Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số trên.. Tìm trên đồ thị C những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai đường tiệm cận của đồ thị C một tam giác với đường tròn ngoại
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN 1 NĂM HỌC 2011 - 2012
MÔN: TOÁN 12 KHỐI A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1
1
x y x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
2 Tìm trên đồ thị (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai đường tiệm cận
của đồ thị (C) một tam giác với đường tròn ngoại tiếp có bán kính bằng 2
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình 2cos3 cos 3(1 sin 2 ) 2 3 cos 22
4
x x x x
2 Giải hệ phương trình
2
2 1
y
x y
x
Câu II (2,0 điểm)
2
lim
2
x
x
2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 1 9 6 x 3 x2
Câu IV (2,0 điểm)
1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D Biết AB = 2a,
AD = CD = a, SA = 3a (a > 0) và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.BCD và tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) theo a.
2 Cho các số a, b, c dương thoả mãn a2 b2 c2 12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
Câu V (2,0 điểm)
1 Cho phương trình x 1 4 m x4 2 3 x 2 ( m 3) x 2 0
Tìm m để phương trình có nghiệm thực.
2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường thẳng DM: x y 2 0 và điểm C(3; 3) Biết đỉnh A thuộc đường thẳng (d): 3x + y 2 = 0 và A có hoành độ âm Xác định toạ độ các đỉnh A, B, D.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: SBD:
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM MÔN TOÁN 12 KHỐI A
1 TXĐ: \{1}
+ Sự biến thiên:
Giới hạn và tiệm cận:
lim lim ; lim lim
2
1
( 1)
x
0,25
BBT
y
Hàm số nghịch biến trên: (; 1) và (1; +)
0,5
§å thÞ:
1 2 1 2
1
x
y
O
Đồ thị (C) nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng
0,25
2 Giả sử M x y thuộc đồ thị (C) của hàm số.( ; )0 0
Phương trình tiếp tuyến tại M là 2 0 0
0 0
2 1
1 ( 1)
x
x x
0,25
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến với các đường tiệm cận của (C)
Giao với đường thẳng x = 1 là 0
0
2 1;
1
x A x
Giao với đường thẳng y = 2 là B x2 01;2
0,25
Vì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng 2 nên
0
0
0
4
( 1)
0 ( 1) 2( 1) 1 0 ( 1) 1
2
x
x
x
0,5 I
Vậy có hai điểm cần tìm là M1(0; 1), M2(2; 3)
Trang 31 Phương trình tương đương 2cos3 cos 3(1 sin 2 ) 3 1 cos 4
2
x x x x
0,25
2cos3 cos 3(1 sin 2 ) 3(1 sin 4 )
2cos3 cos 3(sin 4 sin 2 ) 0
2cos3 cos 2 3 sin 3 cos 0
0,25
cos 0
2 cos (cos3 3 sin 3 ) 0 tan 3 1
Vậy phương trình có hai nghiệm là:
2
x k và ( )
18 3
k
x k
0,5
2 Nhận xét y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình.
Hệ tương đương với:
2
2
2 1
y
y
x y
x
0,25
Đặt u x2 1, v x y
y
Hệ phương trình có dạng
4
1 2
u v v u
Giải hệ phương trình ta có: u = 1, v = 3 0,25 II
Với
2 1
3
x
y
x y
1 Xét hàm số ( ) ( 2 3 9)3 1 42 3; 3
2
f x x x x x x ta có:
(2) 0
6
3 ( 1) 2 (2 3)
0,5
Khi đó giới hạn cần tìm được viết dưới dạng:
2
x
f x f
x
III
2 TXĐ: D = [1; 3]
2
' 1
y
2
3 3 0
9 6 3 (3 3)
x
0,5
Ta có f (1) = 0; f (2) = 6; f (3) = 4
Vậy
[ 1;3]
[ 1;3]
maxy 6; min y 0;
Trang 4D C
B A
S
Diện tích hình thang ABCD là 1(2 ) 3 2
a
S a a a ;
Diện tích tam giác ABD là 1 2
2
ABD
S AB AD a
Diện tích tam giác BCD là 2
2
BCD ABD a
S S S
0,25
Thể tích khối chóp S.BCD là 1 13 2 3
Ta có: SD 9a2a2 a 10
Vì SA (ABCD)SACD; ADCDCDSD.
Diện tích tam giác SCD là 1 2 10
2
SCD
0,25
Gọi d là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) Ta có
2
a
2
1a (1a a)( a 1) a
0,5 IV
1a 1b 1c a b c a b c
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2
Vậy GTNN của biểu thức là P = 1
0,5
1 ĐK: x ≥ 2 Nhận xét x = 2 không là nghiệm của phương trình.
Với x > 2 phương trình tương đương với: 1 4 4 1 3 0
Đặt 4 1 , 1
2
x
x
Phương trình có dạng 2 4 3 0 2 3 ( )
4 1
t
t
(t > 1)
0,25 V
Khảo sát ( ) 2 3
4 1
t
f t
t
với t > 1, '( ) 4 2 2 122 0 3
2 (4 1)
t
Trang 5Từ BBT ta có: phương trình có nghiệm
1;
max ( ) ( )
2 Gọi A t( ; 3 2) t d t,( ) Ta có: d A DM( , ) 2 ( , d C DM)
4 4 2.4
hay A(3;7) hoặc A(1; 5)
Vì hoành độ điểm A âm nên A(1; 5)
0,25
Gọi D(m; m 2)DM m,( )
( 1; 7); ( 3; 1)
Do tứ giác ABCD là hình vuông nên:
( 1) ( 7) ( 3) ( 1)
D(5; 3)
0,5 V
Vì AB DC ( 2; 6) B( 3; 1)
Kết luận: A(1; 5); B(3;1); D(5; 3). 0,25