k N

Κ Κ

DSP – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

Ứng dụng của các giải thuật FFT

§ Lọc tuyến tính các chuỗi dữ liệu dài

ª Overlap add

ª Overlap save

§ Phương pháp

ª h(n) – Đáp ứng xung n vị của bộ lọc (chiều dài M)

• Được m thêm L-1 số không sao cho N = L + M – 1 = 2 v

• H(k): DFT N iểm của h(n), theo thứ tự o nếu h(n) ược s p theo thứ tự thuận (Giải thuật FFT suy giảm theo tần số)

ª x m (n) – khối dữ liệu chiều dài L ( ã ược phân c t)

• Được m thêm M–1 iểm (giá trị tùy theo PP lọc ược dùng)

• X m (k): DFT N iểm của x m (n), cũng theo thứ tự o (Giải thuật FFT suy giảm theo tần số)

ª Y m (k) = H(k)X m (k)

• H(k) và X m (k) cùng có thứ tự o → Y m (k) theo thứ t o

• y m (n) = IDFT N {Y m (k)} s úng theo thứ tự thuận nếu dùng giải thuật FFT suy giảm theo thời gian

ª Không cần thiết o vị trí các dữ liệu trong việc tính DFT và IDFT

§ Tính tương quan (tương tự)

+ FFT

Ph ương pháp lọc tuyến tính

§ FFT không hiệu quả khi tính DFT (IDFT) tại một s iểm (< log2N) →

tính trực tiếp

§ Giải thuật Goertzel

ª Dựa vào tính chu k của W N k và biểu diễn việc tính toán DFT như lọc tuyến tính

N n k

kn N k

k N

m

m n k N k

N

m

m N k N N

m

km N

kN N

n y k

X

n u W

n h vói

n h n

x W

m x n

y

t

W m x W

m x W

(

) ( )

(

) (

* ) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

1

0

) (

1

0

) (

( − −

−

=

z W

z

N k

Một pole trên vòng tròn ñơn vị tại tần số ωk=2πk/N

0 )

1 ( )

( )

1 (

)

k k

k N

DSP – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

Gi i thuật Goertzel

§ K t h p từng cặp cá ộ cộng hưởng có pole liên hợp phức

§ Hiện thự ằng dạng chuẩn t c (dạng II)

ª Với /k u

§ v k (n) ược lặp lại cho n = 0, 1, …, N

ª Mỗi vòng cần 1 phép nhân thực

§ y k (n) ược tính duy nhất một lần cho n = N

§ Nếu x(n) là t/h thực, cần N+1 phép nhân thực tính X(k) và X(N-k) {do tính

i xứng}

§ Giải thuật Goertzel chỉ thích hợp khi số giá trị DFT cần tính khá nhỏ (≤ log 2 N)

N n

n v W n

v n

y

N n

n x n

v n

v n

v

k

k N k

k

k k

N

k k

) ( )

(

, , 1 , 0 )

( )

2 (

) 1 (

2 )

0 )

2 ( )

1

) / 2 2

1

1 )

N k

z

W z

H

k N k

Z –1

Z –1

+

k n

W

((

(

Giải thuật BĐ Chirp-z

§ DFT N ñi m ~ X(z k ) với z k = e j2πkn/N , k=0,1, ,N-1 (các iểm cách u trên

vòng tròn n vị)

§ BĐ Z của x(n) tại các iểm z k

§ Nếu z k = re j2πkn/N (z k l N iểm cách u nhau trên vòng tròn bk r)

ª Việc tính DFT có thể ược thực hiện bằng giải thuật FFT cho chuỗi x(n)r -n

hoặc i ra gốc tạa )

1 , ,

1 , 0 )

( )

z n x z

X

N

n

n k k

1 , ,

1 , 0 )

( )

e r

n x z

X

N n

N kn j n

k

0

0 0

je r

z =

1 ,

, 1 , 0 )

DSP – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

Giải thuật BĐ Chirp-z

, , 1 , 0 )

( ) ( )

(

) )(

( )

(

) (

1 ,

, 1 ,

0 )

(

)

( )

(

1

0

2 / 0

2 / 0

2 0

2 0

n k

h n g k

y

V e

r n x n

g

V n

h

e R V

L

k k

h

k

y z

X

N n

n n

j n

j k

Κ Κ

n j n

n j n

j

e e

e n

) ( 1

2 /

Giải thuật BĐ Chirp-z

§ Xác ñịnh t ng chập vòng của chuỗi g(n) N iểm và chuỗi h(n) M iểm (M > N)

ª N-1 iểm u là các iểm lặp lại

ª M-(N-1) iểm còn lại chứa kết quả

§ Giả s M = L + (N-1)

§ M ñi m của chuỗi h(n) ược xác nh –(N–1) ≤ n ≤ (L–1)

§ Định nghĩa chuỗi M iểm h 1 (n) = h(n–N+1) n = 0,1,…,M–1

§ H 1 (k) = DFT M {h 1 (n)}

§ G(k) = DFT M {g(n)} (sau khi ã m thêm vào g(n) L-1 số 0)

§ Y 1 (k) = G(k)H(k) → y 1 (n) = IDFT{Y 1 (k)} n = 0,1,…,M–1

§ N-1 iểm u tiên của y 1 (n) là các iểm lặp → loại bỏ chúng

§ Các iểm kết quả là giá trị của y 1 (n) khi N-1 ≤ n ≤ M–1

ª y(n) = y 1 (n+N-1) n = 0,1,…,L-1

§ X(z k )= y(k)/h(k) k = 0,1,…,L-1

1 ,

, 1 , 0 )

( ) ( )

n k

h n g k

y

N n

Κ