* Khi giải bài tốn bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên.. Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ Yêu cầu tính ∫f xgxd
Trang 1HƯỚNG DẪN ƠN THI TNTHPT NĂM 2011
A ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Bài tốn 1: Khảo sát hàm số
1.Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với ∆/ = b2− 3ac
y/ cùng dấu với hệ số a
•KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?) y
/ = 0 có hai nghiệm x1; x2
•KL: hàm số tăng? Giảm?
•Hàm số không có cực trị • Cực tri cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn: • x→lim+∞(ax3+bx2+cx+d)=
<
∞
−
>
+∞
) 0 ( ) 0 (
a a
• lim (ax3 bx2 cx d)
−∞
<
∞ +
>
−∞
) 0 (
) 0 (
a a
+ Bảng biến thiên:
x − ∞ +∞ x − ∞ x1 x2 +∞
y/ + y/ + 0 − 0 +
y − ∞ +∞ y − ∞ CĐ CT +∞
x − ∞ +∞ x − ∞ x1 x2 +∞
y/ − y/ − 0 + 0 −
y +∞ − ∞ y − ∞ CT CĐ − ∞
Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng + Vẽ đồ thị : • xác đinh Cực trị ? • ; điểm đặc biệt a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT 2.Hàm phân thức : y = d cx b ax + + ( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 ) + TXĐ : D = R\ − c d + Đạo hàm : y/ = (cx ad+d bc)2 − ad−bc < 0 ad−bc > 0 y/ < 0 ∀ x ∈D y/ > 0 ∀ x ∈D Hàm số không có cực trị Hàm số nghịch biến trên D Hàm số đồng biến trên D + Tiệm cận: • x =−d c là tiệm cận đứng vì d cx b ax c d x + + − →lim/ = ∞ • y = c a là tiệm cận ngang vì d cx b ax x + + ∞ → lim = c a +Bảng biến thiên : x − ∞ −d/c +∞ x − ∞ −d/c +∞
y/ − || − y/ + || +
y a/c −∞||+∞ a/c y a/c +∞||−∞ a/c + Vẽ đồ thị : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt − Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận
3 Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b)
a,b cùng dấu a, b trái dấu y/ = 0 ⇔ x = 0 •KL: tăng? Giảm y/ = 0 ⇔ 2x (2ax2 + b) = 0 ⇔ x= 0; x1,2=± b a 2 − •KL: tăng? Giảm? •Giá trị cực trị : y(0) = c có một cực trị • Giá trị cực trị: y(0)= c ; y(± b a 2 − ) =− ∆a Có 3 cực trị + Giới hạn : lim (ax4 bx2 c) x + + ±∞ → = < ∞ − > +∞ ) 0 ( ) 0 ( a a + Bảng biến thiên : x − ∞ 0 +∞ x − ∞ x1 0 x2 +∞
y/ − 0 + y/ − 0 + 0 − 0 +
y +∞ CT +∞ y +∞ CT CĐ CT +∞
x − ∞ 0 +∞ x − ∞ x1 0 x2 +∞
y/ + 0 − y/ + 0 − 0 + 0 −
y − ∞ CĐ − ∞ y +∞ CĐ CT CĐ +∞
+ Vẽ đồ thị : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương
4 Hàm hữu tỉ : 2/1 y = f ex c bx ax 2 + + + (đk : e ≠ 0 ; tử không chia hết cho mẫu ) + TXĐ: D = R\ −ef
a > 0
a < 0
Điểm uốn I(−3b a ;f(−3b a))
a> 0 b>0 a< 0
b <0
a< 0 b>0
a> 0
b <0
y= a/c
y= a/c
c
a < 0
a > 0
c
Trang 2+ Đạo hàm : y/ = 2 2
) (
) ( 2
f x e
ce bf x af x ae
+
− + +
có ∆/ =(af)2 −(bf−c e).ae
y/ cùng dấu với ae y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2
Hàm số không có cực trị
• Giá trị cực trị tính theo CT : y =
e b
ax+ 2
+ Tiệm cận : • x = −eflà tiệm cận đứng vì lim f(x)
e
f
x→ − = ∞
• Viết lại hàm số y = A x + B + ε(x);
)]
(
)
(
[
lim f x Ax B
∞
∞
→
xlim =0 => y =
e
a
x + (
e
b
−e2
af
) là t/c xiên + Bảng biến thiên :
x − ∞ −f/e +∞ x −∞ x1 −f/e x2 +∞
y/ + || + y/ + 0 − || − 0 +
y −∞ +∞||−∞ +∞ y − ∞ CĐ − ∞ ||+∞ CT +∞
x − ∞ −f/e +∞ x −∞ x1 −f/e x2 +∞
y/ − || − y / − 0 + || + 0 −
y +∞ ∞||+∞
−∞
y +∞ +∞ || CĐ
CT − ∞ − ∞ + Vẽ đồ thị : ( như hàm phân thức )
(ban cơ bản khơng khảo sát hàm số này)
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
1 Tiếp tuyến tại M(x0; f(x0)) có phương trình là :
Từ x0 tính f(x0) ; • Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?
P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x− x0) + f(x0)
2 Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x1; y1) của đồ thị h/s y =f(x)
+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A
Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x1) + y1
+ Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là
hệ phương trình : = − + (1)
=
/
Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
3 Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = − a
1 + giả sử M(x0; f(x0)) là tiép điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0)
+ Giải phương trình f(x0) = k => x0 = ? −> f(x0) = ? + Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x0) + f(x0) Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = −1 + Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2 ( Nhớ kiểm tra trường hợp trùng )
Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :
+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) + Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m)
+ y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C) + Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = M
Bài toán 4: xét tính đơn điệu Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :
+ MXĐ D= ? + Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
* y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng
Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m):
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b) b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b)
Bài tốn 5: Cực trị hàm số
• Dấu hiệu I : + MXĐ D=?
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
+ Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b)
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0
3) x0 là cực trị của hàm số { '( 0) 0
'( )
=
y x
y x
• Dấu hiệu II:
+ MXĐ + Đạo hàm : y/ = ? y// = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 … + Tính y//(x1); y//(x2)……
Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ? Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x)
Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ : Cho h/s y = u
v u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D
a.e > 0
a.e < 0
Xiên
đổi dấu qua x0
Trang 3Và y/ = u v v u′ −2 ′
=g(x)2 dấu của y/ là dấu của g(x) Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 <=> u/v−v/u = 0
=> u u
′
=
′ Do đó giá trị cực trị y(x0) =
u (x )0
v (x )0
′
′
Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1 Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
+ Miền đang xét [a;b]
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) _ x1 , x2 … chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
+ Tính y(x1) ; y(x2) ……… So sánh → KL
y(a) ; y(b)
+ max y[a;b] = ? min y[a;b] =?
2 P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số trên (a;b) hoặc MX Đ :
+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ
+ Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BBT:
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT min y 1
[a;b] = 2 yCT
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ max y[a;b] = yCĐ
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
+ nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
+ nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1 Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung
• pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong
2 Điều kiện tiếp xúc :
Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt f (x) g(x)
f (x) g (x)
=
Bài tốn 8: Cách xác định tiệm cận :
*Tiệm cận đứng : lim f (x)
x x0→ = ∞ => x = x0 là tiệm cận đứng
Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định
*Tiệm cận ngang : limf (x) y0
x
=
→∞ => y = y0 là tiệm cận ngang
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc
mẫu thì có tiệm cận ngang
* Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng cĩ phần này):
Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + ε (x)
lim
∞
→
x [f(x) –(ax + b)] = lim (x)
→∞ = 0 ⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ;
a lim f (x)
x x
=
→∞ ; b lim [f (x) ax]
x
→∞ =>y = ax + b là tiệm cận xiên
Bài tốn 1: Dùng cơng thức tính các biểu thức cĩ chứa hàm số mũ hoặc hàm số logarit
a− = na 1 ; a0 = 1 0 ; amn =nam ( m; n nguyên dương , n > 1)
• Các quy tắc:
ax.ay = ax+y (a.b)x =ax.bx
x
a y a
−
=
x
÷
( )x y ( )y x x.y
• Hàm số mũ : y = xa với a > 0 ; a ≠ 1 TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ ) + a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 ⇔ ax1 > ax2 + 0 < a < 1 ; h/s nghịch biến : x1 > x2 ⇔ ax1 < ax2
* Hàm số logarit:
α = logaN ⇔ aα = N logax = b ⇔ x= a b
• Đặc biệt : aloga x = x ; log a xa = x ; loga1 = 0
• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có:
log a (B.C) = log a B + log a C log a B
C
÷
= log a B − log a C loga Bα β =
β
αlog a B
• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :
log c a.log a b = logc b ⇔ log ba log bc
log ac
= ; 0 < a, b ≠ 1 : log a b = log a1
b
Chú ý : log10x = lg x ; log e x = ln x
• Hàm số Logarit: y = log a x với a > 0 ; a ≠ 1 TXĐ : D = (0 ; +∞ ) MGT : R + a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 ⇔ log a x1 > log a x2
+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x1 > x2 > 0 ⇔ log a x1 <log a x2
Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit (ex) / = ex −> ( eu)/ = u/.eu
( ax) / = ax.lna −> ( au)/ = u/.au.lna (lnx) / = 1
x x ∈(0;+∞) −> (lnu)/ = u
u
′
Trang 4(logax) / = 1
x ln a −> (logau )/ = u
u ln a
′
Bài tốn3: giải phương trình mũ và logarit :
• Dạng cơ bản:
f (x)
a = g(x)a ⇔ f(x) = g(x)
v(x)
u = 1 ⇔ ( u −1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến )
f (x)
a = b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = log a b
log a f(x) = log a g(x) ⇔ f (x) 0 g(x) 0
f (x) g(x)
=
dạng: log f (x)a b
=
< ≠
logu(x)v(x) = b ⇔
[ ]
v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1
b v(x) u(x)
=
• Đặt ẩn phụ :
α 2f (x)a +β f (x)a + γ = 0 ; Đặt : t = f (x)a Đk t > 0
α b f (x)a + +β b f (x)a − + γ = 0 ; Đặt : t = f (x)a Đk t > 0
α f (x)a +β f (x)b + γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t = f (x)a ;1
t= f (x)b
α 2f (x)a +β.( )f (x)
a.b + γ 2f (x)b = 0 ; Đặt t =
f (x) a b
÷
• Logarit hoá hai vế :
Bài tốn 4: Giải bất phương trình mũ và logarit
• Dạng cơ bản :
10 f (x)a > g(x)a ⇔ f (x) g(x) khi a 1
f (x) g(x) khi 0 a 1
< < <
20 f (x)a > b ⇔ Nếu b ≤ 0 có nghiệm ∀x
Nếu b > 0 f(x) > log a b nếu a > 1 f(x) < log a b nếu 0 < a < 1
30 f (x)a < b ⇔ Nếu b ≤ 0 thì pt vô nghiệm
Nếu b > 0 ; f(x) < log a b nếu a > 1 f(x) > log a b nếu 0 < a < 1
•log a f(x) > log a g(x) ⇔ Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1
(a−1)[ f(x) − g(x) ] > 0
•log a f(x) > b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là f(x) > ba
* Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < ba
•log a f(x) < b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là 0 < f(x) < ba
* Nếu 0 < a < 1 bpt là f(x) > ba
•( )v(x) u(x) > 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) > 0
• ( u ( x ) )v(x)< 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) < 0 Lưu ý:
*) trong trường hợp cĩ ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng cơng thức sau để bài tốn trở nên
dễ dang hơn
10 f (x)a > g(x)a (a−1)(f(x) − g(x)) > 0
20 log a f(x) > log a g(x) (a−1)(f(x) − g(x)) > 0
*) Khi giải bài tốn bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên
*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số
Phần 3: Nguyên hàm.
Bài tốn 1: Tìm nguyên hàm cơ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản).
dx= +x C
∫
x dxα =
∫
1
xα+
α + 1 + C (α ≠-1 )
dx x
∫ = lnx + C ( x≠ 0) x
e dx
∫ = ex + C x
a dx
x a
ln a + C
1 (ax b)
a( 1)
α+
+ α
∫
dx
ax b
∫ + =
1
alnax+ b + C 1
ax b
a
x
aα +β.dx
x b
1 a
C
ln a
α + + α
Cosx.dx
∫ = Sinx + C Sinx.dx
∫ = − Cos x + C dx
2 Cos x
∫ =∫(tan x 1).dx2 + = tanx+C dx
2 Sin x
∫ = ∫(Cot x 1).dx2 + = −cotx+C
Cos(ax b).dx+
aSin(ax+ b) + C Sin(ax b).dx+
aCos(ax+ b) + C dx
2 Cos (ax b)
∫
1
atan(ax+ b) + C dx
2 Sin (ax b)
∫
+ = −
1
aCot(ax+ b) + C
Bài tốn 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I = f [u(x)].u '(x)dx∫ bằng cách đặt t = u(x) hoặc
Trang 5 Đặt t = u(x)⇒ =dt u '(x)dx
I = f[u(x)].u '(x)dx∫ =∫f (t)dt
Dạng 2: Tính I = f (x)dx∫ Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một
trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
1
−
− thì đặt x = asint 1
+
+ thì đ ặt x = atant.
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u(x).v'(x)dx u(x).v(x)= − v(x).u '(x)dx
Hay udv uv∫ = −∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin ( )
∫
ax
ax e
với f(x) là đa thức:
Đặt
cos
⇒
dv ax dx v cosax dx
Sau đó thay vào công thức udv uv∫ = −∫vdu để tính
@ Dạng 2: ∫f x( ) ln(ax b dx+ )
Đặt
( )
( )
+
=
= ∫
a dx
ax b
Sau đó thay vào công thức udv uv∫ = −∫vdu để tính
@ Dạng 3: ∫ sin
ax ax
cosax Ta thực hiện từng phần hai lần với u = e
ax
Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
Dạng 1: sin(ax+b).sin(cx+d)dx∫ ; sin(ax+b).cos(cx+d)dx∫ ; cos(ax+b).cos(cx+d)dx∫
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân
Dạng 2: ∫sin ax.cos axdxn m (n,m là các số nguyên dương)
*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để
tính (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc)
*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể
đặt t = tanax hoặc t = cotax
Dạng 3: R(sinx,cosx)dx∫ R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học)
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx
Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ
Yêu cầu tính ∫f (x)g(x)dx trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x
Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn
đến: f (x)g(x)=h(x)+h(x)r(x) Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x)
Nên ∫ (f (x)g(x))dx=∫ h(x)dx+∫ h(x)r(x)dx.Như vậy h(x)dx∫ ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn phải tính r(x)dx
g(x)
∫ theo trường hợp sau
Trường hợp 2: tính ∫g(x)r(x)dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x)
*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
g(x)=a(x 1).(x x )2 =(x x )1 +(x x )2 +(x x )2
*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng)
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức
Phần 4: Tích phân.
Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản
Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Tính I = bf[u(x)]u dx/
a∫ bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)⇒ =dt u '(x)dx
Đổi cận x=a => t = u(a) x=b => t = u(b)
I = bf[u(x)]u dx/
u(b)
u(a)
f (t)dt
∫
Dạng 2: Tính I = f (x)dxβ
∫
α Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
Trang 6−
− thì đặt x = asint 1
+
+ thì đặt x = atant.
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục
trên [a;b] thì I = budv u.vba bvdu
a∫ = −a∫
phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin ( )
∫
ax
ax e
β
Đặt
cos
⇒
Sau đó thay vào công thức udv uv∫ = −∫vdu để tính
@ Dạng 2: β∫ f x( ) ln(ax b dx+ )
α
Đặt
( )
( )
=
= ∫
a dx
ax b
Sau đó thay vào công thức udv uv∫ = −∫vdu để tính
@ Dạng 3: ∫ sin
ax ax
cosax
β α
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax
Bài toán 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản)
Dạng 1: sin(ax+b)sin(cx+d)dxβ
∫
β
∫ α cos(ax+b).cos(cx+d)dxβ
∫
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân
Dạng 2: sin ax.cos ax.dxn m
β
α
*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc) *) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể đặt t = tanax hoặc t = cotax
Dạng 3: R(sinx,cosx)dxβ
∫
α R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học).
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt
t = tanx
Bài toán 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ Yêu cầu tính f (x)dx
g(x)
β
∫
α trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.
Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn
đến: f (x)g(x)=h(x)+h(x)r(x) Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x)
Nên f (x)dx h(x)dx r(x)dx
Như vậy h(x)dxβ
∫
α ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn phải tính
r(x) dx g(x)
β
∫
trường hợp sau
Trường hợp 2: tính r(x)dx
g(x)
β
∫
α với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
g(x)=a(x ).(x x ) =(x x )+(x x )+(x x )
*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng)
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức
Bài toán 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối
Tính bf (x) dx
+) Tìm nghiệm của f(x) = 0
Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên (a;b) hoặc có có nghiệm nhưng không có nghiệm nào thuộc [a;b] hoặc có một nghiệm x = a hoặc x = b các nghiệm còn lại không thuộc [a;b] thì
bf (x) dx
a∫ = bf (x)dx
a∫ Nếu f(x) = 0 có nghiệm x = c ∈(a;b) thì bf (x) dx
a∫ = cf (x)dx bf (x)dx
a∫ + c∫
*Chú ý
Trang 71) Nếu cĩ nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dung cơng thức trên tùy theo trường hợp
nghiệm như thế nào (cách làm này cĩ lợi vì ta khơngcần xét dấu f(x))
2) Ở mức độ thi TNTHPT khơng cần nắm bất đẳng thức tích phân
Ph
ần 5: Diện tích hình phẳng − thể tích vật thể trịn xoay.
Bài tốn 1: Tính di ện tích hình phẳng
• Hình phẳng giới hạn bởi :
y f (x)
x a; x b
=
hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0;
Diện tích : S = b| f (x) | dx
a∫
Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0
• Hình phẳng giới hạn bởi :
y f (x)
y g(x)
x b
=
hàm số liên tục trên [a;b]
hàm số liên tục trên [a;b]
x a;
Diện tích : S = b| f (x) g(x) | dx
Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)
2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta cĩ thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính thong
qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình
Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể trịn xoay :
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y f (x)
x a;x b
=
hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0; quay quanh trục Ox và f(x) ≥ 0 trên [a;b] thì
V = bf (x) dx2
a
π ∫
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
f (y)
c; y d
=
hàm số x liên tục trên [c;d]
trục tung x 0;y quay quanh trục Oy và f(y) ≥ 0 trên [a;b] thì
V = d
c
2
f (y) dy
π ∫
Phần 6: Số phức
Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,…
Cho hai số phức a+bi và c+di
1) a+bi = c+di a = c; b = d 2) mơđun số phức z= +a bi = a2+b2
3) số phức liên hiệp z = a+bi là z = a −bi * z+ z = 2a; z z = z2=a2+b2
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i 7) z = c dia bi 21 2[(ac+bd)+(ad-bc)i]
Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 với ∆ = b2− 4ac
Nếu ∆ = 0 thì phương trình cĩ nghiệp kép x1 x2 b
2a
= = − (nghiệm thực)
Nếu ∆ > 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm thực: x b
2a
− ± ∆
= Nếu ∆ < 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm phức x b i
2a
=
B HÌNH HỌC.
Phần 1: Thể tích, diện tích của các khối hình
Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh (Sxq), diện tích tồn phần(Stp) của khối nĩn,trụ,cầu
Khối nĩn: Sxq = πrl; Stp = πr(r + l)
Khối trụ: Sxq = 2πrl; Stp = 2πr(r + l)
Khối cầu: S = 4πr2
Bài tốn 2: Tính thể tích các khối hình
* Khối hình chĩp V = 1Bh
3 ; * Khối nĩn V =
2 1
r h
3π
* Khối hình trụ V = πr2h ; * Khối cầu V =4 r3
3π
* Khối lăng trụ: V= Bh
Ph
ần 2: Phương pháp tọa độ trong khơng gian
a
→ = (x;y;z) ⇔ a→= x i→+ y j→+ z k→
Tính chất : Cho a→ = (a1;a2; a3) , b→= (b1;b2; b3)
• a→±→b =(a1 ± b1; a2 ± b2; a3± b3)
• a→k = (ka1;ka2;ka3) k ∈ R
Tích vô hướng : a b→ →= a1.b1 + a2.b2 +a3.b3=→a .→b Cos ϕ
Cos ϕ = a2 a b1 1a2 a ba b22 22a b3 3b2 b2
→ →
⊥ ⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0 a
→cùng phương b→; a→≠→0 ⇔ b→= k a→⇔ [ a→, b→] = 0→
Toạ độ điểm: M = (x;y;z)⇔ OM→ = x i→+ y j→+ z k→
AB→ = ( x
B− xA ; yB−yA;zB−zA)
• M chia đoạn AB theo tỉ số k≠1 ( MA→ = k MB→ )
Thì M:
xA k.xB
yA k.yB
zA k.zB
−
−
=
• I là trung điểm của AB thì I:
xA xB
yA yB
zA zB
+
+
=
a
b
x y
y=g(x)
Trang 8• G là trọng tâm tam giác ABC thì G:
1
xG (xA xB x )C 3
1
yG (yA yB y )C 3
1
zG (zA zB z )C 3
• Tích có hướng của 2 véc tơ :
[ a→, b→] = a a2 3; a a3 1 ;a a1 2
b b2 3 b b3 1 b b1 2
* [ a→, b→] ⊥ a→ ; [ a→, b→] ⊥ b→
• Đk đồng phẳng của 3 véc tơ : →a , b→, c→ đồng phẳng ⇔ [ a→, b→] c→= 0
• ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: ba véc tơ AB→ , AC→ , AD→
không đồng phẳng <=> [ AB→ , AC→ ] AD→ ≠ 0
• Diện tích tam giác ABC : SABC = 1 AB AC2 2 (AB.AC)2
2
→ →
− Hoặc SABC =
2
1
.[ AB→ , AC→ ]
• Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = 1
6[ AB→ , AC→ ] AD→
• Thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C 'D' = [ AB→, AD→ ] AA→′
Bài tốn 1:Xác định điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình học
Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :
Bài tốn 3: Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,thể tích hình hộp, tứ diện:
Phần 3: M ặt cầu.
Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là :
(x −a)2 + (y − b)2+ (z−c )2 = R2
Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S):
x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2−D > 0
có tâm I(−A ;−B;−C) ; bán kính R = A2+B2+C2−D
Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M1(x1;y1;z1)
+ Bán kính R = IM1 = (x1−a)2+(y1−b)2+(z1−c)2
• Pt.mặt cầu (S) đường kính AB :
+ Tâm I là trung điểm AB => I(xA xB
2
+ ;yA yB
2
− ;zA zB
2
+ Bán kính R = IA
• Pt mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D:
p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S) x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1)
Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng (α) bán kính R = d(I; (α))
Bài tốn 3: xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
(α) : A x + B y + Cz +D = 0 ; (S): (x −a)2 + (y−b)2 +(z−c)2 = R2
Tính d(I; (α)) = ?
Nếu:• d(I; α ) > R <=> α và S không có điểm chung ( rời nhau)
• d(I; α ) = R <=> α tiếp xúc với S ( α là mp tiếp diện)
(α) ∩ (S) ={M0} ; Cách viết mặt phẳng tiếp diện : (α) qua M0 nhận →
IM0 làm VTPT
• d(I; α ) < R <=> α cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C)
tâm H; bán kính r
* P.t đ.tròn (C ) A x + B y + Cz +D = 0
(x −a)2 + (y−b)2 + (z−c)2= R2
+ Tâm H là hình chiếu của I lên mp α + bán kính r = R2−[d(I ; )]α 2
Cách xác định H: + Lập pt đ thẳng (d) qua I nhận →
α
n làmVTCP
(d)
x a At
y b Bt
z c Ct
= +
= +
= +
thay vào pt mp(α) => giải t => toạ độ điểm H
Bài tốn 4: Cách vi ết mặt phẳng tiếp diện tại điểm M0: +) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)
+) Tính → IM0 +) Mặt phẳng tiếp diện (α) qua M0 nhận →
IM0 làm VTPT
Bài tốn 5: Xác định tâm H và bán kính r đường trịn giao tuyến của mặt cầu (S)và mặt phẳng( α ).
+ bán kính r = R2−[d(I ; )]α 2 Cách xác định H:
+ Lập pt đ thẳng (d) qua I nhận →
α
n làmVTCP
(d)
x a At
y b Bt
z c Ct
= +
= +
= +
thay vào pt mp(α) => giải tìm t = ? => toạ độ điểm H
Ph
ần 4: Mặt phẳng, đường thẳng.
Bài tốn 1: các viết phương trình mặt phẳng:
* (ABC): +) tính AB ? ; AC ?uuur= uuur= +) VTPT của (ABC) là n [AB,AC]r= uuur uuur
=> viết mặt phẳng đi qua A cĩ VTPT nr
* (a,b) : nếu a//b thì VTPT n [u ,AB]r= uur uuura với A∈ a; B ∈ b
Nếu a cắt b thì n [u ,u ]r= uur uura b
*(A;a) thì VTPT n [u ,AB]r= uur uuura với B∈ a
* (α) //(β) thì VTPT nuur uurα=nβ
* (α) ⊥a thì VTPT nuur uurα=ua
* (α) cĩ hai vectơ chỉ phương a,br r thì nuurα=[a,b]r r
Trang 9*(α) đi qua 2 điểm A và B đồng thời chứa đ.thẳng a hoặc // a hoặc cĩ VTCP arthì
a
nα=[u ,AB]
uur uur uuur
( thay uuura
= ar)
*(α) vuơng gĩc cả hai mặt phẳng (P) và (Q) thì VTPT nuurα=[n ,n ]uur uuurP Q
* Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
+) Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB
+) Tính vectơ ABuuur
Mặt phẳng trung trực đi qua M cĩ VTPT ABuuur
* (α) song song đường thẳng và vuơng gĩc với một mặt phẳng thì nuurα=[n ,u ]uur uurβ a
* (α) chứa đ.thẳng (D) và ⊥(β)
+) chọn M trên đ.thẳng (D)
+) VTPT của (α) là nuurα=[u ,n ]uuur uurD β
* Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d/)
+) chọn M trên đ.thẳng (d)
+) VTPT của (α) là nuurP=[u ,u ]uur uuurd d/ => Viết PT mp(P) đi qua M và cĩ VTPT nuurP=[u ,u ]uur uuurd d/
Bài tốn 2 viết phương trình đường thẳng.
*∆ đi qua điểm A và cĩ VTCP ur
* ∆ đi qua 2 điểm A và B => ∆ đi qua A cĩ VTCP ABuuur
*∆ đi qua A và // (D) => ∆ qua A cĩ VTCP uuuurD
*∆ đi qua A và ⊥(α) thì ∆ qua A cĩ VTCP là nuurα
* ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) thì +) VCTP của ∆ là u [n ,n ]r= uur uurα β
+) Cho một ẩn bằng 0 giải hệ 2 ẩn cịn lại tìm điểm M?
=> ∆ đi qua M cĩ VTCP là u [n ,n ]r= uur uurα β u [n ,n ]r= uur uurα β
* ∆ là hình chiếu của đ.thẳng (D) lên mp (β)
*) Viết phương trình mp(P) chứa (D) và vuơng gĩc mp(β)
+) chọn M trên đ.thẳng (D)
+) VTPT của (α) là nuurP=[u ,n ]uuur uurD β
* ) VTCP của ∆ là uuur∆=[n ,n ]uur uurP β
* ) cho một ẩn x = 0 giải hệ gồm 2 ẩn y và z của 2 PT hai mặt phẳng (P) và (β)=> M? => ∆ đi
qua M cĩ VTCPuuur∆=[n ,n ]uur uurP β
* Cách viết phương trình đường cao AH của ∆ABC
+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n [BC,AC]r= uuur uuur = ?
+) Tìm tọa độ VTCP của đường cao AH là: u [BC,n]r= uuur r = ?
=> Viết PT đường cao AH đi qua A cĩ VTCP u [BC, n]r= uuur r
* Cách viết phương trình đường trung trực của cạnh BC của ∆ABC
+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n [BC,AC]r= uuur uuur = ?
+) Tìm tọa độ VTCP của trung trực là: u [BC,n]r= uuur r = ?
+) Tìm tọa độ điểm M là trung điểm đoạn thẳng BC
=> Đường trung trực cạnh BC của ∆ABC là đường thẳng đi qua M cĩ VTCP u [BC,n]r= uuur r
i tốn 3: tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng
* Tìm hình chiếu H của M lên (α)
+) Viết PT đ.thẳng (D) qua M cĩ VTCP là nuurα
+) giải hệ gồm PTmp( )
PT(D) α
+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên
* Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (D).
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M cĩ VTPT là uuuurD
+) giải hệ gồm PTmp( )
PT(D) α
+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên
Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A / đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
* Đối xứng qua mp( α )
+) Viết PT đ.thẳng (D) qua M cĩ VTCP là nuurα
+) giải hệ gồm PTmp( )
PT(D) α
+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên
+) Tọa độ điểm đối xứng A/ :
x 2xH x /
A
y 2yH y /
A
z 2zH z /
A
* Đối xứng quađường thẳng (D).
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M cĩ VTPT là uuuurD
+) giải hệ gồm PTmp( )
PT(D) α
+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên
+) Tọa độ điểm đối xứng A/ :
x 2xH x /
A
y 2yH y /
A
z 2zH z /
A
Bài tốn 5: xác định vị trí tương đối giữa mp và mp, đt và đt, đt và mp.
* Vị trí tương đối giữa mp (P) và mp(Q).
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ = 0 với n→=(A;B;C) và n→′=(A/; B/ ; C/ )
(P) ≡ (Q) <=> A/
A = B/
B = C/
C = D/ D (P) // (Q)<=> A/
A = B/
B = C/
C ≠ D/ D (P) cắt (Q)<=> A/
A ≠ B/
B ∨ B/
B ≠ C/
C ∨ C/
C ≠ A/ A
Chú ý :• α ⊥ α/
<= > n→.→n
′= 0 <=> AA/ + BB/ + CC/ = 0
• α cắt α/
<=> n→ và n→′ không cùng phương
* vị trí tương đối giữa đ.thẳng (d1) và (d2).
Trang 10Xác định các VTCP u→=(a;b;c) , /u→=(a/;b/; c/ ) ;Tính [ u→, /u→]
Neáu :[ u→, /u→]= 0→
+) chọn M1 ∈(d1) Nếu M1∉ d2 thì d1 // d2 Nếu M1 ∈(d2) thì d1 ≡ d2
Neáu [ u→, /→u ] ≠ 0→ Ta giải hệ {d1=d2 theo t và t/ (cho PTTS của hai đ.thẳng = theo tùng
thành phần )
+) hệ có nghiệm duy nhất t và t/ thì d1 caét d2 => giao điểm
+) nếu hệ VN thì d1 cheùo d2
* Vị trí tương đối giữa đ.thẳng (D) và mặt phẳng (P).
+) thay PTTS của đ.thẳng (D) vào PT mp(P) ta được PT theo ẩn t
+) nếu PTVN thì (D)//mp(P)
Nếu PTVSN thì (D) ⊂ mp(P)
Nếu PT có nghiệm duy nhất thì (D) cắt mp(P) =>giao điểm?
Hoặc có thể dung cách sau:
+) tìm tọa độ VTCP ur
của (D) và VTPT nr
của mp(P)
+) Tính tích vô hướng ur
nr
= ? Nếu tích vô hướng này ur
nr ≠ 0 thì (D) cắt mp(P)
Nếu ur
nr
= 0 thì chọn điểm M bất kỳ trên (D) sau đó thay vào PT mặt phẳng (P) nếu thỏa mãn
thì (D) ⊂ mp(P) còn ngược lại thì (D)//mp(P)
Bài toán 6: Tính khoảng cách.
* từ điểm A(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0
d(A;(α)) = Ax0 2By02Cz02 D
* (P)//(Q) thì d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với mọi điểm A chọn tùy ý trên (P)
* Khoảng cách tử đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//mp(P)
+) chọn điểm M bất kỳ trên (d) tính d(M;(d)) = ?
+) d((d), mp(p)) = d(M,(mp(P))
* Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (D)(không có công thức tính trong chương trình mới
phân ban đối với ban cơ bản) nhưng ta có thể tính như sau:
+) lập PT mp(Q) qua A và vuông góc với (D)
+) Tìm giao điểm H của mp(P) và đ.thẳng (D)
+) Khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng AH
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song (d) và (d/)
+) Chọn điểm M bất kỳ trên (d)
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là uuurd
+) Tìm điểm N là giao điểm của (d/ ) và mp(P) ( bằng cách giải hệ gồm PTcủa (d/) và PT mặt phẳng (P) => nghiệm x,y,z là tọa độ điểm N)
+) Khoảng cách cần tìm là độ dài đoạn thẳng MN
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (d) và (d/)
* Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d/)
+) chọn M trên đ.thẳng (d)
+) VTPT của (α) là nuurP=[u ,u ]uur uuurd d/ => Viết PT mp(P) đi qua M và có VTPT nuurP=[u ,u ]uur uuurd d/
* Chọn điểm N bất kỳ trên (d/) Tính d(N, mp(P)) =?
=> d((d), (d/)) = d(N, mp(P)) Bài toán 6: Tính góc * Góc giữa hai mp (P) A1x+B1y+C1z+D1= 0 và(Q) A2x+B2y+C2z+D2 = 0
thì
n n1 2 cos =
n n1 2 ϕ
ur uur
ur uur = 2 1 2A2 B B21 22C C1 22 2
A1 B1 C A1 2 B2 C2
+ + + + Với ϕ =((mp(Q),mp(P))·
* Góc giữa đường thẳng (D):
x x0 at
y y0 bt
z z0 ct
= +
và mặt phẳng Ax+By+Cz+D = 0 là
SinΨ = n uP D
n uP D
uur uur uur uur = 2 a2 bB cC2 2 2 2
Α + + + + + + Với ϕ =((D), mp(P))·
Góc giữa hai đường thẳng (D1) :
1 1 1
x x0 a t
y y0 b t
z z0 c t
= +
Và (D2):
z z c t
= +
= +
thì cos = u u1 2
u u1 2 ϕ
ur uur
ur uur =
a a1 2 b b1 2 c c1 2
a1 b1 c a1 2 b2 c2
+ + + + Với ((D ), (D ))·
ϕ =