về h – không gian và đại số hopf

Khái niệm đại số Hopf xuất hiện dần dần từ công việc của các nhà tôpô trong những năm 1940 nhằm giải quyết các vấn đề với đối đồng điều của các nhóm Lie compact và không gian thuần nhất

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUY ỄN THÁI SƠN

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2014

MỤC LỤC

Trang ph ụ bìa

M ục lục

Danh m ục các ký hiệu

L ỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Đồng luân 4

1.2 Tế bào 5

1.3 CW – phức 5

1.4 Số siêu phức (Quaternion) 6

1.5 Octornion 7

1.6 K – đại số 10

1.7 Đối đại số 11

1.8 Song đại số 11

1.9 Đại số phân bậc 12

1.10 Tích tenxơ 13

Chương 2 H – KHÔNG GIAN VÀ ĐỐI H – KHÔNG GIAN 14

2.1 H – không gian 14

2.2 Đối H – không gian 23

Chương 3 ĐẠI SỐ HOPF 28

3.1 Đại số đối đồng điều của một H – không gian là đại số Hopf 28

3.2 Cấu trúc tích trên đồng điều của H – không gian 40

3.3 Đại số Hopf đối ngẫu 43

K ẾT LUẬN 48

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 50

x : số chiều (bậc) của x

n i

LỜI MỞ ĐẦU

Tôpô đại số là một ngành của toán học hiện đại, nó sử dụng các công cụ đại số trừu tượng để giải quyết các vấn đề về tôpô Tôpô đại số thật sự được quan tâm đến bắt đầu từ những năm 1930 khi đối đồng điều Čech phát triển Đại số Hopf xuất hiện một cách tự nhiên trong tôpô đại số Sau công việc tiên phong của Connes và Kreimer, đại số Hopf đã trở thành công cụ gây xáo trộn

lý thuyết trường lượng tử Khái niệm đại số Hopf xuất hiện dần dần từ công

việc của các nhà tôpô trong những năm 1940 nhằm giải quyết các vấn đề với đối đồng điều của các nhóm Lie compact và không gian thuần nhất của chúng

Trong toán học, đại số Hopf (tên viết tắt của Heinz Hopf ) là một cấu trúc mà đồng thời vừa là một đại số vừa là một đối đại số, với cấu trúc phù

hợp làm nó trở thành một song đại số Đại số Hopf có nhiều vai trò quan

trọng trong lý thuyết biểu diễn cũng như lý thuyết phạm trù Đặc biệt, có hai vai trò quan trọng trong lĩnh vực tôpô Thứ nhất là các dạng ô vuông Steenrod

tạo thành từ một đại số Hopf và cấu trúc của chúng là một trong những khía

cạnh quan trọng nhất trong lý thuyết đồng điều Thứ hai ứng dụng ở việc giải thích biểu đồ của các tiên đề để tìm ra các ứng dụng tôpô, như là công trình năm 1989 của Hennings về các bất biến của xích và 3 – đa tạp thu được từ đại

số Hopf, hay gần hơn là công trình năm 1991 của Kuperberg về đại số Hopf đối hợp và các bất biến 3 – đa tạp …

Trong tôpô đại số, những vấn đề liên quan đến đại số Hopf bắt đầu được chú ý đến nhờ vào công trình của H Hopf có liên quan đến tính chất tôpô của nhóm Lie Điển hình là kết quả: “ Nếu G là nhóm Lie liên thông, thì đối đồng điều của G với hệ số thuộc trường K chính là một đại số Hopf ”

Trong một bài báo năm 1941, H Hopf đã xét đến một trạng thái tổng quát hơn cả nhóm tôpô Ông định nghĩa một H – không gian ( hay còn gọi là không gian Hopf) là một không gian tôpô X cùng với phép toán 2 ngôi liên

tục : X Xµ × → và một điểm p X X ∈ sao cho cả hai hàm số từ X → X xác

định bởi x µ(p x, ) và x µ(x p, ) đều đồng luân với ánh xạ đồng nhất,

với điểm p cố định Mỗi nhóm tôpô là một H – không gian Tuy nhiên, trong

trường hợp chung, so với một nhóm tôpô, H – không gian có thể thiếu tính

kết hợp và nghịch đảo Cấu trúc nhân của một H – không gian tạo nên cấu trúc trên nhóm đồng điều và đối đồng điều của nó Ta còn xác định được tích Pontryagin trên nhóm đồng điều của một H – không gian Từ đây nảy sinh ra

một vấn đề: “Với cấu trúc bao quát hơn cả nhóm tôpô (hiển nhiên bao gồm cả các nhóm Lie) là H – không gian, thì li ệu cấu trúc đối đồng điều của nó có còn là m ột đại số Hopf nữa hay không ?’’ Điều này thu hút nhiều sự quan

tâm đặc biệt từ các nhà toán học vì nhiều không gian quan trọng trong tôpô đại số hóa ra lại là các H – không gian.

Như đã trình bày ở trên, với mong muốn khai thác những mối liên hệ

giữa H – không gian và đại số Hopf nhằm chuẩn bị một nền tảng tốt cho

những hướng nghiên cứu tiếp theo trong lĩnh vực tôpô đại số, nên chúng tôi

chọn tên đề tài của mình là “VỀ H – KHÔNG GIAN VÀ ĐẠI SỐ HOPF ”

Nội dung trong luận văn được trình bày thành ba chương chính Trong đó:

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày những khái niệm cần thiết Những kiến thức đưa

ra trong chương hầu như rất đơn giản đủ giúp chúng ta hiểu được các vấn đề ở

phần sau

Chương 2 H – KHÔNG GIAN VÀ ĐỐI H – KHÔNG GIAN

Chương này xây dựng những khái niệm và tính chất cơ bản nhất về H – không gian và đối ngẫu của nó là đối H – không gian

Chương 3 ĐẠI SỐ HOPF

Chương này chủ yếu trình bày những mối liên hệ giữa H – không gian

và đại số Hopf thông qua các ví dụ thật cụ thể

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Thái Sơn Trong quá trình học tập và làm luận văn thầy luôn tận tình hướng dẫn và dẫn dắt tôi tiếp cận những hướng mới của toán học hiện đại Sự động viên và hướng dẫn của thầy không những giúp tôi trong việc hoàn thành

luận văn mà còn giúp tôi có thêm những cách nhìn nhận mới trong các vấn đề

của xã hội Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn các giảng viên khoa Toán trường Đại học

Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, các giảng viên trực tiếp giảng dạy lớp Cao

học Hình học và Tôpô khóa 23 đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn

và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học Chân thành

cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, ban lãnh đạo và các chuyên viên phòng Sau Đại

Học đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi học tập và hoàn thành luận văn này

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Nội dung chương này chủ yếu nhắc lại cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu ở các chương sau

1.1 Đồng luân

1.1.1 Định nghĩa

Một phép đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục f và g từ một không gian

tôpô X đến một không gian tôpô Y được định nghĩa là một ánh xạ liên tục

[ ]

: 0;1

H X × → sao cho nếu Y x∈X thì

( ) ( ) ( ) ( )

,0,1

Cho hai không gian X Y , ta nói r, ằng chúng là tương đương đồng luân

(hoặc là cùng dạng đồng luân) nếu: “tồn tại hai ánh xạ liên tục : , :

f X →Y g Y → sao cho g f X  là đồng luân với ánh xạ đồng nhất id X

và f  là đồng luân với ánh xạ đồng nhất g id ’’

Cụ thể là X và Y là tương đương đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ liên

Hai không gian tôpô đồng phôi thì tương đương đồng luân, nhưng ngược

lại thì không đúng Không gian tương đương đồng luân đến một điểm được

gọi là “ co rút được”

1.2 Tế bào

Định nghĩa: Trong không gian  , quả cầu đóng n chiều được kí hiệu n

là B n = {x∈ n: x ≤ 1}, trong đó x kí hiệu cho chuẩn Euclide của x Một

không gian được tạo thành bởi ảnh của n

B qua một phép đồng phôi nào đó được gọi là một n - t ế bào

Định nghĩa: Một cặp (X,ε bao g) ồm một không gian Hausdorff X và

một phân hoạch tế bào ε của X được gọi là một CW – phức nếu thỏa ba điều

kiện sau đây:

1 Với mỗi n - tế bào e∈ε , có một ánh xạ φe:B n → X hạn chế thành

một đồng cấu |int( )n : int( )

1.4 Số siêu phức (Quaternion)

1.4.1 Định nghĩa

Như là một tập hợp, các số siêu phức H tương đương như 4

 H có ba

toán tử : cộng, nhân vô hướng, và nhân siêu phức:

• Tổng của hai phần tử của H được định nghĩa như tổng các phần tử trong

4



• Tương tự, tích của một phần tử của H với một số thực được định nghĩa

là giống như tích bởi một vô hướng trong 4



• Để xác định tích của hai phần tử trong H đòi hỏi một sự lựa chọn cơ sở

cho 4

 Các phần tử của cơ sở này ký hiệu là 1, , ,i j k Mọi phần tử của

H có thể được viết một cách duy nhất như một sự biểu diễn tuyến tính

của các phần tử cơ sở này, ví dụ như a1+ + +bi cj dk,∀a b c d, , , ∈

Phần tử cơ sở 1 sẽ là phần tử đơn vị của H, có nghĩa là nhân với 1 thì không có gì thay đổi, và vì lý do này, các phần tử của H thường được

viết a+ + +bi cj dk,∀a b c d, , , ∈ , bỏ đi phần tử cơ sở 1

Nếu a+ + +bi cj dk,∀a b c d, , , ∈ là một siêu phức bất kì, thì a được

gọi là phần vô hướng và bi cj dk+ + là phần vectơ Tất cả các số siêu phức

có thể được xem như là một vectơ trong một không gian vectơ bốn chiều

Số có dạng a+ +0i 0j+0 ,k a ∈, được gọi là thực

Số có dạng 0+ + +bi cj dk, , ,b c d∈ và ít nhất ,b c hoặc d khác 0,

được gọi là ảo thuần túy

Liên hợp của một số siêu phức tương tự liên hợp của số phức Gọi

q= + + +a bi cj dk là một số siêu phức Các liên hợp của q là số siêu phức

*

q = − − −a bi cj dk Nếu p và q là các số siêu phức thì ( )* * *

pq =q p

(a1 +b i1 +c j1 +d k1 )(a2 +b i2 +c j2 +d k2 ) được gọi là tích Hamilton và được

xác định như là tích các phần tử cơ sở với luật phân phối:

Tính ch ất kết hợp nhưng không giao hoán của phép nhân

Không giống phép nhân của số thực hoặc số phức, phép nhân số siêu

phức là kết hợp nhưng không giao hoán

1.5 Octornion

1.5.1 Định nghĩa

Các octonion (O) có thể được coi như bộ 8 các số thực trong 8

 Mỗi octonion là một tổ hợp tuyến tính thực của các octornion đơn vị

• Tổng của hai phần tử của O được định nghĩa như tổng các phần tử trong

8



• Phép nhân phức tạp hơn Nhân là phân phối trên phép cộng, vì vậy tích

của hai octornion bất kì được xác định bằng cách lấy tổng các tích của

tất cả các số hạng Các tích của mỗi số hạng có thể được đưa ra bởi phép nhân các hệ số và tích các octornion đơn vị với luật như sau:

được xác định bởi

( )( ) ( * *)

z là liên hợp của các siêu phức z

Định nghĩa này tương đương với định nghĩa đưa ra ở trên khi tám octonion đơn

xy = y x Trong đó:

• Phần thực của x được cho bởi

*

0 0.2

x = x x Chuẩn này phù hợp với chuẩn Ơclit trên 8

x

− = Rõ ràng nghịch đảo này thỏa 1 1

x x− =x x− =

1.5.3 Tính ch ất

Phép nhân Octonion là :

• Không giao hoán :e e i j = −e e j i ≠e e j i nếu ,i j≠ hoặc 0 i≠ j

• Cũng không kết hợp :( )e e e i j k = −e e e i( ) ( )j k ≠e e e i j k nếu , ,i j k là phân

biệt, khác không hoặc nếu e e ≠ ± e

Vì tính không kết hợp, octonion không có ma trận biểu diễn, không giống như số siêu phức

1.6 K – đại số

Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết vành, một đại số trên một vành giao hoán là sự khái quát từ khái niệm của một đại số trên một trường, trong đó trường cơ sở được thay thế bằng vành giao hoán

Định nghĩa: được gọi là một - đại số nếu nó là một không gian

vectơ với hai ánh xạ tuyến tính và

thỏa hai điều kiện sau đây:

1 Sơ đồ sau giao hoán:

là các phép nhân vô hướng thì sơ đồ sau giao hoán:

Theo định nghĩa này sơ đồ thứ nhất nói lên rằng - đại số là kết hợp,

và sơ đồ thứ hai chỉ ra sự tồn tại của đơn vị trong

1.7 Đối đại số

Định nghĩa: được gọi là một - đối đại số nếu nó là một không gian

vectơ với hai ánh xạ tuyến tính (đối tích) và (đối đơn vị ) với

và thỏa hai điều kiện sau đây:

1 Sơ đồ sau giao hoán:

thì sơ đồ sau giao hoán:

1.8 Song đại số

Định nghĩa: một song đại số là một không gian vectơ

trong đó là một đại số và là một đối đại

số và thỏa cả hai điều kiện sau:

1 là đồng cấu đại số

2 là đối đồng cấu đại số

= ⊕ của các không gian vectơ trên K

sao cho phép nhân trong K thỏa mãn A A s r ⊆ A s r+ Phần tử của thừa số A n bất

kì trong sự phân tích được gọi là phần tử thuần nhất có bậc n

Chương 2 H – KHÔNG GIAN VÀ ĐỐI H – KHÔNG GIAN

Chương 2 của luận văn dành cho việc trình bày các khái niệm và những

ví dụ cụ thể về H – không gian

2.1 H – không gian

2.1.1 Định nghĩa

Một không gian tôpô X được gọi là một H – không gian ( hay còn gọi là

không gian Hopf ) nếu tồn tại một phép toán 2 ngôi liên tục : X Xµ × → X

và một điểm p X∈ sao cho cả hai hàm số :

( ) ( )

1, 2

j j được xác định như sau :

( ) ( ) ( ) ( )

“ Một CW phức X có điểm cơ sở p X∈ là một 0 − tế bào, nếu có một ánh xạ : X Xµ × → sao cho các ánh xạ đi từ X X → biến X x µ(x p, ) và

( , )

xµ p x là đồng luân với ánh xạ đồng nhất thì X là một H – không gian’’

2.1.2 Định nghĩa

Một không gian (X,µ)được gọi là H – không gian đồng luân kết hợp nếu X

là một H – không gian và thỏa sơ đồ sau :

trong đó µ µ( ×id)µ(id×µ)

2.1.3 Định nghĩa

Một không gian (X,µ)được gọi là H – không gian đồng luân giao hoán

nếu X là một H – không gian và thỏa sơ đồ sau :

Cho (X,µ)và (X', 'µ ) là các H – không gian, và ánh xạ h X: → X' Ta

gọi h là một H – ánh xạ ( sau đây ta sẽ kí hiệu H – ánh xạ như sau

h X µ → X µ ) nếu sơ đồ sau đây là đồng luân giao hoán:

2.1.5 Ví d ụ

Nếu G là một nhóm tôpô thì G cũng là một H – không gian Đây là ví

dụ cổ điển nhất về H – không gian

Trước tiên ta sẽ nhắc lại về định nghĩa nhóm tôpô : “Một nhóm tôpô G

là một không gian tôpô và cũng là một nhóm sao cho các phép toán của nhóm:

Khi đó với p là đơn vị của nhóm tôpô G, hai ánh xạ :

n Thật vậy đây là một không gian con mở từ các ma

trận khả nghịch có định thức khác không, và hàm định thức M n( ) → là

liên tục Phép nhân trong nhóm chính là phép nhân các ma trận, chắc chắn là liên tục, và không phải là khó để thấy rằng ma trận nghịch đảo cũng liên tục

Do đó, nhóm tôpô GL n( ) cũng là một H – không gian Tương tự như vậy nhóm tôpô GL n( ) cũng là một H – không gian

Các H – không gian đơn giản nhất nhìn từ quan điểm tôpô chính là các

kết luận rằng X là một H – không gian thì chưa chắc X đã là một nhóm

tôpô

Tất nhiên 0 { }

1

S = ± cũng là một nhóm tôpô tầm thường Một định lý nổi

tiếng của J F Adams ( định lý bất biến Hopf ) đã khẳng định rằng : “chỉ

không và có được tích cảm sinh P ∞×P∞ → với các tính chất tương P∞

tự Do đó P∞là một H – không gian kết hợp, giao hoán với đơn vị nghiêm

ngặt

Thay vì việc tạo ra bởi tất cả các vô hướng khác 0, ta có thể tạo ra chỉ

bởi vô hướng của các dạng 2 ik q/

e π

ρ , với ρ là số thực dương tùy ý, k là số

nguyên tùy ý và q là một số nguyên dương cố định Thương số ∞ −{0}dưới phép đồng nhất này, một không gian thấu kính vô hạn chiều L∞ với

1

k k

X

≥

 bởi việc đồng nhất hóa (x x1, 2, , x i x v k) ới (x x1, 2, , xi x k) nếu x i =e, một cách chọn

của X Chúng ta có thể xem điểm thuộc J X ( ) như là một k −bộ (x x1, 2, , x i x v k) ới k ≥ 0 và không tồn tại x i =e

Không gian này có thể được cung cấp một cấu trúc H – không gian như sau:

Định nghĩa phép nhân trên J X b( ) ởi:

(x1, x k)(y1, ,y k) (= x1, ,x y k, , ,1 y k) Phép nhân này hiển nhiên là kết hợp và phần tử đơn vị là e , trong đó e

là phần tử đơn vị trong X Dễ dàng kiểm tra được rằng :

(x1, x k)( ) (e = x1, ,x e k, ) (= x1, x k)

bằng định nghĩa của J X Các không gian ( ) J X ( ) cũng là H – không gian,

với phép nhân được cho bởi(x1, x m)(y1, ,y n) (= x1, ,x y m, , ,1 y n), và có một

phần tử đơn vị e Ta có thể mô tả J X( ) là H – không gian kết hợp tự do sinh ra bởi X

Xây dựng phạm trù H – không gian

Nếu (Y m, ) là một H – không gian, X là không gian bất kì, thì tập

[X Y có th, ] ể được cung cấp cho một toán tử hai ngôi, được xác định như sau:

• f + = * m(f × ∆ =*) m f( ),* =mj f1  f ( vì mj1iddo định nghĩa của

H – không gian Y ) với *: X →Y là ánh xạ hằng

Vì vậy α + =0 α,0+ = , trong đó α α 0 là lớp đồng luân của ánh xạ

hằng Do đó, với (Y m là H – không gian, ph, ) ần tử 0∈[X Y, ] là một đơn vị 2 phía của toán tử hai ngôi

• Vì p1 + p2 =m p( 1× p2)∆ =m p p( 1, 2)= , nên rõ ràng ta nhm ận được :

m= p + p X ×X →X

trong đó p p1, 2:X ×X → X là hai phép chiếu

• Ta thu được phạm trù H – không gian bao gồm vật là các H – không gian, xạ là lớp đồng luân của các H – ánh xạ

Nhắc lại một vài ký hiệu các phạm trù:

• HoTop* : phạm trù đồng luân cơ sở

• Gr: phạm trù nhóm

• Sets*: phạm trù các tập hợp được đánh dấu

• *: phạm trù các tập hợp được đánh dấu với một toán tử hai ngôi và

xạ là hàm cơ sở bảo toàn toán tử hai ngôi (đồng cấu)

• *: phạm trù con đầy của * gồm các tập hợp được đánh dấu mà

toán tử hai ngôi là giao hoán

Khi đó, ta có các hàm tử quên (forgetful functors) * →Sets*và Gr→ *

Bây giờ, lấy Y là một không gian cố định và xác định một hàm tử phản

Ta nói rằng nhân tố Y :HoTop* →Sets* là xuyên qua * nếu thỏa hai

điều sau đây :

• Với mọi không gian X , tập [X Y là m, ] ột tập cơ sở có một toán tử hai ngôi với lớp đồng luân của ánh xạ hằng có một đơn vị hai phía

• Với mọi ánh xạ :f X → X' thì * [ ] [ ]

f X Y → X Y là đồng cấu Tương tự, nhân tố Y :HoTop* →Sets* xuyên qua Gr nếu thỏa hai điều sau đây :

• Với mọi không gian X , tập [X Y, ] là một nhóm với đơn vị là lớp đồng luân của ánh xạ hằng

Lấy (Y m là m, ) ột H – không gian

Lưu ý rằng [X Y là m, ] ột tập hợp với toán tử 2 ngôi trong đó

0là đơn vị 2 phía

Nếu :f X → X' là một ánh xạ, [ ] [ ] [a , b ∈ X Y', ] thì :

(a+b f) =m a b( × ∆) X'f =m af( ×bf )∆ =X af +bf Suy ra : *( [ ] [ ] ) *[ ] *[ ]

f a + b = f a + f b Vì vậy nhân tố Y :HoTop* →Sets*

xuyên qua *

( )⇐

Ngược lại, ∀X,[X Y, ] là một vật của *với tính chất * [ ] [ ]

f X Y → X Y

là một đồng cấu, với mọi ánh xạ :f X →X' Lấy toán tử hai ngôi xác định

bởi + và lấy [ ]* là đơn vị hai phía, trong đó * là ánh xạ hằng Bây giờ, xác định m Y: × →Y Y bởi [ ] [ ] [ ] [m = p1 + p2 ∈ ×Y Y Y, ], trong đó p p1, 2 là hai phép chiếu của Y×Y lên Y

Khi đó, nếu j j Y1, 2: → ×Y Y là hai bao hàm

Nếu (Y m và , ) (Y m là các H – không gian và ', ') h Y m:( , ) (→ Y m', ') là

một H – ánh xạ, thì h *:[X Y, ] [→ X Y, '] là một đồng cấu của các tập hợp cơ

sở với một toán tử hai ngôi

Ch ứng minh:

Lấy [ ] [ ] [a , b ∈ X Y, ] thì:

h a+b =hm a b× ∆m h h a b× × ∆ =ha+hb Vì vậy h* là một đồng

cấu.

2.2 Đối H – không gian

Ta cũng thu được một kết quả khác từ H – không gian thông qua phương pháp đối ngẫu

Chú ý rằng X ∨ X ⊆ ×X X , vì vậy mỗi phần tử của X ∨X có dạng ( )x,* hoặc ( )*, x với mọi , 'x x ∈ X

Một không gian (X c, )được gọi là đối H – không gian đồng luân kết hợp

nếu X là một đối H – không gian và thỏa sơ đồ sau :