bai giói hạn của dãy số

+ Biết áp dụng định lí về giới hạn hữu hạn để tính các giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương của hai dãy số.. Về kĩ năng: + Tìm được giới hạn của vài dãy số đơn giản.. Bài mới: PHẦN 1

Trang 1

Chương IV – GIỚI HẠN

§1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Tên người soạn : Lê thị Thanh Thảo / Nhiệm sở : THPT Phú Ngọc

Số tiết: 49+50+51

Đối tượng HS: Trung bình – Yếu.

Tiết 49

I- Mục tiêu:

1 Về kiến thức :

+ Biết khái niệm giới hạn của dãy số thông qua những ví dụ cụ thể

+ Biết vài giới hạn đặc biệt

+ Biết áp dụng định lí về giới hạn hữu hạn để tính các giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương của hai dãy số

2 Về kĩ năng:

+ Tìm được giới hạn của vài dãy số đơn giản

+ Biết cách chứng minh một dãy số có giới hạn bằng 0

3 Về tư duy, thái độ:

+ Rèn tư duy logic, cẩn thận, chính xác trong tính toán, lập luận

+ Biết nhật xét và ĐG bài làm của bạn cũng như tự ĐGKQ học tập của bản thân + Có tinh thần hợp tác trong học tập

II- Chuẩn bị của GV và HS:

1 GV: giáo án, SGK

2 HS: đồ dùng học tập, đọc SGK

III- Phương pháp:

Vận dụng linh hoạt các phương pháp nhằm giúp HS chủ động, tích cực trong phát hiện, chiếm lĩnh tri thức như: trình diễn, thuyết trình, giảng giải, gợi mở vấn đáp, nêu vấn đề… Trong

đó PP chính được sử dụng là gợi mở, vấn đáp

IV- Tiến trình bài học:

1 Ổn định tổ chức

Kiểm tra sĩ số, KT sự chuẩn bị của HS cho bài học (sách, vở, dụng cụ, tâm thế…)

2 Bài mới:

PHẦN 1: Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số.

HĐTP 1: Tiếp cận định nghĩa.

Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng

Cho dãy số ( )u với n

1

n

u

n

= Hãy viết dạng khai

triển của dãy số?

Biểu diễn dãy ( )u trên n

trục số?

Trả lời 2 câu hỏi a và b

trong SGK/112

Khi n dần tới vô cực,

dãy số u nhỏ hơn một số n

dương bé tùy ý kể từ số

hạng nào đó trở đi, ta nói

( )u có giới hạn là 0 n

Vậy dãy số có giới hạn

là 0 khi nào?

1; ; ; ; ; ;

Hs lên bảng biểu diễn

…

Nếu kể từ số hạng nào

đó trở đi, u luôn nhỏ hơn n

I- Giới hạn hữu hạn của dãy số.

1 Khái niệm giới hạn 0.

Cho dãy số ( )u với n u n 1

n

= , n∈¥*

♣ Nhận xét:

+ Khi n càng lớn thì khoảng cách

từ u càng nhỏ n

+ u nhỏ tùy ý miễn là chọn n

*

n∈¥ đủ lớn

Ta nói giới hạn của 1

n bằng 0 khi

Trang 2

một số dương bé tùy ý n→ +∞.

HĐTP 2: Hình thành định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số.

Để đảm bào tính không

âm của u ta sử dụng n u n

→ Định nghĩa giới hạn

hữu hạn của dãy số Ghi nhận.

b) Định nghĩa:

(SGK/112)

Kí hiệu: limn u n 0

→+∞ =

hay u n →0 khi n→ +∞

Ta có thể viết tắt limu n =0

VD: lim 1 0

n→+∞n = hay lim1 0

n=

HĐTP 3: Vd củng cố.

Xét dãy số ( )u với n

( )

2

1 n

n

u

n

−

Ta xét u ? n

Giả sử u n <0,01 thì n

như thế nào?

Từ đó cho biết kể từ số

hạng thứ mấy của dãy số thì

0,01

n

u < ?

Nêu nhận xét về dãy số

ở VD1? Tính đơn điệu, bị

chặn?

Nhận xét tương tự cho

dãy số ở vd trên?

→ Lưu ý rằng, dãy ( )u n

có thể không đơn điệu và có

thể dần về 0 từ bên trái hay

bên phải, hoặc từ cả hai

phía

( )

1 n 1

n

u

−

2

1

n

u

n

< ⇔ <

10

n

⇔ <

vậy kể từ số hạng thứ 11 trở đi u n <0,01.

Là dãy giảm, bị chặn dưới

Là dãy không tăng, không giảm, và không có tính bị chặn

VD: Chứng minh rằng dãy số ( )u n

với ( )

2

1 n

n

u n

−

= có giới hạn bằng 0

Giải:

Ta có:

n n

−

vậy kể từ số hạng thứ 11 trở đi 0,01

n

u < nên dãy số có giới hạn bằng 0

HĐTP 4: Giới hạn là số a.

Từ định nghĩa giới hạn

bằng 0, ta có định nghĩa

giới hạn bằng a

Ghi nhận

2, Giới hạn là số a.

Định nghĩa:

Dãy số ( )v có giới hạn là a (hay n v n

dần tới a) khi n→ +∞ nếu

n v a

Kí hiệu: limn v n a

→+∞ =

hay v →a khi n→ +∞

Trang 3

Cho HS làm vd.

Dãy số có giới hạn bằng

2 khi nào?

Vậy ta chứng minh

n v

Khi lim( n 2) 0

n v

…

VD: Cho dãy số ( )v với n v n 2n 1

n

+

Chứng minh rằng limn v n 2

→+∞ = .

Giải:

Ta có:

n v

+

Vậy limn v n 2

→+∞ = .

HĐTP 5: Một vài giới hạn đặc biệt.

Ta công nhận các giới

hạn đặc biệt sau Ghi nhớ

3, Một vài giới hạn đặc biệt:

Từ định nghĩa ta suy ra các giới hạn sau:

• lim1 0

n= ; lim 1k 0

n = với k∈¥ ∗

• limq n =0 nếu q <1;

• lim c c= với c là hằng số

VD: lim 1 lim 1 0

n n

 

  vì

1 1

5 < lim 2 2=

PHẦN 2: Định lí về giới hạn hữu hạn.

HĐTP1: Định lí.

Việc tìm giới hạn bằng

định nghĩa khá phức tạp nên

ta thường áp dụng các công

thức sau để tìm giới hạn

Ghi nhận II- Định lí về giới hạn hữu hạn.Định lí: SGK/115.

HĐTP 2: Ví dụ củng cố định lí.

Áp dụng các công thức

trên tính

GV hướng dẫn các

bước làm cẩn thận cho HS

nắm phương pháp tìm giới

hạn

…

Làm theo hướng dẫn của GV

VD: Tìm giới hạn sau:

a lim3 2 2

1

n

−

b lim 1 4 2

1 2

n n

+

Giải:

a

2 2

2

2 2

1 3 3

1

n

 − 

2

1 3 lim 1 1

n n

−

=

1 lim 3

3 1

n n

 − 

 + 

Trang 4

Vì lim 3 1 lim 3 lim1 3

Và lim 12 1 lim 12 lim1 1

b

2 2 2

1 4

1

n n n

n

 + 

2

1 4 4

2

n n

+

−

3 Củng cố toàn bài:

+ Định nghĩa giới hạn 0 của dãy số?

+ Dãy số ( )v có giới hạn là a khi nào? n

4 Hướng dẫn học bài ở nhà và ra bài tập về nhà

 Bài tập về nhà:

Tìm các giới hạn sau:

a) lim4 2 21

3 2

n

− −

2

lim

1 2

n

+ +

 Nhắc nhở HS về học bài chuẩn bị cho tiết tới

Trang 5

§1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tt)

Số tiết: 49+50+51

Tiết 50

I- Mục tiêu:

1 Về kiến thức :

+ Hiểu rõ hơn cách tính vài giới hạn đơn giản

+ Hiểu được công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

2 Về kĩ năng:

+ Tính được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

1 GV: giáo án, SGK

2 HS: đồ dùng học tập, đọc SGK

IV-Tiến trình bài học:

2 Kiểm tra bài cũ:

Câu hỏi 1: Định nghĩa giới hạn là số a, nêu các giới hạn đặc biệt?

Câu hỏi 2: Tính giới hạn sau:

2 2

lim

3 2

− −

3 Bài mới:

PHẦN 3: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

HĐTP1: Tiếp cận công thức.

Cho biết công bội của hai

cấp số nhân trên?

Chúng có đặc điểm chung

gì?

Hai dãy trên là những vd

về cấp số nhân lùi vô hạn,

vậy 1 cấp số nhân được gọi

là cấp số nhân lùi vô hạn khi

chúng có đặc điểm gì?

→ Định nghĩa cấp số nhân

lùi vô hạn

Nhắc lại công thức tính

tổng n số hạng đầu của cấp

số nhân?

Dãy 1 có 1

2

q= Dãy 2

3

q= − 1

q < .

Khi chúng có công bội 1

q <

Cấp số nhân ( )u có n

công bội q và có số hạng

III- Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

VD: Cho hai cấp số nhân sau:

; ; ; ; ;

2 4 8 2n

( )

1; ; ; ; ; 1 ;

n n

Cấp số nhân vô hạn ( )u có công bội n

q , với q <1được gọi là cấp số nhân lùi

vô hạn

n

S

−

Trang 6

Ta có thể phân tích S n

1

n n

S

q

−

=

−

n n

1

n

q

u q

=

−

(Vì q <1 ⇒limq n =0.)

HĐTP2: Hình thành công thức.

Lưu ý: với những cấp số

nhân có q <1 ta nên sử

dụng công thức trên sẽ dễ

dàng hơn so với công thức

đã được học

Và đặc biệt đây là công

thức tính tổng của vô hạn số

hạng chứ không còn là n số

hạng đầu nữa

Ghi nhớ

Giới hạn này được gọi là tổng của cấp

số nhân lùi vô hạn và được kí hiệu là

1 2 n

S u= + + + +u u

1

u S

q

=

− , với q <1

HĐTP3: Củng cố công thức.

Cho HS làm VD

Cho biết u và q của 1

cấp số nhân trên?

Áp dụng công thức ta dễ

dàng tính được S

Các số hạng của tổng có

đặc điểm gì?

Suy ra S

3

n n

u = nên

1

,

u = q=

Là các số hạng của 1 cấp

số nhân có 1 1, 1

2

u = q= −

…

VD1: (VD5 SGK/116) Giải:

3

n n

u = Suy ra 1 1, 1

u = q=

1 1 3 1

3

u S

q

b Các số hạng của tổng lập thành

cấp số nhân lùi vô hạn với

1

1 1,

2

u = q= − Do đó:

1

2

u S

q

HĐTP4: Hệ thống hóa kiến thức.

Cho HS làm vd củng

cố kiến thức

VD2:

a Tính lim2n 33n32 1

b lim3 5.4

n n

+

2 2

Trang 7

Câu a, mời 1 HS lên

trình bày

Đối với dạng toán này

ta chia cả tử và mẫu cho số

chứa mũ n mà cơ số là lớn

nhất

Các số hạng của tổng

có đặc điểm gì?

Ta có thể phân tích

2,131313

như sau:

2,131313

2 0,13 0, 0013

0,000013

α =

Đưa về dạng phân số ta

được như thế nào?

Lưu ý các số hạng kể từ

số hạng thứ 2 trở đi có gì

đặc biệt?

Suy ra tổng trên sẽ có

kết quả?

Suy ra α

…

Ghi nhận

Là một cấp số nhân có 1

2

q= − nên lùi vô hạn có

thể tính S bằng công thức đã học

100 10000 1000000

Là một cấp số nhân lùi vô hạn với 1 , 1 13

100 10000 1000000 13

13 100

1 100

−

d Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số 2,131313

α =

Giải:

a.

3 2

3

1 1

n

− +

b.

3 5

1 2

n

n n

n

n n

  +

 ÷

+  ÷ 

c Dãy số vô hạn 2; 2;1; 1 1; ;

2 2

là một cấp số nhân với 1

2

q= − .

1

2

u S

q

d Ta có:

2,131313

α =

2 0,13 0,0013 0,000013

100 10000 1000000

100 100 100 13

13 211 100

1 100

−

Vì 13 ; 132; 133;

100 100 100 là một cấp số nhân lùi vô hạn với 1 , 1 13

Vậy 211

99

+ Định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn?

+ Công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn?

 Bài tập về nhà: Làm các bài tập 2, 3, 4, 5 và 6 SGK/121+122

Trang 8

§1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tt)

Số tiết: 49+50+51

Tiết 51

I- Mục tiêu:

1 Về kiến thức :

+ Hiểu giới hạn vô cực của dãy số Biết vài giới hạn đặc biệt

+ Biết sử dụng định lí vào việc tính giới hạn vô cực

2 Về kĩ năng:

+ Tính được giới hạn của dãy số vô cực

GV: giáo án, SGK

HS: đồ dùng học tập, đọc SGK

IV- Tiến trình bài học:

2 Kiểm tra bài cũ:

Câu hỏi 1: Công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn?

Câu hỏi 2: Tính 2 2 2 2

3 9 27

S = − + − + − ?

3 Bài mới:

PHẦN 4: Giới hạn vô cực.

HĐTP1: Giới hạn vô cực.

Tương tự giới hạn bằng 0,

ta cũng có định nghĩa giới

hạn vô cực

Lưu ý, điều trái ngược ở

đây là u lớn hơn một số n

dương bất kì, kể từ một số

hạng nào đó trở đi

Từ định nghĩa giới hạn −∞

trên ta có thể suy ra được

limu n = +∞ ⇔lim −u n = −∞

Ghi nhận kiến thức mới

IV- Giới hạn vô cực.

1, Định nghĩa:

Định nghĩa: (SGK/118)

Kí hiệu: limu n = +∞

hay u n → +∞ khi n→ +∞

limu n = −∞ ⇔lim −u n = +∞

* Nhận xét:

limu n = +∞ ⇔lim −u n = −∞

HĐTP2: Củng cố khái niệm.

Cho HS đọc VD 6

Trang 9

Giải thích khi cần thiết.

HĐTP3: Một vài giới hạn đặc biệt.

Ta thừa nhận các giới hạn

đặc biệt sau

Ghi nhớ để áp dụng vào

việc tìm giới hạn

Ghi nhớ

2, Vài giới hạn đặc biệt.

Ta thừa nhận các kết quả sau:

a limn k = +∞ với k nguyên dương

b limq n = +∞ nếu q>1

HĐTP4: Định lí.

Ta thừa nhận định lí sau

Tương tự những bài

trước ta chia tử và mẫu cho

n, ta được?

Tử số có kết quả, số có

kết quả?

Vậy lim2 5

.3n

n n

+

=?

Hướng dẫn HS làm câu

b và c?

Lưu ý cho HS trường

hợp kết quả là +∞ hay −∞

Ghi nhớ

5 2

n

+ + =

5 lim 2 lim 2

n

+ = , lim3n = +∞

Bằng 0, vì mẫu bằng +∞

…

Ghi nhận

3, Định lí.

Định lí: (SGK/119)

VD: Tính:

a lim2 5

.3n

n n

+

;

b lim(n3+2n2− +n 1);

c lim(− +n2 5n−2).

Giải:

a.

5 2

n

+ + =

5 lim 2 lim

0 lim 3+ n n

Vì lim 2 lim5 2

n

+ = và lim3n = +∞

b. lim(n3+2n2− +n 1)

3

limn 1

Vì lim n3 = +∞, và

 + − + = >

3

limn 1

 + − + = +∞

Vậy lim(n3+2n2− + = +∞n 1)

c. lim(− +n2 5n−2)

( )2

2

n n

Vì lim n( )− 2 = −∞,

2

n n

 − + = >

( )2

2

n n

−  − + ÷= −∞

Trang 10

Vậy lim(− +n2 5n− = −∞2)

HĐTP5: Hệ thống hóa.

Số mũ cao nhất của

phân thức trên là?

Chia cả tử và mẫu cho

số n ?3

Tử và mẫu có giá trị

bằng?

Tương tự cho câu b

Lưu ý: đối với lim của

1 phân thức, số mũ của

tử lớn hơn mẫu thì giới

hạn là ∞, còn ngược lại

số mũ của mẫu lớn hơn

của tử thì giới hạn là 0

Cho HS nêu hướng

làm rồi nhận xét và đưa

ra cách giải chính xác

Một cách tương tự

cho câu còn lại

Là 3

3

3 lim

1n 4n

n n

=

3

n n

 − + = >

 + =

Ghi nhận

…

Làm bài

VD: Tính các giới hạn sau:

a lim3 3 2 5 1

4

n

b lim 2 2 3

1

n n

+

− + ;

c lim( n2− −n n);

d lim( n2− +n n).

Giải:

a.

2

3

4

n

n n

Vì lim 3 52 13 3 0,lim 1 43 0

 − + = >  + =

b.

2 2

2

n

Vì lim 2 32 0

n n

 + =

1

n

− + = −

c. lim( n2− −n n)

2

=

− +

2

2 1

n

− + =  − + = +∞÷÷

Vì lim n= +∞, lim 1 1 1 2 0

n

− + = >

+ Nêu công thức về tính chất của các số hạng của một cấp số nhân?

+ Công thức tính n số hạng đầu của một cấp số nhân?

 Bài tập về nhà: tất cả các bài tập còn lại trong SGK

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	522,5 KB