Bất đẳng thức biến phân AFFINE

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE.... Bất đẳng thức biến phân affine là một trường hợp riêng của bất đẳng thức biến phân, khi mà hàm trong bất đẳng thức là hàm affine.

   Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Giải tích,  các  thầy  cô  trong  khoa  Toán  và  đặc  biệt  là  thầy  Hoàng  Ngọc  Tuấn  đã hướng dẫn em hoàn thành khóa luận này. 

  Em xin chân thành cảm ơn! 

Hà Nội, tháng 05 năm 2012 

Sinh viên  

Vi Thị Tuyến

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản khóa luận này được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy 

Hoàng Ngọc Tuấn. 

Khóa luận này không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu trùng tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. 

Rất mong được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để bản khóa luận được hoàn thiện hơn. 

Hà Nội, tháng 05 năm 2012 

Sinh viên  

Vi Thị Tuyến

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1 

CHƯƠNG 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE 3 

1.1 Bất đẳng thức biến phân 3 

1.2 Bài toán bù  8 

1.3 Bất đẳng thức biến phân affine 9 

1.4 Bài toán bù tuyến tính 17 

CHƯƠNG  2.  SỰ  TỒN  TẠI  NGHIỆM  CỦA  BẤT  ĐẲNG  THỨC  BIẾN  PHÂN AFFINE 21 

2.1 Sự tồn tại nghiệm dưới điều kiện đơn điệu 21 

2.2 Sự tồn tại nghiệm dưới tính đồng dương 26 

CHƯƠNG  3.  TÍNH  LIÊN  TỤC  LIPSCHITZ  TRÊN  CỦA  ÁNH  XẠ  NGHIỆM TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 34 

3.1 Định lý Walkup – Wets 34 

3.2 Tính Liên tục Lipschitz trên với tham biến tuyến tính 37 

KẾT LUẬN 45 

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 

Bất  đẳng  thức  biến  phân  affine  là  một  trường  hợp  riêng  của  bất  đẳng 

thức  biến  phân,  khi  mà  hàm  trong  bất  đẳng  thức  là  hàm  affine.  Sự  tồn  tại 

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận của em gồm ba chương: 

Chương 1. Bất đẳng thức biến phân affine 

Chương 2. Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân affine 

Chương 3. Tính liên tục Lipschitz trên của ánh xạ nghiệm trong bất đẳng thức biến phân affine 

CHƯƠNG 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE

f x x

       Mệnh đề 1.1 chỉ ra rằng  một bài toán  tối ưu là trơn, có thể dẫn đến bài toán  bất  đẳng  thức  biến  phân  như  thế  nào?  Câu  hỏi  tự  nhiên  đặt  ra  là:  Cho 

trước  một  bất  đẳng  thức  biến  phân  VI,   với  một  toán  tử  liên  tục : n n,

   có thể tìm được một hàm - C  1 f : n  sao cho VI,  có thể lấy được từ bài toán tối ưu (1.1) bằng cách đã nêu ra hay không? Nếu hàm 

f  như vậy tồn tại, ta phải có  

        ( ) x  f x( ),          (1.5) x

         Ta thấy nếu f là một hàm thuộc lớp C  thì toán tử 2 : n nxác định bởi (1.3) có một ma trận Jacobian đối xứng. Nhắc lại rằng nếu một hàm véc tơ 

là  : n n có các thành phần trơn 1,,n thì ma trận Jacobian của  tại 

: n

f   sao cho hệ thức (1.5) thỏa mãn. Điều này có nghĩa là bài toán bất  đẳng thức  biến  phân  VI,   có  thể  coi  là  điều  kiện  cần  tối  ưu của bài toán (1.1). 

       Các  mệnh  đề  đơn  giản  sau  đây  cho  thấy,  không  giống  nghiệm  của  bài toán  quy  hoạch  toán học,  nghiệm  của  bài toán  VI  có  đặc  trưng  địa  phương. 

Mệnh đề 1.3. Cho x    Nếu tồn tại    sao cho  0

       Định lý Hartman – Stampacchia sau đây là định lí tồn tại cơ bản cho bài toán VI. 

Định lý 1.1. Nếu   n là lồi, compact, khác rỗng và  :   n là liên tục thì bài toán VI,  có nghiệm. 

        Dưới điều kiện bức, ta có các định lý tồn tại cho bài toán trên các tập lồi không compact. 

Định lý 1.2. Cho   n  là tập lồi, đóng, khác  rỗng và   :   n  là  một toán tử liên tục. Nếu tồn tại x    sao cho  0

        ( )x (x0), yx0 yx0    và  y  , y           (1.7)  ,thì bài toán VI,  có nghiệm. 

Hiển  nhiên     là  compact  thì,  với  mọi  x     (1.7)  là  đúng.  Nếu  tồn  tại 0 ,

0

x    sao cho (1.7) đúng thì ta nói điều kiện bức được thỏa mãn. Điều kiện 

bức  có  vai trò rất quan  trọng  trong  nghiên  cứu các  bất  đẳng  thức  biến  phân trên  tập  hợp  không  compact.  Chú  ý,  (1.7)  là  một  trong  nhiều  hình  thức  của điều kiện bức. 

       ( )y ( ),x yx  yx 2            (1.9) x , y ,thì (1.8) thỏa mãn. 

Định nghĩa 1.2. Nếu tồn tại    sao cho (1.9) được thỏa mãn thì ta nói 0  là đơn điệu mạnh trên    Nếu các điều kiện yếu hơn sau đây  

        ( )y ( ),x yx 0,      x , y , x y,       (1.10) 

và  

      ( )y ( ),x yx 0,             (1.11) x , y ,đúng, thì  tương ứng được gọi là đơn điệu chặt trên   và đơn điệu trên    

 Ví dụ 1.1. Cho   n là tập đóng, lồi, khác rỗng. Cho D n n  và c  n.      Nếu  ma  trận  D là  xác  định  dương thì  toán  tử  :   n  được  xác  định  bởi ( )x Dx c x,

       là  đơn  điệu  mạnh  trên     Trong trường  hợp này,  ta  dễ dàng thấy rằng    thỏa mãn (1.9) có thể xác định bằng cách đặt  0

Bổ đề 1.1 Nếu   n là tập đóng, lồi và  :   n là một toán tử liên tục, 

đơn điệu thì  x Sol(VI, ) khi và chỉ khi  x    và 

 Điều kiện đủ: Giả sử x    và (1.12) đã thỏa mãn. Cố định  y    Do tính 

lồi của   ,  ( ) :y t x t y( x) thuộc vào    với  mọi t (0,1). Thay  y y t( ) 

vào (1.12) ta có  

Điều này dẫn tới 

       (x t y( x y), x 0,  t (0,1). 

Cho t 0, do tính liên tục của  ta có  ( ),x yx   từ bất đẳng thức cuối 0

cùng cố định với mọi y    ta kết luận , x Sol(VI , .       

 Chứng minh của mệnh đề 1.4

(i)    Giả  sử,  ngược  lại  rằng,    là  đơn  điệu  chặt  trên     nhưng  bài  toán 

(VI, có  hai  nghiệm  phân  biệt  x   và  y   Ta  có  ( ),x yx    và 0

   ta có  

        ( ),x yx  ( ),x y 0. 

1.3 Bất đẳng thức biến phân affine

Theo  lý  thuyết  quy  hoạch  toàn  phương  với  ràng  buộc  tuyến  tính,  nếu  x   là 

 Định lý 1.3. Véc tơ x  n là một nghiệm của (1.15) ở đó    được cho bởi công thức 

       x n: x b       (1.16) 

với   m n ,b m, nếu và chỉ nếu tồn tại 1, ,m m sao cho  

Ta kí hiệu là  , i là hàng thứ  i của A và i b  là kí hiệu phần thứ  i của véc tơ  b.  i

Ta  lấy  a i  A i T  với  mọi  i  =  1, ,m.  Cho  xSol(AVI(M,q, )).   Đặt 

quy  hoạch  toàn  phương  không  lồi,tập  nghiệm  của  bài  toán    AVI  thì  có  cấu 

khá trúc đơn giản. 

Định lý 1.4. Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine là hợp 

của hữu hạn các tập lồi đa diện. 

Chứng minh Xét bài toán AVI tổng quát dạng (1.15). Vì    là một tập lồi đa 

diện, tồn tại mN A,  m n ,b m sao cho  x n:Axb  Theo Định 

lý  1.3,  xSol(AVI(M,q, ))   khi và chỉ khi  tồn  tại 1, ,m m  sao cho  

0

Pr (R n Q I ) là tập lồi đa diện. Từ (1.25) ta chứng minh được ( ( , , ))

Định nghĩa 1.5. Nửa đường thẳng xtv t: 0 ,  ở đó v  n \ 0  mà, 

là một tập con của Sol AVI M q ( ( , , )), được gọi là tia nghiệm của (1.15). 

Định nghĩa 1.6 Đoạn  thẳng  x tv t: o, ,  ở  đó  v  n \ 0   và 0,

   là một tập con của  Sol(AVI(M,q, )),  được gọi là khoảng nghiệm của (1.15).  

Hệ quả 1.3 Ta có các khẳng định sau: 

(i)   Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine là một tập đóng (có thể rỗng); 

(ii)    Nếu  tập  nghiệm  của  bài  toán  bất  đẳng  thức  biến  phân  affine  là không bị chặn, nó chứa một tia nghiệm; 

(iii)  Nếu tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine là vô hạn, thì nó chứa một khoảng nghiệm; 

bị chặn của tập nghiệm của AVI. Ta xem xét bài toán (1.15) ở đó    được cho bởi (1.16) và đưa ra các kí hiệu sau: 

       Điều kiện cần: Giả sử tập nghiệm  Sol(AVI(M,q, ))  là không bị chặn. Bởi  (1.25),  tồn  tại  I0    sao  cho  tập I

0

I

   xác  định  bởi  (1.26)  là  không  bị chặn. Áp dụng Định lý 8.4 từ Rockafellar (1970), ta có thể khẳng định rằng  tồn tại 

có  Mu0q v, 0.  Thay yu0t v2 ,  sao cho t  trong (1.29) và (1.31)  ta 1,

suy ra được   Mu0q v, 0.  Điều này và bất đẳng thức trước đó chỉ ra rằng 

(ii) được thỏa mãn. Bởi (1.29), (1.31) và (ii), với mọi  y    ta có  

      Một  số  điều  kiện  đủ  trong  (1.15)  để  có  tập  nghiệm  là  compact  có  thể nhận được trực tiếp từ các định lý trước. 

       x0,      Mxq0,      x T(Mx q)0.      (1.33) Vậy LCP là trường hợp đặc biệt của bài toán NCP, ở đó   n  và   là toán 

tử affine. 

       Nếu  x  là  nghiệm địa phương của bài toán  quy  hoạch  toàn phương ở 

(2.1) ở đó   n, thì    n

x  và, bởi Định lý 2.1,  

Mệnh đề 1.6. Tập nghiệm của (1.33) là không bị chặn khi và chỉ khi tồn tại 

một cặp ( ,v u0) n n, v0, u0Sol(M q  sao cho , ),

T

Mu q v   và  Mv u, 0 0.  Bởi  Mệnh  đề  1.6,  tập  nghiệm Sol(M,q) là tập compact.  

CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE

2.1 Sự tồn tại nghiệm dưới điều kiện đơn điệu 

Xét  bài  toán  (2.1).  Nếu     là  tập  lồi  đa  diện,  tồn  tại  mN, A m nx   và 

Bổ đề 2.1.  Tập     là  khác  rỗng  khi  và  chỉ  khi  tồn  tại  x    sao  cho       

Bổ đề 2.2 Nếu tồn tại x    sao cho (Mx q v) 0      v 0 ,

      thì bài toán quy hoạch toàn phương bổ trợ (2.3) có nghiệm. 

Chứng minh Áp  dụng Bổ  đề  2.1,  từ  giả  thiết  ta  có    là  khác  rỗng.  Cho 

2         0         0

   01

2         =

b x

1 2

b A

Theo, Định lý 1.3, xSol(AVI M q( , , )).   

Định nghĩa 2.1.  Ma  trận M  n nx   là  đơn  điệu,  trên  tập    đóng,  lồi   n nếu là ánh xạ tuyến tính tương ứng với M  là đơn điệu trên  ,  nghĩa là 

       (yx M y)T ( x)0                  (2.14) x , y

Ma trận M được gọi là đồng dương trên    nếu  

       v Mv T 0  v 0       (2.15) .Nếu  M là đồng dương trên  n thì ta gọi M là một ma trận đồng dương. Ma trận M được gọi là đồng dương chặt trên   nếu    

Hệ quả 2.1 Giả sử M là một ma trận nửa đồng dương. Bài toán bù tuyến tính  

LCP(M,q) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại  x  sao cho 

       x0, Mx q       (2.17) 0

Chứng minh

Đặt   n chú ý  (Mx q v)T   với mọi 0 v0  n, cho x   khi và chỉ 

khi  tồn  tại  x   thỏa  mãn  (2.17).  Áp  dụng  Định  lý  2.2  suy  ra  kết  quả  mong 

muốn.   

2.2 Sự tồn tại nghiệm dưới tính đồng dương

Định lý 2.3 Nếu ma trận M là đồng dương chặt trên tập lồi đa diện khác rỗng 

, thì với mọi q  n, bài toán  AVI(M q   có nghiệm. , , )

Bổ đề 2.3. Ma trận M  n nx  là đồng dương chặt và   n,  là tập lồi đa diện khác rỗng khi và chỉ khi tồn tại x    sao cho  0

Ta có  v k    Vì vậy, không mất tính tổng quát giả sử có u k u v, k 0, 

k k

ý v 0 \ 0  

    vì  y t( ) :x0tv    với  mọi  t  >  0  và  y t( )      ,t ,thay y y t( ) vào (6.18) ta có    

lý 1.2 bài toán VI( , )   có nghiệm. Từ bài toán  AVI(M q  , ta có điều phải , , )chứng minh.           

Chứng minh.  Giả  sử    , M   là  đồng  dương  trên     và  không  tồn  tại 

        , 1

k k

  , từ (2.24) và sự kiện x0t  với mọi t 0 suy ra  

q  trong  n \K sao cho q k q. kéo theo,  kN  tồn tại v kK sao cho 

k k

tồn tại v  n sao cho  

       , 1

k k

Từ (2.29) và tính đồng dương của M Trên    suy ra  T k 0

q x

   với mọi kN. Suy ra  

x  là bị chặn. Chứng minh tương tự như trong phần chứng minh của Định lý 2.4 suy ra bài toán AVI M q ( , , ) có nghiệm.    

Sol(AVI(M q, ,0 )) v :v0,Mv(0) , v Mv T 0  . 

Do đó  

     Tương tự phần chứng  minh trên,  nếu  M là đồng dương  chặt  trên  ,  

không  thể  áp  dụng  Định  lý  (2.3)  để  giải  bài  toán  trên.  Tất  cả  các  điều  kiện 

      Sol(AVI(M,0, ))   n. 

 Thế  thì    (2.27)  thỏa  mãn  với  mọi q  n.  Áp  dụng  Định  lý  2.5  để  giải  bài 

toán  AVI M q   là đúng. Áp dụng Định lý 2.5 vào bài toán LCP ta có hệ ( , , )

CHƯƠNG 3 TÍNH LIÊN TỤC LIPSCHITZ TRÊN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Định nghĩa 3.1. Tập   n được gọi là có tính chất L  nếu với mọi toán tử  j

affine  : n  m,mN,  với  dim( er( ))k   j,  ánh  xạ  ngược  y ( )y   nó 

là Lipschitz trên miền hữu hiệu của nó. Điều này có nghĩa là tồn tại một hằng 

số l > 0 sao cho 

        ( ') y  ( )y l y'y B R n  khi  ( ) y   , ( ')y     (3.2) ,       Trong định nghĩa trên, dim(ker()) kí hiệu số chiều của tập affine 

       ker  x n: ( ) x 0   

       Các  định  lý sau đây là  công cụ  quan trọng cho  chứng  minh các kết  quả khác trong chương này. 

Định lý 3.1. Cho   n là tập lồi đóng khác rỗng và cho  jN,1 jn  1Thế thì     là tập lồi đa diện khi và chỉ khi nó có tính chất L    j

        Trong phần tiếp theo, ta sẽ chỉ sử dụng một khẳng định của định lý này: Nếu    là tập lồi đa diện, thì nó có tính chất L   j

Hệ quả 3.1.  Nếu     n  là  tập  lồi  đa  diện  và  nếu  : n m  là  toán  tử affine, thì tồn tại hằng số  l > 0 sao  cho (3.2),  ở đó  ( ) y  được  xác định bởi (3.1) với mọi y n, là đúng. 

Chứng minh.  Nếu  j: dim( er( ) k    thỏa  mãn  điều  kiện  1 jn   thì  kết 1,luận suy ra ngay từ Định lý 3.1. Nếu dim(ker() = n thì  er( )k  R n, và ta có  

Hệ quả 3.2.  Với  bất  kỳ  tập  lồi đa  diện  khác  rỗng   n  và  bất  kì  ma  trận 

s n

C   tồn tại hằng số l > 0 sao cho  

        ( , '') C d  ( , ')C d l d''d B' R n      (3.3) 

nếu nếu 

khi  đó  ( , ')C d và    ( , '') C d   là  khác  rỗng;  ở  đó  

( , ) :C d x :Cx d

           với  mọi dR s 

3 2 Tính Liên tục Lipschitz trên với tham biến tuyến tính

Định nghĩa 3.2  Nếu : n2 mlà hàm đa trị thì đồ thị miền hữu hiệu của 

        ( ) x N( )   (x x n) 

xác định là một hàm đa trị đa diện : n2 n  

Chứng minh. Cho mN A,  n n  và b  m sao cho  x n:Axb. Đặt  I 1, ,m. Gọi 

      F x n:A x b A x, I\ b I\ 

là giả mặt của   tương ứng với tập chỉ số  I. Với mọi  xFta có 

       T x( )v n:A v 0. 

Vì  

       N( )x R n: ,v 0  v T x( ) ,  

 ta có N( )x  khi và chỉ khi bất đẳng thức  ,v   là hệ quả của hệ bất 0đẳng thức A v   Do đó, áp dụng Bổ đề Farkars ta suy ra 0 N( )x  khi và chỉ khi tồn tại 10, ,m  sao cho  0

lý  19.1  trong  Rockafellar  (1970)  ta  suy  ra     là  tập  lồi  đa  diện.  Vì 

x k,kx,  n n,  và x k,k graph    với mọi kN. ta có 

Mệnh đề 3.2. Cho trước các ma trận M  n n ,A n n  và   C s n  Thế thì công thức 

Định nghĩa 3.4. Giả sử rằng : n 2 mlà đa trị và điểm x  n cho trước. 

Nếu tồn tại l > 0 và lân cận U  của  x  sao cho tính chất (3.10) là đúng, thì     x

được gọi là Lipschitz trên địa phương tại  x  với hằng số Lipschitz  l . 

      j( )x y m: ( , )x y Q j.       (3.12) Hiển nhiên, graph j Q j. Từ (3.11) và (3.12) suy ra 

       j( )x  j( )u l x j u B R m       

(3.13) khi  j( )x   và   j( )u     (Điều  này  có  nghĩa  là     là  Lipschitz  trên j

Khẳng định 2.    Với  mỗi x  n  tồn  tại  lân  cận   U   của  x   sao  cho  (3.10)  x

đúng. 

Lấy x  n đã cho trước bất kì. Đặt  

       J0 j J : x domj, J1J \ J 0  

Vì dom  j (Q j), ở đó  là toán tử tuyến tính được định nghĩa ở trên, ta thấy rằng dom  là tập lồi đa diện. Điều này dẫn tới tập j

Định lý 3.3.  Giả  sử  M n n ,A m n   và C s n   được  cho  là  tập  lồi  đa diện. Thế thì tồn tại hằng số l > 0 sao cho hàm đa trị: n m s 2 n  được định nghĩa bởi công thức  

       (q, b,d) Sol(AVI(M,q, (b,d))),   

ở đó  ( , , ) n m s

là Lispchitz trên địa phương tại mọi điểm q b d , ,  n m s với hằng số Lipschitz l. 

      Áp  dụng  Định  lý  3.3  trong  trường  hợp  tập  ràng  buộc  ( , ) b d   của  bài toán  AVI(M q, , ( , )) b d  là cố định, (tức là, cặp (b, d)) là không chịu tác động nhiễu) ta có kết quả sau 

Hệ quả 3.4. Giả sử M n n   là ma trận cho trước và   n là tập lồi đa diện khác rỗng. Thế thì tồn tại hằng số l > 0 sao cho hàm đa trị: n2 n được định nghĩa bởi công thức  

      ( )q Sol(AVI(M q, , ))  

ở đó q  n, là Lipschitz trên địa phương tại mọi điểm q  n  với hằng số Lipschitz l.