Ứng dụng giải tích trong các bài toán bất đẳng thức thức

Có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, trong đó ứng dụng Giải tích để chứng minh bất đẳng thức được xem là một phương pháp nhiều khi cho lời giải đẹp, độc đáo và tỏ ra ưu việ

Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận, em đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và tạo

điều kiện của các Thầy, Cô giáo trong khoa toán, đặc biệt là các Thầy Cô giáo trong tổ giải tích trường ĐHSP Hà Nội 2

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy Cô giáo, đặc biệt là thầy giáo GVC, Ths Phùng Đức Thắng đã động viên, hướng dẫn tận tình giúp

đỡ em hoàn thành khóa luận của em

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, năm 2013

Sinh viên

Trần Thị Duyên

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng tôi Trong khi nghiên cứu tôi đã được kế thừa, tham khảo những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự tôn trọng và biết

ơn

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công trình nào khác

Hà Nội, năm 2013 Sinh viên

Trần Thị Duyên

Lời nói đầu Trong chương trình giảng dạy và học tập bộ môn toán ở nhà trường phổ thông hiện nay Bất đẳng thức chiếm một vị trí vô cùng quan trọng Bất đẳng thức có mặt trong hầu hết các phân môn Toán: Số học, Đại số, Giải tích, Lượng giác và Hình học Các bài toán về bất đẳng thức luôn quyến rũ và là niềm say mê của những người yêu toán

Có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, trong đó ứng dụng Giải tích để chứng minh bất đẳng thức được xem là một phương pháp nhiều khi cho lời giải đẹp, độc đáo và tỏ ra ưu việt hơn so với các phương pháp khác Được sự gợi ý, động viên và tận tình giúp đỡ của Thầy Phùng Đức Thắng cùng với sự say mê của bản thân em mạnh dạn nghiên cứu và thực hiện bài khóa luận với đề tài: “ứng dụng giải tích trong bài toán bất đẳng thức”

Nội dung chính của khóa luận gồm các chương:

- Chương 1: Các kiến thức bổ trợ

Chương này trình bày những kiến thức cần thiết cho việc nghiên cứu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ở chương 2

- Chương 2: ứng dụng giải tích trong bài toán bất đẳng thức

ở đây trình bày các phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng các yếu tố giải tích Cụ thể là: ứng dụng lý thuyết hàm lồi, ứng dụng tính

đơn điệu của hàm số

Các ví dụ ở khóa luận này được sưu tầm từ những đề thi học sinh giỏi, đề thi Olympic và một số ví dụ được lựa chọn trong tạp chí toán học và tuổi trẻ, các

sách chuyên đề Em hi vọng rằng đề tài này sẽ nhận được sự ủng hộ và cổ vũ của các thầy cô và các bạn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng đây là lần đầu tiên bước vào nghiên cứu một đề tài khoa học nên em không tránh khỏi những bỡ ngỡ Do thời gian có hạn, điều kiện nghiên cứu còn hạn chế, đặc biệt là nguồn tài liệu cũng chưa thực sự phong phú nên khóa luận cũng không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong được sự quan tâm góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa ân cần chỉ bảo, tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như trong quá trình làm đề tài, đặc biệt là thầy giáo Phùng Đức Thắng đã hướng dẫn em hoàn thành đề tài này

Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên

Trần Thị Duyên

Mục lục

Lời cảm ơn……… 1

Lời cam đoan……… 2

Lời nói đầu……… 3

Mục lục……… 5

Mở đầu 7

Chương 1 : Các kiến thức bổ trợ…… 9

1.1 lý thuyết hàm lồi……… 9

1.1.1 Tập lồi……… 9

1.1.2 Hàm lồi……… 12

1.2 Tính đơn điệu của hàm số……… 16

1.2.1 Định nghĩa……… 16

1.2.2 Định lý ……… 17

Chương 2: ứng dụng lý thuyết hàm lồi và tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức……… 18

2.1 Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức ……… 18

2.1.1 Các bất đẳng thức kinh điển……… 18

2.1.2 Các bất đẳng thức đại số……… 26

2.2 Sử dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức 34

2.2.1 Phương pháp chung……… 34

2.2.2 Một số bài toán……… 34

2.2.3 Các bài toán tương tự vận dụng phương pháp trên…… 49

Kết luận……… 50

Tài liệu tham khảo……… 51

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích là một môn khoa học nghiên cứu các tính chất như tập hợp lồi, hàm lồi và tính đơn điệu của hàm số,…Các kết quả của giải tích được áp dụng trên nhiều lĩnh vực

Trong chương trình toán ở nhà trường phổ thông, các em học sinh đã được làm quen với các khái niệm “lồi” và “đơn điệu” ngay từ khi cấp 2 khi học môn Hình học và Đại số Hầu hết chương trình Hình học ở bậc Trung học cơ sở và Trung học phổ thông đều giới hạn trong các hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, hình tròn,…Trong đại số, tính lồi, lõm, tính đơn điệu của hàm

số được giảng dạy trong các chương trình học về hàm số bậc hai và dùng để khảo sát hàm số

Sử dụng các kết quả cơ bản của hàm lồi và tính đơn điệu của hàm số cho chúng ta thành công trong việc giải các bài toán đại số và giải tích sơ cấp như chứng minh các bất đẳng thức

Với lý do trên em đã chọn đề tài “ứng dụng giải tích trong các bài toán bất đẳng thức”, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, GVC, Ths Phùng Đức Thắng

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy logic đặc thù của bộ môn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về ứng dụng giải tích trong các bài toán bất đẳng thức

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông

+ Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng giải tích trong các bài toán bất đẳng thức

5 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm hai chương: Chương 1 Các kiến thức bổ trợ

Chương 2 ứng dụng giải tích trong các bài toán bất đẳng thức

Các khái niệm cơ bản cũng như các tính chất cơ bản của hàm lồi và hàm

đơn điệu được trình bày trong chương 1

Chương 2 trình bày cách sử dụng tính lồi và tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán đại số và giải tích Lớp các bài toán này bao gồm: Các bất

đẳng thức kinh điển, các bất đẳng thức đại số

Chương 1 KiÕn thøc c¬ së

1.1 Lý thuyÕt hµm låi

1.1.1 TËp låi

§Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt

Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh, lµ mét tËp sè thùc

§Þnh nghÜa 1.1 TËp A X ®­îc gäi lµ tËp låi nÕu:

Giả sử A  XI là các tập lồi với I là tập chỉ số bất kì Khi đó tập

Mệnh đề 1.2 Giả sử A i  X lồi i i1,m Khi đó

1

m

i i i

§Þnh nghÜa 1.3 Vecto x   ®­îc gäi lµ tæ hîp låi cña c¸c vecto x x1, , ,2 x  m

nÕu i0i1,2, ,m, 1

m

i i

 

m

i i i

1

k

i i

k

i i i

k i

Định nghĩa 2.2 Miền hữu hạn của hàm f , kí hiệu là dom f , được định

nghĩa như sau : dom f xD f x:   

Định nghĩa 2.3 Hàm f được gọi là chính thường nếu

dom f   và f x     x D

Định nghĩa 2.4 Hàm f gọi là lồi trên D nếu epi f là tập lồi trong X  .

Hàm f được gọi là lõm trên D nếu f là hàm lồi trên D

Nhận xét 2.1 : f lồi  dom f lồi

Thật vậy, dom f là hình chiếu của epi f lên X

1.1.2.2 Các điều kiện đương

Định lý 2.1 Giả sử D là tập lồi trong không gian , hàm f D   :  , 

Khi đó f lồi trên D khi và chỉ khi :

f x  y f x   f y ,   0;1 ,x y, D (2.1) Chứng minh

1 Điều kiện cần Giả sử f là hàm lồi Không mất tính tổng quát có thể xem

như 0;1 Do domf lồi nên x y, domf x1 ydomf

Suy ra f x1 y  Vì thế không xảy ra trường hợp: f x   ,

Mệnh đề 2.1 Giả sử f    :  , . Khi đó f là hàm lồi khi và chỉ khi

Hệ quả 2.3.1 Giả sử f là một hàm chính thường, thuần nhất dương Khi đó

Mệnh đề 2.3 Giả sử f D : là một ánh xạ lồi Khi đó f khả vi trái và phải tại mọi điểm thuộc intD và với mọi   3

f b f b đạo hàm phải (trái) của f tại b)

Hệ quả Nếu f lồi trên khoảng D thì f liên tục trên int D

Nhận xét: Hàm f có thể lồi trên a b,  nhưng vẫn gián đoạn tại a hoặc liên tục tại a nhưng không khả vi tại a

Định lý 2.4 Cho f D : khả vi trên D Để f là hàm lồi trên D điều kiện cần và đủ là '

1.1.2.3 Hàm lồi nhiều biến

Giả sử D là miền lồi trong mặt phẳng (x,y), tức là miền chứa toàn bộ đoạn

thẳng nối hai điểm bất kì của nó (trong giới hạn của đề tài ta chỉ khảo sát các miền chữ nhật)

Hàm  x y,  được gọi là lồi trong D nếu nó xác định khắp nơi trong D và

Đối với tất cả x y1, 1 , x y2, 2D

Nhận xét: Định nghĩa này tổng quát hơn so với tính lồi riêng biệt đối với x hoặc đối với y Chẳng hạn hàm xy là hàm lồi của x đối với y và là hàm lồi của

y đối với x nhưng không là hàm lồi của x và y

Định lý 2.3.1 Nếu  x y,  lồi và liên tục thì

Q=xx u22xy uvyy v2 đối với bất kỳ u v , và tất cả x y, D.

Nếu Q dương thực sự thì (2.3.2) có dấu bất đẳng thức trừ trường hợp x y

1.2 Một số kiến thức về tính đơn điệu của hàm số

1.2.1 Định nghĩa

Giả sử hàm số y f x  xác định trên khoảng a b;  Ta bảo rằng:

- Hàm số y f x  đồng biến trên khoảng a b;  nếu với mọi

- Hàm số đồng biến còn gọi là hàm đơn điệu tăng

- Hàm số nghịch biến còn gọi là hàm đơn điệu giảm

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng còn được gọi

chung là đơn điệu trên khoảng đó

Định lý 2.1.1 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên khoảng a b; 

Chú ý:

Trong định lý trên nếu cho thêm điều kiện: hàm số y f x  liên tục trên

a b; , thì kết quả của định lý trên sẽ đúng trên a b; 

Chương 2 ứng dụng giải tích trong các bài toán bất đẳng thức

2.1 Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức

Một trong những ứng dụng của hàm lồi là chứng minh các bất đẳng thức

sơ cấp Lược đồ chung của phương pháp này như sau: Trước hết xây dựng một

hàm số tương thích với các biểu thức trong bất đẳng thức cần chứng minh Sau

đó dùng các tiêu chuẩn để chứng minh hàm số vừa xây dựng là hàm lồi (hoặc

lõm), và cuối cùng áp dụng bất đẳng thức Jensen để đưa ra lời giải

2.1.1 Các bất đẳng thức kinh điển

Bài 1 (Bất đẳng thức Cauchy)

      Vậy theo hệ quả 2.4.1 thì f x  là hàm lồi trên

0; theo bất đẳng thức Jensen ta có

n

i n

i i

n

j j

a a

j

x b b

1 1

1

n

i n

i i n

j j

a a

a

 

Ta cã 1

1 ln

1

1

i i i

b n

j

x b b

a  Vậy f x  lồi khi a  hoặc 1 a 0,suy ra mọi tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x  đều nằm phía dưới đồ thị hàm số y f x . Tiếp tuyến tại

0;1 có phương trình là yax1 Từ đó suy ra 1aa  1 ax

2 Tương tự phần 1

Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Bài 6 (Bất đẳng thức Young)

Với hai số không âm bất kỳ , a b và p0,q0 sao cho 1 1 1

Bài 7 (Bất đẳng thức Petrovica)

j i i

j i i

Bài 8 (Bất đẳng thức Petrovica tổng quát)

Cho f x  lồi trên đoạn 0,a p p; ,1 2, ,p n 0,x x1, , ,2 x n mà

Bài 9 (Bất đẳng thức Vasic)

Cho f x  là hàm lồi trong đoạn 0,a và x x1, 2, ,x p p n; 1, 2, ,p là các dãy n

số không âm thỏa mãn các điều kiện

Bµi to¸n 3 Cho ba sè , , a b c 0. Chøng minh r»ng

Bµi to¸n 4 Cho x x1, 2, ,x  n 0. Chøng minh r»ng

Bµi to¸n 5 Cho a a1, 2, ,a  n 0. Chøng minh r»ng

n

a a a n

n

a a a n

Bµi to¸n 6 Cho a i 0;b i 0;i1,n

1 Cho k  hoÆc 1 k 0. Chøng minh r»ng

x b b

n

k n

i

i i

x  y    

 

Nếu cụ thể hóa bài toán này ta sẽ có nhiều bài toán hấp dẫn

2.2 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức 2.2.1 Phương pháp chung

Muốn chứng minh bất đẳng thức dạng: f x  g x , x D hay bất đẳng thức dạng: f x g x , x D ta cần thực hiện các bước sau:

- Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña h x  trªn D tøc lµ t×m c¸c kho¶ng t¨ng, ,

 (1)

Bµi to¸n 2 Chøng minh r»ng ln 1  , 0.

x

x x

Hiển nhiên, f x   0 với   và x 0 f x   0 Do đó hàm số f x  đồng biến trên 0; và f 0 0 Vì vậy :

Dễ thấy, với x1: f x 0,với x1: f  x 0

Ta có bảng biến thiên như sau:

x  1 

f'  0 

f  

2

Vậy từ bảng biến thiên ta suy ra: 4 4 2 x  y  Nhận xét: a) Bài toán này có thể giải theo nhiều cách khác Cụ thể như sau: Cách 2: Từ giả thiết ta có: 2 x y nên 4xy2 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có  2  2 2 2 2 4 1.x1.y  1 1 x  y Suy ra 2 x2  y2 (5) Bình phương hai vế của (5) và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski lần thứ hai

ta được

 2 22  2 2 4 4

4 1.x 1.y  1 1 x  y

Hay là 2x4 y4

Vậy x4 y4 2.

Dễ thấy, dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x 1.

2 x  y  (6) 2Bình phương hai vế của (6) ta được  2 22

Với bài toán tổng quát này ta chứng minh bằng phương pháp vận dụng tính

đơn điệu của hàm số sẽ rất đơn giản

Lời giải cụ thể:

1 Với n  bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 1 x y2 (luôn đúng) Với n 2, không mất tính tổng quát, ta xem x y

x 1 

f ' 0 

f 

2 Vậy f x   2 hay n n 2

x  y  (đpcm)

2 Víi gi¶ thiÕt ab 0, kh«ng gi¶m tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö ab

Thay ,x y ë (9) vµo (10) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh

Bµi to¸n 4 Cho

,, , 0,

1 Có thể chứng minh bất đẳng thức (17) theo nhiều cách khác nữa :

Cách 2 : Theo bất đẳng thức Bernoulli

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Cách 3: Theo bất đẳng thức Cauchy

Với  t 0,1 :

Bµi to¸n 6 Cho , , 0

Từ bảng biến thiên suy ra   7 , 0,1 ,

+ xy yzzx2xyzxy1zyz1xzx0 (vì 0x y z, , 1)

+ Không giảm tính tổng quát ta giả sử z y x Khi đó ta sẽ có

00

727

 (do xy z 1)

27

xy yzzx xyz (18)

Kết hợp (17) và (18) ta có điều phải chứng minh

Bài toán 7 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta đều có

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (19) đúng với mọi x 0 (Hiển nhiên từ đó

suy ra bất đẳng thức cần chứng minh)

Với đề tài “ứng dụng giải tích trong các bài toán bất đẳng thức” Sử dụng kết quả cơ bản về hàm lồi và tính đơn điệu của hàm số cho chúng ta thành công trong việc giải các bài toán của đại số và giải tích sơ cấp, khóa luận nói chung đã đáp ứng được yêu cầu của đề tài Khóa luận gồm hai chương đã hệ thống lại lý thuyết, đưa ra một số bài toán có chọn lọc và có một số cách giải khác giúp người đọc hiểu sâu về bài toán

Do thời gian nghiên cứu và năng lực còn hạn chế nên đề tài chỉ đạt ở một

số kết quả nhất định Em rất mong các thầy cô, các bạn góp ý và nhận xét để

đề tài này được đầy đủ và hoàn thiện hơn

Trước khi kết thúc đề tài này, một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy cô giáo trong trường, đặc biệt là thầy giáo GVC,ThS Phùng

Đức Thắng đã tận tình giúp đỡ em hoàn thành đề tài này

Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên

Trần Thị Duyên

Tài liệu tham khảo

1 Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, Giải tích lồi Nhà xuất bản Khoa học kỹ

thuật – 2000

2 Nguyễn Xuân Liêm, Chuyên đề bất đẳng thức và bất phương trình Nhà

xuất bản Giáo dục

3 Phan Huy Khải, 10000 bài toán về bất đẳng thức

4 Trần Lưu Cường, Toán Olympic cho sinh viên, tập 1 Nhà xuất bản Giáo

dục – 2000

5 Tạp chí Toán học tuổi trẻ