Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Tìm toạ độ hai điểm B, C thuộc hai nhánh khác nhau của C sao cho tam giác ABC vuông cân tại điểm A2; 1.. Mặt phẳng BCM cắt cạnh SD tại
Trang 1TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2010 − 2011
MÔN: TOÁN 12 KHỐI A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
1
x y x
−
=
− có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm toạ độ hai điểm B, C thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho tam giác ABC vuông cân tại điểm A(2; 1).
Câu 2 (2,0 điểm )
1 Giải phương trình: 1 tan 2 3 cos3 1
x x
+ − ÷=
2 Giải hệ phương trình:
2
− = −
− + − + − − =
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân
3
1 1
x
x x
+
=
+
Câu 4 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD a= 3, cạnh
SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh SB tạo với đáy một góc 600 Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho
3
3
a
AM = Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn xyz = 8.
2x y 6 2+ y z 6 2+ z x 6≤4
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 6a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A Biết M(3; −1) là trung điểm
cạnh BC, 8; 1
G −
là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh B, C
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y − 2z – 3 = 0 và đường thẳng (∆):
x = y+ = z−
− Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I∈∆ và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là 2
và mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính r = 3.
2log (x − +4) 3 log (x+2) −log (x−2) =4
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 6b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường trung tuyến BN và đường cao AH lần lượt có phương trình: 3x + 5y + 1 = 0 và 8x − y − 5 = 0, và 1; 3
2
M− −
là trung điểm cạnh BC Xác
định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + z – 1 = 0 và hai đường thẳng:
x+ = y− = z+
− , (d2)
x− = y− = z−
Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm
trong mặt phẳng (P) và cắt cả 2 đường thẳng (d1), (d2)
3
− = − =
−−−−−−−−−−−−−HẾT−−−−−−−−−−−−
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM MÔN TOÁN 12 KHỐI A
Câu 1
1 TXĐ: R\{1}
+ Sự biến thiên:
Giới hạn và tiệm cận:xlim→±∞y=3; limx→1± y= ±∞.Đồ thị hàm số có TCN: y = 3; TCĐ: x = 1
2
2
( 1)
y
x
− , ∀x ∈(−∞; 1)U(1; +∞)
0,25
BBT
y
Hàm số nghịch biến trên: (−∞; 1) và (1; +∞)
0,5
2 Giả sử B b 1;3 2 , C c 1;3 2
+ + + +
(với b > 0, c < 0) thuộc hai nhánh của đồ thị.
Ta có: AB b 1; 2 2 , AC c 1; 2 2
= − + ÷ = − + ÷
Vì tam giác ABC vuông tại A nên uuur uuurAB AC = ⇔0 bc bc( − + + +(b c) 1) 4(bc+ + + =(b c) 1) 0
Vì tam giác ABC cân tại A nên:
= ⇔ − + + ÷ = − + + ÷
⇔ − + − − − = ⇔ + − − −
0,25
Đặt S = b + c, P = bc Từ phương trình thứ hai ta có:
2 2
4
S P
+
=
− Thay vào phương trình thứ nhất ta có: 4 3 3 12 16 0 1 )
4
P
P
=
+ + − = ⇔ = − (lo¹i
0,25
Với P = −4 ⇒ S = 0 ⇒ b = −2, c = 2⇒ B(−1; 2), C(3; 4) hoặc B(3; 4), C(−1; 2) 0,25
Câu 2
1 Đk:
2
x k≠ π
Phương trình đã cho tương đương với:
2
cos3 cos 1 cos 2 sin 2 sin sin
x
−
0,5
⇔ sin2x(2cosx + 1) = 0 ⇔
2 1
2 cos
3 2
x k x
x
= π
= − = ± + π
0,25
KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm : 2
3
x= ± + ππ k
2 Điều kiện: x ≤ 2, −x − y ≥ 0
Từ phương trình ta có: (x y x− )( 2+xy y+ 2+ = ⇔ =3) 0 x y 0,25
Trang 3Thay vào phương trình thứ hai ta có:6x2− +3x 2− + −x 2x =34 (ĐK x ≤ 0)
− + − +
0,25
x
− + − + Vậy phương trình có nghiệm x = −2 0,25
Câu 3
Đặt t= x+ ⇒ = + ⇒1 t2 x 1 2tdt dx=
.2
2
2
= − + − ÷ = − ÷÷ + = +
Câu 4
600
N M
D
C B
A
S
0,5
Dựng MN // AD, N∈SD Ta có: SA AB= tan 600 =a 3
3
3 3
SABC SACD SABCD
a
2
3
SMBC
SABC
−
Thể tích hính chóp S.MBC là:
3
2
a
0,25
Ta có: SD2 =SA2+AD2 =6a2
3
SMNC
SADC
Thể tích khối chóp SMNBC là:
SMNBC
P
Đặt x=2 , a y2 =2 , b z2 =2 ( , ,c2 a b c> ⇒0) abc=1 Khi đó ta có:
2
P
P
0,25
Trang 4Áp dụng BĐT Cauchy:
CM tương tự:
;
ab a
ab a
+ +
Câu 6a
1 Ta có:
2
2
A
A
A A
y y
− = −
= ⇔ + = ⇔ =
uuur uuuur
0,25
Ta có: uuuurAM = −(1; 2) nên phương trình cạnh BC là: x − 3 − 2(y + 1) = 0 ⇔ x − 2y − 5 = 0
Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: (x−3)2+ +(y 1)2 =5 0,25
Toạ độ B, C là nghiệm của hệ phương trình:
0,25
2 Giả sử I(−t; −1 + 2t; 2 + t) thuộc đường thẳng ∆
Vì khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ bằng 2 nên
0 (0; 1; 2)
| 2 1 2 4 2 3 |
2 | 6 6 | 6
2 (2; 5;0) 3
t
− + − − − − = ⇔ − − = ⇔ = − ⇒ −
0,5
Vì mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính r = 3 nên mặt
Vậy có 2 mặt cầu thoả mãn: x2+ +(y 1)2+ −(z 2)2 =13, (x−2)2+ +(y 5)2+z2 =13 0,25
Câu
7a
Điều kiện:
2
2 3
( ; 3] [2;+ ) ( ; 3] [1; )
log ( 2) 0
x x
x
− > ∈ −∞ − ∪ +∞
+ ≥ ∈ −∞ − ∪ +∞
Với x ≤ −3, phương trình tương đương với:
3
3
2log (2 ) 2log ( 2 ) 3 2log ( 2 ) 2log (2 ) 4
2log ( 2 ) 1
x
x
− − =
− − = −
0,25
Với x > 2, phương trình tương đương với:
3 3
2log ( 2) 2log ( 2) 3 2 log ( 2) 2log ( 2) 4
2log ( 2) 3 2log ( 2) 4 0
2log ( 2) 1
x
x x
+ =
+ = −
0,25
Câu
6b 1 Phương trình cạnh BC là:
3
2
x+ + y+ = ⇔ +x y+ =
Trang 58 13 0 3
(3; 2)
B
+ + = = −
Vì M là trung điểm BC nên C(−5; −1)
Giả sử A(a; 8a − 5) Vì N là trung điểm AC nên 5;4 3
2
a
N − a−
0,25
Vì N thuộc trung tuyến BN nên: 3 5 5(4 3) 1 0 1
2
a
− + − + = ⇔ = ⇒A(1; 3) 0,25
Câu
6b
Gọi A là giao điểm của d1 và mặt phẳng (P).
Toạ độ A là nghiệm của hệ phương trình
1
1 (1;1; 2)
x
=
− + − = =
0,25
Gọi B là giao điểm của d1 và mặt phẳng (P).
Toạ độ B là nghiệm của hệ phương trình
7
5 (7;5;4)
x
=
− + − = =
0,25
Ta có: uuurAB=(6; 4; 2) Đường thẳng cần tìm là đường thẳng AB có VTCP là ur=(3; 2;1) nên
có phương trình tham số là:
1 3
1 2 2
= +
= +
= +
0,5
Câu
7b
Giả sử số phức cần tìm là: z x yi x y= + , , ∈¡
Từ giả thiết ta có:
− + = − +
0,5