sử dụng số phức để nghiên cứu các phép biến đổi mobius

Trong chương 3, em sẽ trình bày một số ứng dụng của số phức như phép quay, tích thực của các số phức,… vào việc giải các bài toán hình học phẳng... Vì 1 cos 0 isin 0, từ công thức tìm

KHOA TOÁN

 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ NGHIÊN CỨU

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI MOBIUS

GVHD : Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện

SVTH : Võ Thanh Hải

Lời mở đầu 1

CHƯƠNG 1 : MỘT SỐ LÝ THUYẾT CƠ BẢN 2

I TỔNG QUAN VỀ SỐ PHỨC 2

1 Biễu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ 2

2 Tọa độ liên hợp 2

3 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức 2

4 Vectơ và số phức 2

5 Các phép toán số phức 3

6 Căn bậc n của đơn vị 5

II NHỮNG PHÉP BIẾN HÌNH CƠ BẢN 5

1 Phép biến hình 5

2 Phép tịnh tiến 6

3 Phép quay 6

4 Phép vị tự 6

5 Hệ thức giữa ba điểm 7

6 Đối xứng trục 7

7 Phép nghịch đảo 8

8 Điểm vô tận trong mặt phẳng Gauss 8

9 Tích của các phép biến hình 8

10 Phép đối hợp 10

III TỈ SỐ KÉP 10

1 Định nghĩa và giải thích 10

2 Các tính chất 11

3 Trường hợp có một điểm ở vô tận 11

4 Tỉ số kép thực 12

IV ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 12

1 Đường thẳng 12

2 Đường tròn 14

Chương 2: NHỮNG PHÉP BIẾN ĐỔI TRÒN 15

I NHỮNG TÍNH CHẤT CHUNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TRÒN 15

3.Tính bất biến của tỉ số kép 18

4 Phép biến đổi tròn 19

5 Sự bảo toàn góc 19

6 Tích hai phép biến đổi tròn 20

7 Nhóm tròn của mặt phẳng 21

8 Định nghĩa 21

II PHÉP ĐỒNG DẠNG 21

1 Định nghĩa 21

2 Các tính chất 22

3 Tâm của phép đồng dạng 23

4 Xác định một phép đồng dạng 24

5 Nhóm các phép tịnh tiến 25

6 Nhóm các phép dời hình 25

7 Nhóm các phép tịnh tiến và các phép vị tự 26

8 Đồng dạng hoán vị 27

9 Đồng dạng đối hợp 27

III PHÉP BIẾN ĐỔI TRÒN KHÔNG ĐỒNG DẠNG 28

1 Các điểm giới hạn 28

2 Các điểm bất biến 29

3 Phân tích một phép biến đổi tròn khác phép đồng dạng 32

4 Định nghĩa 32

IV PHÉP ĐỐI HỢP MOBIUS 33

1 Phương trình 33

2 Điều kiện đủ 33

3 Các tính chất 33

4 Xác định một phép đối hợp 34

CHƯƠNG 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP 36

I Một số vấn đề cơ bản 36

1 Ứng dụng phép quay quanh một điểm 36

4 Tam giác đều 40

5 Tích thực của hai số phức 43

II Toán tổng hợp 44

Tài liệu tham khảo 70

L ời mở đầu

Số phức xuất hiện từ đầu thế kỉ XIX do nhu cầu phát triển của Toán học về giải

các phương trình đại số Từ khi ra đời, số phức đã thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ

và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học, kĩ thuật Hình học xuất hiện trong cả

Toán học và Vật lí, thậm chí cả trong kinh tế cơ bản Nhiều vấn đề của Hình học được

đơn giản hóa một cách kì diệu khi nhìn dưới góc độ của số phức và việc ứng dụng số

phức vào nghiên cứu Toán học nói chung và Hình học nói riêng đã được tiến hành từ

lâu và đã thu được nhiều kết quả quan trọng

Trong đề tài của mình em sẽ trình bày một số ứng dụng của số phức trong hình

học Ở chương 1 là một số vấn đề lí thuyết cơ bản của số phức thường được sử dụng

trong việc giải toán hình học

Chương 2, tập trung trình bày các phép biến đổi tròn như : phép biến đổi

Mobius, nhóm các phép đồng dạng, phép biến đổi tròn không đồng dạng, phép đối

hợp Mobius

Trong chương 3, em sẽ trình bày một số ứng dụng của số phức như phép quay,

tích thực của các số phức,… vào việc giải các bài toán hình học phẳng

CHƯƠNG 1 : M ỘT SỐ LÝ THUYẾT CƠ BẢN

Xét số phức z  x iy ( ,x y   )

Trong mặt phẳng cho hai trục tọa độ Ox , Oy vuông góc nhau Điểm Z x y( , ) được

gọi là điểm biểu diễn, hay là ảnh hình học (ảnh) của số phức z

Ngược lại, với mỗi điểm thực Z x y trong mặt phẳng tọa độ cho ta duy nhất một 1( , )1 1

số phức z1 x1iy1, z được gọi là tọa độ phức của điểm 1 Z 1

Mặt phẳng mà trong đó mỗi điểm thực được xem như ảnh của một số phức được

gọi là mặt phẳng Gauss, mặt phẳng Cauchy, hoặc là mặt phẳng biến phức

10 Tr ục Ox là quỹ tích ảnh của các số thực Trục Oy là quỹ tích ảnh của các

s ố ảo Đó là lí do tại sao Ox và Oy thỉnh thoảng được gọi là trục thực và trục ảo của

mặt phẳng Gauss

20 S ố –z là t ọa độ phức của điểm đối xứng với điểm Z qua gốc tọa độ O

Số phức liên hợp với z   luôn xác định và được kí hiệu z x iy   đọc là “x iy

z ngang” Ảnh Z của số phức z là điểm đối xứng với điểm Z qua trục Ox

Cho một số phức z   , ta có thể viết x iy z ở dạng lượng giác

(cos sin ),

z r qi q

trong đó r  x2y2  [0, ) được gọi là mođun của z và q [0,2 )p là số đo của góc giữa vectơ OZ và trục Ox theo chiều dương được gọi là argument của z

* Sử dụng công thức Euler cosq isinq e iq

Số phức z   có thể được viết như sau x iy z re iq được gọi là dạng mũ của z Khi z  , ta chọn 0 r  và q tùy ý 0

Ta có

i

z re q

4 Vectơ và số phức

Ảnh Z của số phức z được xác định khi ta biết vectơ OZ, tọa độ vectơ của Z đối

với cực O Khi đó nói rằng z được biểu diễn bởi vectơ này Số phức và vectơ có

môđun bằng nhau và ta có thể nói rằng argument của số phức cũng chính là argument

N ếu các số phức z z được biểu thị bởi các vectơ 1, 2 OZ OZ 1, 2 thì hi ệu số

1 2

z   z z được biểu thị bởi hiệu số hình học

N ếu các số phức z z được biểu thị bởi các 1, 2

argument c ủa vectơ OZ2

Khi đó arg z   q1 và mođun của q2 z là r r1 2 OZ OZ1 2

Ta lấy điểm U trên trục Ox có hoành độ 1 Điểm Z mà ta tìm kiếm chính là

đỉnh thứ ba trong tam giác OZ Z đồng dạng với tam giác 1 OUZ với 2



được biểu thị bởi vectơ OZđược tạo ra từ vec tơ OZ1 như sau:

10 Quay OZ1quanh O m ột góc bằng

v ới arg(OZ2);

20 Chia vectơ vừa thu được cho

mođun của vectơ OZ2

Điểm Z là đỉnh thứ ba của tam giác OZ Z đồng dạng với tam giác 1 OZ U 2

Như vậy ta đã thực hiện phép chia như là trường hợp ngược lại của phép nhân

6 Căn bậc n của đơn vị

Xét số nguyên dương n  và một số phức 2 z  Phương trình 0 0

Căn bậc n của z gồm 0 n nghi ệm phân biệt được cho bởi công thức

n k

M ột nghiệm của phương trình Z   gọi là một căn bậc n 1 0 n c ủa đơn vị

Vì 1 cos 0 isin 0, từ công thức tìm căn bậc n của số phức ta suy ra căn bậc n

Phép đặt tương ứng với mỗi điểm Z cho duy nhất một điểm Z  trong mặt phẳng

Gauss tạo thành một phép biến hình trong mặt phẳng và được kí hiệu là w

Ta chỉ xét đến một phép biến hình mà trong đó

10 với mỗi điểm Z có tương ứng một điểm duy nhất Z  ;

20 mỗi điểm Z  là sự tương ứng của một điểm Z

Như vậy phép biến hình w là m ột - một; điểm Z  là tương ứng của điểm Z

Phép đặt tương ứng mỗi điểm Z  với điểm Z được gọi là phép biến hình ngược của

w, kí hiệu w 1

Phương trình của một phép biến hình w là sự liên hệ giữa tọa độ phức z của điểm

Z tùy ý trong mặt phẳng và tọa độ phức z của điểm Z  tương ứng với Z

Gọi A là một điểm cho trước với tọa độ phức là a, và

đặt a là một số thực cho trước, dương, bằng 0, hoặc

âm Phép quay quanh A một góc có giá trị đại số a,

mỗi điểm Z trong mặt phẳng cho ta một điểm Z

Một điểm A cho trước của tọa độ phức a

và một số thực k  , âm hoặc dương Nếu ta đặt 0

một trục tùy ý trên đường thẳng chứa điểm A và

một điểm Z bất kì, lấy điểm Z  bất kì trên trục sao cho ta có hệ thức

AZ





thì Z  gọi là ảnh của Z qua phép vị tự tâm A tỉ số k

Khi đó phương trình của phép vị tự là

z kz a (1 k)

Ba điểm cho trước , , A B C với các tọa độ phức

l ần lượt là , , a b c nếu AB AC là giá trị đại số của ,

các đoạn trên trục a a được đặt một cách tùy ý trên 1, 2

Trên m ột đường thẳng cho trước lấy hai điểm , A B , gọi điểm Z  là điểm đối xứng

với điểm Z qua đường thẳng này trong mặt

phẳng tọa độ Gọi d d là các trục được đặt một 1, 2

cách tùy ý trên đường thẳng AZ và BZ , và đặt

1 và 2

d d là các trục đối xứng với d d qua 1, 2

đường thẳng AB Ta có phương trình của phép

7 Phép ngh ịch đảo

Đặt p là phương tích của phép nghịch đảo cực M có tọa độ phức m; gọi d là một

trục được đặt một cách tùy ý trên đường thẳng chứa điểm M và một điểm Z nào đó

trong mặt phẳng; đặt Z  là nghịch đảo của Z Ta có

 

8 Điểm vô tận trong mặt phẳng Gauss

tương ứng với z b ằng vô cực

Do cực M của phép nghịch đảo không có ảnh nên ta bổ sung cho mặt phẳng Gauss

một điểm tại vô tận và điểm này chính là ảnh của cực M

Xét phép biến hình w1 biến điểm Z thành điểm Z , ta viết 1 Z1  w1[ ]Z và phép

biến hình w biến điểm 2 Z thành một điểm 1 Z ta viết 2 Z2  w2[ ]Z1

Khi đó, ta có Z2  w w2 1[ ]Z  hay ta có thể viết Z2  w w2 1[ ]Z (11)

Phép biến hình w cho phép ta biến trực tiếp điểm Z thành điểm Z được gọi là 2tích các phép bi ến hình w w được thực hiện theo thứ tự này, 1, 2

Phương trình (11) và Z2  w( )Z cho phép ta quy ước w  w w2 1

Trong kí hi ệu tích w w , thừa số thứ hai 2 1 w được thực hiện đầu tiên trong phép biến 1

đổi

1 0 Tích c ủa hai phép tịnh tiến

Đặt a a1, 2 là các số phức được biểu thị bởi các vectơ OA OA 1, 2 xác định bởi phép

 

 thì phương trình của phép biến hình w w cho phép biến đổi trực tiếp từ điểm Z 2 1

thành Z là: 2

z    z a a

Điều này chứng tỏ rằng tích w w2 1 là một phép tịnh tiến của vectơ OA1OA2

Gọi a a lần lượt là tọa độ phức của các tâm 1, 2 A và 1 A của phép quay góc có giá 2

+ Nếu các phép quay w , 1 w có cùng tâm nghĩa là 2 A1 A2  hay A a1 a2  (a a

là tọa độ phức của A) thì (14) biểu diễn một phép quay tâm A, góc quay là a1 a2+ Nếu các phép quay khác tâm:

* Nếu e i(a a1 2 ) 1 hay a1a2  2 (kp k   thì (14) biểu diễn một phép tịnh tiến )

* Nếu a1a2 2 (kp k   thì (14) biểu diễn một phép quay tâm ) A a( ), góc quay

Do đó, một phép biến hình là đối hợp nếu nó đồng nhất với nghịch đảo của nó

Phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép nghịch đảo là các phép đối hợp

là môđun của tỉ số kép và một argument là ( , ) ( , ).a a23 13  a a24 14

Điều này xảy ra tương tự nếu ta lấy

1 0 M ột tỉ số kép của bốn điểm có giá trị không thay đổi nếu ta thay đổi hai điểm

và cùng lúc ta thay đổi hai điểm kia; ta nhận được giá trị nghịch đảo nếu thay đổi hai điểm đầu hoặc hai điểm cuối; ta nhận được phần bù đối với đơn vị nếu ta thay đổi hai điểm chính giữa hoặc hai điểm ngoài cùng

2 0 V ới 4 điểm ta có thể có tạo thành 24 tỉ số kép, biểu thị nhiều nhất 6 giá trị và

3 trong s ố những giá trị này nghịch đảo với 3 giá trị kia

một hệ thức trình bày tỉ số kép như là một hàm số của hiệu số giữa một tọa độ phức

với một trong số ba tọa độ khác

3 Trường hợp có một điểm ở vô tận

Ta kí hiệu  cho cả điểm ở vô tận trong mặt phẳng Gauss và tọa độ phức của nó

Ox có hoành độ bằng 1, gốc O, và một điểm ở vô tận cho ta

(ZUO ) ( 10 )Z  z

Để tỉ số kép của bốn điểm Z Z Z Z trong mặt phẳng phức là thực điều kiện 1, , , 2 3 4

cần và đủ là những điểm này phải cùng thuộc một đường thẳng hoặc cùng thuộc một đường tròn Khi đó tỉ số kép này được xét cũng tương tự như tỉ số kép được xét trong hình học sơ cấp

IV ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

N ếu z z z lần lượt là tọa độ phức của các điểm 1, , 2 Z Z và 1, 2 Z Khi đó Z chia

2

Z

ZZ k

điểm B b thì phương trình tham số của nó là  

z a bt  (2)

trong đó t là tham số thực xác định trong khoảng

( , )

10 M ỗi đường thẳng thực chứa vô số điểm

rằng có vô số giá trị của t , do đó z cũng vô hạn

20 Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm Z z1( ), ( )1 Z z là: 2 2

Trong mục này ta xét 4 điểm phân biệt M z i( ), i i 1, 2, 3, 4 

Tính chất 2 Các đường thẳng M M và 1 2 M M trực giao khi và chỉ khi 2 4

ct d





trong đó , , , a b c d là các hằng số phức thỏa ad bc   (4) và t là tham số có thể 0

l ấy tất cả các giá trị thực, biểu diễn:

10 m ột đường thẳng nếu c  hoặc nếu 0 d

c là s ố thực

20 m ột đường tròn trong tất cả các trường hợp còn lại

Ngược lại, bất kì đường thẳng nào và bất kì đường tròn thực nào cũng có thể được biểu diễn bởi một phương trình có dạng (3)

Chương 2: NH ỮNG PHÉP BIẾN ĐỔI TRÒN

giá trị của z (không bao gồm ∞), khi đó điều kiện cần và đủ là các phương trình

thì mỗi giá trị của z có tương ứng một và chỉ một giá trị của z’

Do đó, nếu bất phương trình (2) xảy ra, phương trình (1) kết hợp với mỗi điểm thực Z

của ω - phẳng có một và chỉ một điểm Z’ của ω’ - phẳng được thêm vào, và ngược lại

nhà hình học người Đức, người đã khám phá ra nó vào năm 1853

2 Xác định một phép biến đổi tròn

Định lí Một phép biến đổi tròn được xác định nếu biết ba điểm phân biệt, tùy ý mà ta

kí hi ệu là Z 1 , Z 2 , Z 3 và ba điểm phân biệt, tùy ý tương ứng với chúng là ' ' '

điều này trái với giả thiết (4)

Các số , , ,a b g d được xác định bằng một thừa số chung tùy ý, phép biến đổi tròn là duy nhất, và phương trình của nó là

thu được bằng cách kết hợp các phương trình (1) và (5) thỏa mãn điều kiện là các giá

trị , , ,a b g d không đồng thời bằng không

Trong chứng minh trên, giả sử rằng tất cả các điểm đều thuộc phần hữu hạn của mặt

phẳng Ta xét ba trường hợp còn lại

10 M ột điểm duy nhất, giả sử là Z 1 , ở vô tận Trước hết, phương trình đầu tiên của (5)

được thay bởi

Z2’ Hai phương trình đầu của (5) được thay thế bằng (8) và



30 Hai điểm tương ứng, gọi là Z1, Z1’, trùng v ới điểm tại vô tận Các phương trình

điều kiện (5) được viết lại là

3 3

11

Bằng cách biểu diễn như (10), ta được

Trong trường hợp đầu, bằng cách thay g

abởi  ta thu được quan hệ cần tìm; trong z1

Phép biến đổi được gọi là tròn vì tính chất sau

Thật vậy, gọi l là đường thẳng hay đường tròn bất kì, Z1, Z2, Z3 là ba điểm cố định và

Z là điểm di động trên l , và Z1’, Z2’, Z3’, Z’ là các điểm tương ứng với chúng qua phép biến đổi tròn bất kì của mặt phẳng phức

Tỉ số kép (Z1Z2Z3Z) là số thực; điều này cũng đúng cho (Z1’Z2’Z3’Z’), và điểm Z’ do

đó biểu diễn đường thẳng hay đường tròn l’ qua các điểm Z1’, Z2’, Z3’

, t ạo một góc có giá trị đại số là θ thì ảnh l’, l 1 ’ c ủa nó qua phép biến đổi tròn có phương trình (3) cắt nhau tại Z’, tương ứng với Z, tạo một góc θ +kπ, k∈ Z

Ta nói rằng phép biến đổi tròn bảo toàn góc (sai khác kπ) cả về độ lớn và dấu, hay phép biến đổi tròn là một phép biến đổi bảo giác thuận

Đặt

z = f(t)

là phương trình của l Tiếp tuyến tại điểm Z thì song song với

véctơ là vectơ biểu diễn bởi dz

dt , và ta có thể định hướng

tiếp tuyến dương theo chiều của vectơ này

Phương trình của l’ là

( )'

và tiếp tuyến tại điểm Z’ tương ứng với Z, với giả sử rằng cf(t) + d ≠ 0, thì song song

với véctơ là vecto biểu diễn bởi

và, cho các đường cong l 1 , l 1 ’ bởi một phép đối xứng thích hợp kí hiệu,

OT '

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2

(a g a b g d)( b d) ( a d b b g g)( a d ) ( a d b g a d)( b g ) 0nên w là một phép biến đổi tròn

Một tập các phép biến hình tạo thành một nhóm nếu nó thỏa mãn hai tính chất sau:

10 tích hai phép bi ến hình bất kì của tập hợp là một phép biến hình của tập hợp đó

20 bi ến đổi ngược của mỗi phép biến hình của tập thì thuộc tập đó

có hai tính chất đó theo mục 6 và bởi việc thay a bằng d  và d bằng a thì

phương trình (15) thành phép biến hình ngược tương ứng Ta gọi nhóm này là nhóm

tròn c ủa mặt phẳng

8 Định nghĩa

Ta gọi một điểm là điểm bất biến của một phép biến đổi tròn nếu nó trùng với điểm

tương ứng của nó

Thật vậy, có một phép biến đổi tròn duy nhất có ba điểm bất biến là phép biến đổi đồng nhất

Để thuận lợi ta kí hiệu mặt phẳng Gauss bởi ω hay ω’ , theo đó ta xét tập các điểm

Z hoặc ảnh Z’của chúng tương ứng qua một phép biến đổi tròn

tương ứng L’ của nó ở vô tận của ω’- phẳng Điểm giới hạn M’ của ω’ - phẳng thì

tương ứng với điểm M ≡ L’ tại vô tận trong ω - phẳng Các điểm L, M’ cũng là các điểm tương ứng của điểm tại vô tận trong các phép dời ℜ-1và ℜ

2 Các tính ch ất

Hai điểm giới hạn trùng với điểm tại vô tận

Thật vậy, nếu z bằng vô cực, phương trình (2) cho thấy 'z cũng bằng vô cực

Đường cong với phương trình

d rt s





và là một đường thẳng hay đường tròn tùy thuộc r

s là thực hay ảo, trong điều kiện

(ap br s ) (aq bs r ) a ps qr(  ) 0

được gọi là phép đồng dạng thuận, và tỉ số đồng dạng của (F’) đối với (F) là b

Thật vậy, tích của hai phép đồng dạng (là một phép biến đổi tròn) cũng có điểm tại

vô tận là một điểm bất biến, là một phép đồng dạng; điều này có được từ phương

trình (14), vì nếu a1 a2  , ta được 0 a g1 2a b2 1  Hơn nữa, khi thay a bằng –0

phép đồng dạng như vậy hoặc là một phép quay, một phép vị tự có tâm tại Ω, hoặc là

M ột phép tịnh tiến chỉ có một điểm tại vô tận là điểm bất biến

, ' '

1 1 '

2 2 '

Thật vậy, đó là điều kiện cần và đủ để hai tam giác Z1Z2Z3, Z2Z3Z1 đồng dạng thuận

bằng 1, và một phép quay quanh tâm của phép đồng dạng nếu a

d là ảo với môđun

dạng

biểu diễn một phép tịnh tiến nếu p =1, và một phép vị tự nếu p là thực nhưng khác 0

và 1 Nếu mỗi phương trình (4) biểu diễn một phép tịnh tiến hay một phép vị tự, thì ta

có phương trình (5) Hơn nữa, biến đổi ngược của một phép tịnh tiến hay một phép vị

tự là một phép tịnh tiến hay một phép vị tự khác Các phép tịnh tiến hay vị tự vì thế

tạo thành một nhóm

hướng của mỗi đoạn thẳng và thay đổi độ dài của mỗi đoạn thẳng với một tỉ số không đổi

Giả sử tâm của phép vị tự đầu tiên, với phương trình (4), là đặt tại gốc; thì q1 = 0

Nếu q2 ≠ 0, (5) biểu diễn một phép tịnh tiến nếu p1p2 = 1, một phép vị tự nếu p1p2 ≠ 1; khi q2 = 0, (5) biểu diễn một phép vị tự hoặc một phép đồng nhất Nếu (4) và (5)

biểu diễn các phép vị tự, tọa độ phức các tâm của chúng với q1=0 và q2≠0 là

Khi p1 = 1, vì ω1 là một phép tịnh tiến, nên điều kiện cần là p2 = 1 hoặc q1 = 0, tức là

ω2 là một phép tịnh tiến hoặc ω1 là một phép đồng nhất Trường hợp cuối khẳng định

rằng phép đồng nhất thì hoán vị được với mọi phép đồng dạng, đó là điều hiển nhiên Khi p1 và p2 khác 1, phương trình (7) biểu diễn là

III PHÉP BI ẾN ĐỔI TRÒN KHÔNG ĐỒNG DẠNG

Định lý 2 Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng hoặc một đường tròn (C) trong w-

L c ủa w

* Nếu (C’) là một đường thẳng thì phải chứa điểm L’ tại vô tận trong w’, và theo đó (C) chứa L

* Nếu (C) chứa L thì biến thành (C’) chứa L’ và do đó nó là một đường thẳng

đường thẳng, mà chùm này có đỉnh là M’

Định lý 3 Các chùm đường thẳng mà đỉnh của chúng tương ứng tại các điểm giới

,

thiết lập cho thấy hai chùm này bằng nhau và ngược hướng

nh ưng chiều thì không

Định lý 1 Nếu một phép biến đổi tròn trong mặt phẳng phức khác phép đồng dạng,

nó có hai điểm bất biến E và F thuộc phần hữu hạn của mặt phẳng và trung điểm của

đoạn thẳng EF trùng với trung điểm của đoạn thẳng xác định bởi các điểm giới hạn L

Định lý 2: Nếu phép biến đổi tròn không phải là parabolic, tỉ số kép tạo bởi các điểm

b ất biến và hai điểm tương ứng bất kì là một hằng số phức λ khác 0, 1, ∞

Trong trường hợp của phép đồng dạng có phương trình (1) với c = 0 và a ≠d, điểm

E là tâm của phép đồng dạng và điểm F thì ở vô tận, và ta có

-b e

d a

v ới mỗi điểm Z ta kết hợp với điểm Z’ sao cho (EFZZ’) = λ, thì t ương ứng này là một

2

(1 - )[ - (l z ef z ef)  ] 0 (8)

và là một phép đồng nhất nếu λ = 1, trong trường hợp này (7) có phương trình z z'

của phép biến đổi đồng nhất Nếu λ ≠ 1, các nghiệm của (8) là e và f, vì thế E và F là

các điểm bất biến của phép dời hình

và phương trình của một phép đồng dạng với điểm bất biến E nếu λ≠1, và phép biến

đổi đồng nhất nếu λ = 1 Kết quả này có thể thu được từ (7) bằng cách cho f tiến ra vô

cùng

Định lý 4 Nếu một phép biến đổi tròn khác phép đồng dạng, phương trình của nó có

th ể được viết dưới dạng

(z e z )( '  f) (z f z e)( ' ) (  z z m l')( ' ), (9)

độ phức của các điểm giới hạn L, M’

Phương trình (1) có thể được viết dưới dạng

Định lí Nếu một phép biến đổi tròn khác phép đồng dạng, nó là một tích của các

Ta đi từ Z đến Z1 bằng một phép tịnh tiến, từ Z1 đến Z2 bằng một phép nghịch đảo

tâm O, phương tích 1 theo sau bằng một phép đối xứng trục Ox, và sau đó từ Z2 đến Z’ bằng một phép đồng dạng

Hằng số

(EFZZ’) = λ

được gọi là bất biến của phép biến đổi tròn Phép biến đổi tròn, giả sử rằng khác phép đồng nhất, là parabolic nếu λ = 1; hyperbolic nếu λ là số thực khác 0 và 1; elliptic

nếu λ là số ảo với môđun đơn vị; loxodromic nếu λ là số ảo với môđun khác đơn vị

Các trường hợp này lần lượt tương ứng với phép đồng dạng là: tịnh tiến, vị tự, quay,

và tích của một phép quay và một phép vị tự đồng tâm

IV PHÉP ĐỐI HỢP MOBIUS

az b z

ta thấy rằng một phương trình của phép đối hợp có sự đối xứng giữa z và z’

rằng Z và Z’ cặp tương ứng hoặc liên hợp qua phép đối hợp