sử dụng số phức để nghiên cứu một số tính chất trong tam giác

Tuy nhiên, việc nắm vững các khái niệm, tính chất liên quan và việc sử dụng số phức để giải các bài toán là một vấn đề khó đòi hỏi chúng ta phải tìm tòi và biết vận dụng kiến thức đa dạn

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

M ỤC LỤC

Trang ph ụ bìa

M ục lục

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 : MỘT SỐ LÝ THUYẾT CƠ BẢN 2

I TỔNG QUAN VỀ SỐ PHỨC 2

1 Biễu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ 2

2 Tọa độ liên hợp 2

3 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức 2

4 Vectơ và số phức 3

5 Các phép toán số phức 3

5.1 Phép cộng 3

5.2 Phép trừ 3

5.3 Phép nhân 4

5.4 Phép chia 5

6 Căn bậc n của đơn vị 5

6.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức 5

6.2 Căn bậc n của đơn vị 6

II NHỮNG PHÉP BIẾN HÌNH CƠ BẢN 8

1 Phép biến hình 8

2 Phép tịnh tiến 8

3 Phép quay 9

4 Phép vị tự 9

5 Hệ thức giữa ba điểm 10

6 Đối xứng trục 10

7 Phép nghịch đảo 11

8 Điểm vô tận trong mặt phẳng Gauss 11

9 Tích của các phép biến hình 12

10 Phép đối hợp 13

III TỈ SỐ KÉP 14

1 Định nghĩa và giải thích 14

2 Các tính chất 14

3 Trường hợp có một điểm ở vô tận 15

4 Tỉ số kép thực 15

IV ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 17

1 Đường thẳng 17

1.1 Điểm chia đoạn thẳng 17

1.2 Phương trình tham số 18

1.3 Phương trình tổng quát 18

1.4 Điều kiện trực giao, thẳng hàng 20

2 Đường tròn 20

2.1 Phương trình tổng quát 20

2.2 Phương trình tham số 21

CHƯƠNG 2 : SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRONG TAM GIÁC 23

1 Tích thực của hai số phức 23

2 Tích phức của hai số phức 24

3 Tâm tỉ cự và một số điểm đặc biệt trong một tam giác 27

4 9 điểm của đường tròn Euler 29

5 Các khoảng cách đặc biệt trong tam giác 31

5.1 Các bất biến cơ bản của tam giác 32

5.2 Khoảng cách OI 33

5.3 Khoảng cách ON 34

5.4 Khoảng cách OH 35

6 Khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng của tam giác 36

6.1 Tọa độ tỷ cự 36

6.2 Khoảng cách giữa hai điểm theo các tọa độ tỷ cự 37

7 Diện tích của một tam giác theo tọa độ tỷ cự 38

8 Các tam giác trực giao 41

8.1 Đường thẳng Simpson và tam giác thủy túc 41

8.2 Điều kiện cần và đủ về tính trực giao 45

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 47

1 Dạng 1: Sử dụng tích thực và tích phức để chứng minh tính vuông góc, thẳng hàng và song song 47

2 Dạng 2 : Các bài toán liên quan đến đường tròn 9 điểm Euler 51

3 Dạng 3: Chứng minh các tam giác trực giao 54

4 Dạng 4: Một số bài toán tổng hợp 57

KẾT LUẬN 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

LỜI MỞ ĐẦU

Số phức xuất hiện từ thế kỷ XIX do nhu cầu phát triển của toán học về giải

những phương trình đại số Kể từ khi ra đời, số phức đã có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học Một trong những ứng dụng quan trọng là dùng

số phức như một công cụ để đưa ra cách giải một số dạng toán trong tam giác ngắn

gọn và đơn giản hơn cách giải thông thường Tuy nhiên, việc nắm vững các khái niệm, tính chất liên quan và việc sử dụng số phức để giải các bài toán là một vấn đề khó đòi

hỏi chúng ta phải tìm tòi và biết vận dụng kiến thức đa dạng của số phức trong toán

học

Vì vậy, em đã chọn đề tài ‘‘SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ NGHIÊN CỨU MỘT

S Ố TÍNH CHẤT TRONG TAM GIÁC’’ trong bài khóa luận tốt nghiệp của mình

Bài khóa luận nhằm mục đích bổ sung các kiến thức cơ bản về số phức, sử dụng số

phức như là một công cụ để tìm hiểu các tính chất và giải các dạng toán trong tam giác

Nội dung của bài khóa luận gồm ba chương :

Chương I : Giới thiệu một số lý thuyết cơ bản về số phức

Chương II : Sử dụng số phức để nghiên cứu một số tính chất trong tam giác

Chương III : Sử dụng các lý thuyết trong chương II giải một số dạng toán trong tam giác

Do hạn chế về thời gian và kiến thức nên bài khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Em rất mong nhận được ý kiến nhận xét, đóng góp quý báu của Quý thầy cô và các bạn

Em đặc biệt cảm ơn thầy LÊ NGÔ HỮU LẠC THIỆN đã dành nhiều thời gian

và công sức để đọc, hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành bài khóa luận này

Em cũng xin chân thành cảm ơn QUÝ THẦY CÔ và BAN CHỦ NHIỆM KHOA TOÁN đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn chúng em trong suốt quá trình học

tập tại trường và đã tạo điều kiện cho em thực hiện bài khóa luận này

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Tr ần Huỳnh Anh

CHƯƠNG 1 : MỘT SỐ LÝ THUYẾT CƠ BẢN

Ngược lại, với mỗi điểm thực Z x y trong mặt phẳng tọa độ cho ta duy nhất 1( , )1 1

một số phức z1  x1iy1, z được gọi là tọa độ phức của điểm 1 Z 1

Mặt phẳng mà trong đó mỗi điểm thực được xem như ảnh của một số phức được gọi là mặt phẳng Gauss, mặt phẳng Cauchy, hoặc là mặt phẳng biến phức

H ệ quả

1 0 Tr ục Ox là quỹ tích ảnh của các số thực Trục Oy là quỹ tích ảnh của các

s ố ảo Đó là lí do tại sao Ox và Oy thỉnh thoảng được gọi là trục thực và trục ảo của

mặt phẳng Gauss

2 0 S ố –z là t ọa độ phức của điểm đối xứng với điểm Z qua gốc tọa độ O

2 T ọa độ liên hợp

Số phức liên hợp với z   luôn xác định và được kí hiệu z x iy   đọc x iy

là “z ngang” Ảnh Z của số phức z là điểm đối xứng với điểm Z qua trục Ox

3 D ạng lượng giác và dạng mũ của số phức

Cho một số phức z   , ta có thể viết x iy zở dạng lượng giác

(cos sin ),

z r q i qtrong đó r  x2 y2  [0, ) được gọi là mođun của z và q [0,2 )p là số đo của góc giữa vectơ OZ và trục Ox theo chiều dương được gọi là argument của z

Cho z  , môđun và argument của 0 z được xác định duy nhất

Do đó, hai số phức z z  có biễu diễn dạng lượng giác 1, 2 0

1 1(cos 1 sin ); 1 2 2(cos 2 sin )2

bằng nhau khi và chỉ khi 1 2

* Sử dụng công thức Euler cosqisinq e iq, số phức z   có thể x iy

được viết như sau z re iq được gọi là dạng mũ của z

Khi z  , ta chọn 0 r  và q tùy ý 0

Ta có : z reiq

4 Vectơ và số phức

Ảnh Z của số phức z được xác định khi ta biết vectơ OZ Khi đó ta nói rằng

số phức z được biểu diễn bởi vectơ này Số phức và vectơ có môđun bằng nhau và ta

có thể nói rằng argument của số phức cũng chính là argument của vectơ

5.2 Phép trừ

N ếu các số phức z z được biểu thị 1, 2

b ởi các vectơ OZ OZ 1, 2 thì hi ệu số

1 2

z   z z được biểu thị bởi hiệu số hình học

OZ OZ OZ

c ủa những vectơ tương ứng.

OZ theo cách như sau:

1 0 Quay vectơ OZ1 quanh O m ột góc bằng với

argument c ủa vectơ OZ2

2 0 Nhân vectơ vừa thu được với mođun của

Khi đó arg z   q1 và mođun của q2 z là r r1 2 OZ OZ1 2

Ta lấy điểm U trên trục Ox có hoành độ 1 Điểm Z mà ta tìm kiếm chính là đỉnh

thứ ba trong tam giác OZ Z đồng dạng với tam giác 1 OUZ2 với

5.4 Phép chia

N ếu các số phức z z được biểu thị bởi các vectơ 1, 2 OZ OZ 1, 2thì t ỉ số 1

2

z z z



được biểu thị bởi vectơ OZđược tạo ra từ vec tơ OZ1 theo cách như sau:

1 0 Quay OZ1quanh O m ột góc bằng

v ới arg(OZ2)

2 0 Chia vectơ vừa thu được cho

mođun của vectơ OZ2

Điểm Z là đỉnh thứ ba của tam giác OZ Z1

đồng dạng với tam giác OZ U 2

Như vậy ta đã thực hiện phép chia như là trường hợp ngược lại của phép nhân

6 Căn bậc n của đơn vị

6.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức

Xét số nguyên dương n  và một số phức 2 z  Phương trình 0 0

Định lí Đặt z0 r(cosq isin )q là m ột số phức với r 0 và q [0,2 ).p

Căn bậc n của z gồm 0 n nghi ệm phân biệt được cho bởi công thức

n k

Biểu diễn số phức Z dạng lượng giác, tức là Z  r(cosj isin )j

Theo định nghĩa, ta có Z n  z0  rn(cosnj isinnj)r(cosq isin )q

n n

k

r r

rr

Vậy nghiệm của phương trình (1) là

(cos sin ),

n

Z  r j i j k   Lưu ý rằng 0j0 j1   jn1 2 ,p do đó jk, 0,1, ,k  n là các 1

argument Ta có n nghiệm phân biệt của z0 là Z Z0, , ,1 Z n1

Ta chứng minh phương trình có đúng n nghiệm phân biệt

Xét số nguyên k bất kì, và đặt r 0,1, ,n  là phần dư của k chia cho 1 n Khi

Biểu diễn hình học của các căn bậc n của số phức z  là các đỉnh của một 0 0

n giác đều nội tiếp đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính n r

Để chứng minh điều này, ta kí hiệu các điểm M M0, 1, ,M n1 với các tọa độ

6.2 Căn bậc n của đơn vị

M ột nghiệm của phương trình Z   gọi là một căn bậc n 1 0 n c ủa đơn vị

Vì 1 cos 0 isin 0, từ công thức tìm căn bậc n của số phức, ta suy ra căn bậc n

2 2

U  e e e  Mỗi phần tử của U là lũy thừa của n e

Biểu diễn hình học của căn bậc n của đơn vị là các đỉnh của một đa giác đều

với n cạnh nội tiếp đường tròn đơn vị với gốc O và bán kính 1

Ta xét một vài giá trị đặc biệt của n

i Với n  , căn bậc hai của 1 là (nghiệm của phương trình 2 Z   ) 2 1 0  và 1 1

ii Với n  , căn bậc 3 của đơn vị (nghiệm của phương trình 3 Z   ) được 3 1 0cho bởi

Ta biểu diễn tam giác đều nội tiếp đường tròn C(0;1)như hình dưới đây

iii Với n  , căn bậc 4 của đơn vị là 4

Phép đặt tương ứng với mỗi điểm Z cho duy nhất một điểm Z  trong mặt

phẳng Gauss tạo thành một phép biến hình trong mặt phẳng và được kí hiệu là w

Ta chỉ xét đến một phép biến hình mà trong đó:

1 0 với mỗi điểm Z có tương ứng một điểm duy nhất Z  ;

2 0 mỗi điểm Z  là sự tương ứng của một điểm Z

Như vậy phép biến hình w là m ột - một; điểm Z  là ảnh của điểm Z

Phép đặt tương ứng mỗi điểm Z  cho ta điểm Z được gọi là phép biến hình

ngược của w, kí hiệu w 1 và Z  được gọi là ảnh ngược của Z

Phương trình của một phép biến hình w là sự liên hệ giữa tọa độ phức z của

điểm Z tùy ý trong mặt phẳng và tọa độ phức z của điểm Z  tương ứng với Z

phép biến hình đồng nhất với phương trình z  biến mỗi điểm trong mặt phẳng z

thành chính nó

3 Phép quay

Gọi A là một điểm cho trước với tọa độ phức

là a, và a là một số thực cho trước, dương, bằng 0,

hoặc âm Phép quay quanh A một góc có giá trị đại

số a biến mỗi điểm Z trong mặt phẳng thành điểm

Hệ quả Khi ta quay một góc a p (ho ặc a p) quanh A , ta có phép đối

x ứng tâm A , khi đó

i

ep  pi p  , Phương trình của nó là z    z 2a

4 Phép v ị tự

Một điểm A cho trước có tọa độ phức a

và một số thực k  Ta đặt một trục tùy ý trên 0

đường thẳng chứa điểm A và một điểm Z bất kì

Lấy điểm Z  bất kì trên trục sao cho AZ k

z kz a  k

Chú ý Giá trị 1, 1 của k cho ta phép đồng nhất và phép đối xứng tâm A

5 H ệ thức giữa ba điểm

Ba điểm cho trước , , A B C với các tọa độ phức

l ần lượt là , , a b c Nếu AB AC là giá trị đại số của ,

các đoạn trên trục a a được đặt một cách tùy ý trên 1, 2

( ,a ) ( ,a )

Trên m ột đường thẳng cho trước lấy hai điểm , A B Gọi điểm Z  là điểm đối

xứng với điểm Z qua đường thẳng AB Gọi d d là các trục được đặt một cách tùy ý 1, 2

trên đường thẳng AZ và BZ d1 và d2 lần lượt là các trục đối xứng với d d1, 2 qua đường thẳng AB Ta có

2 1

( , )( ) i d d ZA (1)

ZA Z A ZB  Z B d d   d d

(3)

Ta thay mỗi số trong phương trình (1) bằng

dạng liên hợp của nó, ta được:

2 1

( , )( ) i d d ZA

ZB



Nếu ta chia phương trình (2) cho phương trình (4), vế theo vế, kết hợp với (3),

ta có được phương trình của phép đối xứng có dạng

(8) (9)

( , )

i x d

z m MZe (10)

Ta nhân phương trình (9) với phương trình (10), vế theo vế và kết hợp (7), ta nhận

được phương trình của phép nghịch đảo cực M phương tích p là

 

8 Điểm vô tận trong mặt phẳng Gauss

M ặt phẳng Gauss (được gắn với hệ tọa độ phức) chỉ chứa một điểm tại vô tận tương ứng với z bằng vô cực

Do cực M của phép nghịch đảo không có ảnh nên ta bổ sung cho mặt phẳng

Gauss một điểm tại vô tận và điểm này chính là ảnh của cực M

9 Tích c ủa các phép biến hình

Xét phép biến hình w1 biến điểm Z thành điểm Z , ta viết 1 Z1 w1[ ]Z và phép

biến hình w biến điểm 2 Z thành một điểm 1 Z ta viết 2 Z2  w2[ ].Z1

Khi đó, ta có Z2 w w2 1[ ]Z  hay ta có thể viết Z2  w w2 1[ ]Z (11)

Phép biến hình w cho phép ta biến trực tiếp điểm Z thành điểm Z được gọi là tích 2các phép bi ến hình w w1, 2 đượ c th ực hiện theo thứ tự này

Phương trình (11) và Z2  w( )Z cho phép ta quy ước w  w w2 1

Trong kí hi ệu tích w w , thừa số thứ hai 2 1 w được thực hiện đầu tiên trong phép biến 1

đổi

Thí d ụ:

1 0 Tích c ủa hai phép tịnh tiến Gọi a a1, 2

là các số phức được biểu thị bởi các vectơ

1, 2

OA OA  Xét hai phép tịnh tiến w theo 1

vectơ OA1 và w2 theo vectơ OA2

Nếu điểm Z biến thành Z 1 qua w và 1

 

 thì phương trình của phép biến hình w w cho phép biến đổi trực tiếp từ điểm Z 2 1

thành Z là: 2

z   z a a Điều này chứng tỏ rằng tích w w2 1 là một phép tịnh tiến của vectơ OA1OA2

Điều này cũng được suy ra bởi vì ta có

ZZ ZZZ Z OA OA

2 0 Tích c ủa hai phép quay

Gọi a a lần lượt là tọa độ phức của các tâm 1, 2 A và 1 A của phép quay góc có 2

giá trị đại số a a 1, 2

Nếu phép quay w biến điểm Z thành 1 Z 1

và phép quay w biến điểm 2 Z thành điểm 1 Z , 2

+ Trường hợp 2: Các phép quay w , 1 w khác tâm 2

Nếu e i(a a1 2 ) 1 hay a1a2  2 (kp k   thì (14) biểu diễn một phép tịnh )

Phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép nghịch đảo là các phép đối hợp

Z Z Z Z dương thì tỉ số này là

mođun của tỉ số kép và một argument là ( , ) ( , ).a a23 13  a a24 14

Điều này xảy ra tương tự nếu ta lấy

1 0 T ỉ số kép của bốn điểm có giá trị không thay đổi nếu ta thay đổi vị trí hai

điểm bất kì và cùng lúc ta thay đổi vị trí hai điểm còn lại; ta nhận được giá trị nghịch đảo nếu thay đổi vị trí hai điểm đầu hoặc hai điểm cuối; ta nhận được phần bù đối với đơn vị nếu ta thay đổi vị trí hai điểm chính giữa hoặc hai điểm ngoài cùng

2 0 V ới 4 điểm ta có thể có tạo thành 24 tỉ số kép, biểu thị nhiều nhất 6 giá

tr ị và 3 trong số những giá trị này nghịch đảo với 3 giá trị kia



 của tỉ số kép có được bằng cách giữ có định điểm đầu tiên và hoán vị vòng tròn ba điểm còn lại là ba tỉ

3 Trường hợp có một điểm ở vô tận

Ta kí hiệu  cho cả điểm ở vô tận trong mặt phẳng Gauss và tọa độ phức

Hệ quả Với mỗi số phức z , tỉ số kép được xác định bởi điểm Z , điểm U

trên trục Ox có hoành độ bằng 1, gốc O, và một điểm ở vô tận cho ta

(ZUO ) ( 10 )Z  z

4 T ỉ số kép thực

Để tỉ số kép của bốn điểm Z Z Z Z trong mặt phẳng phức là thực điều 1, , , 2 3 4

kiện cần và đủ là những điểm này phải cùng thuộc một đường thẳng hoặc cùng thuộc

một đường tròn Khi đó tỉ số kép này cũng được xét tương tự như tỉ số kép được xét trong hình học sơ cấp

Suy ra Z thuộc đường thẳng 4 Z Z 1 2

Chọn các trục a13, , , a14 a23 a sao cho chúng trùng nhau Khi đó phương trình (1) 24

Trường hợp 2: Các điểm Z Z Z không thẳng hàng 1, , 2 3

Các điểm cùng xác định trên đường tròn g Định hướng a13, , a23 a từ 14 Z về phía 3 Z , từ 1

3

Z về phía Z , và từ 2 Z về phía 4 Z ; chọn 1

chiều dương của a sao cho trong phương 24

trình (2) số nguyên n là chẳn Khi đó phương trình trở thành

24 14 23 13 2 2( , ) ( , ) 2a a  a a  n p, (n   )

và suy ra điểm Z nằm 4

trên đường tròn g Các điểm Z Z có thể thuộc hoặc không thuộc một 3, 4

cung chung xác định bởi các điểm Z Z 1, 2

Nếu điểm M là điểm chính giữa của cung không chứa Z thì các đường thẳng 3

Z Z Z Z của đường tròn g trong hình học sơ cấp

Ngược lại, nếu các điểm Z Z Z Z thẳng hàng hoặc cùng nằm trên cùng một 1, , , 2 3 4đường tròn thì ta có phương trình (2) và từ phương trình (1) suy ra tỉ số kép

1 2 3 4

(Z Z Z Z là thực )

IV ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

1 Đường thẳng

1.1 Điểm chia đoạn thẳng

N ếu z z z lần lượt là tọa độ phức của các điểm 1, , 2 Z Z và Z Khi đó Z 1, 2

chia đoạn thẳng Z Z theo tỉ số là 1 2 1

2

.Z

Z Z k

1.2 Phương trình tham số

N ếu một đường thẳng đi qua điểm A a và song song với đường thẳng nối gốc  

O và điểm B b thì phương trình tham số của nó  

Nhưng vì AZ tOB với t là biến số thực ứng

với điểm Z nên Z O OA tOB 

Suy ra z   , đây chính là phương trình (2) a bt

Kết quả này cũng có thể suy ta từ phương trình tham số của đường thẳng

1 0 M ỗi đường thẳng thực chứa điểm vô tận của mặt phẳng Gauss

2 0 Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm Z z1( ), ( )1 Z z là: 2 2

 và vuông góc v ới véctơ

Nếu đặt a   , aa ib  a ib , b  2g thì ta được phương trình (3)

Vì b là số thực nên b b suy ra phương trình (3) đi qua điểm

2

b a

Đường thẳng song song với đường thẳng có phương trình (3) và qua gốc O có phương trình

Thật vậy, đường thẳng chứa điểm có tọa độ phức z1 và nó thỏa mãn phương trình c

(4)

1.4 Điều kiện trực giao, thẳng hàng

Trong mục này ta xét 4 điểm phân biệt M z i( ), i i 1, 2, 3, 4 

Tính chất 1 Các điểm M M M thẳng hàng khi và chỉ khi 1, , 2 3 3 1

  , thỏa yêu cầu

Tính chất 2 Các đường thẳng M M và 1 2 M M trực giao khi và chỉ khi 3 4

t rong đó b   , t ọa độ phức của tâm là ( a  ) và bình phương bán kính là (aa b  )

Trong hệ trục tọa độ Descartes, mỗi đường tròn có phương trình dạng

Trong mặt phẳng phức, phương trình của đường tròn là

Nếu ta đặt aib a, , aib a g b (2) thì ta được dạng phương trình (1)

Từ các phương trình (2) ta tìm được tọa độ phức của tâm và bình phương bán kính là

ct d





 (3)

trong đó , , , a b c d là các hằng số phức thỏa ad bc   (4) và t là tham số có thể 0

l ấy tất cả các giá trị thực, biểu diễn:

1 0 m ột đường thẳng nếu c  hoặc 0 d

  , phương trình này cũng biểu diễn một đường thẳng

* Khi cd  Xét các giá trị , 1, 0, 0 t  của tham số t tương ứng với việc tìm

ad bc z

Vì vậy, bốn điểm Z Z Z Z, , , 1 0  nằm trên một đường thẳng hoặc một đường tròn

(III.4)

Đường cong được xác định bởi các điểm cố định Z Z Z1, , 0  là quĩ tích của tất cả các

điểm Z có tọa độ phức thỏa (3) Đường cong là một đường thẳng nếu tồn tại giá trị

thực t mà làm cho z vô tận nghĩa là nghiệm d

c

 của ct d 0 là số thực ( vì đường thẳng phân biệt với đường cong ở chỗ nó chứa điểm vô tận của mặt phẳng Gauss)

Ngược lại, mỗi đường thẳng và đường tròn thực bất kì đều có thể được biểu

di ễn bởi một phương trình có dạng (3)

Thật vậy, nếu bốn điểm Z z P p Q q R r trong đó có một điểm tùy ý        , , ,

và ba điểm cố định nằm trên một đường tròn hoặc đường thẳng thì ta có (III.4)

CHƯƠNG 2 : SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT

TRONG TAM GIÁC

2 a b b a ; (tích này có tính ch ất giao hoán)

3 a b c.   a b a c  ( tích này có tích ch ất phân phối phép nhân đối với phép c ộng)

Cho A a B b C c D d là 4 điểm phân biệt        , , ,

Nh ững mệnh đề sau tương đương với nhau :

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm trùng v ới gốc tọa độ của mặt

ph ẳng phức Nếu , , a b c là các toạ độ phức của các đỉnh , , A B C thì trực tâm H

N ếu các số , , , , a b c o h là các toạ độ phức của các đỉnh tam giác ABC , tâm

O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tr ực tâm H của tam giác ABC thì

2 a b     ( tích phức không có tính chất giao hoán) b a

3 a b c     ( ) a b a c (tích ph ức có tính chất phân phối đối với phép

ngược chiều kim đồng hồ Ngược lại ta nói rằng tam giác có hướng âm”

a Cho A a( ) và B b( ) là các điểm phân biệt trong mặt phẳng phức khác điểm gốc Tích ph ức của hai số a và b có biểu diễn hình học như sau:

Thật vậy, nếu tam giác OAB có hướng dương thì

ABC có hướng dương thì

      , thỏa điều cần chứng minh

Trường hợp còn lại ta làm tương tự

c Giá tr ị đại số diện tích của tam giác ABC là S[ABC] =

1

1 4

1

a a

i b b

c c

Thật vậy, ta thực hiện tương tự như nhận xét b ta có

Xét các điểm ', ', ' A B C trên các cạnh BC CA AB của tam giác , , ABC

sao cho AA', BB', CC' giao nhau tại Q và đặt:

điều này đúng theo định nghĩa của tích phức

Tương tự điểm Q thuộc BB và CC  Chứng minh hoàn thành

M ột số điểm đặc biệt trong tam giác

1) Nếu Q G là trọng tâm tam giác ABC thì m    Khi đó ta có toạ n p 1

Nếu Q  tâm đường tròn nội tiếp của tam giác I ABC, khi đó ta sử dụng kết

quả đã biết liên quan đến đường phân giác của góc thì suy ra

3) Nếu Q H là trực tâm của tam giác ABC thì ta có

' tan , , .' tan ' tan

Suy ra m  tan , tan , tan ,A n  B p  C và toạ độ phức của điểm H được

4 9 điểm của đường tròn Euler

Cho tam giác ABC , chọn tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

trùng với gốc tọa độ của mặt phẳng phức và gọi , , a b c lần lượt là các tọa độ phức

của các đỉnh , , A B C Ta có tọa độ phức của trực tâm H là z H    (định lí a b c

Rõ ràng các điểm A B C , 1, , 1 1 A B", ", "C có tọa độ phức lần lượt là

và suy ra điều cần chứng minh

5 Các kho ảng cách đặc biệt trong tam giác

Để rút gọn các công thức, ta sẽ sử dụng kí hiệu được gọi là “tổng vòng tròn”

5.1 Các b ất biến cơ bản của tam giác

Xét tam giác ABC với các cạnh , , a b g , nửa chu vi là

2 sin 4 sin cos và - cot

Tương tự ta cũng chứng minh được , b g là nghiệm của phương trình (3)

Từ định lí trên, bằng cách sử dụng các hệ thức giữa các nghiệm và các hệ số, ta suy ra

Để chứng minh đồng nhất thức thứ hai, ta có thể viết

Giả sử tâm O đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC trùng với gốc tọa độ

của mặt phẳng phức và gọi , , a b c lần lượt là các tọa độ phức của các đỉnh , , A B C

Bổ đề Các tích thực , , . a b b c c a được cho bởi

Các công thức sau thực hiện tương tự

Định lí 4 (Euler) Công thức sau đúng: