Tập lồi đa diện và ứng dụng trong bất đẳng thức biến phân AFFINE

KHOA TOÁN ************* BÙI THỊ THÙY DƯƠNG TẬP LỒI ĐA DIỆN VÀ ỨNG DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn kho

KHOA TOÁN

*************

BÙI THỊ THÙY DƯƠNG

TẬP LỒI ĐA DIỆN

VÀ ỨNG DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG

THỨC BIẾN PHÂN AFFINE

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2018

KHOA TOÁN

*************

BÙI THỊ THÙY DƯƠNG

TẬP LỒI ĐA DIỆN

VÀ ỨNG DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG

THỨC BIẾN PHÂN AFFINE

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

TS TRẦN VĂN NGHỊ

HÀ NỘI – 2018

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòngcảm ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2,các thầy cô trong tổ bộ môn Hình học cũng như các thầy cô tham giagiảng dạy đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điềukiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận.Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trần Văn Nghị, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tận tình giúp đỡ

để em có thể hoàn thành khóa luận này

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốtquá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày tháng năm 2018

Sinh viên

Bùi Thị Thùy Dương

Khóa luận này được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiêncứu của bản thân và sự hướng dẫn của TS.Trần Văn Nghị.

Trong khóa luận này em có tham khảo các kết quả nghiên cứu củacác nhà khoa học trong và ngoài nước Em xin cam đoan kết quả củakhóa luận này là không sao chép từ bất cứ khóa luận nào Em xin chịuhoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan của mình

Hà Nội, ngày tháng năm 2018

Sinh viên

Bùi Thị Thùy Dương

Lời mở đầu 1

1.1 Tập lồi 3

1.2 Một số tính chất của tập lồi 6

1.3 Tập lồi đa diện 12

1.3.1 Khái niệm 12

1.3.2 Điểm cực biên 14

1.3.3 Phương vô tận 17

1.3.4 Phương cực biên 18

1.3.5 Tập lồi đa diện không chứa đường thẳng 19

2 Ứng dụng trong bất đẳng thức biến phân affine 22 2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân affine 22

2.1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 22

2.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân affine 28

2.2 Sự tồn tại nghiệm 35

2.2.1 Sự tồn tại nghiệm dưới điều kiện đơn điệu 35

2.2.2 Sự tồn tại nghiệm dưới điều kiện đồng dương 42

Kết luận 47

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tập lồi đa diện là một đối tượng quan trọng trong toán học Cácnhà khoa học trên thế giới đã và đang nghiên cứu các tính chất củatập lồi đa diện và các ứng dụng của nó trong toán học và thực tiễn.Bài toán về bất đẳng thức biến phân affine là một lớp những bàitoán bất đẳng thức biến phân đặc biệt với miền ràng buộc là tập lồi

đa diện Với mong muốn tìm hiếu sâu hơn về tập lồi đa diện cũngnhư ứng dụng của tập lồi đa diện trong bài toán bất đẳng thức biếnphân affine em chọn đề tài "Tập lồi đa diện và ứng dụng trong bấtđẳng thức biến phân affine" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

- Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu hơn

về tập lồi đa diện

- Đưa ra được ứng dụng của tính lồi trong bài toán bất đẳng thứcbiến phân affine

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: Tập lồi đa diện

- Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của tập lồi đa diện trong bất đẳngthức biến phân affine

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày cơ sở lý thuyết về tập lồi, tập lồi đa diện và đưa ra ứngdụng trong sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân affine.

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích và tổng hợp kiến thức

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Tập lồi đa diện

Chương 2: Ứng dụng trong bất đẳng thức biến phân affine

Tập lồi đa diện

Nội dung chính của chương này đề cập đến tập lồi và tập lồi đa diện.Tập lồi và các tính chất của tập lồi được trình bày trong các Mục 1.1 và1.2 Khái niệm và các tính chất của tập lồi đa diện được trình bày trongMục 1.3

Định nghĩa 1.1.3 Tập C ⊂ Rn được gọi là tập affine nếu

Ví dụ 1.1.1 Trong mặt phẳng, đoạn thẳng, hình tam giác, hình tròn

là các tập lồi Trong không gian affin thực, m - phẳng là tập lồi Hìnhcầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi Các nửa không gian làcác tập lồi

Ví dụ 1.1.2 Mặt phẳng trong không gian là tập affine

Định lí 1.1.1 Giao của bất kỳ họ các tập lồi là tập lồi

Chứng minh Giả sử Aα ⊂ Rn (α ∈ I) là các tập lồi, I là tập chỉ số bất

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp.

m = 2 : Với mọi λ1, λ2 > 0, λ1 + λ2 = 1, x1, x2 ∈ A, theo Định nghĩa1.1.1, λ1x1 + λ2x2 ∈ A Giả sử kết luận đúng với m ≤ k, ta sẽ chứngminh rằng:

Chứng minh Do convX là giao của tất cả các tập lồi chứa X nên theoĐịnh lý 1.1.1, convX là tập lồi chứa X Mặt khác, cho C là một tập lồibất kỳ chứa X, thì convX chứa trong C Vậy convX trùng với tập lồinhỏ nhất chứa X.

Hệ quả 1.1.1 Bao lồi hữu hạn của các tập con {b0, , bm} ⊂ Rn

Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng, khi

đó ta nói 0 là đỉnh của nón Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồngthời là một tập lồi

Chứng minh Cho x và y là điểm trong A + B, khi đó tồn tại các vectơ

x1 và y1 trong A và x2 và y2 trong B sao cho

Định lí 1.2.2 Cho {Ci|i ∈ I} là tập gồm các tập lồi tùy ý khác rỗngtrong Rn và C là bao lồi Khi đó

C = ∪

(X

i∈I

λiCi

),

là hợp hữu hạn của các tổ hợp lồi

Định lí 1.2.3 Cho T : Rn → Rm là một ánh xạ tuyến tính Khi đó:

(i) A là lồi thì T (A) là lồi trong Rm;

(ii) B là lồi thì T−1(B) là lồi trong Rn

Hệ quả 1.2.1 Phép chiếu vuông góc của một tập lồi A lên một khônggian con L cũng là một tập lồi

Định lí 1.2.4 Cho các tập A ⊂ Rn, B ⊂ Rm là lồi và ánh xạ affine

Chứng minh Kí hiệu B là tập bên phải Giả sử C là một tập lồi chứa

A thì B ⊂ C nên B ⊂ convA Mặt khác, B là tập lồi, do

Nhận xét 1.2.3 A là lồi nếu và chỉ nếu A = convA

Định nghĩa 1.2.1 a) Bao lồi của hữu hạn các điểm x1, x2, , xk ∈ Rn

được gọi là một hình đa diện P

b) Bao lồi của các điểm độc lập được gọi là 1 đơn hình, r-đơn hình làbao lồi của r + 1 điểm độc lập

Định nghĩa 1.2.2 Một điểm x thuộc hình đa diện P được gọi là mộtđỉnh của P nếu x /∈ P \{x} Tập tất cả các đỉnh của P ký hiệu là vertP

Nhận xét 1.2.4 Mỗi đơn hình là một tập lồi

Ví dụ 1.2.1 1-đơn hình là đoạn thẳng, 2-đơn hình là tam giác, 3-đơnhình là tứ diện

Định lí 1.2.6 Cho P là một hình đa diện trong Rn và x1, x2, , xk ∈

Rn là các điểm phân biệt

(i) Nếu P = conv {x1, , xk}, thì x1 là đỉnh của P nếu và chỉ nếu

x1 ∈ conv{x/ 2, , xk}

(ii) P là bao lồi của các đỉnh đó

Chứng minh (i) Giả sử x1 là đỉnh của P khi đó P \ {x1} là lồi và x1 ∈/

P \ {x1} Do đó, conv {x1, , xk} ⊂ P \ {x1}, vì vậy x1 ∈ conv {x/ 2, , xk}.Ngược lại, giả sử rằng x1 ∈ conv {x/ 2, , xk} Nếu x1 không là đỉnhthì tồn tại 2 điểm phân biệt a, b ∈ P \ {x1} và λ ∈ (0; 1) sao cho

x1 = (1−λ)a+λb Nên ∃k ∈ N để µ1, , µk ∈ [0; 1] và τ1, , τk ∈ [0; 1]với µ1 + + µk = 1 và τ1 + + τk = 1 sao cho µ1, τ1 6= 1 và

(ii) Sử dụng (i), ta cũng có thể lấy lần lượt các điểm từ {x1, , xk}sao cho chúng không phải là đỉnh của bao lồi khác Hơn nữa, nếu x /∈{x1, , xk} và x không phải là một đỉnh của P thì P = conv{x, x1, , xk}tức là x /∈ conv{x1, , xk} = P Mâu thuẫn

Định lí 1.2.7 Cho x1, x2, , xm ∈ Rn là các điểm độc lập affine Khi

đó tồn tại một sự tách

{1, , m} = I ∪ J, I ∩ J = ∅

sao cho

conv {xi : i ∈ I} ∩ conv {xj : j ∈ I} 6= ∅

Định lí 1.2.8 Cho X1, X2, , Xm là các tập lồi trong Rn, trong đó

m > n Nếu giao của một bộ n + 1 tập là khác rỗng, thì giao của tất cảcác tập đó khác rỗng, nghĩa là

Giả sử U là một lân cận lồi của O

Do xi ∈ clA nên

(xi + U ) ∩ A 6= ∅, (i = 1, 2)

Suy ra,

∃xi0 ∈ (xi + U ) ∩ A, (i = 1, 2)

Đặt x0 = λx01 + (1 − λ)x02 Khi đó,

x0 = λ(x1 + U ) + (1 − λ)(x2 + U )

Kéo theo (x + U ) ∩ A 6= ∅

Suy ra x ∈ clA, dẫn đến clA lồi

1.3 Tập lồi đa diện

Nhận xét 1.3.2 Nửa không gian đóng là một tập lồi và đóng.

Định nghĩa 1.3.4 Tập D ⊂ Rn được gọi là tập lồi đa diện nếu D làgiao hữu hạn các nửa không gian đóng

Ví dụ 1.3.3 Trong R2, tập nghiệm của hệ bất phương trình

Nhận xét 1.3.3 Tập lồi đa diện là một tập lồi và đóng

Chú ý 1.3.1 Cho D ⊂ Rn là tập lồi đa diện D =

1.3.2 Điểm cực biên

Định nghĩa 1.3.5 Cho D là tập lồi đóng, điểm x ∈ D được gọi làđiểm cực biên của D nếu không tồn tại y, z ∈ D, y 6= z sao cho x ∈[y, z] \ {y, z} tức là không tồn tại y, z ∈ D và λ ∈ (0, 1) sao cho x =

λy + (1 − λ)z Tập hợp các điểm cực biên của D được kí hiệu là extD

Ví dụ 1.3.4 Trong R2, nếu tập lồi đa diện là đoạn thẳng P Q thì P và

Q là hai điểm cực biên của đoạn thẳng P Q, nếu tập lồi đa diện là tamgiác ABC thì ba đỉnh A, B, C là ba điểm cực biên của tam giác ABC

Bổ đề 1.3.1 Cho D là tập lồi đa diện khác rỗng và không chứa đườngthẳng Khi ấy, nếu x thuộc D và x không phải là điểm cực biên thì tồntại y thuộc D thỏa mãn

(γ1) Nếu hai, xi = bi thì hai, yi = bi

(γ2) Tồn tại i = 1, m sao cho hai, xi < bi và hai, yi = bi

Chứng minh (γ1) Vì x /∈ extD nên tồn tại y, z ∈ D y 6= z và λ ∈ (0, 1)sao cho x = λy + (1 − λ)z Vậy nếu hai, xi = bi thì ta có

Giả sử ngược lại hai, xi = bi với mọi i ∈ 1, m Theo như chứng minhphần trên, ta có

hai, yi = hai, zi = hai, xi = bi

Vậy với mọi λ > 0, ta có

hai, λy + (1 − λ)zi = λ hai, yi + (1 − λ) hai, zi = bi, ∀i = 1, m

Suy ra D chứa đường thẳng qua y, z Điều này mâu thuẫn với giả thiết

D không chứa đường thẳng Vậy tồn tại i ∈ 1, m sao cho hai, xi < bi Do

D không chứa đường thẳng nên đoạn thẳng [y; z] không thể kéo dài mãi

về 2 phía (mà vẫn còn nằm trong D) Không mất tính tổng quát ta xemđường thẳng qua y, z thoát ra khỏi D tại y Giả sử với mọi i = 1, m nếu

hai, xi < bi thì ta cũng có hai, yi < bi Không mất tính tổng quát ta giảsử

Định lí 1.3.1 Tập lồi đa diện khác rỗng nếu không chứa đường thẳngthì có điểm cực biên.

Chứng minh Xét D là tập lồi đa diện khác rỗng và không chứa đườngthẳng Chọn x ∈ D bất kỳ Nếu x ∈ extD, ta có điều phải chứng minh.Ngược lại, giả sử x /∈ extD Theo Bổ đề 1.3.1 có x1 ∈ D sao cho tồn tại

i ∈ 1, m thỏa mãn

hai, xi < bi và hai, x1i = bi

Đặt Hi = {x ∈ Rn : hai, xi = bi} Ta có x /∈ Hi Đặt D1 = Hi ∩ D

Ta chứng minh dim D1 < dim D Thật vậy, giả sử dim D1 = dim D Vì

D1 ⊂ D nên affD1 ⊂ affD Lại có dim D1 = dim D nên affD1 = affD

Vì D1 ⊂ Hi nên affD1 ⊂ affHi = Hi Suy ra affD ⊂ Hi Điều này mâuthuẫn vì x ∈ D ⊂ affD nhưng x /∈ Hi Ta chứng minh extD1 ⊂ extD.Xét x ∈ extD1 Giả sử x /∈ extD Khi ấy tồn tại y, z ∈ D, y 6= z và

λ ∈ (0, 1) sao cho x = λy + (1 − λ)z Vì x ∈ D1 = Hi∩ D nên hai, xi = bi

Do x = λy + (1 − λ)z với λ ∈ (0, 1) nên ta cũng có hai, yi = hai, zi = bi.Suy ra y, z ∈ D ∩ Hi nghĩa là y, z ∈ D1 Vậy tồn taị y, z ∈ D1, y 6= z và

λ ∈ (0, 1) sao cho x = λy + (1 − λ)z Điều này mâu thuẫn với giả thiết

x ∈ extD1 Do đó extD1 ⊂ extD Vậy nếu x1 là điểm cực biên của D1thì x1 cũng là điểm cực biên của D Ta có điều phải chứng minh Ngượclại nếu x1 không là điểm cực biên của D1 thì ta lập luận như trên vàgiảm được dim D1 vì D1 cũng là tập lồi đa diện khác rỗng và không chứađường thẳng Qúa trình lập luận này phải dừng lại ở một bước k nào

đó mà xk là điểm cực biên của Dk Do extDk ⊂ ⊂ extD1 ⊂ extD nên

xk là điểm cực biên của D

Định lí 1.3.2 Cho tập lồi đa diện D khác rỗng Nếu x là điểm cực biêncủa D thì tồn tại hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính {aj1, aj2, , ajn} lấy

từ hệ {a1, a2, , am} sao cho haji, xi = bji ∀i = 1, n

Chứng minh Giả sử ngược lại có tối đa k < n vectơ độc lập tuyến tính{aj1, aj2, , ajk} lấy từ hệ {a1, a2, , am} sao cho haji, xi = bji, ∀i =

1, k

Đặt L = {aj1, aj2, , ajk}.Vì dim L⊥ = n − dim L = n − k ≥ 1 nên tồntại h ∈ L⊥, h 6= 0 Vậy với ε > 0 đủ nhỏ, ta có hai, x ± εhi = hai, xi ≤ binếu ai ∈ L và hai, x ± εhi < bi nếu ai ∈ L Như vậy x ± εh ∈ D và/

x + εh 6= x − εh do h 6= 0 Mặt khác, ta có x = 1

2(x + εh) +

1

2(x − εh).Điều này mâu thuẫn với x là điểm cực biên

Số cách chọn n vectơ từ m vectơ là hữu hạn Do đó ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.3.1 Tập hợp các điểm cực biên của tập lồi đa diện có hữuhạn phần tử

Chứng minh Nếu u là phương vô tận của D thì u 6= 0 và với x ∈ D,

ta có A(x + λu) ≤ b, ∀λ > 0 Nghĩa là hai, x + λui ≤ bi, ∀λ > 0 Nếu

hai, ui > 0 thì với λ đủ lớn, ta có hai, x + λui > bi Như vậy ta phải có

vô tận độc lập tuyến tính v, w của D và α, β > 0 sao cho u = αv + βw

Định lí 1.3.4 Cho tập lồi đa diện D khác rỗng Nếu u là phương cựcbiên của D thì tồn tại hệ n−1 vectơ độc lập tuyến tínhaj1, aj2, , ajn−1

lấy từ hệ {a1, a2, , am} sao cho haji, ui = 0, ∀i = 1, n − 1

Chứng minh Giả sử ngược lại có tối đa k < n−1 vectơ độc lập tuyến tính{aj1, aj2, , ajk} lấy từ hệ {a1, a2, , am} sao cho haji, ui = 0, ∀i = 1, k.Đặt L = {aj1, aj2, , ajk} Ta có u ∈ L⊥; haji, ui = 0 nếu ai ∈ L và

hai, ui < 0 nếu ai ∈ L Vì dim L/ ⊥ = n − dim L = n − k ≥ 2 nêntồn tại h ∈ L⊥ độc lập tuyến tính với u Vậy với ε > 0 đủ nhỏ, ta có

hai, u + εhi = 0 nếu ai ∈ L và hai, u + εhi 6= 0 Do vậy theo Định lý1.3.1, hai vectơ u ± εh là các phương vô tận và là các phương vô tận độclập tuyến tính do 2 vectơ u, h độc lập tuyến tính

Hệ quả 1.3.2 Tập hợp các phương cực biên của tập lồi đa diện (không

kể các phương cực biên cùng phương) có hữu hạn phần tử

1.3.5 Tập lồi đa diện không chứa đường thẳng

Định lí 1.3.5 Tập lồi đa diện bị chặn chính là bao lồi của các điểm cựcbiên của nó

Chứng minh Xét D là tập lồi đa diện bị chặn Ta sẽ chứng minh D =conv(extD) Vì D là tập lồi chứa extD nên conv (extD) ⊂ D Ta chứngminh D ⊂ conv (extD)(∗) bằng quy nạp theo n = dim D

Ta thấy (∗) đúng với n = 0 vì khi ấy D có một phần tử duy nhất Giả

sử (∗) đúng với mọi n < k, ta chứng minh (∗) cũng đúng với n = k.Thật vậy, xét x ∈ D Nếu x ∈ extD thì ta có điều phải chứng minh.Giả sử x /∈ extD Khi ấy tồn tại y, z ∈ D, y 6= z và λ ∈ (0; 1) sao cho

x = λy + (1 − λ) z Do D bị chặn nên đường thẳng qua y, z thoát ra khỏi

D tại 2 điểm Không mất tính tổng quát ta giả sử hai điểm đó là y và

z Theo Bổ đề 1.3.1, ta có tồn tại i ∈ 1, m thỏa mãn

hai, xi < bi và hai, yi = bi

Đặt Hi = {x ∈ Rn : hai, xi = bi} Đặt D1 = Hi ∩ D Ta có dim D1 <dim D và extD1 ⊂ extD Theo giả thiết quy nạp ta có D1 ⊂ conv (extD1).Suy ra y ∈ D1 ⊂ conv (extD1) ⊂ conv (extD) (extD1 ⊂ extD) Tương

tự ta cũng có z ∈ conv (extD) Vậy x ∈ [y; z] ⊂ conv (extD)

Định lí 1.3.6 Tập lồi đa diện D khác rỗng và không chứa đường thẳng

có thể biểu diễn dưới dạng D = conv (extD) + {u ∈ Rn : Au ≤ 0}

Chứng minh Vì conv (extD) ⊂ D, nên conv (extD) ⊂ D Ta chứng minh

D ⊂ conv (extD) + {u ∈ Rn : Au ≤ 0} (∗) bằng phương pháp quy nạp

theo n với n = DimD

Rõ ràng (∗) đúng với n = 0 Giả sử (∗) đúng với mọi n < k ta chứngminh cũng đúng (∗) với n = k Nếu D bị chặn thì theo Định lý 1.3.3, ta

có điều phải chứng minh Ngược lại, giả sử D không bị chặn thì D cóphương vô tận hay tồn tại v 6= 0, v ∈ {u ∈ Rn : Au ≤ 0} Xét x ∈ D Ta

có tia {x − λv : λ ≥ 0} phải thoát khỏi D tại một diểm y nào đó vì nếukhông D sẽ chứa toàn bộ đường thẳng qua x phương v- đường thẳng{x + λv : λ ∈} Theo Bổ đề 1.3.1, ta có tồn tại i ∈ 1, m thỏa mãn

hai, x + vi < bi và hai, yi = bi

Đặt Hi = {x ∈ Rn : hai, xi = bi} Đặt D1 = Hi ∩ D Giống với Định lý1.3.1, ta có dimD1 < dimD và extD1 ⊂ extD Vì D1 cũng là tập lồi đadiện không chứa đường thẳng nên theo giả thuyết quy nạp ta có

Định lí 1.3.7 Nếu D là tập lồi đa diện không chứa đường thẳng thìnón các phương vô hạn – tập hợp {u ∈ Rn : Au ≤ 0} là tập nón sinh bởicác phương cực biên của D.

Định lí 1.3.8 Cho D là một tập lồi đa diện khác rỗng và không chứađường thẳng Gọi u1, , uk là các điểm cực biên của D và v1, , vk làcác phương cực biên của D Ta có

(ii) Nếu D không bị chặn thì