Thời gian không còn nhiều nữa!. Hãy cố gắng lên các bạn ơi.. Hãy dành tất cả thời gian cho việc học tập.. Tương lai của các bạn dang phu thuộc vào chính các bạn.. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁC
Trang 1Thời gian không còn nhiều nữa! Hãy cố gắng lên các bạn ơi Hãy dành tất cả thời gian cho việc học tập
Tương lai của các bạn dang phu thuộc vào chính các bạn
I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1 f(x) = x2 – 3x +
x
1
2 f(x) = 2
4
3 2
x
x
3 f(x) = 21
x
x
4 f(x) = 2
2 2
) 1 (
x
x
5 f(x) = x3 x4 x 6 f(x) =
3 2 1
x
x 7 f(x) =
x
x 1)2 (
8 f(x) =
3
1
x
x
9 f(x) =
2 sin
2 2 x 10 f(x) = tan2x 11 f(x) = cos2x 12
1 3
0
(x x 1)dx
1
1 1
e
2
1
1
x dx
15
2
3
(2 sinx 3cosx x dx)
16
1
0
(e xx dx)
17
1 3
0
(x x x dx)
18
2
1
( x1)(x x1)dx
19
2
1 (3sinx 2cosx )dx
x
20
1
2
0
(e xx 1)dx
21
2
1
(x x x x dx)
Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số hợp
C
x
dx
1 1
1
C x
dx
x
0
x
dx
C e
dx
e x x
0 1
a
a
dx
a
x
x
C x xdx
C x xdx
C x dx
cos
1
2
C x dx
sin
1
2
ax b C
a b ax
0 ln
1
a b ax dx
C e a dx
e axb axb
a dx b
a dx b
C u
du
1 1
1
C u du u
0
u du
C e du
e u u
0 1
a
a dx a
u u
C u udu
C u udu
C u du
cos
1
2
C u du
sin 1
2
Trang 2www.luyenthikhtn.com NGUYỄN TRỌNG PHÚC 0984959465
T T L T Đ H K H O A H Ọ C T Ự N H I Ê N - T Â Y N G U Y Ê N - 5 0 Y W A N G - B M T Trang 2
22 1 5
(2x 3) dx
23
2
2 2 -1
x.dx
x
24
2
e
1
dx x
5
2
dx
x 2
26 f(x) = (tanx – cotx)2 27 f(x) =
x
2
cos sin
1
28 f(x) =
x x
x
2 2
cos sin
2 cos
29 f(x) = sin3x 30 f(x) = 2sin3xcos2x 31 f(x) = ex(ex – 1)
32 f(x) = ex(2 + )
cos2 x
ex
34 f(x) = e3x+1 35
2 2 1
x 1 dx
( ).
ln
37
4
2
0
tgx dx
x
cos
0
3
0
dx
ln
.
2
0
dx
1 sin x
43 5 3 4 3 5 22 43 1 523
4
(x x x 1)
dx x
2
x dx x
46
9 5
2 3
x
dx x
47
1
dx x
48
3
1
x dx
x
49
1
x dx x
50.(3x5)59dx 5147x2dx
II PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1
4
(2x1) dx
2 4
xdx
x
3.cos(7x5)dx 4.es inx.cosxdx 5.3x 7 3 x d x2 6.cos(3x4)dx
7 2
os (3 2)
dx
sin os
c
9 12sin1cos1dx
1
1
o
x dx
11 t anx2
os dx
12.t3(1t4 3) dt 13
1
5 ( 4)
o
x dx
x
3
2
4 1
o
x dx
x
15
(1cos3 ) s in3x xdx
16.(5x3)5dx
17
4
sin xcosxdx
18 1
x x
e dx
e
19.(5x2)6dx 20
3
x dx
x
21.s inx 2 os 1c dx
22 s inx2
cos x dx
23 (3 2 9)4
x dx
x
24
2
2 4
4 5
x dx
25
t anx
2
os
e dx
c x
26 1
x x
e dx e
27 1
ln dx
28.2xe x24dx 29
1
20
0
(1 )
x x dx
30
6 1
0
(1
31
1
xdx
x
32
1
2
1
o
x x dx
33
1
0
1
x x dx
34
2
dx
dx
x x
35
1
0
(1 )
36
2
2 1
o
dx x
37
1
3
o
38
x x dx
39
7 3
3
1
3 1
o
x x
40
o
x
dx
x
41
o
x dx x
2 3
2
dx
x x
1
2
2
o
x dx
x
44
2
ln
e
e
x dx x
Trang 345
2
1
1 ln x
dx x
46
2
2
sin 2
1 sin
II
O
x dx x
1
2
x o
dx
e
48
ln 2
5
x o
dx
e
59 x dx2x
e e
6
0
1 4 sin xcosxdx
51
ln 3
1
x
o
dx
e
52
2
3
sin xcos xdx
53
2
0
sin
1 3
x dx cosx
54
4
0
tan xdx
55
4
6
cot xdx
56
6
0
1 4 sin xcosxdx
3
x dx
x
58
1
2 0
1
1x dx
59
1
2 0
1 1
dx
x
60
1
2 2 0
1
(1 3 x ) dx
61 2
1 2
0
x
e xdx
62 2
1 2
0
x
e xdx
63
1
sin(ln )
e
x dx x
64
1
1 3ln ln
e
dx x
65
2ln 1
1
e
dx x
66
2 2
1 ln ln
e
e
x dx
2
x dx x
68
1
x dx
x
69
1
1 ln
e
x dx x
70
1
2
01
dx
x
71 (§HTM 1995)
1
0 2
5
;
1dx
x
x
I 72.(§HKT HN 1997)
1
0
6 3
5(1 x ) dx;
x
73 (§HNN1 HN 1999)
1
0
19
; ) 1 ( x dx x
A 74.(§HSP Quy Nh¬n)
1
0
10 2
; ) 3 2 1 )(
3 1
I
4 B
; 1
1
2 1
x
x dx
x
x A
76
2 2 2
1 ;
x
x
77 1 ; (DHTM-1995)
1
0
x x dx A
78 1 ; (DHYHN1998)
1
2
2
1
0
3 2
A
80 ; (HVQY1998)
1
3
x x
dx
3
0
2 5
;
1 x dx x
A
82.(§HQGTPHCM 1998)
2
0
4
sin 1
2 sin
x
dx x
I 83.(C§HQ TPHCM 1999)
2
0
2
cos sin 7 11
cos
x x
dx x I
84
4
0
B
cos 4 cos sin
dx
0
2
cos 4 9
sin
x
dx x x
I 85.(HVBCVT HN 1998)
2
0
2 3
cos 1
cos sin
x
dx x x I
86.(C§SP TPHCM 1997)
6
0
2
sin sin 5 6
cos
x x
dx x
2 ln
dx I
1
0 2 1
2
2 ln 4
1
; 2
ln 2
dx x
x x
B x
dx x A
e
89 (§H Y HN 1999)
1
0
e e
dx
90
ln 2 2x
2x 0
x x
e
e
1
1
0 3 3
x
x
1 3
0
1 ;
Ax xdx
93
2
1
2 ;
A x x x dx 94
2
0
sin
1 3 co s
x
d x x
3 4 3 0
sin
co s
x
x
Trang 4www.luyenthikhtn.com NGUYỄN TRỌNG PHÚC 0984959465
T T L T Đ H K H O A H Ọ C T Ự N H I Ê N - T Â Y N G U Y Ê N - 5 0 Y W A N G - B M T Trang 4
2
0 cos 6
dx x e
dx x
2
0
3 4
0
sin sin B
; cos sin
cos sin
dx x x
dx x x
x x
III TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1 x sin xdx
2 x cos xdx
3 (x25)sinxdx
4(x2 2x3)cosxdx
5 xsin2xdx
6 xcos2xdx
7 x.e x dx
8 lnxdx
9 x ln xdx
10 ln2x dx
11 lnxdx x 12 e x dx
13 dx
x
x
2
cos 14
xtg2xdx
15 sin x dx
16 ln(x2 dx1)
17 e x.cosxdx
18 x3e x2dx
19 xln(1x2)dx
20 2x xdx
21 x lg xdx
22 2xln(1x)dx
23 dx
x
x
2
) 1 ln(
24 x2cos2xdx
25
3
3
1
ln
e
x
dx x
26
1
ln
e
27
1
2 0
ln( 1)
28 2
1
ln
e
29
2
0
(x cosx) s inxdx
1
1
e
x
31
2 2 1
ln( x x dx )
32
3
2
4
tan
33
2
5 1
ln x
dx x
34
2
0
cos
36
1
0
x
xe dx
37
2
0
cos
x
38
1
0
3
.e dx
x x 39
2
0
cos ) 1 (
xdx
x 40
6
0
3 sin ) 2 (
xdx
x 41
2
0
2 sin
xdx
x
42
e
xdx
x
1
ln 43
e
dx x x
1
2).ln 1
( 44
3
1
ln
4x x dx 45
1
0
2
)
3 ln(
x
46.
2
1
2
)
1
(x e x dx 47
0
cos x dx
x 48
2
0
2
cos
dx x
x 49
2
0
2
sin )
2 (
dx x x x
50
2
5
1
ln x
dx
x
2 2
0
x cos xdx
2
0
sin xdx
e 2
1
x ln xdx
54
3
2 0
x sin x
dx cos x
0
x sin x cos xdx
4
2
0
x(2 cos x 1)dx
2
2 1
ln(1 x)
dx x
58
1
2 2x
0
(x 1) e dx
59
e
2
1
(x ln x) dx
60
2
0
cos x.ln(1 cos x)dx
1
ln ( 1)
e
e
x dx
x
62
1 2
0
xtg xdx
64
1
0
2
) 2 (x e x dx
65.
1
0
2
) 1
ln( x dx
x 66
e
dx x
x
1
ln
67
2 0
3 sin ) cos (
xdx x
2
0
) 1 ln(
) 7 2
Trang 569
3
2
2
) ln(x x dx 70
2
0 3
4
2 ; B cos3 sin
dx x e
x
dx x
71
e x
dx x dx
e x A
1 3 2
ln
0
ln B
;
1
e
Ax x dx x x dx 73
2
1 2 1
2
ln B
; ) ln 1
x
x dx
x A
e
ln
1 ln
1
2
2
e
e
dx x x
e x
dx x dx
e A
1
2 4
4 1
) ln 1 ( B
;
2 2
75 ( 1) ln ; B sin cos
e
2
2 4
2 3
0
2
) ( cos B
; ) 1 ln(
dx x dx
x x
2
3
4
sin B
; sin
dx x
x x
dx x
e e
e
dx x
x dx
x
x A
1
2
ln B
; ) ln(ln
2
79 (§HBKTPHCM 1995)
2
0
2
cos
dx x x
I 80.( §HQG TPHCM 2000)
1
0
2( )
sin x dx e
81.(C§KS 2000)
e
dx x x
I
1
ln )
2 2
( 82.(§HSPHN2 1997)
4
0
2 sin 5
dx x e
I x 83.(§HTL 1996)
2
0
2
cos
dx x e
I x
84.(§H AN 1996)
0
2
sin x dx x
I
IV TÍCH PHÂN HÀM SỐ CÓ MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI
1. 2 2 3 4
dx
x x
2. 4 2 8 1
dx
x x
3. 7 10 4 2
dx
4. 9 2 8 2
dx
x x
5.
4
2
dx
x x
1
2
dx
x x
7. 3 2 4 2
dx
x x
8. 4 6 1
dx
9. 5 2 8 6
dx
x x
10.
2
2
dx
x x
dx
12. 4 2 6 3
dx
x x
13.
3
2
dx
x x
1
2
o
dx
x x
o
dx
16. 3 4 2 2
dx
17. 4 2 14 5
dx
x x
18.
2
2
dx
19. 2
5 6
x
dx
20. 2
2 3
x
21.
2
2 2
4 8
o
dx
22.
0
4
x
dx
2
2
dx
24.
1 2
2
3 10
2 9
o
dx
2 0
2 10 1
2 9
dx
26.
2
3
2 1
o
x
dx
x x
1
o
x
dx
2 1
x
dx
1 2
2 0
2 3 29
4 5
dx
ln 2 2
2
3 30
o
dx
2
7 3 31
x dx
2
3 4 32
x
dx
33 2
7 3
x dx
Trang 7
2 3
38
dx
x x x
dx
5
dx
41
dx
xdx
x x
2
1 1
x
d x
x x
1 2
4
1 1
o
x dx x
2
3
1
45
( 1)
dx
x x
46
4
x dx
x x
2
2
dx
x x
48
2 4
6 1
1 1
x dx x
49
1
10
x
dx
1
2 18
50
( 6 13)
x
dx
2
dx
x dx
53.(CĐSP HN 2000):
3
0 2
2
1
2 3
dx x
x
I 54.(ĐHNL TPHCM 1995)
1
0 2
6
5x
x
dx I
55 (ĐHKT TPHCM 1994)
1
0
3 ) 2 1 ( x dx
x
I 56.(ĐHNT HN 2000)
1
0
2
2 3
9 2
)
1 10 2 (
x x
dx x x x
57.(ĐHSP TPHCM 2000)
1
0 2
6 5
)
11 4 (
x x
dx x
I 58.(ĐHXD HN 2000)
1
0 3
1
3
x
dx I
59.(ĐH MĐC 1995 )
1
0
2
x
dx I
60.(ĐHQG HN 1995) Xác định các hằng số A,B,C để
2 1
) 1 ( 2 3
3 3 3
2 3
2
x
C x
B x
A x
x
x x
Tính
dx x x
x x
2 3
3 3 3
3
2
VI TÁCH CÁC TÍCH PHÂN HỮU TỈ
DẠNG 1: MẪU THỨC CHỨA NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC
1.
dx
x x
dx
x
3.
dx
x x x
dx
x x x
5
dx
x x x x
5
x dx
x x
10 9
dx
21 100
dx
9
dx
dx
( 1)(2 3)(3 1)
dx
x x x
12
dx
x x
dx
dx
x x
DẠNG 2: MẪU THỨC CHỨA NHÂN TỬ KHễNG ĐỒNG BẬC
Trang 8www.luyenthikhtn.com NGUYỄN TRỌNG PHÚC 0984959465
T T L T Đ H K H O A H Ọ C T Ự N H I Ê N - T Â Y N G U Y Ê N - 5 0 Y W A N G - B M T Trang 8
1 3
3
dx
x x
2 5
5 20
dx
10
dx
dx
x x x
2
5
dx
x x x
dx
x x x x x
5
dx
x x
8 9 4
7
dx
x x
9 11 5
8
dx
x x
VII TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
1 4
os 3
sin 5xdx
3
6
os
xc xd x
(sin 5 )x dx
( os2 )c x dx
6.( os4 )c x dx6 7.(sin 3 )x dx8 8.(sin 7 )x 11dx 9.( os5 )c x 13dx 10.sin2x(cos )x dx4
11 (sin 3 ) ( os3 ) x c x dx 12 7 100
(sin 2 ) ( os2 )x c x dx
(sin 5 ) ( os5 )x c x dx
14
5
os
sin
dx x
7
(sin 3 )
os 3
x dx
(s inx) (cos )
dx x
sin cos
dx
18 (sin 3 ) os(3 ) x c x dx 19 11 6
(sin 9 ) ( os9 )x c x dx
tan xdx
21 14
tan xdx
22 6
( os2 )c x dx
( osx)c dx
( os4 )c x dx
(t anxcos )x dx
(tan 5x c os5 )x dx
(tan 2x c os2 )x dx
(tan 3x c os3 )x dx
29
7
6
(tan 3 )
( os3 )
x dx
c x
10
8
( os5 ) (sin 5 )
c x
dx x
7
95
(tan 4 ) ( os4 )
x dx
9
41
( os3 ) (sin 3 )
dx x
33
2
(t anx)
cosx dx
34
20
8
(tan 6 ) ( os6 )
x dx
11
21
( 3 ) (sin 3 )
co x
dx x
36
6
5
( os2 ) ( os2 )
dx
37.cos2xcos5xcos9xdx 38.cos3xcos8xdx 39 sin 4 os2 os3 xc xc xdx
40 2
os sin 3
41.cos4 sin 5 sin 7x x xdx 42 2
sin 4xcos 5xdx
43 3sin 2 2
os sin 1
xdx
sin x cos
dx x
45 s inx sin 3
os2
x dx
3
4sin
1 cos
x x
47
2
sin
sin 3
x
dx x
48
9
20
os sin
c x dx x
49
dx
6
0 cos (s inx cos )
II
dx
Trang 93
4
4
sin os
II
II
dx
xc x
s inx
dx
53 2
sin
dx x
54 3
sin
dx x
55 4
sin
dx x
56 5
sin
dx
x
57 6
sin
dx x
58 7
sin
dx x
59 8
sin
dx x
60
cos
dx x
61 2
os
dx
62 3
os
dx
63 4
os
dx
64 5
os
dx
65 6
os
dx
66 7
os
dx
67 8
cos
dx
x
(2 s inx 3cos )
dx x
(3s inx 5cos ) 1
dx x
(4 os2 7 sin 2 )
dx
2
71
(5sin 3 2 os3 ) 21
dx
x c x
3sin 4 cos
dx
8 os 4 10 sin 4
dx
74
6 sin 3 4 cos 3
dx
4 os 3 7 sin 3 os3 6 sin 3
dx
3sin 4 5 cos 2 12
dx
2
77
(3sin 4 7 os4 ) 2
dx
x c x
5sin 2 7 cos 3
dx
3s inx 4 cos
dx x
80
4 cos 9 s inx
dx
x
2 os3 7 sin 3
dx
9 os2 4 sin 2 2
dx
VIII TÍCH PHÂN VÔ TỈ
1
3
2
dx
2
2
3
dx
4
2
dx
5
2
1
2
2008dx
6
2
dx
7
1
0
2 2
1 x dx
1
0
3 2
) 1 ( x dx 9
3
2
1
1
dx x
x x
10
2
2
1
dx x
x
11
1
0 (1 x2)3
dx
12
2 2
0 (1 x2)3
dx
13
1
0
2
1 x dx
14
2
2
2
1 x
dx
x
15
2
cos
x
xdx
16
2
0
2
cos cos sin
dx x x
x
17
2
cos
x
xdx
18 2
sin 2 sin
dx x
x x
19
7
3
1 x
dx x
20
3
0
2
x
21
1
xdx
22
1
3
1
x x
dx x
23
7
dx
24 x x dx
1
0
8 15
3 1
Trang 10www.luyenthikhtn.com NGUYỄN TRỌNG PHÚC 0984959465
T T L T Đ H K H O A H Ọ C T Ự N H I Ê N - T Â Y N G U Y Ê N - 5 0 Y W A N G - B M T Trang 10
25
2
0
5
cos sin cos
1
xdx x
3 ln
dx
27
1
dx
28
2
ln
0
2
1
x
x
e
dx
e
29
1
4 5
2
8 4
e
dx x
x x
1
ln ln 3 1
31
3
3 5
1
dx x
x
x
32 x x x dx
4
0
2 3
2 33
0
1
3
(e x dx
34
3
ln
2
ln
2
1 ln
ln
dx x x
x
35
3
0
2 2
cos
3 2 cos
2 cos
dx x
tgx x
x
36
2 ln
0 ( x 1)3
x
e
dx e
37 3
cos
x xdx
38
2
cos
x
xdx
39 dx
x
x
7
0
2
40
a
dx a x
2
0
2 2
41.(HVNH THCM 2000)
1
3
1
x x
dx x
I 42.(§H BKHN 1995)
2
3
2 x x2 1
dx I
43.(HVKTQS 1998)
1
dx
I 44.(§HAN 1999)
4
7 2
9
x
x
dx I
45.(§HQG HN 1998)
1
0
2 3
1 x dx x
I 46.(§HSP2 HN 2000)
2
1 x x3 1
dx I
47.(§HXD HN 1996)
1
0
2
1
)
1 (
x
dx x
I 48.(§HTM 1997)
7
3
1
x
dx x I
49.(§HQG TPHCM 1998)
1
x
dx x I
IX TÍCH PHÂN HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
3
2
2
1 x 1dx
4 2
2
2 x 4x 3dx
3
2
3 x 2x x 2dx
4 2
0
4. x 4x4 dx
2
3
0
3 2
5
1
x
3
6
II
II
x c x dx
3 4
4
7 os2 1
II
II
c x dx
2
2
8 2(1 os2 )
II
II
0
9 cos s inx
II
2 3
4
1
10 x e x
3 4
4
11 sin 2x dx
0
cos
1 x dx
13
5
2
) 2 2
3
0
4
2x dx 15
3
2
3
cos cos cos
dx x x
Trang 1116.
4
2
1
x 3x 2dx
17
5
3
( x 2 x 2 )dx
2 2 2 1
2
1
x
19
3
x
0
2 4dx
20
0
1 cos 2xdx
2
0
1 sin xdx
22 x x dx
2
0
2
X TÍCH PHÂN CÁC HÀM ĐẶC BIỆT
3
7
3
1 ( os )
II
II
C x dx
2 1
t anx 2
1
x
dx x
a
a
1
2
1
4 ln(x 1 x dx)
1 2
1
5 ( os6x+sin sin ) ln( )
x
2
2
2) 1 ln(
cos
dx x x
x
XI TÍCH PHÂN CÁCB HÀM SỐ SIÊU VIỆT
Trang 12www.luyenthikhtn.com NGUYỄN TRỌNG PHÚC 0984959465
1) (§HC§ 2000)
1 0 2 3
x e
dx I
2) (§HY HN 1998)
1 0
2x x e e
dx I
3) (HVQY 1997)
3 ln
0 e x 1
dx I
4) (§HAN 1997)
2 0
2 e dx x
5) (§HKT HN 1999 )
2 0
3 sin
cos sin 2
dx x x e
6) (§HQG TPHCM 1996)
1
x
e
dx e I
7) (§HBK HN 2000)
2 ln 0
2 1
x x
e
dx e I
1) (HVQY 1997)
2 0
2 .e dx x I
x
2) (§HQG HN 1998 )
1
0 e x 1
dx I
3) (PVBC&TT 1999)
e
dx x
x x
I
0
ln 2 ln
4) (§HNN1 HN 1998)
e
x x
e
dx e I
0 2 2 1
) 1 (
5) (§HTM 1997)
2 ln
) 1 (
x x
e
dx e I
6) (§HTM 1998)
2 ln
5
x e
dx I
XII TÍCH PHÂN LIÊN KẾT
6 0 4
cos B
cos sin
sin
x x
xdx x
x
xdx
1 0
x
e dx A
e e
2)
6 4
B
A
XIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
PHẦN I: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
DẠNG 1:
Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = f(x) liên tục trên [ a ; b ], và các đường thẳng x = a , x =
b , trục hồnh:
b
a dx x f
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = x2 - 4x + 3 , và các đường thẳng x = 2 , x = 4 và y = 0 Bài 2:Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = x3 - 3x2 + 2 , và các đường thẳng x = 0 , x = 2 và y = 0 Bài 3:Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = cosx trên đoạn [ 0 ;
4
3
] và trục hồnh
DẠNG 2:
1/ Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = f(x) và y = g(x) liên tục trên
[ a ; b] ,và các đường thẳng x = a , x = b, trục hồnh:
b
a
dx x g x f
1/ Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị x = f(y) và x = g(y) liên tục trên [ a ; b] ,và các đường
thẳng y = a , y = b, trục tung
b
a
dy y g y f
![DẠNG 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = f(x) liên tục trên [ a ; b ], và các đường thẳng x = a , x = b , - Chủ đề tích phân hay h](https://123doc.top/img.php?url=https%3A%2F%2F123docz.net%2Fimage%2Fdoc_normal.png)