ª Điểm không Zero – Điểm cực Poleª Pole và t/h nhân quả trong miền thời gian ª Mô tả h/t LTI bằng hàm hệ thống ª Phương pháp tích phân ª Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa ª Phư
Trang 1Faculty of Computer Science and Engineering
HCMC University of Technology
268, av Ly Thuong Kiet,
District 10, HoChiMinh city
Trang 2ª Điểm không (Zero) – Điểm cực (Pole)
ª Pole và t/h nhân quả trong miền thời gian
ª Mô tả h/t LTI bằng hàm hệ thống
ª Phương pháp tích phân
ª Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa
ª Phương pháp phân rã thành các hữu tỉ
Trang 3§ Tổng quát
Chỉ quan tâm X(z) tại những ñiểm z thuộc ROC
Trang 4• T/h RRTG x(n) ñược xác ñịnh duy nhất bởi biểu thức BĐ Z và ROC của nó
• ROC của t/h nhân quả là phần ngoài của vòng tròn bán kính r 2 , trong khi ROC của t/h phản nhân quả là phần trong của vòng tròn bán kính r 1
a z
ROC
az
z X a
z e i az
Khi
az z
n x z
( ),
( 1
) (
) ( )
(
1 1
0
1
a z
ROC
az z
a
z a z
X a
z e i z
a Khi
z a z
a z
n x z
) ( ),
( 1
) (
) (
) ( )
(
1 1
1 1
1 1 1
Trang 5Biến ñổi Z
§ BĐ Z một phía
Re Img
Vành khuyên
r 1 > │z│> r 2
2 bên Mpz \ {0 ∞}
2 bên
│z│< r 1
Phản nhân quả (t/h bên trái) [x(n)=0 n>0]
ROC T/h
T/h vô hạn T/h hữu hạn
(
n
n
z n x z
X
§ ROC của các t/h
Trang 6k dz
z
j C
k n
0
1 2
n
dz z
k x dz
z z
) ( 2
) ( )
n jx dz
z k x dz
z z X
Trang 7) ( )
) ( )
( )
( )
( )
( )
( n ax1 n bx2 n X z aX1 z bX2 z
a z
ROC az
z X n
u a n
( )
( )
1
b z
ROC bz
z X n
u b n
( )
1 (
)
2
b z
a ROC
bz az
z X z
X z
X n
x n
x n
1 )
( )
( )
( )
( )
( )
Trang 8Biến ñổi Z – ính chất
§ Dịch theo thời gian
⇒
§ ROC của việc kết hợp các BĐ Z
ª Nếu kết hợp tuyến tính của các BĐ Z có khoảng thời gian hữu hạ ROC của BĐ Z ñược xác ñịnh bởi bản chất hữu hạn của t/h này mà không phải ROC của các BĐ riêng lẻ
ª Ví dụ
Mặt khác có thể biểu diễn x(n) = u(n) – u(n–N)
X(z) = Z{u(n)} – Z{u(n–N)} = (1–z -N )Z{u(n)}
) ( )
) ( )
(
) (
k
k ROC
ROC
z X z
k n
x
n x
k z
x
0
10
1)
(
0 1
1
1
1 )
(
1
) 1 ( 1
1 0
mpz ROC
z z
z
z N
z z
z z
+ +
Trang 9) ( )
2 1
( )
(
r a z
r a ROC
phuc hay
thuc a
z a X n
) ( (
1
w X n
x a Z
z X n
x Z z
a w
re z
e r a
n j
z a w
mpz
quay r
gian
r
co bien
=a –1 z
Trang 10Biến ñổi Z – ính chất
§ Đảo thời gian
⇒
ª Ý nghĩa
• ROC x(n) là nghịch ñảo của ROC x(–n)
• Nếu z 0 ∈ ROC x(n) , 1/z 0 ∈ ROC x(–n)
§ Vi phân trong miền Z
⇒
2 1
) ( )
1 2
) (
)
(
r
z r
ROC z
X n
) ( )
n
) ( ← → −
Trang 11) ( )
( )
( )
(
* ) ( )
( n x1 n x2 n X z X1 z X2 z
) ( )
Trang 12Biến ñổi Z – ính chất
§ Tương quan
⇒
§ Việc tính tương quan giữa 2 t/h ñược thực hiện dễ dàng nhờ BĐ Z
§ Ví dụ xác ñịnh chuỗi tự tương quan của t/h x(n) = a n u(n) (|a| < 1)
) ( )
) (
) ( )
( )
( ) ( )
2 1
2
2 1
) ( )
a z
ROC az
z X n
u a n
()
()
a
z
ROC az
z
1
1)
ROC
a z
z a az
az
z X z X z
R xx
1
)(
1
11
11
1)
()()
<
<
++
(
Trang 13Biến ñổi Z – ính chất
u u l
l
u l
u l
u l
r r z
r r tu hoi z
X do Do
r v
z r
tu hoi v
z X
r z
r tu hoi z
X
r v
r tu hoi v
X
2 1 2
1
2 2
2
2 2
2
1 1
1
) ( ,
) / (
) (
) (
) / 1 ( )
( ,
0
) ( )
( 2
1 )
( )
( ) ( )
(
2 1
1 2
1 2
1
v X
va v
X cua chung
ROC thuoc
goc quanh
dong bao
C
dv
v v
z X
v
X j
z X n
x n x n
Trang 14* )
(
) ( )
* (
* )
( 2
Trang 15Biến ñổi Z hữu t – zero pole
Biến ñổi Z hữu tỉ– zero pole
§ Zero của BĐ X(z): các giá trị z sao cho X(z) = 0
§ Pole của BĐ Z: các giá trị của z sao cho X(z) = ∞
§ ROC không chứa bất kỳ pole nào
§ Ký hiệu trên mpz: zero – vòng tròn (o) và pole – chữ thập (x)
1
.01
1)
1 )
z z
X
Trang 16Biến ñổi Z hữu t – zero pole
Biến ñổi Z hữu tỉ– zero pole
§ Biến ñổi Z d ng h u t
ª Rất hữu ích ñể phân tích hệ RRTG
ª Việc xét tính chất hay thiết kế hệ có tính chất nào ñó → chỉ cần
quan tâm trên vị trí của các ñiểm zero pole
++
++
M
k
k k
N N
M M
z a
z b z
a z
a a
z b z
b b
z D
z N z
X
0
0 1
1 0
1 1
0
)(
)()
(
ΛΛ
0 0
1
0 0
1
1
1 0
a
a N
b M b M
b
b M M N
N
z z
z
z z
a
b z
X
++
+
++
N
N
M M
N
p z
z z Gz
p z p
z p z
z z z
z z z Gz
z X
1
1 2
1
2 1
) (
) (
) (
) )(
(
) (
) )(
( )
(
Κ Κ
0
0
a b
G ≡
Trang 17Biến ñổi Z hữu tỉ – zero & ế ñổ ữ ỉ &
§ D ng hữu tỉ t zeros poles
))(
(
)(
))(
()
(
2 1
2 1
N
M M
N
p z p
z p z
z z z
z z z Gz
z X
%Tim Huu ti, zplane: zpm.m
M=8;
% -a=0.8;
p=zeros(M,1);
z=zeros(M,1);
for k=1:M, z(k,1)=a*exp((j*2*pi*k)/M);
Trang 180 1
1 )
−
=
z z
X
Trang 19ế ñổ ữ ỉ
§ Vị trí pole và hành vi của t/h nhân quả ở miền thời
gian
ª Vị trí pole ảnh hưởng tính chất bị chậ phân kỳ của tín
hiệu nhân quả ở miền thời gian
ª Vị trí pole quyết ñịnh tính ổn ñịnh của hệ thống nhân quả
ª Tính chất của tín hiệu ở miền thời gi trong trường hợp pole nằm ngoài hay trong hay trên v ng tr ñơn vị qua những ví dụ sau
Trang 20ế ñổ ữ ỉ
Trang 21ế ñổ ữ ỉ ị
Trang 23ª H(z): ñặc trưng cho h/t trong miền Z
ª h(n): ñặc trưng cho h/t trong miền TG
2 (
1
1 1
1 )
(
1
1 )
(
1
1 )
(
1 1
1 3 1
1 2 1
1 3 1
1 2 1
z z
z Y
z
z X
z
z H
z
y(n) = x(n)*h(n) Y(z) = X(z) H(z)
h z
X
z Y z
)(
)()
(
BĐ Z hữu tỉ – Hàm h/t của hệ LTI
Trang 24k y n k b x n k a
n
y
0 1
) (
) (
k k
M k
k k
z a
z b z
H z
X
z Y
1
0 1
)
( )
(
) (
H
0 0
1 )
(
1 1
a
z b z
a
b z
k
k N k
N
N
k
k k
BĐ Z hữu tỉ – Hàm h/t của h LTI
Trang 25ª Khai triển thành chuỗi theo biến z và z–1
ª Khai triển phân số cục bộ và tra bảng
Biến ñổi Z ngược
ROC thuoc
O goc quanh
dong bao
C
dz z
z
X j
1 )
=
Trang 26Biến ñổi Z ngược
§ Phương pháp tích phân trực tiếp
ª Định lý thặng dư Cauchy
z f
j C
0
0 0
) ( )
( 2
z
C trong bên
z dz
z f d
k
dz z
z
z f
k k
0
0 1
1 (
1 )
(
) ( 2
1
0
Trang 27Biến ñổi Z ngược
C trong z
pole cac
i n
z tai z
z X cua du
thang
dz z
z
X j
n x
1
1 1
) ( ) (
) (
)
( 2
1 )
(
§ Giả sử f(z) không có pole trong bao ñóng C và ña thức g(z) có các
nghiệm ñơn riêng biệt z 1 z 2 … z n trong C
§ Biến ñổi Z ngược
)(
)()(
)
(
z g
z f z z z
n
i C
n
i C
z A
dz z z
z A j
dz z
z
z A j
dz z g
z f j
1 1
1
)(
)
(2
1
)
(2
1)
(
)
(2
1
Trang 28Biến ñổi Z ngược
n
dz a z
z j
dz az
z j
n
x
2
1 1
2
1 )
0
1
1 )
(
1 2
1 )
C z z a dz z a z j
x
0
1
1 )
(
1 2
1 )
d dz
a z
z j
x
Trang 29Biến ñổi Z ngược
ª D a vào tính duy nhất của BĐ Z nếu X(z) ñược
X ( )
Trang 30Biến ñổi Z ngược
1 1
1 )
z X
Λ + +
+ +
= +
2 4
1 2
3 2
5 0 5
1 1
1 )
z z
z X
Λ + +
+
= +
1 1
1 )
z z
z X
Trang 31Biến ñổi Z ngược
§ PP khai triển phân số cục bộ và tra bảng
N N
M M
z a z
a
z b z
b b z
D
z N z
−
−
+ + +
+ + +
1 1 0
1 )
(
) ( )
(
) (
)
( )
(
) ( )
1 0
z D
z N z
c z
c
c z
D
z N z
−
− Λ
N N
N
M N M N
N
N N
N
M N M N
N
N N
M M
a z
a z
z b z
b z
b z
z X
a z
a z
z b z
b z
b
z a z
a
z b z
b b z
D
z N z
X
+ + +
+ + +
=
+ + +
+ + +
=
+ + +
+ + +
1 1
1 2
1
1 0
1 1
1 1 0
1 1
1 1 0
) (
1 )
(
) ( )
(
Trang 32Biến ñổi Z ngược
§ Khai triển phân số cục bộ
A p
z
A p
z
A z
z X
1
) (
k
p z
k k
z
z X p z A
A p
z
A p
z
A p
z
A p
z
A p
z
A z
z X
) (
)
(
2
2 1
2
2 1
1
l
i z
z X p
z dz
d p
i l
A
k
p z
l k i
l
i l k
) (
Trang 33Biến ñổi Z ngược
§ Tìm BĐ Z ngược của từng phân số cục bộ
2
2 1 1 1
1
1 1
1 )
A z
p z
A z
p
A z
X
N N
) 1 (
) (
) (
) ( )
( 1
1
1
1
qua nhân
phan p
z ROC n
u p
qua nhân
p z
ROC n
u p z
p
Z
k
n k
k
n k
k
) ( ) (
) (n A1p1 A2p2 A p u n
x = n + n + Λ + N N n
) ( ) ( )
( )
n u p
A p
A n
x k = k k n + k k n
k k
k k
n k k k
k k
z p
A z
2 1
1 1
1
1
*
* 1
j k k
e r p
e A A
b a
p z
ROC n
u
np pz
1
1 1
Trang 34Biến ñổi Z ngược
§ Xác ñịnh biểu thức khai triển của
2 1
1
5 0 1
1 )
z z
X
2
3 2
1 2
2
3 2
1 1
2
2 1
1
2
1 2
1 2
2
1 2
1 1
) (
j A
j A
p z
A p
z
A z
z X
j p
j p
1)( 1 ) 1
(
1 )
− +
=
z z
z
X
2
1 3
4
3 2
4
1 1
2
3 2
1
, ,
) 1 (
1 1
) (
=
A A
A
z
A z
A z
A z
z X
Trang 35§ Phân rã BĐ Z hữu tỉ
ª Dùng trong việc hiện thực các h/t RRTG (các chương sa
ª ả ử BĐ Z ñược biểu diễn (ñể ñơn giản a 0 ≡1)
ª ế M ≥ N X(z) có thể ñược biến ñổi thành
ª Nếu X pr (z) có các pole ñơn riêng biệt, X pr (z) ñược phân rã thành
ª Nếu X pr (z) có nghiệm phức (liên hợp), các nghiệm liên hợp này ñược nhóm lại ñể
=
N k
k
M k
k N
k
k k
M k
k k
z p
z z b
z a
z b z
X
1
1 1
(
) 1
( 1
) (
) ( )
(
0
z X
z c z
N M
1 1
1 1 0 1
p
A pz
* 1
1 0
) 2
) 2
) 2
p a
Ap b
p a
A b
1 1
2
2 1
1
1
1
1 1
1 1
1 )
− +
A z
p
A z
p A
z X
N N
Trang 36N K
K
z a z
a
z b b
z a
b z
c z
X
K
k k
K
k
N M
k
k k
= +
+ +
+ +
1 1
0
0
2 1
1 1
) (
Biến ñổi Z ngược
với
Trang 37Biến ñổi Z ngược
§ Phân rã BĐ Z hữu tỉ
ª X(z) có thể ñược biểu diễn dưới dạng tích
ª Các pole phức (liên hợ và các zero phức (liên hợp) ñược kết hợp
ñể tránh hệ số phức cho phân rã của X(z)
ª Để ñơn giản, cho M = N, X(z) ñược biểu diễn thành
N K
K ñó
trong
z a z
a
z b z
b z
a
z
b b
z X
K
k k
K
k
=+
++
++
2 2
1 1
1 0
2 1
1
11
1)
++
1 2
2 1
2 2
1 1
2 2
1 1 1
* 1
1
* 1
)2
)2
1
1)
1)(
1(
)1
)(
1(
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
p a
p
a và
z b
z
b ñó
trong
z a z
a
z b z
b z
p z
p
z z z
z
Trang 38Biến ñổi Z m t phía
§ Giới thiệu
ª Trong kỹ thuật tác ñộng thường bắt ñầu từ thời ñiểm n 0 nào ñó
Đáp ứng cũng thường bắt ñầu từ n 0 và các thời ñiểm sau n 0 với
ñiều kiện ñầu nào ñó
ª Biến ñổi Z một phía (Z ) chỉ quan tâm ñến phần tín hiệu x(n), n ≥0
§ Định nghĩa
§ Ký hiệu Z {x
ª + ( ) không chứa thông tin của x(n) khi n < 0
ª BĐ Z chỉ là duy nhất ñối với t/h nhân quả
(
n
n
z n x z
X
) ( )
x ← →z+ +
Trang 39Biến ñổi Z m t phía
x ← →z+ +
0 )
( )
( )
(
1
>
− +
n x
z X
z k
n x
k
n
n k
z
0 )
( )
( n − k ← →+ z− X + z k >
0 )
( )
( )
+
k z
n x z
X z
k n
x
k
n
n k
z
) ( )
1 (
+
→
∞
Trang 40Biến ñổi Z m t phía
§ Giải PTSP
ª Dùng BĐ Z ñể giải PTSP với ñiều kiện ñầu khác 0
ª Phương pháp
ª Ví dụ xác ñịnh ñáp ứng bước của hệ y(n) = ay(n–1) ( ( < 1) với ñ/k ñầu y(–1) = 1
Y + (z) = a[z –1 Y + (z) + y(–1)] + X + (z)
)()1
(1
1)
(1
1)()
(
1
11
11
)(1
1)
(
2
1 1
1 1
1 1
n u
a a
n
u a
a n
u a n
y
z az
az
a z
Y
z
z X
n
n
+ +
−
−
− +
− +
Trang 41§ Tìm ñáp ng của t/h x(n) ñối với một h/t LTI
ª Biết ñáp ứng xung ñơn vị h(n)
−
−
k k N
k
a n
y
0 1
)(
)(
)(
Trang 42• Không thể ước lược giữa B(z)N(z) và A(z)Q(z)
pole bội
) (
) ( )
( )
(
) ( )
(
z Q
z N z
X và
z A
z B z
)()(
)()()
()()
(
z Q z A
z N z B z
X z H z
k
z q
Q z
p
A z
Y
) (
k
n k
A n
y
1 1
)()()
()()
(
Trang 43Phân tích h LTI
§ Tìm ñáp ng của t/h x(n) ñối với một h/t LTI có ñ/k ñầu
ª Biết ñáp ứng xung ñơn vị h(n)
ª Biết các ñ/k ñầu của h/t
Trang 44Phân tích h LTI
ª Cho t/h x(n) nhân quả và các ñ/k ñầu y( 1), y( , … y(
ª Đ Z+ cả 2 vế và X+(z) = X(z)
ª Đáp ứng gồm 2 phần
• Đáp ứng trạng thái không Y zs (z) = H(z)X(z) (công thức phần trước)
• Đáp ứng không ngõ nhập (p 1 , p 2 , …, p N là pole của A(z))
−
−
k k N
k
k y n k b x n k a
n y
0 1
) (
) (
) (
−
−
≡ +
=
+
−
− +
=
k
n
n N
k
k k
N
k
k k
k
n
n N
k
k k
N
k
k k
M
k
k k
z n y z
a z
N z
A
z N z
X z H
z a
z n y z
a z
X z a
z b z
Y
1 1
0 0
1
1 1
1 0
) ( )
( )
(
) ( )
( ) (
1
)
( )
( 1
) (
Z
z A
z N z
Y
1
) (
) ( )
(
) (
) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
'
k k
k L
k
n k k N
k
n k
k p u n Q q u n A A D A
Trang 45fr n Q q u n
y
1
)()()
y
1
)()()
(
Trang 46§ Đáp ứng ñều và tiệm cận
ª Xác ñịnh ñáp ứng ñều và tiệm cận của h/t mô tả bởi PTSP
y(n) = 3y(n–1) + x(n) khi t/h nhập là x(n) = 2sin( πn/4)u(n)
H/t có ñ/k ñầu bằng 0.
§ Ổn ñịnh và nhân quả
ª Cho h/t LTI ñược ñặc trưng bởi hàm h/t
Đặc tả ROC của H(z) và xác ñịnh h(n) trong các trường hợp
1 2
1
1
31
21
15
.15
.31
43
−
−
=
z z
z z
z z
H