Đề, đáp án thi thử ĐH THPT Tam Dương

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi.

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2010 − 2011

MÔN: TOÁN 12 KHỐI A

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

= +

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4),

B(−4; −2)

Câu II (2,0 điểm )

1 Giải phương trình: cot 1 cos 2 sin2 1sin 2

x

x

2 Giải hệ phương trình:

2 2

( , )

x y



Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân:

3 0

3

x

dx

− + + +

∫

Câu IV (1,0 điểm).

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi Biết SA = x, với 0< <x 3 và các cạnh còn lại có

độ dài đều bằng 1 Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo x.

Câu IV (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thay đổi luôn thoả mãn: a + b + c = 1.

Chứng minh rằng: a b2 b c2 c a2 2

+ + + + + ≥

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 3) nằm ngoài đường tròn (C):

2 2 6 2 6 0

x +y − x+ y+ = Xác định toạ độ điểm B, C thuộc đường tròn (C) sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC.

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + 3 = 0 và hai điểm

A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt

phẳng (Q).

Câu VIIa (1,0 điểm) Cho hệ phương trình

2

3 2

1

0

m





¡

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thực.

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; −5 ) và đường thẳng ∆: 3x−4y+ =4 0 Tìm

trên ∆ hai điểm A và B đối xứng nhau qua 2;5

2

 ÷

  sao cho diện tích tam giác ABC bằng 15.

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(−1; 0; 1), B(1; 2; −1), C(−1; 2; 3) Hãy

xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,

Câu VIb (1,0 điểm) Giải bất phương trình: ( 2 ) ( 2 )

log log x + + >1 x log log x + −1 x

−−−−−−−−−−−−−HẾT−−−−−−−−−−−−−

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh: SBD:

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM MÔN TOÁN 12 KHỐI A

I

1, TXĐ: R\{−1}

+ Sự biến thiên:

Giới hạn và tiệm cận:

Hàm số có TCĐ là x = −1, TCN là y = 2

0,25

2

1

y

x

= >

+ , ∀x ≠ −1

⇒ Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞)

0,25

BBT

y

0,25

§å thÞ:

0,25

0 0

1

1

x

x x

+

+ +

Vì tiếp tuyến cách đều hai điểm A, B nên tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB hoặc song

song hoặc trùng với AB.

0,25

Nếu tiếp tuyến đi qua trung điểm I(−1; 1) của AB thì ta có:

0

2

0 0

1

1

x

x x

+

+ +

Suy ra phương trình tiếp tuyến là: 1 5

y= x+

0,25

Nếu tiếp tuyến sông song hoặc trùng với AB thì hệ số góc của tiếp tuyến k = 1

0 2

0 0

0 1

1

2

x x x

=



⇒ + = ⇔  = −

Với x0 = 0 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = x + 1

Với x0 = −2 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = x + 5

y= x+ y x= + y x= +

0,5

O C

B

A D S

H

II

−

+

sin

x

−

0,25

⇔ cosx−sinx=sin (1 sin 2 )x − x ⇔ (cosx−sin )(sin cosx x x−sin2x− =1) 0 0,25

⇔ (cosx−sin )(sin 2x x+cos 2x− =3) 0

4

4





⇔

+ =

0,25

4

2 Phương trình thứ nhất tương đương với: 2

2

2

x y

x y

+ = −





 + =



0,25

= ⇒ = −

 + − = ⇔  = − ⇒ = 0,25

2

x y+ = thay vào PT thứ 2 ta có: 2



 + − = ⇔



:

Kết luận

0,5

III

Đặt u = x+ ⇒1 u2− = ⇒1 x 2udu dx= ; đổi cận: 0 1

= ⇒ =



 = ⇒ =

Ta có:

2

1

u

+

1

2

1

3

3 6ln

2

IV

Ta có ∆SBD= ∆DCB c c c( )⇒SO CO=

Tương tự ta có SO = OA

vậy tam giác SCA vuông tại S,

2

1

Mặt khác ta có

AC +BD =AB +BC +CD +AD

2

⇒ = − < <

1

4

ABCD

0,5

Gọi H là hỡnh chiếu của S xuống (CAB) Vỡ SB = SD nờn HB = HD ⇒ H ∈ CO 0,25

1

x SH

+ Vậy V =

2

1

V

Ta có: VT =

A B

0,25

2

a b b c c a

a b b c c a

0,25

1

2

a b b c c a

= + + ≤ + + ữữ + + + + +

0,25

Từ đó tacó VT 3 1 2

≥ + = = Dấu đẳng thức xảy ra khi 1

3

VIa

1 Đường trũn (C) cú tõm I(3; −1), bỏn kớnh R = 2 Ta cú: AI =2 5; IB IC= =2 0,25

Đường trũn bỏn kớnh AC là: (x−1)2+ −(y 3)2=32

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ:

9

;

5

x

y

 =





0,25

Cú 2 cặp điểm thoả món là: (3;1), (5; 1)B C − và 7 1; ; 9; 13

2 Ta cú: uuurAB=(1;1;1) và mặt phẳng (Q) cú vectơ phỏp tuyến là nr1=(1; 2;3) 0,25

Vỡ uuur rAB n,  = − (1; 2;1) 0≠r nờn mặt phẳng (P) cú vectơ phỏp tuyến là: nr= −(1; 2;1) 0,5

VIIa

Đk: x ≠ 0, y > 0

( ) ( )

2

2

, 2 0

0 0

+ = + − =



0,25

Hệ cú nghiệm khi (2) cú nghiệm y > 0

Do đú phương trỡnh f(y) = m cú nghiệm dương khi m > 0 0,25

VIb

A a + ⇒B −a − 

2

ABC

0,5

Theo giả thiết ta cú

2

0 2

a a

a

=



−

= ⇔ − + ữ = ⇔ =

Vậy hai điểm cần tỡm là A(0;1) và B(4;4),

0,25

2 uuurAB(2;2; 2 ,− ) uuurAC(0;2;2 ) uuur uuurAB AC, =(8; 4;4 − ) là vtpt của (ABC)

Pt (ABC): 2( x+ − + − = ⇔ 1) y z 1 0 2x y z− + + = 1 0 0,5

VIb

Mp trung trực của AB: (P): x + y − z − 1= 0 Mp trung trực của AC: (Q): y + z − 3 = 0 0,25

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm chung của 3 mp(ABC), (P), (Q)

Tọa độ tâm là nghiệm của hệ

− + + = =

 + − − = ⇔ =

 + − =  =

VIIb

Đk: x>0

5

5

⇔  + − + + ÷÷<

0,25

5

5

12

5

x + + < ⇔x x + + < ⇔x x + < − ⇔ ⇔ <x x

5

∈ ÷

0,25