giáo án ôn thi vào 10

Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?. Nếu một mình người thứ nhất làm trong hai giờ sau đó một mình người thứ hai làm trong ba giờ làm được 1 3 công việ

= Û íï

=ïî

Lưu ý : Với a³ 0 thì ( )2

a =a

3 A có nghĩa Û A³ 0

4 Các phép toán biến đổi căn bậc hai.

+) Hằng đẳng thức căn bậc hai : 2 A khi A 0

+) Khai phương một tích và nhân các căn bậc hai : A.B= A B A 0,B 0( ≥ ≥ )

+) Khai phương một thương và chia hai căn bậc hai : A A A 0,B 0( )

B = B ≥ > +) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai : A B2 = A B B 0( ≥ ) ;

+) Đưa một thừa số vào dấu căn bậc hai :

A B= − A B A 0, B 0 ; A B< ≥ = A B A 0, B 0≥ ≥ ; +) Khử mẫu của biểu thức lấy căn : A 1 AB AB 0,B 0( )

d 2 x 3 ( + ) ; e 9x2- 6x 1 + f 2x 1

2 x -

- .

+ > Û >

C MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ BIỂU THỨC VÔ TỶ

Bài 1 Cho biểu thức : Cho biểu thức: a 2a a

Bài 2 Cho biểu thức: x 2 x 1

ĐS : A = x 1

x-

b Biến đổi x = 36 Î ĐKXĐ Þ x = ( )2

36= ±6 = ± =6 6.Thay x = 6 vào biểu thức A = x 1

x

, ta được A = 6 1 5

-Với x Î ĐKXĐ thì x>0 Để x 1

x

< 0 thì x 1 0- < Û £ <0 x 1 Kết hợp với ĐKXĐ, A > A khi 0 < x < 1

c Tìm x để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó

(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2002 – 2003).

- ĐS : 2

M

=+ .

b Ta có M >

3

1 Û 2 1 3 x

03

Kết hợp ĐKXĐ, M >

3

1 khi 0£ <x 9

c Ta có M = 2 2

3

x 3£+ với x Î ĐKXĐ.

ê

ê ë

1

11

x

x x

x x

ĐS: P = 1 x

x-

b Ta có x > 0 và x ¹ 1 , P > 0 trở thành 1 x

x

> 0

-Với x Î ĐKXĐ, suy ra x>0 Để 1 x

x

> 0 thì 1- x> Û0 x < Û £ <1 0 x 1.Kết hợp ĐKXĐ, suy ra P > 0 khi 0 < x < 1

-Bài 7 Cho biểu thức A =

1

1:

a Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0

c Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình A x =m− x có nghiệm

(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2007 – 2008)

Đặt x = t, vì x > 0, x ≠ 1 nên t > 0, t ≠ 1 Phương trình (1) qui về

t2 + t - m - 1 = 0 (2) Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm dương khác 1

<

−

−

01m11

01m

1mKết luận: m > -1 và m ≠ 1

(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2008– 2009)

Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết quả minP = 2 khi x = 4

Bài 9 Cho biểu thức A = x x 1 x 1

b Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

æ ö÷ç

a Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

c Khi x thoả mãn điều kiện xác định Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B, với B = A(x – 1)

(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2010– 2011)

= - +ç ÷çè ø÷- = − +− 

4

1)

2

1

4 -

Dấu bằng xảy ra khi

4

10

2

10

)2

Bài tập đề nghị

Bài 1 Cho biểu thức: M =

62

362

a

(với a ≥ 0; a ≠ 9.)

a Rút gọn biểu thức M

b Tìm giá trị của a để M = 4

c Tìm giá trị nguyên của a để M có giá trị nguyên lớn hơn 10 Tìm giá trị nguyên của M

1

11

b) Tìm các số nguyên tố a để giá trị biểu thức A là một số nguyên

Bài 3 Cho biểu thức A =

13

33

3

+

++

x x

a) Rút gọn A nếu x ≥ 3 ; b) Tính giá trị của A khi x =

529

a

a a

a

1

1.11

1

3 3

Bài 6 Cho biểu thức : B = a 1 a 1 a a

1:

11

1

a

a a

a a

a

A 6

Bài 9 Cho biểu thức A =  − + −   − − − 

−

−

21

1:1

221

1

x x

x x x x

x x

a Rút gọn A

b Với GT nào của x thì A đạt GTNN và tìm GTNN đó

Bài 10 Cho biểu thức : P = 2a 4 a 2 2

:1

11

12

x x

x x

a Rút gọn P b Tìm GT nguyên của x để P nhận GT nguyên dương

Bài 12 Cho biểu thức P = − − −   + + −1

21

1:

1

x x

2

32

4

x

x x

x x

x x

x

.a) Rút gọn P

x x

x x

1

41

:12

c/ Tì m m để với mọi giá trị của x >9 ta có: m( x - 3)P > x+1

Bài 16 Cho biểu thức P =

x x

x x

a) Rút gọn P

b) Tính GT của P khi x =

32

++

1

11

1:11

2

23

a a

a

a a a

a

a a

x x

Bài 19 Cho biểu thức : P=

1

461

3

−

−+

+

x x

x x

a Rút gọn P ; b Tìm các GT của x để P <

2

1

Bài 20 Cho biểu thức : P =

x x

x x

a Rút gọn P b Tính GT của P khi x= 4 c Tìm GT của x để P = 13

Bài 21 Cho P = , 0& 9

9

933

x x

Bài 22 Cho T =

2 2

x + x

a, Hãy rút gọn biểu thức A b Tìm x thoả mãn A = x - 2 + 1

Bài 24 Cho biểu thức: M =

Đây là phương trình chứa ẩn ở mẫu để giải bài toán này người ta thường làm như sau :

Biến đổi phương trình về dạng : ax + b = 0 hoặc ax2 + bx + x = 0 bằng cách :

2) Tìm giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x > 0, y < 0

Giải.

1) Với a = 1, ta có hệ phương trình :

3 x 2x 3y 1 2x 3y 1 7

y 21

a 2 a 2

0

2 a 4

*) Nếu m = 1 ta có : (3) ⇔0 = 0 hay phương trình có nghiệm với mọi y ⇒ hệ có vô số nghiệm

*) Nếu m = - 2 từ (3) ⇒0 = - 3 hay hệ phương đã cho trình vô nghiệm

m 2 1 y

Ví dụ 5 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lẫn chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng

chục 1 đơn vị Và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được số mới có hai chữ số bé hơn

số cũ 36 đơn vị

Phương pháp.

Bước 1 : Lập hệ phương trình.

- Tìm mối liên hệ để dự kiến phương trình

- Chọn ẩn, xác định điều kiện cho ẩn

- Biểu thị các yếu tố qua ẩn

Bước 2 Giải hệ phương trình vừa lập.

Bước 3 Đối chiếu giá trị vừa tìm được với ĐK để trả lời.

Giải Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y Điều kiện của ẩn là x và y

là số nguyên , 0 x 9 < ≤ và 0 y 9 < ≤ Khi đó, số cần tìm là xy 10x y = + Khi viết hai chữ sốtheo thứ tự ngược lại, ta được số yx 10y x = + Theo bài ra ta có hệ phương trình :

Vậy chữ số cần tìm là : 95.

Ví dụ 6 Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một quảng đường AB sau 3 giờ thì gặp

nhau Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau một giờ ô tô cách xe đạp 28 km Biết quảng đường AB dài 156km, tính vận tốc xe đạp và ôtô

Giải Gọi x là vận tốc xe ô tô là x (km/h, x >0), vận tốc xe đạp là y (km/h, y >0).

Ví dụ 7 Một chiếc xe tải đi từ A đến B, quảng đường dài 189 km Sau khi xe tải xuất phát 1 giờ,

một chiếc xe khách bắt đầu đi từ B đến A và gặp xe tải sau 1 giờ 48 phút Tính vận tốc của mỗi xe,biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km

Giải Đổi : 1 giờ 48 phút = 9

Ví dụ 8 Để trở một số hàng có thể dùng một ô tô lớn trở 12 chuyến hoặc một ô tô nhỏ trở 15

chuyến Ô tô lớn trở một số chuyến rồi chuyển sang làm việc khác, ô tô nhỏ trở tiếp cho xong, hai xetrở tổng cộng 14 chuyến xong công việc Hỏi mỗi ô tô trở mấy chuyến

Giải Gọi x là sô chuyến ô tô lớn chở, y là sô chuyến ô tô nhỏ chở (x, y nguyên dương)

Theo bài ra ta có hệ phương trình :

x = 4, y = 10 thỏa mãn ĐK bài toán

Vậy ô tô lớn chở 4 chuyến, ô tô nhỏ chở 10 chuyến

Ví dụ 9 Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong Mỗi ngày, phần việc

đội A làm được bằng 2

3 đội B Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong

bao lâu ?

Giải Gọi thời gian đội A làm một mình xong đoạn đường là x (ngày) và thời gian đội B làm một

mình xong đoạn đường là y (ngày) Điều kiện của ẩn là x và y là những số dương Ta có :

Công việc đội A làm trong một ngày 1

x = 60, y = 40 thỏa mãn ĐK bài toán.

Vậy thời gian đội A làm một mình xong đoạn đường là : 60 ngày, thời gian đội B làm một mìnhxong đoạn đường là 40 ngày

Ví dụ 10 Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 7 giờ12 phút xong Nếu một mình người

thứ nhất làm trong hai giờ sau đó một mình người thứ hai làm trong ba giờ làm được 1

3 công việc

Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao nhiêu lâu sẽ xong công việc ?

Giải Gọi x , y lần lượt là thời gian để một mình người thứ nhất, một mình người thứ hai làm xong

công việc (giờ, x, y > 7,2)

x = 12, y = 18 thỏa mãn ĐK bài toán

Vậy một mình người thứ nhất làm xong công việc trong 12 giờ, một mình người thứ hai làm xongcông việc trong 18 giờ

Ví dụ 11 Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm 3

giờ và người thứ hai làm 6 giờ thi chỉ hoàn thành được 25% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗingười hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?

Giải Gọi x , y lần lượt là thời gian để một mình người thứ nhất, một mình người thứ hai làm xong

công việc (giờ, x, y > 16)

x = 24, y = 48 thỏa mãn ĐK bài toán

Vậy một mình người thứ nhất làm xong công việc trong 24 giờ, một mình người thứ hai làm xongcông việc trong 48 giờ

Ví dụ 12 Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn nước (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1

giờ 30 phút Nếu hai vòi chảy nhưng vòi thứ nhất chảy 15 phút, vòi thứ hai trong 20 phút thì chỉđược 1

5 bể nước Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bề là bao nhiêu ?

Giải Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ) và thời gian vòi thứ hai chảy một

mình đầy bể là y (giờ) Điều kiện của ẩn là x và y là những số dương Ta có :

1 giờ vòi thứ nhất chảy được 1

240 thỏa mãn ĐK bài toán.

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể : 15

4 giờ ; vòi thứ hai chảy một mình đầy bể :

1) Giải hệ phương trình với a = 4

2) Tìm giá trị của a sao cho nghiệm (x ; y) của hệ thỏa mãn y = 3

1) Giải hệ phương trình với a = 3

2) Với giá trị nào của a thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Bài 3 Cho hệ phương trình : (a 1 x ay 3a 1)

1) Giải hệ phương trình với a = 3

2) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho :

1) Giải hệ phương trình khi m = 2

2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:(x, y) sao cho: x + y = 0

Bài 5 Hai người thợ cùng làm một công việc trong 18 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm trong 4

giờ rồi nghỉ và người thứ 2 làm tiếp trong 7 giờ thì họ làm được 1

3 công việc Hỏi nếu làm một

mình thì mỗi người mất bao lâu để hoàn thnàh công việc ?

Bài 6 Để chở một đoàn khách 320 người đi tham quan chiến trường Điện Biên Phủ, công ty xe

khách đã bố trí 2 loại xe, loại thứ nhất mỗi xe có 40 chỗ, loại thứ hai mỗi xe có 12 chỗ Em hãy tính

số xe mỗi loại biết loại thứ nhất ít hơn số xe loại thứ hai là 5 chiếc và số người ngồi vừa đủ số ghếtrên xe.

Bài 7 Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà trong 2 ngày thì xong Nếu người thứ nhất làm

trong 4 ngày rồi nghỉ và người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc Hỏi mỗi người làmmột mình thì sau bao lâu xong việc ?

Bài 8 Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong công việc Nếu một

mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làmđược 75% công việc Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằngnăng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi)

Bài 9 Để chuẩn bị cho kỉ niệm ngày sinh nhật Bác, các đoàn viên hai lớp 9A và 8A của trường

trung học cơ sở Kim Liên, tổ chức trồng 110 cây quanh trường Mỗi đoàn viên lớp 9A trồng 3 cây,mỗi đoàn viên lớp 8A trồng hai cây Biết rằng số đoàn viên lớp 9A nhiều hơn số đoàn viên lớp 8A là

5 người Hãy tính số đoàn viên của các lớp 9A và 8A

Bài 10 Cho hệ phương trình : mx y 3 (1)

1) Giải hệ phương trình khi m=1

b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho biểu thức

1) Giải hệ phương trình với m = 1

2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn: x2 – 2y2 = 1

Bài 12 Cho hệ phương trình : mx y 2 (1)

1) Giải hệ phương trình theo tham số m

2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y) Tìm các giá trị của m để x + y = -1

3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Bài 13 Cho hệ phương trình: (a 1)x y a

x (a 1)y 2



 + − =

 có nghiệm duy nhất là (x; y).

1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a

2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5

3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức 2x 5y

x y

−+ nhận giá trị nguyên.

Bài 14 Cho hệ phương trình (a 1 x y 4)

2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y ≥ 2

Bài 15 Cho hệ phương trình: 2 2

1) Giải hệ phương trình với m = 1

2) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn : x2 + y2 =10

Bài 16 Cho hệ phương trình: x 2y 3 m

1) Giải hệ phương trình khi thay m = - 1

2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhấtl

Bài 17 Cho hệ phương trình: x ay 1 (1)

+) Nếu ∆ < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm

* Điều kiện có nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1)

- (1) có 2 nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0; có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0

a) Định lý: Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠0) thì ta có:

1) Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát

2) Xác định tham số đẩ phương trình có nghiệm ; có nghiệm kép ; có hai nghiệm phân biệt ; có hai nghiệm dương ; có hai nghiệm âm ; có hai nghiệm khác dấu

3) Chứng minh (chứng tỏ) phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số

4) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số

C MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH.

Bài 1 Cho phương trình bậc hai x2 + 2x – m = 0 (1)

1) Giải phương trình ( 1 ) khi m = 4

2) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x1 + x2

Bài 2 Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1)

2) Giải phương trình (1) khi m = – 2

3) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

3) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Bài 3 Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = 3

2 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

3 Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Bài 4 Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = 2

2 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

3 Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m

Bài 5 Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = 5

2 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

3.Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lậpvới m

4 Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu

Bài 6 Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = –2

2 Chứng minh rằng : m∀ , phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

3 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1) Chứng minh biểu thức:

A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m

Bài 7 Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1)

1) Giải phương trình (1) khi m = – 2

2) Chứng minh rằng : Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

3) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1) Tính A = x 1 2+x 2 2 theo m

4) Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 8 Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = –1

2 Chứng minh rằng : Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

3 Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu

4 Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m

5 Tìm m để x 1 2+x 2 2 = 10

Bài 9 Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + 1 = 0 (1)

1) Giải phương trình (1) khi m = –1

2) Tìm m để:

a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

c) Tổng bình phương các nghiệm của pt (1) bằng 11

Bài 10 Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) (1)

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó

b) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 hãy tìm hệ thức liên

hệ giữa các nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m

Bài 12 Cho phương trình bậc hai : x2 + (m + 1)x + m -1 = 0

1) Giải phương trình khi m = 2

2) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 13 Cho phương trình bậc hai, với tham số m : 2x2 – (m + 3)x + m = 0 (1)

1) Giải phương trình (1) khi m = 2

2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = 5 x x1 2

3) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x x1− 2

Bài 14 Cho phương trình bậc hai : x2 + (m + 1)x + m -1 = 0

1) Giải phương trình khi m = 2

2) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 15 Cho phương trình: x2− 2(m 1)x 2m 4 0 − + − = ( m là tham số)

1) Giải phương trình khi m = -2

2) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

3) Tìm 1 hệ thức không phụ thuộc tham số m giữa các nghiệm.

Bài 16 Cho phương trình: (m+1)x2 - 2(m + 2)x + m - 3 = 0 (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = 0

2 Định m để phương trình (1) có nghiệm.

3 Định m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18

Bài 17 Cho phương trình: 3x2 - 4x + m + 5 = 0 (m là tham số) (1)

1 Giải phương trình với m = - 4

2 Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt sao cho

7

41

1

2 1

−

=+

x x

Bài 18 Cho phương trình: x2 − mx m + 2 − − = m 3 0 (với m là tham số).

1 Giải phương trình khi m = 2