Toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian hilbert

Do đó để nắm vững các kiến thức cơ bản của giải tích hàm đồng thời với quyết tâm bước đầu nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài “Toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilber

MỞ ĐẦU

1, Lí do chọn đề tài

Lí thuyết hàm và giải tích hàm là bộ môn lí thuyết được ra đời và phát triển từ những năm đầu thế kỉ XX Nó có tầm quan trọng, có những ứng dụng trong các ngành toán học, có thể nói giải tích hàm là một môn học có tầm quan trọng đối với sinh viên khoa toán Vì vậy việc học và nắm vững môn học này là điều rất cần thiết đối với sinh viên khoa toán

Nội dung của giải tích hàm rất phong phú, đa dạng cùng với sự mới mẻ

và cái khó của môn học này đã làm cho việc tiếp thu những kiến thức của giải tích hàm trở thành không dễ dàng đối với sinh viên khoa toán

Do đó để nắm vững các kiến thức cơ bản của giải tích hàm đồng thời

với quyết tâm bước đầu nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài “Toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert” để làm khóa luận

khóa luận tốt nghiệp

2, Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn

về giải tích hàm đặc biệt là lí thuyết toán tử

3, Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert

4, Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận

Phương pháp phân tích, tổng hợp và đánh giá

Đọc tài liệu và tra cứu

5, Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

NỘI DUNG Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian Hilbert

1.1.1 Không gian véctơ

Cho X là tập tùy ý khác rỗng trên trường P (P là trường số thực ¡

hoặc trường số phức £ ) cùng với hai ánh xạ (gọi là phép cộng “+” và phép nhân với vô hướng “.” )

Giả sử có hai phép toán trong X :

Các phần tử của X được gọi là các véctơ, các phần tử của P được gọi

là các vô hướng Không gian véctơ X trên trường P còn gọi là P_không gian véctơ X

Khi P=¡ thì X là không gian véctơ thực;

Khi P=£ thì X là không gian véctơ phức

x ¡ , k n 0,1,2,

1.1.2 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1

Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn)

là không gian véctơ X trên trường P(P ¡ hoặc P £ ) cùng với một ánh

xạ từ X vào tập số thực ¡ , kí hiệu là và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên

Ví dụ:

Không gian ¡ với chuẩn 3 3 2

1

i i

x x , x x x x1, 2, 3 ¡ 3 là không gian định chuẩn

Các phần tử x y z, , ,… gọi là các nhân tử của tích vô hướng, x y, gọi

là tích vô hướng của hai nhân tử x y,

Các tiên đề T1, T2, T3, T4, gọi là hệ tiên đề tích vô hướng

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y, phụ thuộc tuyến tính

1.1.5 Định nghĩa không gian Hilbert

Giả sử , là một tích vô hướng trên X Khẳng định , ,

x x x x X xác định một chuẩn trên X được gọi là cảm sinh bởi tích vô hướng

1, H là không gian véctơ trên trường P;

2, H được trang bị một tích vô hướng , ;

3, H là không gian Banach với chuẩn x x x, , x H

Nếu P ¡ (hoặc P £ ) thì không gian Hilbert tương ứng là không gian Hilbert thực (hoặc phức )

x x thì ¡ n cùng với tích vô hướng là không gian

Và cảm sinh bởi tích vô hướng này 2

1

n

Vậy l2 cùng tích vô hướng là không gian Hilbert

Định nghĩa (không gian con của không gian Hilbert)

Mọi không gian véctơ con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H

Cho không gian Hilbert H và A là tập con của H, A Phần tử

x H gọi là trực giao với tập A nếu x trực giao với mọi phần tử trong A

hội tụ trong không gian H khi và chi khi chuỗi 2

1

n n

x hội tụ thì dãy tổng riêng s k của chuỗi này là dãy cơ

bản Do đó nhờ hệ thức (*) và và tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi số,

Ngược lại, nếu chuỗi 2

1

n n

x hội tụ, thì từ hệ thức (*) suy ra dãy tổng

riêng s k của chuỗi

1

n n

x là một dãy cơ bản Từ đó và từ tính đầy của của

không gian H suy ra chuỗi

1

n n

x hội tụ trong không gian H

Định lí được chứng minh W

Định nghĩa 1.1.6.5

Cho hai không gian Hilbert Hvà không gian con E H Tập con

F H gồm các phần tử của không gian H trực giao với tập E gọi là phần

bù trực giao của tập E trên không gian Hvà kí hiệu:

1.1.7 Đinh lí về hình chiếu lên không gian con

Cho không gian Hilbert H và H là không gian con của 0 H Khi đó

phần tử bất kì x H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

1.1.8 Hệ trực chuẩn – Quá trình trực giao hóa Hilbert–Schmidt

- Mọi hệ trực chuẩn đều độc lập tuyến tính

- Ngược lại giả sử x n n 1 H là một hệ độc lập tuyến tính, ta có thể xây dựng một hệ trực chuẩn từ hệ

Ánh xạ A X: Y gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu thỏa mãn:

Vậy A là toán tử tuyến tính

1.2.2 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert

Cho không gian Hilbert X và Y , toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C 0 sao cho:

Suy ra: Tồn tại A ¡: k ¡ k

+ A tuyến tính

gTính cộng tính

Vậy A là toán tử tuyến tính liên tục

1.2.3 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục

Nhờ các tính chất của tích vô hướng và bất đẳng thức Schwarz, công thức

, ,

Xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian H

Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kì trên H

Kí hiệu H0 x H f x, 0 Ta thấy ấy H là không gian tuyến 0

tính con của không gian H , vì x y, H0, a b, P ta có:

Do đó H là một không gian con của không gian 0 H

Nếu H0 H , chọn phần tử a , ta được biểu thức (1.2.1):

0 0

Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian L a b p , p 1 đều

có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

b

p a

Trong đó hàm số y t L a b p , , 1 1 1

p q được xác định duy nhất

bởi phiếm hàm f và f y q

1.2.4 Toán tử liên hợp

Định nghĩa

Cho toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Hilbert Y vào không gian Hilbert X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu:

A liên hợp với toán tử A ánh

xạ không gian Y vào không gian X

Nghĩa là phiếm hàm f tuyến tính bị chặn và y f y A y Theo định

lí Riesz, tồn tại duy nhất phần tử *

k

n n k n

n n

x

Khi đó

1 ,

Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính

nó gọi là tự liên hợp, nếu:

Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng

Tìm toán tử tự liên hợp của A?

Dễ thấy Alà toán tử tuyến tính bị chặn nên tồn tại toán tử liên hợp *

A Giả sử *

A là toán tử liên hợp của toán tử A nghĩa là:

* 2

Cho không gian Hilbert H Dãy điểm x n H gọi là hội tụ yếu tới

điểm x H , kí hiệu x n yeáu x, nếu với mọi điểm y H

Định lí

Cho không gian Hilbert H Dãy điểm x n H hội tụ yếu khi và chỉ

khi dãy đó thỏa mãn các điều kiện:

1) Dãy điểm x n bị chặn theo chuẩn trong không gian Hilbert H 2) Dãy số x y n, , n 1,2, hội tụ với mỗi y thuộc tập trù mật khắp nơi trong không gian H

1.2.7 Sự hội tụ mạnh

Định nghĩa

Cho không gian Hilbert H Dãy điểm x n H gọi là hội tụ mạnh tới

Vậy dãy x n hội tụ mạnh tới x

Toán tử A trong không gian Hilbert H được gọi là toán tử Compact (hoặc toán tử hoàn toàn liên tục) nếu cho mỗi dãy bị chặn x n trong H, thì dãy Ax n chứa một dãy con hội tụ

Nếu toán tử A không bị chặn, thì ở đó tồn tại dãy x n sao cho x n 1,

với mọi n ¥ , và Ax n Thì Ax n không chứa dãy con hội tụ, có nghĩa

là A không là toán tử Compact

Định lí được chứng minh W

Định lí 1.2.9.3

ChoA là toán tử Compact trên không gian Hilbert H, và B là toán tử

bị chặn trên H Thì AB và BA là toán tử Compact

Chứng minh:

Cho x n là một dãy bị chặn trong H, vì B là toán tử bị chăn nên dãy

n

Bx bị chặn

Mặt khác, vì A là toán tử Compact, nên dãy ABx chứa một dãy con n

hội tụ Có nghĩa là AB là toán tử Compact

Tương tự, vì A là toán tử Compact nên dãy Ax n chứa một dãy con hội tụ Ax pn

Vì B là toán tử bị chặn, nên dãy BAx pn hội tụ Do đó BA là toán tử

Chương 2 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÔNG BỊ CHẶN TRONG

KHÔNG GIAN HILBERT

A z không tiến tới 0

2.2 Toán tử tuyến tính không bị chặn

Sau đây là một vài vấn đề cơ bản, những khái niệm, và những phương pháp trong toán tử tuyến tính không bị chặn

2.2.1 Mở rộng của toán tử

Định nghĩa

1) Nói B là mở rộng của A và viết là A B

Định lí

Cho A là toán tử xác định trên miền trù mật trong không gian Hilbert

H và X là bộ tất cả y H với Ax y là hàm liên tục trên D A Ở đó tồn ,tại duy nhất toán tử B định nghĩa trên X sao cho:

n y

f x x z x H Đặt B y z y

Cho C ¡ là không gian của hàm lấy vi phân được một cách liên tục 01

¡ , với giá Compact

Nó là không gian con trù mật của 2

Thì Bx y khi hàm của , x là hàm liên tục trên D B

Ta có D A D B (vì A B) nên Bx y là hàm liên tục trên D A ,Lại có Bx Ax (vìA B) cho x D A thì Ax y là hàm liên tục ,trên D A

Mặt khác theo tính duy nhất của toán tử liên hợp thì * *

A x B y với

*

Từ (*) và (**) suy ra * *

(b) Thấy rằng điều kiện

Nếu A là toán tử một-đối-một trong không gian Hilbert, cả toán tử A

và toán tử ngược A là toán tử xác định trên miền trù mật, thì 1 A là toán tử *

Sau đó, lấy tùy ý 1 *

2.2.4 Toán tử tự liên hợp

Cho A là toán tử xác định trên miền trù mật trong không gian Hilbert

H Toán tử A được gọi là tự liên hợp nếu A A *

n n

Vì Ax y, x A y , , * x D A , y D A * (1) Theo giả thiết *

Trên không gian con các hàm xác định và bị chặn trên đoạn 0,1 của

không gian Hilbert L2 0;1 cho phiếm hàm:

12

2 1 1,

2

n khi t n

f x x n và x 1, n 1,2,3,

Vậy f là phiếm hàm tuyến tính không bị chặn

gTa có thể tổng quát bài toán với khoảng ;a b tùy ý như sau:

Bài toán: Trên không gian con các hàm xác định và bị chặn trên đoạn a b ;của không gian Hilbert L a b , 2 ; t là điểm cố định thuộc 0 a b , ; f là một hàm trên H định nghĩa bởi f x x t0 , thì f là hàm tuyến tính nhưng không bị chặn

Vậy toán tử vi phân trên không bị chặn

Ta có thể tổng quát bài toán với khoảng ,a b tùy ý

KẾT LUẬN

Qua quá trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận, tôi đã bước đầu làm quen với cách làm việc khoa học, hiệu quả Qua đó tôi cũng củng cố thêm kiến thức giải tích hàm, đồng thời thấy được sự phong phú, lí thú của toán học Đặc biệt trong khóa luận này tôi nghiên cứu một cách khái quát một số vấn đề của lí thuyết toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert

Mặc dù có nhiều cố gắng, song do nhiều hạn chế về thời gian và kiến thức nên khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót Em mong được sự đóng góp của các thầy, cô và các bạn

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Phạm Thị Thu Hương

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1, Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm (tập 1), Nxb Đại học và Trung học

chuyên nghiệp

2, Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học và Kĩ thuật Hà Nội

3, Nguyễn Phụ Hy (2007), Bài tập giải tích hàm, Nxb Khoa học và Kĩ thuật

Hà Nội

4, Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục

5, Nguyễn Xuân Liêm (1997), Bài tập giải tích hàm, Nxb Giáo dục

6, Lokenath Debnath and Piotr Mikisi’nski (2005), Hilbert spaces with

applications

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy, cô trong tổ giải tích, khoa toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Tiến sĩ Bùi Kiên Cường đã tao điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình cho em để em có thể

hoàn thành khóa luận này

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khóa luận tốt nghiệp không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy, cô giáo và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Phạm Thị Thu Hương

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập nghiên cứu ở bậc đại học Bên cạnh đó, em cũng nhận được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa toán đặc biệt là sự hướng dẫn tận

tình của thầy Bùi Kiên Cường

Vì vậy em xin khẳng định kết quả của đề tài „„Toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert‟‟ không có sụ trùng lặp với kết quả

của các đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Phạm Thị Thu Hương

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 2

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Không gian Hilbert 2

1.1.1 Không gian véctơ 2

1.1.2 Không gian định chuẩn 3

1.1.3 Tích vô hướng 4

1.1.4 Bất đẳng thức Schwarz 5

1.1.5 Định nghĩa không gian Hilbert 5

1.1.6 Tính trực giao 7

1.1.7 Đinh lí về hình chiếu lên không gian con 9

1.1.8 Hệ trực chuẩn – Qúa trình trực giao hóa Hilbert–Schmidt 10

1.2 Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert 11

1.2.1 Toán tử tuyến tính 11

1.2.2 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert 13

1.2.3 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục 14

1.2.4 Toán tử liên hợp 17

1.2.5 Toán tử tự liên hợp 20

1.2.6 Sự hội tụ yếu 23

1.2.7 Sự hội tụ mạnh 23

1.2.8 Toán tử Compact 24

Chương 2 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÔNG BỊ CHẶN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 27

2.1 Định nghĩa và ví dụ 27

2.2 Toán tử tuyến tính không bị chặn 27

2.2.1 Mở rộng của toán tử 27

2.2.2 Toán tử xác định trên miền trù mật……….28

2.2.3 Liên hợp của toán tử xác định trù mật……….29

2.2.4 Toán tử tự liên hợp 32

2.2.5 Toán tử đối xứng 32

2.2.6 Toán tử đóng 34

2.3 Một số ví dụ minh họa 35

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40