Bài tập bồi dưỡng HSG : CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC Bài tập 1.
Trang 1Bài tập bồi dưỡng HSG : CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC Bài tập 1 Cho a + b + c = 2 và ab + bc + ca = 1; chứng minh: 0 , , 4
3
a b c
Bài tập 2 Cho a, b, c > 0 Chứng minh 1 1 1 1 1 1
3a+3b+3c ≥2a b+2b c+2c a
Bài tập 3 Cho 3 số a; b; c dương thoả mãn abc = 1
a ab b +b bc c +c ca a ≤ + +
Bài tập 4 Cho x > y > 0, chứng minh 1 3
x
x y y
−
Bài tập 5 Chứng minh: a2014 > 2014(a – 1) với a > 0
Bài tập 6 Cho a + b + c = 3 Chứng minh a4 + b4 + c4 ≥ 3
Bài tập 7 a) Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1 Chứng minh: ( 1)( 1) 25
4
HD: Nhân phá ngoặc: VT = ab 1 a b 16ab 1 a b 15ab
+ + + = + + + −
a b
ab b a
+ ≥ + ≥ − = − − = − + − ≥ − => VT ≥ 25
4
b) Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1 Chứng minh: 1 2 1 2 25
2
+ + + ≥ (1) HD: VT ≥2(a 1)(b 1)
+ + Vậy (1) ( 1)( 1) 25
4
Bài tập 8 a) Cho a, b > 0 và a + b = 1; chứng minh 3 21 2 14
ab a+ b ≥
+
b) Cho a, b > 0 thảo mãn a + b ≤ 1 Chứng minh 2 2
4ab 11
a b +ab+ ≥ +
Bài tập 9 a) Cho a, b, c dương và a + b + c = 1; chứng minh (1 1)(1 1)(1 1) 64
b) Cho a; b; c > 0 thỏa mãn : a + b + c = 1 Chứng minh rằng: (1 1)(1 1)(1 1) 8
a− b− c− ≥
Bài tập 10 Cho x, y, z không âm và x y z+ + ≤1 Chứng minh x y z 1 1 1 10
x y z
+ + + + + ≥
Bài tập 11 a) Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 18126 Chứng minh 1 1 1 1
2014
a b c+ + ≥
b) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ 3 Chứng minh: 1 1 1 3
1 xy+1 yz +1 zx≥ 2
Bài tập 12 Cho a, b, c > 0, chứng minh: 1 1 1 1 1 1 1
2
a b b c c a a b c
+ + ≤ + + ÷
Bài tập 13 a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x + y = 2 Chứng minh: xy(x2 + y2) ≤ 2
b) Cho x, y > 0 thỏa mãn: x + y = 2 Chứng minh: x y x2 2( 2+y2)≤2
Trang 2Bài tập 14 a) Cho x, y dương và x2 + y2 = 52; chứng minh 2x + 3y ≤26
b) Cho 4x - 3y = 7 ; chứng minh: 2x2 + 5y2 ≥45 c) cho 2a − 3b = 7 chứng minh 3a2 + 5b2 ≥ 725
47
Bài 15 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: 1 1 1 2
1 a+1 b+1 c =
a = − b− c = b+ c≥ b c
3 bđt ta có Đpcm
Bài tập 15 Cho a,b,c > 0 thỏa mãn
3
5
2 2
a b c+ − < abc
Bài tập 16 Cho a, b, c >0 chứng minh: 3 31 3 31 3 31 1
a b abc b+ c abc c+ a abc ≤abc
HD: Áp dụng: a3 + b3 ≥ ab(a + b) ta có:
ab a b abc bc b c abc ca c a abc ab bc ca a b c abc
Bài 13
a) Chứng minh bất đẳng thức sau: + ≥2
x
y y
x
(với x và y cùng dấu)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
+ − + ÷+
(với x 0, y 0≠ ≠ )
-HD -BẤT ĐẲNG THỨC Bài tập 1 Cho a + b + c = 2 và ab + bc + ca = 1; chứng minh: 0 , , 4
3
a b c
HD: GT ta có: a(b + c) + bc = 1 mà b + c = 2 − a => bc = 1 − a(2 − a) = (a − 1)2
Vì (b + c)2 ≥ 4bc nên (2 − a)2 ≥ 4(a − 1)2 => a(4 − 3a) ≥ 0 => 0 , , 4
3
a b c
Tương tự với b và c
Bài tập 2 Cho a, b, c > 0 Chứng minh 1 1 1 1 1 1
3a+3b+3c ≥2a b+2b c+2c a
HD: Dễ dàng CM được bdt: 1 1 1 9
x+ + ≥y z x y z
+ + (*)
2a b+2b c+2c a
2a b = a a b≤ + +a a b
2b c=b b c≤ + +b b c
Trang 39 9 1 1 1
2c a=c c a≤ + +c c a
Cộng vế với vế : 9A 3 3 3
a b c
≤ + + 1 1 1
A
≤ + + => Đpcm
Bài tập 3 Cho 3 số a; b; c dương thoả mãn abc = 1
a ab b +b bc c +c ca a ≤ + +
HD: Áp dụng a2 + b 2 ≥ 2ab => a2 – ab + b 2 ≥ ab
=> 2 1 2 1 c
a ab b ≤ab =
− + (Do abc = 1 nên c = 1/ab)
Tương tự cho 2 cái rồi cộng lại
Bài tập 4 Cho x > y > 0, chứng minh 1 3
x
x y y
−
x y y
VT x y y
x y y x y y
−
Bài tập 5 Chứng minh: a2014 > 2014(a – 1) với a > 0
HD: Áp dụng cô si cho 2014 số a2014 + 2013 = a2014 + 1 + 1 +…+ 1 ≥ 2014a
A2014 ≥ 2014a – 2013 > 2014a – 2014 =2014(a – 1) Bài tập 6 Cho a + b + c = 3 Chứng minh a4 + b4 + c4 ≥ 3
Áp dụng Cô si: (a4 ; 1) (b4 ; 1) (c4 ; 1)
A + 3 = a4 + 1 + b4 + 1 +c4 + 1 ≥ 2a2 + 2b2 + 2c2
Áp dụng cô si tiếp:
A + 3 + 6 ≥ 2a2 + 2 + 2b2 + 2 + 2c2 + 2 = 2(a2 + 1) + 2(b2 + 1) + 2(c2 +1) ≥ 4a + 4b + 4c = 12
=> A ≥ 12 - 9 = 3
dau = xay ra <=> a =b =c =1
Bài tập 6 Tìm các số dương x, y thỏa mãn 3 3 1
27
x +y =xy−
x +y =xy− <=> +x y + =xy
Vì x, y > 0 nên áp dụng bđt cosi cho 3 số ta có 3 3 1 3 3 3 1
3
x +y + ≥ x y =xy
=> Dấu “=” xảy ra <=> x = y = 1/3
Bài tập 7 Cho a, b > 0 và a + b = 1; chứng minh 1 21 2 6
ab a+ b ≥
+
Trang 4Áp dụng: 1 1 4
x+ ≥y x y
+ và 4xy≤ +(x y)2 với x, y dương
4 2 6
ab a+ b = ab a+ b + ab≥ a b + a b = + =
Bài tập 8 Cho a, b > 0 thảo mãn a + b ≤ 1 Chứng minh 2 2
4ab 11
a b +ab+ ≥ +
Bài tập 9 a) Cho a, b, c dương và a + b + c = 1; chứng minh (1 1)(1 1)(1 1) 64
HD: Nhân phá ngoặc VT = 1 (1 1 1) ( 1 1 1) 1 1 a b c 1
a b c ab bc ca abc abc abc
+ +
VT = 1 1 1 1 2
a b c abc
+ + + +
3
27
a b c+ + ≥ abc =>abc≤ (1)
a b c+ + ≥ a b c=
+ + (2)
Từ (1) và (2) ta có: VT 1 1 1 1 2 1 9 2.27 64
a b c abc
+ + + + ≥ + + =
b) Cho a; b; c > 0 thỏa mãn : a + b + c = 1 Chứng minh rằng: (1 −1).(1−1).(1−1)≥8
c b a
Bài tập 10 Cho x, y, z không âm và x y z+ + ≤1 Chứng minh x y z 1 1 1 10
x y z
+ + + + + ≥
x+ + ≥y z x y z
+ +
=> x y z 1 1 1 x y z 9
+ + + + + ≥ + + +
+ +
2 8 10
x y z
x y z x y z
=> + + + ÷+ ≥ + =
Bài tập 11 a) Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 18126 Chứng minh 1 1 1 1
2014
a b c+ + ≥
HD: Ta có: ( ) 1 1 1 9 1 1 1 9 1
2014
a b c
+ + + + ÷≥ <=> + + ≥ =
+ +
b) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ 3 Chứng minh: 1 1 1 3
1 xy+1 yz+1 zx≥ 2
Bài tập 12 Cho a, b, c > 0, chứng minh: 1 1 1 1 1 1 1
2
a b b c c a a b c
+ + ≤ + + ÷
Trang 5HD: Ta có: 1 1 4
a b+ ≥ a b
+ ;
b c+ ≥b c
+ ;
c a+ ≥c a
+
a b c a b b c c a
+ + ≥ + +
+ + ≥ + +
Bài tập 13 a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x + y = 2 Chứng minh: xy(x2 + y2) ≤ 2
Áp dụng BĐT xy ≤ (x + y)2/4
Ta có 2xy(x2 + y2) ≤ (2xy + x2 + y2)2/4 = (x + y)4/4 = 16/4 = 4
=> xy(x2 + y2) ≤4/2 =2
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1
b) Cho x, y > 0 thỏa mãn: x + y = 2 Chứng minh: x y x2 2( 2+y2)≤2
HD: ( 2 2) 1 ( 2 2) (1 2 2 2)2 ( )4
Mặt khác lại có : ( )2
1 4
x y
xy +
≤ = Từ 2 điều trên => đpcm.
Bài tập 14 a) Cho x + 2y = 5 chung minh x 2 + y 2 ≥5
HD: Cách 1 Thay x = 5 - 2y vào ta có (5 – 2y)2 + y2 = … = (… )2 + 5
Cách 2 : Áp dụng Bunhia cho các cặp số 25 = (x + 2y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 4) = 5(x2 + y2)
=>x2 + y2 ≥5
b) Cho x, y dương và x2 + y2 = 52; chứng minh 2x + 3y ≤26
Áp dụng Bu nhi a với cặp số x,y và 2,3
c) Cho 4x - 3y = 7 ; chứng minh: 2x2 + 5y2 ≥45
Cách 1: Rút x theo y; Cách 2: Dùng Bunhi a
d) cho 3a − 4b = 7 chứng minh 3a2 + 4b2 ≥ 7
e) cho 2a − 3b = 7 chứng minh 3a2 + 5b2 ≥ 725/47
f) cho 3a − 5b = 8 chứng minh 7a2 + 11b2 ≥ 2464/137
Bài tập 15 Cho a,b,c > 0 thỏa mãn
3
5
2 2
a b c+ − < abc
HD: Ta có: (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab - ac - bc) 〉 0
Trang 6⇒ ac + bc - ab 〈
2
1 ( a2 + b2 + c2) ⇒ ac + bc - ab
6
5
≤ 〈 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có
c b a
1 1
1+ − 〈
abc
1
Bài tập 16 Cho a, b, c >0 chứng minh: 3 31 3 31 3 31 1
a b abc b+ c abc c+ a abc ≤abc
HD: Áp dụng: a3 + b3 ≥ ab(a + b) ta có:
ab a b abc bc b c abc ca c a abc ab bc ca a b c abc
Bài 13
a) Chứng minh bất đẳng thức sau: + ≥2
x
y y
x
(với x và y cùng dấu)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
+ − + ÷+
(với x 0, y 0≠ ≠ )