Toán tử tuyến tính trong không gian hilbert

Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về các toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert : toán tử đồng nhất, toán tử không, toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp, toán tử đơn vị, toán tử comp

Lời cảm ơn!

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán đã giúp đỡ

em trong suốt bốn năm học tập và nghiên cứu dưới mái trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Đặc biệt em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo, tiến sĩ Bùi Kiên Cường đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo để em hoàn thành khoá luận của mình

Cuối cùng em xin cảm ơn các thầy cô trong tổ giải tích và bạn bè đã tạo điều kiện, đóng góp ý kiến hữu ích để em hoàn thành tốt luận văn này

Hà nội, năm 2010

Tác giả

Lê Thị An

Lời cam đoan

Luận văn này là kết quả của em trong quá trình học tập và nghiên cứu vừa qua, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, tiến sĩ Bùi Kiên Cường

Em xin cam đoan luận văn về đề tài „„Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert ‟‟ không trùng với bất kỳ luận văn nào khác

Người thực hiện

Mục lục

Mở đầu 4

Chương 1: Những khái niệm và kết quả mở đầu 5

1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach 5

1.2 Toán tử tuyến tính 6

1.3 Không gian Hilbert 7

Chương 2: Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert 10

2.1 Một số ví dụ về toán tử 10

2.2 Hàm song tuyến tính và dạng toàn phương 16

2.3 Toán tử liên hợp và tự liên hợp 24

2.4 Toán tử khả nghịch, toán tử trực giao, toán tử đẳng cự và toán tử Unita 30

2.5 Toán tử dương 36

2.6 Phép chiếu 44

2.7 Toán tử compact 50

2.8 Giá trị riêng và vectơ riêng 58

2.9 Sự phân tích phổ……… 69

Chương 3: Toán tử không bị chặn 73

Kết luận……… 85

Tài liệu tham khảo……… 86

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích hàm là một bộ môn học rất lý thú của toán học, có nhiều ứng dụng trong vật lý, các chuyên ngành khác của toán học,… Do thời gian học ngắn nên chưa đủ để sinh viên nghiên cứu sâu từng vấn đề của giải tích hàm

Chương “Không gian Hilbert” là nội dung gần cuối trong chương trình học, chứa nhiều nội dung mới và tương đối khó

Để tìm hiểu, nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này em đã chọn đề tài:

“Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert”

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy logic đặc thù của bộ môn

Khắc sâu các kiến thức về toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về các toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert : toán tử đồng nhất, toán tử không, toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp, toán tử đơn vị, toán tử compact, toán tử không bị chặn

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kí hiệu, kết luận và danh mục tài liệu, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Những khái niệm và kết quả mở đầu

Chương 2: Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert

Chương 3: Toán tử không bị chặn

Chương 1: Những khái niệm và kết quả mở đầu

1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1: Giả sử X là không gian vectơ trên trường ( hoặc )

Ta gọi chuẩn trong X là một ánh xạ

Định nghĩa 1.1.2: Không gian định chuẩn là một cặp X, Trong đó X

là không gian tuyến tính, là một chuẩn trong X

Khi đó X, là một không gian định chuẩn

Kí hiệu l p X,

b

p a

p p

Định nghĩa 1.1.5 (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) :

X là không gian định chuẩn Dãy ( ) x các phần tử của X được gọi là n hội tụ đến phần tử a X nếu lim n 0

Định nghĩa 1.1.6 (Dãy Cauchy trong không gian định chuẩn):

Dãy ( )x là dãy Cauchy trong không gian định chuẩn X nếu n

Định nghĩa 1.2.1: Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường Ánh

xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu A thỏa mãn

Khi A thỏa mãn điều kiện 1) thì A gọi là ánh xạ cộng tính

Khi A thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là ánh xạ thuần nhất

Khi Y thì A gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.2.2: Cho X và Y là hai không gian định chuẩn Toán tử tuyến

tính từ không X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c 0 :

Định nghĩa 1.2.3: Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X

vào không gian định chuẩn Y Hằng số c 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (1.1)

gọi là chuẩn của toán tử A

Định lý 1.2.5: Cho toán tử toán tính A từ không gian định chuẩn X vào

không gian định chuẩn Y Nếu A bị chặn thì

1

x

1.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.3.1: (Tích vô hướng) Giả sử X là không gian tuyến tính trên

trường Tích vô hướng trong X là ánh xạ

:( , ) ( , )

Từ định nghĩa suy ra:

+ Nếu x=0 hoặc y=0 thì x y, 0

+ x y, z x y, x z, , x y z, , X

+ x, y x y, , K; ,x y X

Định nghĩa 1.3.2: Không gian tích vô hướng là một cặp X, , , X là không

gian tuyến tính

Định nghĩa1.3.3: Không gian Hilbert là không gian tích vô hướng và là

không gian đinh chuẩn với chuẩn x x x x, , X

Ta gọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là

không gian Hilbert con của không gian Hilbert H

Ví dụ 1.3.4: Không gian £k với tích vô hướng xác định bởi:

1

k j j

Định lý 1.3.5 (Định lý Riezs): Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không

gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

f ( x ) x,a , x H

Trong đó a H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và ta có:

Chương 2: Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert 2.1.Một số ví dụ về toán tử tuyến tính

Trong phần này chúng ta chỉ quan tâm đến những toán tử bị chặn

Để ngắn gọn, ta chỉ viết toán tử thay cho toán tử tuyến tính

Ví dụ 2.1.1: (Toán tử đồng nhất và toán tử không)

Ví dụ đơn giản nhất về toán tử là toán tử đồng nhất I và toán tử không Toán tử đồng nhất biến mọi phần tử thành chính nó,tức là, Ix=x với

mọi x E

Toán tử không biến mọi phần tử của E thành vectơ 0

Toán tử không được kí hiệu là 0

Dễ thấy toán tử đồng nhất và toán tử không là bị chặn và ta có I 1,

0 0

Phép nhân vô hướng I của toán tử đồng nhất là một toán tử, toán tử

này nhân mọi phần tử với vô hướng , tức là, I x x

Ví dụ 2.1.2 Cho A là một toán tử trong £ N và { e1, e2,…, eN} là cơ sở trực chuẩn chính tắc trên £ N, tức là,

1

2

1,0,0, ,00,1,0, ,0

0,0,0, ,1

N

e e

Do đó, với mỗi toán tử trong không gian £N đươc xác định bởi N×N

ma trận Ngược lại, với mỗi N×N ma trận ij , công thức (2.1) xác định một

toán tử trong£ N Vậy ta có một sự tương ứng 1-1 giữa những toán tử trong

không gian vectơ N-chiều và các N×N ma trận Nếu toán tử A được định

nghĩa bởi ma trận ij , thì

2 ij

N N

i j A

Điều này đúng với mọi toán tử trong £ N, và do đó mọi toán tử trong không gian Hilbert có số chiều hữu hạn đều bị chặn

Toán tử trong ví dụ sau được xác định trong một không gian con riêng của một không gian Hilbert

Ví dụ 2.1.3 (Toán tử vi phân) Một trong số những toán tử có vai trò quan

trọng trong toán học ứng dụng là toán tử vi phân

L được trang bị chuẩn chính tắc f f x( )2dx , khi

đó toán tử vi phân là không bị chặn

Thật vậy, cho f n (x)=sin nx, n=1, 2, 3,…, ta có

Ví dụ 2.1.4 (Toán tử tích phân) Một lớp toán tử quan trọng khác là toán tử

tích phân Toán tử tích phân được xác định bởi

( ) ( , ) ( ) ,

b

a

Tx s K s t x t dt Trong đó a và b là hữu hạn hoặc vô hạn, a < b, và K là một hàm xác định trên hình vuông (a, b)× (a, b) Hàm K được gọi là hạt nhân của toán tử Miền xác định của toán tử tích phân phụ thuộc vào K Nếu

Hai toán tử A và B gọi là bằng nhau, A=B, nếu (a)= (b) và

A(x)=B(x) với mọi x thuộc miền xác định chung Tổng của hai toán tử được

xác định bởi:

(A+B)(x)= Ax + Bx

Và (A + B)= (A) + (B) Ta luôn có miền xác định của một toán tử tuyến tính là một không gian vectơ con (A) ∩ (B) không bao giờ rỗng vì 0∈ (A)∩ (B) Do đó trong trường hợp ít nhất ta phải có

Tích của A và B còn gọi là sự hợp thành của A và B Trong một số

trường hợp từ “tích” được thay cho “sự hợp thành”

Khi một toán tử A nhân với một vô hướng λ, thì kết quả được xem như tích của phép nhân toán tử Iλ và A, tức là, λA= (Iλ)A Điều này không làm

thay đổi tích chất của toán tử Trong một vài trường hợp, nó thuận lợi trong việc xác định các vô hướng với phép nhân toán tử

Vì IA = 1A, toán tử đồng nhất thường được kí hiệu 1

Những toán tử đã được định nghĩa ở trên có những tính chất hiển nhiên sau:

A + B = A + B, (A + B)+C=A + (B + C), A + 0 = A,

(A + B) = A + B, A A A , A0=0,

A(BC) = (AB)C, (A + B)C= AC + BC, AI=IA,

Trong trường hợp tổng quát không khẳng định được rằng:

A(B + C)=AB +AC

Tích các toán tử là không giao hoán, tức là AB chưa chắc bằng BA Toán tử A và B mà AB = BA được gọi là toán tử giao hoán

Ví dụ 2.1.6 (Toán tử không giao hoán) Cho A và B là các toán tử trong £ 2được xác định bởi các ma trận

(Xem ví dụ 2.1.2) Khi đó AB BA

Ví dụ 2.1.7 (toán tử không giao hoán) Xét các toán tử

Af(x) = xf(x) và D= d

dx

Dễ dàng kiểm tra được AD DA

Bình phương của một toán tử A được định nghĩa bằng 2

Nếu A và B là những toán tử bị chặn, thì hiển nhiên A + B và A bị chặn (với vô hướng bất kỳ) và ta có

Định lý 2.1.9 Một toán tử bị chặn trong một không gian có số chiều vô hạn

có thể biểu diễn bởi một ma trận vô hạn

Chứng minh:

Giả sử A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H và (en),

n=1, 2, 3, …là một dãy trực giao đầy đủ trên H Với i, j ¥ , đặt:

j

x e Ae (Do tính tuyến tính của A)

1

, j j

j

x e Ae

Do đó, A biểu diễn được bởi ma trận ( ij)

2.2 Phiếm hàm song tuyến tính và dạng toàn phương

Khái niệm về hàm song tuyến tính và dạng toàn phương không đòi hỏi cấu trúc của một không gian tích vô hướng Chúng có thể được định nghĩa trong một không gian vectơ bất kỳ Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến vấn đề đó

Định nghĩa 2.2.1 (Hàm song tuyến tính) Một hàm song tuyến tính trên

một không gian vecto phức là một ánh xạ : E E a £ thỏa mãn 2 điều kiện sau:

(a) ( x1 x y2, ) ( , )x y1 ( , ).x y 2

(b) ( ,x y1 y2) ( , )x y1 ( ,x y 2)

Với , là các vô hướng bất kỳ và bất kỳ x x y y y, , , ,1 1 2 E

Dễ thấy tất cả các hàm song tuyến tính trên E lập thành một không gian

vectơ

Ví dụ 2.2.2 Tích vô hướng là một hàm song tuyến tính

Ví dụ 2.2.3 Cho A, B là các toán tử trong một không gian tích vô hướng trong

E Khi đó 1( , )x y Ax y, , 2( , )x y x By, , 3( , )x y Ax By là các hàm ,

song tuyến tính trên E

Ví dụ 2.2.4 Cho f, g là các hàm tuyến tính trên không gian vectơ E Khi đó

( , )x y f x g y là hàm song tuyên tính trên E ( ) ( )

Định nghĩa 2.2.5 (Hàm đối xứng, hàm dương, hàm dương hoàn toàn, hàm

song tuyến tính bị chặn) Cho là một hàm song tuyến tính trên E

(a) gọi là đối xứng nếu ( , )x y ( , ),y x x y, E

(b) gọi là dương nếu ( , )x x 0, x E

(c) gọi là dương ngặt nếu nó dương và ( , )x x 0, x 0

(d) Nếu E là một không gian định chuẩn, gọi là bị chặn nếu

Trong ví dụ 2.2.3 nếu A và B là bị chặn thì 1, 2, 3 là bị chặn Tương

tự, nếu f và g trong ví dụ 2.2.4 bị chặn thì hàm song tuyến tính được định

nghĩa cũng bị chặn

Một hàm song tuyến tính bị chặn trên E ta có:

( , )x y x y , x y, E

Định nghĩa 2.2.6 (Dạng toàn phương) Cho là một hàm song tuyến tính

trong không gian vectơ E

Hàm Ф: E a £ xác định bởi Ф(x)= ( , ) x x được gọi là dạng toàn

phương liên hợp với

Dạng toàn phương Ф trong một không gian định chuẩn E gọi là bị chặn

Một hàm song tuyến tính và dạng toàn phương liên hợp với nó có tính chất tương tự tích vô hướng x y và bình phương của chuẩn được định nghĩa ,bởi tích vô hướng x 2 x x ,

Định lý 2.2.7 (Đồng nhất thức phân cực) Cho là một hàm song tuyến tính

trong E, và cho Ф là dạng toàn phương liên hợp với Thì:

iФ x iy iФ x x y y x iФ y

iФ x iy iФ x x y y x iФ y

Ta kết thúc chứng minh, cho 1( , )x y Ax y và , 2( , )x y Bx y ,

Định lý 2.2.9: Hàm song tuyến tính trong E là đối xứng khi và chỉ khi dạng

toàn phương liên kết Ф là số thực

Vậy hàm là hàm đối xứng trong E

Định lý 2.2.10: Một hàm song tuyến tính trong không gian định chuẩn E là

bị chặn khi và chỉ khi dạng toàn phương Ф là bị chặn, hơn nữa, ta có

Định lý 2.2.11: Cho là một hàm song tuyến tính trong không gian định

chuẩn E và cho Ф là dạng toàn phương liên hợp của nó Nếu đối xứng và

Định lý 2.2.12: Cho A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H Khi

đó hàm song tuyến tính xác định bởi ( , )x y Ax y là bị chặn và A,

Định lý 2.2.13 Cho là một hàm song tuyến tính bị chặn trong không gian

tuyến tính Hilbert H Khi đó ! toán tử bị chặn A trong H sao cho

( , )x y x Ay, , x y, H

Chứng minh:

Với y cố định H , ( , ) x y là hàm tuyến tính bị chặn trong H

Áp dụng định lý biểu diễn Riesz, ! Ay H :

Bây giờ ta chứng minh A là bị chặn Do là bị chặn, ta có :

Định nghĩa 2.2.14 (Phiếm hàm thỏa mãn điều kiện bức ): Một hàm song

tuyến tính trong không gian định chuẩn E đươc gọi là phiếm hàm thỏa mãn điều kiện bức nếu tồn tại một số dương K sao cho:

Định lý 2.2.16 (Định lý Lax-Milgram) Cho là một hàm song tuyến tính bị

chặn, thỏa mãn điều kiện bức trong không gian Hilbert H Khi đó với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn f trong H, tồn tại duy nhất x f H :

Kí hiệu tập giá trị của A là ( A )

Lấy (x ) là một dãy các phần tử của H Nếu n Ax n y 0, y H thì

Giả sử (A) là không gian con thực sự của H, x H x, 0 trực giao với (A): x Ay, 0, y H

Do đó ta có:

2

Điều này mâu thuẫn với giả thiết x 0

Nếu f là hàm tuyến tính bị chặn trong H, thì !x0 H :

f x( ) x x, 0 , x H

Do A là ánh xạ 1-1 và (A) = H nên !x f H x: 0 Ax , do đó: f

2.3 Toán tử liên hợp và tự liên hợp

Định nghĩa 2.3.1 (Toán tử liên hợp) Cho A là một toán tử bị chặn trong

không gian Hilbert H Toán tử A*: H H được xác định bởi

*

Ax y x A y x y H Gọi là toán tử liên hợp của A

Nhận xét : Do A là liên tục nên ( , ) x y Ax y là phiếm hàm song ,tuyến tính Theo định lý 2.2.13, tồn tại duy nhất toán tử liên tục *

A , để

*

luôn tồn tại và cũng là toán tử tuyến tính liên tục

Các tính chất sau được suy ra từ định nghĩa 2.3.1:

Khi đó toán tử liên hợp A*

được biểu diễn bằng ma trận *

,

kj j k

Do đó,

Một ma trận thỏa mãn điều kiện này thường được gọi là Hermitian

Ví dụ 2.3.5: Cho H là không gian có số chiều vô hạn tách được và

{e1, e2, e3,…} là dãy trực giao đầy đủ trong H A là một toán tử bị chặn trong

H biểu diễn bởi ma trận vô hạn ( ij) ( Xem định lý 2.1.9 )

Đối với trường hợp hữu hạn chiều, toán tử liên hợp *

A biểu diễn được bởi một ma trận hữu hạn ( ij)

A là tự liên hợp khi và chỉ khi ij ij, i j, ¥

Ví dụ 2.3.6: Cho T là một toán tử Fredholm trong L2([ , ])a b xác định bởi:

( )( ) ( , ) ( )

b

a

Tx s K s t x t dt Trong đó K là một hàm xác định trên [a, b]×[a, b] sao cho:

2( , )

b

a

T x s K s t x t dt

Do đó, một toán tử Fredholm là tự liên hợp nếu hạt nhân của nó thỏa mãn đẳng thức K s t( , ) K t s( , ).

Ví dụ 2.3.7: Cho A là một toán tử trong L2([a, b]) được xác định bởi (Ax t)( ) tx t ( )

Ví dụ 2.3.8: Xét toán tử A được xác định trong L ¡ : 2( )

Định lý 2.3.11: Tích của hai toán tử tự lien hợp là một toán tử tự liên hợp khi

và chỉ khi hai toán tử đó là giao hoán

Chứng minh: Giả sử A, B là các toán tử tự liên hợp Khi đó:

Định lý 2.3.13: Mọi toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert H đều tồn tại

duy nhất các toán tử tự liên hợp A và B sao cho: T A iB&T* A iB

Chứng minh: Giả sử T là một toán tử bị chặn trong H Đặt

*1

Giả sử cũng tồn tại các toán tử tự liên hợp C, D sao cho

Trong thực hành, nếu T là tự liên hợp, thì A = T và B = 0 Những toán

tử tự liên hợp giống những số thực trong £

Định lý 2.3.14: T là một toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert H Thì

2 2

Do đó T M Kết hợp với (2.5) ta có điều phải chứng minh

2.4 Toán tử khả nghịch, toán tử trực giao, toán tử đẳng cự và toán tử đơn vị

Định nghĩa 2.4.1: (Toán tử nghịch đảo) A là một toán tử xác định trong một

không gian vectơ con của E Một toán tử B xác định trên (A) gọi là nghịch đảo của A nếu ABx x, x (A) và BA x( ) x, x (A)

Một toán tử mà có toán tử nghịch đảo thì được gọi là khả nghịch

Nghịch đảo của A kí hiệu là A -1

Nếu một toán tử có nghịch đảo thì nghịch đảo đó là duy nhất

Thật vậy: Giả sử B 1 , B 2 là các nghịch đảo của A.ta

có:B1 B I1 B AB1 2 IB2 B 2

Chú ý rằng :

(A -1 ) = (A) và (A -1 ) = (A)

Định lý 2.4.2:

(a) Nghịch đảo của một toán tử tuyến tính là một toán tử tuyến tính

(b) Một toán tử A là khả nghịch khi và chỉ khi Ax 0 dẫn đến x 0

(c) Nếu một toán tử A là khả nghịch và các vectơ x1, ,x là độc lập n

tuyến tinh thì Ax1, ,Ax là độc lập tuyến tính n

(d) Nếu các toán tử A, B khả nghịch thì toán tử AB cũng khả nghịch và (AB) -1 =B -1 A -1

Ví dụ sau đây chỉ ra rằng nghịch đảo của một toán tử bị chặn không hẳn

là bị chặn

Ví dụ 2.4.3: Với E l Toán tử A trên E xác định bởi: 2

Định lý 2.4.4: A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H sao cho

( )A H Nếu A có nghịch đảo bị chặn thì liên hợp A* là khả nghịch Và

A -1 thì A -1 là tự liên hợp

Chứng minh: (A 1 *) (A*) 1 A 1

Định nghĩa 2.4.6 (Toán tử trực giao) Một toán tử bị chặn T gọi là toán tử

trực giao nếu nó giao hoán với toán tử liên hợp của nó

Tức là, TT * =T * T

Chú ý rằng T trực giao khi và chỉ khi T* trực giao

Mọi toán tử tự liên hợp là trực giao

Các định lý sau giúp ta đi tìm những ví dụ về toán tử trực giao mà không tự liên hợp

Định lý 2.4.7: Một toán tử bị chặn T là trực giao khi và chỉ khi

Định lý 2.4.9: Cho T là toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H, A và B là

các toán tử tự liên hợp trong H sao cho T A iB Khi đó T là trực giao khi

và chỉ khi A và B giao hoán

Nếu f là trực giao thì AB-AB = 0, do đó A và B giao hoán

Nếu A và B giao hoán thì từ (2.8) và (2.9) ta có:

Nếu Tx 0 thì đẳng thức trên đúng với mọi n ¥

Giả sử Tx 0 và (2.10) đúng với mọi n 1, 2, , m

Định nghĩa 2.4.11 (Toán tử đẳng cự) Một toán tử bị chặn T trong không gian

Hilbert H gọi là đẳng cự nếu Tx x , x H

Ví dụ 2.4.12: Cho (e n ) là dãy trực giao đủ trong không gian Hilbert H

1

n n n

Do đó A là toán tử đẳng cự

Định lý 2.4.13: Một toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert H là đẳng cự

khi và chỉ khi T T* I trong H

Nghĩa là, Tx Ty, x y, , x y, H

x y Tx Ty

Một toán tử đối xứng là một đẳng cấu từ không gian Hilbert H vào (T)

Định nghĩa 2.4.14 (Toán tử Unita): Một toán tử bị chặn T trong không gian

Hilbert H gọi là Unita nếu T T* TT* I trong H

Các định lý sau suy ra trực tiếp từ định nghĩa

Định lý 2.4.15: một toán tử T là Unita khi và chỉ khi nó khả nghịch và

Một toán tử Unita là toán tử trực giao, điều ngược lại chưa chắc đúng

Như trong trường hợp toán tử tự liên hợp A bất kỳ: A 1

Định lý 2.4.18: T là toán tử Unita Khi đó 1

Ví dụ 2.5.1: Cho , là các hàm không âm liên tục trên [a, b] và A, B là các

toán tử trên L2([ , ])a b xác định bởi Ax x Bx, x

Nếu ( )t ( ),t t [ , ]a b thì A B

2([a,b])

Hệ quả 2.5.3: Nếu A là toán tử tự liên hợp thì 0( ¡ ) : A I

Định nghĩa 2.5.4 (Toán tử dương) : Một toán tử A gọi là dương nếu nó tự liên

hợp và Ax x, 0, x H

Rõ ràng toán tử A và B trong ví dụ 2.5.1 là dương

Ví dụ 2.5.5: Cho K là hàm dương liên tục xác định trên [a, b]×[a,b].Toán tử

tích phân trên L2 [ , ]a b xác định bởi:

Ví dụ 2.5.8: Tích của hai toán tử dương chưa chắc dương

Thật vậy, xét toán tử trên £ xác định bởi ma trận: 2

Định lý 2.5.9: Tích của hai toán tử dương giao hoán là một toán tử dương

Chứng minh:

Giả sử A, B là các toán tử dương giao hoán

Không giảm tính tổng quát giả sử A 0 Xây dựng dãy các toán tử

1

A A

Suy ra

1 1

A x hội tụ và A x n 0 Hơn nữa,

2 1 1

n n

A x A x

Vì B giao hoán với A n, n ¥ , ta có:

2 1

n n

Chứng minh (b) Ta sẽ chứng minh rằng tập giá trị (A) là đóng và

Do đó dãy ( )x là dãy Cauchy vì dãy ( n y là dãy Cauchy n)

Vậy dãy ( )x có giới hạn trong H, n x n x Từ tính liên tục của A, ta có