Trường THCS VINT THANHCHUYÊN ĐỀ : Các bài toán liên quan tới phương trình bậc hai và định lý Vi-et.. 2.Chứng minh có một hệ thức giữa hai nghiệm số không phụ thuộc vào m.. Giải: -Điều
Trang 1Trường THCS VINT THANH
CHUYÊN ĐỀ :
Các bài toán liên quan tới phương trình
bậc hai và định lý Vi-et.
Bài 1:Cho phương trình : x2 -(2m+1)x + m2+m -1= 0
1.Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
2.Chứng minh có một hệ thức giữa hai nghiệm số không phụ thuộc vào m
Giải:
1 Ta có : = (2m +1)2 - 4.(m2 + m - 1) = 5 > 0
suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi m
2.Theo vi-et ta có:
) 2 ( 1
) 1 ( 1 2 2 2 1 2 1
m m x x
m x
x
Từ (1) suy ra:
2
1
2
1
x x
m thay vào (2) ta có:
2
1 2
1
2 2 1
2
1
x x x
x
x
2
1 2
1
2 2 1 2
x
Ta có đpcm
Bài 2: Tìm những giá trị nguyên của k để biệt thức của phương trình sau là số
chính phương: k.x2 + (2.k-1).x + k-2= 0; (k0)
Giải:
Ta có : = (2k-1)2 - 4.k.(k-2) =4k +1
Giả sử 4k + 1 là số cp khi đó nó là số cp lẻ hay: 4k + 1 = (2n + 1)2 n là số tự nhiên Hay: k = n2 + n
Vậy để là số cp thì k = n2 + n( thử lại thấy đúng)
Bài 3: Tìm k để phương trình sau đây có ba nghiệm phân biệt :
(x-2)(x2 + k.x + k2 - 3)= 0
Giải:
Đặt f(x)= (x-2)(x2 + k.x + k2 - 3) = (x-2).g(x)
Để f(s)=0 có ba nghiệm phân biệt tương đương với g(x) =0 có hai nhgiệm phân biệt
1 2 2 0
) 2 (
0 ) 3 (
2
k k g
k k
Bài 4: Tìm a,b để hai phương trình sau là tương đương:
x2 + (3a + 2b) x - 4 =0 (1) và x2 + (2a +3b)x + 2b=0 (2)
với a và b tìm được hãy giải các phương trình đã cho
Giải:
-Điều kiện cần:
Nhận thấy pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.Vậy pt (2) cũng phải có 2 nghiệm phân biệt giống với (1)
Đặt f(x) = x2 + (3a + 2b) x - 4 =0 và g(x) = x2 + (2a +3b)x + 2b
Để hai phương trình đã cho là tương đương thì f(x) = g(x) (*) với mọi x (Vì hệ số của
x2 của cả hai pt đều bằng 1)
Thay x = 0 vào (*) ta có b = -2 (3)
Gv : Đỗ Kim Thạch st
1
Trang 2Trường THCS VINT THANH
Thay x = 1 vào (*) kết hợp với (3) ta được a= -2
-Điều kiện đủ:
Với a=b=-2 ta thấy hai phương trình tương đương với nhau
Bài 5: Giả sử b và c là các nghiệm của phương trình :
x2 -
a.x-2
1
.a2 =0; (a 0) chứng minh : b4 + c4 2+ 2
Giải:
Theo định lý Viet ta có:
2
2 1
bc
a c b
Ta có:b4 c4 (b2 c2 ) 2 2b2c2 (bc) 2 2bc2 2b2c2
2 2 2 6 2 2
3 2 2 2
3 2
1 1
4
4 4
4 4
2 2 2 4
4
a
a a
a a a
a
c
Bài 6 : Chứng minh rằng với mọi a,b,c phương trình sau luôn có nghiệm :
a(x-b).(x-c) + b.(x-c) (x-a) + c.(x-a).(x-b) = 0
Giải:
Đặt f(x) = a.(x-b).(x-c) + b.(x-c) (x-a) + c.(x-a).(x-b) =
= (a + b + c).x2 -2.(ab + bc + ca).x + 3abc
*Nếu a + b + c 0.Khi đó:
' = a2b2 + b2c2 + c2a2 -abc.(a + b + c) = [(ab-bc)2 + (bc-ca)2 + (ca-ab)2]
2
1 0
*Nếu a + b + c = 0.Khi đó:
-Nếu ab + bc + ca 0 thì phương trình đã cho luôn có nghiệm
-Nếu ab + bc + ca =0 Khi đó kết hợp với gt a + b + c =0 ta dễ dàng chứng minh được a=b=c=0.Và dĩ nhiên trường hợp này pt đã cho có vô số nghiệm
Bài 7:CMR:Nếu các hệ số a,b,c của phương trình:ax2 + bx + c = 0 (a0) đều là các
số lẻ thì phương trình bậc hai trên không thể có nghiệm hữu tỉ
Giải:
Giả sử phương trình bậc hai trên với các hệ số a,b,c đều là các số lẻ có nghiệm hữu tỉ
x0 =
n
m
với m,n là các số nguyên (m,n)=1 và n0 ;khi đó ta có:
2
n
m
b
n
m
hay:am2 bmncn2 0 (1).Suy ra:
n
am
m
cn
2
2
mà (m,n)=1 ( , 2 ) ( , 2 ) 1
n m m n nên:
n a m c
mà c,a đều là các
số lẻ nên suy ra m,n cũng là các số lẻ.Vậy ta có:a,bc,m,n đều là các số lẻ Do đó:
2 bmn cn
am số lẻ (Mâu thuẫn với (1))
Vậy điều ta giả sử là sai.Hay nói cách khác, ta có đpcm
Gv : Đỗ Kim Thạch st
2