tóm tắt lí thuyết về dãy số

Một hàm số xác định trên được gọi là một dãy số vô hạn dãy số.. Hàm số xác định trên tập cũng được gọi là một dãy số.. Dãy số này có hữu hạn số hạng.. + Dãy số được gọi là dãy số bị chặn

Tóm tắt lý thuyết về dãy số, cấp số cộng

và cấp số nhân

Dãy số Cấp số cộng và cấp số nhân

Tóm tắt lý thuyết

Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề chứa biến là mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương

, ta thực hiện hai bước sau:

+) Bước 1 Chứng minh rằng là mệnh đề đúng

+) Bước 2 Giả sử đúng với với Chứng minh cũng đúng với

Khi đó theo nguyên lý qui nạp, đúng với mọi

Dãy số

1 Định nghĩa

Một hàm số xác định trên được gọi là một dãy số vô hạn (dãy số)

Chú ý

Hàm số xác định trên tập cũng được gọi là một dãy số Dãy

số này có hữu hạn số hạng

2 Các cách cho một dãy số

+) Cách 1 Cho bởi công thức của số hạng tổng quát

Ví dụ

Cho dãy số với

+) Cách 2 Cho bởi hệ thức truy hồi (hay còn gọi cho dãy số bằng qui nạp)

Ví dụ

Cho dãy số xác định bởi và

+) Diễn đạt bằng lời

3 Dãy số tăng, dãy số giảm

Định nghĩa

được gọi là dãy tăng nếu với mọi , ta có \\

được gọi là dãy giảm nếu với mọi , ta có

4 Dãy số bị chặn

Định nghĩa

+) Dãy số được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số sao cho

+) Dãy số được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số sao cho

+) Dãy số được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là, tồn tại sao cho

Cấp số cộng

1 Định nghĩa

Định nghĩa.

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi

số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số không đổi, nghĩa là

là cấp số cộng

Số được gọi là công sai của cấp số cộng

2 Tính chất

Định lý

Nếu là cấp số cộng thì

3 Số hạng tổng quát

Định lý

4 Tổng số hạng đầu tiên của một cấp số cộng}

Định lý

Chú ý

Cấp số nhân

1 Định nghĩa

Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi

số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số không đổi, nghĩa là

là cấp số nhân

Số được gọi là công bội của cấp số nhân

2 Tính chất

Định lý

Nếu là cấp số nhân thì

2 Số hạng tổng quát

Định lý

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu là và công bội thì

3 Tổng số hạng đầu tiên của một cấp số nhân

Định lý

Khi , ta có

Chú ý