CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN

VI- Vấn đề tích phân liên kết : Trong nhiều trường hợp việc tính tích phân I phức tạp, ta tìm cách xét thêm tích phân J gọi là tích phân liên kết, có quan hệ với I sao cho ta tính được m

Chủ đề TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

A – Lý thuyết :

B – Bài tập :

I- Dạng 1 : Bài tập tính tích phân bằng cách áp dụng trực tiếp định nghĩa và các tính chất

Bài 1 : Tính các tích phân sau :

sin

dx x

π π

b a

dx x

+

4 2 3

1 x

d x

3

1 2

1 x

x d

0os3 ;

6,∫ 4−x x dx ;

2

2 1

II- Dạng 2: Bài tập tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

* Đổi biến dạng 1 : Phương pháp : Cần tìm ( )

b

a

f x dx

∫

-Đặt u = u(x) , u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] , u(x) là một phần của f(x)

- Biểu thị f(x) dx theo u(x) và du ; giả sử f(x) dx = g(u)du

- Tìm một nguyên hàm G(u) của g(u), đổi cận

-Tính

( ) ( )

(2x 1) dx −

2

2 0

x dx

7 5sin x cos x 7 5sin x 1 sin x 6 5sin x sin x

cos tdt (1 sin t)

sin cos

x dx x

1 (ln x) dx x

3

2 0

x 1 x dx +

1

2 3x 0

3 0

x +

1 1 0 x

∫

1 2 0

+

∫

2

2 0

-Tính g t dt G t ( ) ( )

β β

4 x dx −

1 2

2 0

1 x dx −

1 2

01

dx x

+

1 2

2

1 1

dx x

2

0 4 9

dx x

3 6

2 3 4

1 4x

dx x

−

2 0

2cos

3 4 sin

tdt t

sin t cos t

dt ln cos t sin t 0 cos t sin t

6 3

π π

−

8, Đặt x = 2sint ⇒dx =2.costdt; x2 = 4sin2t; x =0⇒t =0; x = 2⇒t =

2 3 2(cot )

2cos

3 4 sin

tdt t

−

b a

Bài 1: Tính các tích phân sau :

x 2

x 2

Ta có ; 3 [ ] 3 3

0 0

xe dx

1

4x 0

xe dx

3

2 2x 0

v 2

v 3

x ln(x + 1)dx

e sin 3xdxπ

sin

xdx x

π π

+

1

2 0

+ ++

∫

IV- Vấn đề tích phân hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 1: Tính các tích phân sau :

x + 2x 3dx 4 − =

∫

Bài 2: Tính các tích phân sau

V- Vấn đề tích phân hàm lượng giác :

Bài 1: Tính các tích phân sau :

dx sin x

π

π

3 8

8

dx sin x cos x

Đổi biến : x π4 π2

VI- Vấn đề tích phân liên kết :

Trong nhiều trường hợp việc tính tích phân I phức tạp, ta tìm cách xét thêm tích phân J (gọi là tích phân liên kết, có quan hệ với I) sao cho ta tính được mI+nJ và nI-mJ (thường là I+J, I-J) tương đối dễ dàng, từ đó suy ra I

Vấn đề là lúc nào thì dùng tích phân liên kết và liên kết đến tích phân nào?

Tính các tích phân sau nhờ sử dụng tích phân liên kết:

=+

π π

=+

ln2

xdx I

xdx J

π

= ∫

+Trong nhiều trường hợp việc tính tích phân I phức tạp, ta tìm cách xét thêm tích phân J (gọi là tích phân liên kết, có quan hệ với I) sao cho ta tính được mI+nJ và nI-mJ (thường là I+J, I-J) tương đối dễ dàng, từ đó suy ra I

Vấn đề là lúc nào thì dùng tích phân liên kết và liên kết đến tích phân nào?

Tính các tích phân sau nhờ sử dụng tích phân liên kết:

Bài 1: Tính các tích phân sau :

xdx

ππ

b Sử dụng kết quả trên để tính: 2 cos3

sin cos0

xdx I

xdx J

a Tính I + J và I - J b Từ các kết quả trên hãy tính các giá trị của I, J và:

Bài 9: Tính các diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

2

1,y x= -2x ; y = x ;

23,y =2x - x ; x + y = 0

y x=

2

Phương pháp giải toán:

B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)

B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:

TH1:

Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3.

* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0

Ví dụ 1ï: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2π ] và Ox

Phương trình tung độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là: 2

4

y =42

y

− ⇔ y y=24

 = −

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S=

2 4

Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình :x2 + y2 = R2 ⇒ y2= R2-x2

Thể tích của khối cầu là ø : V= ( 2 2)

R R

3

R R

π − 

4

3πR (Đvtt)

Ví dụ 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi

nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x

Bài tập về nhà :

1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (P): y= x2 - 2x và trục hoành

2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H): y= x+1

x và các đường thẳng có phương

trình x=1, x=2 và y=0

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (C): y= x4 - 4x2+5 và đường thẳng (d): y=5 4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x3 –3 x , và y = x

5/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó

quay xung quanh trục Ox:

a/ y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x =

4

π

b/ y = sin2x ; y = 0 ; x = 0 ; x = π

3,y e= x-1 , trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x=1

4,y e= x-e , −x trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x=1

5,y e= x+1 , trục hoành , trục tung , đường thẳng x = 1

y = 0, y = x sin , x = 0, x = x

2

π

Giai: V = ∫2

0sin

x u

dx du

cos

⇒ V = ∫2

0sin

cos(

π π

y = x , trục hoành và hai đường thẳng x=0 và x=2

Bài 14: Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi

y = −x , trục yung và đường thẳng y=1

Bài 15: Tínhthể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0 và x=3 biết rằng thiết diện của nó

cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục 0x tại ddiemr có hoành độ x (0 ≤ ≤x 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2 9 2

2

3

V.Rút kinh nghiệm sau giờ dạy.