Công thức Niutơn – Laipnit: Cho Fx là một nguyên hàm của hàm fx trên đoạn [a;b].. Các tính chất của tích phân Giả sử các hàm số fx, gx liên tục trên khoảng K và a,b,c là ba điểm của kh
Trang 1Tích phân
Kiến thức cơ bản
1 Công thức Niutơn – Laipnit: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn [a;b] Ta có:
f(x)dx F(x) F(b) F(a)
b
a
b
=
∫
Chú ý: Tích phân ∫b
a
dx x
f( ) chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến số tích phân Vì vậy ta có thể viết:
F(b) – F(a) = ∫ =∫ =∫ =
b
a
b
a
b
a
du u f dt t f dx x
f( ) ( ) ( )
2 Các tính chất của tích phân
Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a,b,c là ba điểm của khoảng K Ta có:
* Tính chất 1: ∫ ( ) =0
a
a
dx x f
* Tính chất 2: ∫ ( ) =−∫ ( )
a
b b
a
dx x f dx x f
* Tính chất 3: ∫ ( ) = ∫ ( ) ,∀ ∈
b
a b
a
R k dx x f k dx x kf
* Tính chất 4: ∫ [ ( )± ( )] =∫ ( ) ±∫ ( )
b
a
b
a b
a
dx x g dx x f dx x g x f
* Tính chất 5: ∫ =∫ +∫
c
a
b
c b
a
dx x f dx x f dx x
f( ) ( ) ( )
* Tính chất 6: Nếu f(x)≥0,∀x∈[a;b]⇒∫ ≥
b
a
dx x
f( ) 0
* Tính chất 8: Nếu ≥ ∀ ∈[ ]⇒∫ ≥∫
b
a
b
a
dx x g dx x f b a x x g x
f( ) ( ), ; ( ) ( )
* Tính chất 9: Nếu ≤ ≤ ∀ ∈[ ]⇒ − ≤∫ ≤ −
b
a
a b M dx x f a b m b a x M x f
m ( ) , ; ( ) ( ) ( )
Bài toán 1 Tích phân của hàm số đa thức và hữu tỷ
I Kiến thức áp dụng
1 Công thức 1: , ( 1)
1
1
−
≠ +
+
=
α
α α
C
x dx x
2 Công thức 2: ∫1dx=lnx +C;
x
II Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1 Tính tích phân sau
Trang 2
1
5 3 )
) 5 4 (
)
1 2 0
3
x
x I
b dx x x
I
a =∫ − + =∫ ++
Bài giải
a) I1 = 2 10
4
5 2
+
x
= 4
13
;
b) I2 = ) [3 2ln( 1)] 6 2ln2
1
2 3
3
1
+
= + +
= + +
x
Ví dụ 2 Tính tích phân sau: I = ∫4 −
3
4
x dx
Bài giải
Ta có: I =
3
5 ln 4
1 2
2 ln 4
1 ) 2
1 2
1 ( 4
3 4
1
= +
−
= +
−
−
∫
x
x dx
x
Ví dụ 3 Tính tích phân sau:
) 1 )(
1 3 (
1 )
7 6 )
2
1
2 2
2 3
2
x x x x
x J
b x
x
dx I
− +
= Bài giải
a) I =
4
9 ln 7
1 7
1 ln 8
1 ) 7
1 1
1
(
8
2 3
2
= +
−
= +
−
−
x
+ + + +
−
x
x x x
x
2
1
2
) 1
1 )(
3
1
(
1 1
) 5 ln 2
7 (ln 2
1 ) 3
1 ln(
) 1
1 ln(
2
1 ) 1
1 )(
3
1 (
)
1 (
2 1 2
1
−
=
+ +
− + +
= + + + +
+
x x x
x x x
x x d
Ví dụ 4 ĐHSP.TPHCM-2000:Tính tích phân sau: I = ∫1 ++ +
0
6 5
11 4
dx x x
x
; Bài giải
2
3 ln 3 3
4 ln ) 2 ln(
3 ) 3 ln(
) 3
1 2
1 ( 3 3
4 )
3 )(
2 (
3 ) 2 (
0 1
0
1
0
+
= +
+ +
=
=
+
− +
+ +
= +
+
+ +
x x
x
dx x
x x
Cách 2: (Phương pháp hệ số bất định)
3 2
· 6 5
11 4
+
+ +
= + +
+
x x
b x
a x
x
x
⇔
6 5
2 3 ) ( ) 3 )(
2 (
) 2 ( ) 3 ( 6 5
11 4
2
+ + +
= +
+
+ + +
= + +
+
x x
b a x b a x
x
x b x
a x
x
x
⇔
=
=
⇔
= +
= +
1
3 11
2 3
4
b
a b
a
b a
;
2
3 ln 3 3
4 ln ) 3 ln(
) 2 ln(
3 ) 3
1 2
3 (
1
0
1
+ + +
= +
+ +
x
Ví dụ 5 ĐHYHN-2000 Tính tích phân sau: I = ∫2 − +
1 2
2
12
x
x
; Bài giải
Cách 1 Phân tích:
Trang 3I = dx
x x
x
dx x
x
x x
x
∫
−
+
− +
=
−
−
+
− + +
−
1 1
2
) 3
1 4
1 ( 9 4
7 1 )
4 )(
3 (
9 ) 3 ( 7 12 7
2
1 ln 9 3
2 ln 16 1 3
ln 9 4 ln
Cách 2 (Phương pháp hệ số bất định)
Đặt:
=
−
=
⇔
⇔
−
+
− +
= +
9
4 3
·
1 12 7
2 2
b
a x
b x
a x
x x
(Bạn đọc tự làm)
Ví dụ 6 ĐHNT-2000 Tính tích phân sau:
9 2
10 3 )
1
2
0 2
2 2
0
2
2
dx x x
x x J b dx x x
x x
I ∫ =∫ ++ ++
+ +
+ +
=
Bài giải
+ +
+ +
2
0
2 0 2
1
1 2 1
x x
x
b) J =
3
4 ln 2
1 1 ) 9 2 ln(
2
1 )
9 2
1 1
1
0
2
+ + +
= +
+
+ +
x x
x
Ví dụ 7.ĐHNT-1999 Tính tích phân sau: I = ∫1 + +
0
2
) 2 3
dx
Bài giải
+ +
− +
+ +
= +
−
+
1
0
1
0
2 2
2
) 2 )(
1 (
2 )
2 (
1 )
1 (
1 )
2
1 1
1
x x x
x
dx x
x
=
3
4 ln 2 3
2 3
4 ln 2 3
1 2
1 2
1 1 2
1 ln 2 2
1 1
+
+
− +
− +
+
−
x
x x
Ví dụ 8 ĐHTN – 2001 Tính tích phân sau: I = 1+∫5 + − +
1
2 4 2
1
1
dx x
x x
Bài giải
+ +
−
∫
+ 5
1
1
2 2 2
1 1
1 1
dx x
x
1 1
1 1 ln 2
1
1 )
1 (
)
1 (
1 )
1 (
1 1
5 1 1
5 1
5 1
2
= +
+
− +
=
=
− +
+
=
− +
−
+ +
+
∫
∫
x x x x
x x x x d dx
x x x
III Bài tập áp dụng
2 3 B
; ) 1
(
1 2 3
2
9
2
∫
∫
=
−
=
x x
dx x
dx x
A
) 1 ( B
; 1
2 2
2
10
3 2
1
3
2
∫
+
− +
=
x
dx x x
dx x x
A
; ) 1 ( )
3
(
D
; 6
5
)
1 16 10
2
(
1
0
2 2
1
1
2
2 3
∫
∫
+ +
=
+
−
− +
−
=
−
x x
dx
x x
dx x x
x
C
Trang 43) ;
2 3
) 4 7 ( B
; 6 5
)
6 3
(
1 3 1
2 3
2 3
∫
∫
−
−
= +
−
+ +
−
=
x x
dx x x
x x
dx x
x x
A
3 4 B
; 2
2
1
2 4 2
1
2
+ +
=
x x
dx x
x x
dx A
) 4 (
B
; )
1 4
0
2 8
3 2
1
3 4
2 3
∫
+
−
−
−
=
x
dx x x
x
dx x x x
A
) 1 (
)
1 ( B
; ) 1 (
3
1 4
4 2
1
2
+
=
x x
dx x x
x
dx A
7) (CĐSP HN 2000): = ∫ ++
3
0 2
2
1
2 3
dx x
x I
8) (ĐHNL TPHCM 1995) =∫ + +
1
0 2
6
5x
x
dx I
9) (ĐHKT TPHCM 1994) =∫ +
1
0
3 ) 2 1
x I
10) (ĐHNT HN 2000) =∫ + ++ + +
1
0
2
2 3
9 2
)
1 10 2
(
x x
dx x x
x
11) (ĐHSP TPHCM 2000) =∫ ++ +
1
0 2
6 5
)
11 4 (
x x
dx x
I
12) (ĐHXD HN 2000) =∫ +
1
0 3
1
3
x
dx I
13) (ĐH MĐC 1995 ) =∫ + +
1
0
2 4
3
4x
x
dx I
14) (ĐHQG HN 1995) Xác định các hằng số A,B,C để
2 1
) 1 ( 2 3
3 3 3
2 3
2
+
+
−
+
−
= +
−
+ +
x
C x
B x
A x
x
x x
Tính
dx x
x
x x
2 3
3 3 3
3
2
∫ −+ ++
=
15) (ĐHTM 1995) =∫ +
1
0 2 5
1
x
dx x I
x
dx x
+
−
=∫ HD: t x1
1
)
1 (
2
1 4 2
17) Xác định các hằng số A,B để
1 )
1 ( ) 1 (
2
2
+
+
x
B x
A x
x
x
x
) 1 (
) 2 (
3
2
2
∫ ++
=
−
−
=
1
0
2 2
2 4
3
3 6
5
; ) 1 )(
2 (
13 2 2 B
; 2 3
3
dx x
x
x x x
x
dx x A
Trang 5Bài toán 2 Phương pháp đổi biến số
Dạng 1 Đặt x = u(t)
* x = sint, t∈− 2;2
π π
* x = tant, t
−
∈
2
; 2
π π
Ví dụ 1 Tính tích phân : I = ∫ −
3
0
2
;
9 x dx
Bài giải
Đặt x = 3sint, t
−
∈
2
; 2
π π
* x = 0 ⇒ t = 0
* x = 3 ⇒ t =
2
π
2
9 cos
9 cos
3 ) sin 1 ( 9
⇒ I = ∫ +
2
0
) 2 cos 1
(
2
9
π
dx
0
) 2 sin 2
1 ( 2
x
4
9π
Ví dụ 2 Tính tích phân sau: I = ∫ −
4
2
2
4x x dx
Bài giải
4
2
2 4
2
2
; ) 2 ( 4 )
4 4 (
Đặt x -2 = 2sint, t∈−
2
; 2
π π
* x = 0 ⇒ t = 0
* x = 3 ⇒ t =
2
π
⇒ 4−(x−2)2dx= 4(1−sin2 x).2costdt =2cos2tdt =(1+cos2t)dt
π
π
0
) 2 cos
1
⇒ Tổng quát 1 : ∫ − = , >0
4
2 2
2
a
a dx x
Ví dụ 3 ĐHSP1-2000 Tính tích phân : I = ∫ −
a
dx x a x
0
2 2 2
; với a > 0
Bài giải
Đặt x = asint t∈−
2
; 2
π π
* x = 0 ⇒ t = 0
Trang 6* x = a ⇒ t =
2
π
⇒ x2
dt t
a tdt
a tdx t
a tdx a t a
t a dx x
8 2
sin 4 cos
sin cos
) sin 1 ( sin
4 2
4 2
2 4 2
2 2 2 2
2
−
=
=
=
−
=
−
2
0
4 4
16 )
4 cos 1
(
8
π
π
a dt t a
Ví dụ 4 Tính tích phân : I = ∫5 +
0 2
5
1
dx
Bài giải
Đặt x = 5 tant,
−
∈
2
; 2
π π
t
* x = 0 ⇒ t = 0
* x = 5 ⇒ t =
4
π
⇒
4
5 5
tan 1
) tan 1 ( 5 5
0
4
0 2
2 5
0
2
π
=
= +
+
=
t
t dx
x
+
a
a
a dx a x
0
2
4
Phương pháp : Đặt x = atant
Ví dụ 5 Tính tích phân sau
1 :
2000 )
1 )
2 1
0
2 4 1
0
+ +
=
x x
xdx J
HVTC b
x x
dx I
a
Bài giải
a) I = ∫
+ +
1
4
3 ) 2
1
(x
dx
Đặt x+ tan
2
3 2
1
t
−
∈
2
; 2
π π
t
* x = 0 ⇒ t =
6
π
* x = 1 ⇒ t =
3
π
+
+
= + +
3
6
3
6 2
2 1
3 2
3 tan
1
) tan 1 ( 2 3
4
3 ) 2
1
(
π
π
π
π
π
dt dt
t
t x
dx
b)Đặt x2 + 3tant
2
1
= (Làm tương tự)
Ví dụ 6 Tính tích phân sau : I = ∫
−
2 1
4
1 x dx x
Trang 7Bài giải
Đặt x2 = sint, t∈−
2
; 2
π π
* x = 0 ⇒ t = 0
* x =
6 2
=
⇒ t
⇒ xdx =
2
1
cosxdx ;
x x
1 sin
1
1 1
1
2
−
=
−
x
xdx
2
1
=
−
⇒ I = ∫ =
6
1
π
π
dx
Ví dụ 7 HVKTQS – 2001 Tính tích phân sau: I = ; , 0
) (
0
2 2
2
> +
−
x a
x a
b
Hướng dẫn : Đặt x = atan t
a
t dt
t
a t a
t a
dx x a
x
cos
1 ) tan 1 (
) tan 1 ( )
2 2
2
2
=
= +
−
= +
−
⇒ I = = 2
b a
b
+
Dạng 2 Đặt t = u(x)
Ví dụ 1 Tính tích phân sau :
1
0
3 5
1
0
6
1
: 2001
) )
1 )(
2 3 ( )I x x dx b DHL TPHCM J x x dx a
Bài giải
a) Đặt t = x+1 * x=0 , t = 1 và x = 1, t = 2
⇒ x = t – 1 ⇒ dx = dt
2
1
2 1
7 8 6
) 7 8
3 ( )
1 3
b) Đặt t = 1 x− 3 * x = 0 ⇒ t = 1
* x = 1 ⇒ t = 0
⇒ x3 = 1 – t2
⇒ x2 dx =
3
2tdt
−
3
2 3
2 )
1 (
2 2
3
1
0
1 0
5 4 5
3
) 5 4
( 3
2 ) (
3
dt t
30 1
Ví dụ 2 Tính tích phân sau: I = ∫
+
9
dx
Bài giải
Đặt t = 1+ x * x = 1 ⇒ t = 2
* x = 9 ⇒ t = 4
Khi đó x = t2 -2t + 1 ⇒ dx = (2t -2)dt ⇒ dt
t
t x
1
−
= +
4
4
2 4 2ln2 )
ln 2 2 ( )
2 2
t
Trang 8Ví dụ 3 ĐHK.A-2004 Tính tích phân sau: I = ∫
− +
xdx
Bài giải
Đặt t = 1+ x−1 * x = 1 ⇒ t = 1
* x = 2 ⇒ t = 2
⇒ x = t2 – 2t + 2 ⇒ dx = (2t-2)dt
⇒ I =
2 ln 4 3
11 ) ln 4 8 3 3
2 ( )
4 8 6 2 ( 4
8 6 2 )
2 2 )(
2
2
1 2
3 2
1
2
1 2 2
3 2
1
2
−
=
− +
−
=
− +
−
=
− +
−
=
− +
−
t t t dt
t
t t t dt t
t t
t
Ví dụ 4 Tính tích phân sau
+
= +
=
− +
2 2
3 2 4
7 2
3 2
5 2
1
) 9 :
1999 )
dx K
c x
x
dx J
DHAN b
x x dx
Bài giải
a) Đặt t = x2 +4 * x = 5 ⇒ t = 3
* x= 2 3 ⇒ t = 4
t t
t t
tdt x
x
xdx
) 2
1 2
1 ( 4
1 )
4 (
2
⇒ I =
3
5 ln 4
1 2
2 ln 4
1 ) 2
1 2
1 (
4
3 4
3
= +
−
= +
−
−
t t
b) + c) Làm tương tự
Ví dụ 5 Tính tích phân sau : I = ∫
+
2 ln
e dx
Bài giải
Đặt t = e x +7 * x = 0 ⇒ t = 2 2
* x = ln2 ⇒ t = 3
⇒ ex
t t
t t
tdt e
e
dx e e
dx
x x x
7
1 7
1 ( 7
1 )
7 (
2 7
−
−
=
−
= +
= +
7 2 2
7 2 2 ln 7 3
7 3 (ln 7
1 7
7 ln 7
1 )
7
1 7
1 ( 7
1 3
2
2
3 2 2
+
−
− +
−
= +
−
= +
−
−
∫
t
t dt
t
Ví dụ 6 ĐHK.B-2006 Tính tích phân sau : I = ∫ + − −
5 ln
3
e e dx
Bài giải
Đặt t = ex * x = ln3 ⇒ t = 3
* x = ln4 ⇒ t = 4
⇒ dt = ex
t t
t t
dt dx
e e
e
dx
x
e
x x
1
1 2
1 ( 2 3 3
−
−
=
−
−
−
4
3
4 3
3
4 ln 1
2 ln ) 1
1 2
1
(
t
t dt t t
Trang 9Ví dụ 7 Tính tích phân sau :
a) ĐHTM-97 : I = ln∫2 +−
0 1
1
dx e
e
x
x
b) HVQY – 97 : I = ∫
+
3 ln
0 1
1
dx
e x
c) ĐHBK – 2000 : I = ∫
+
2 ln
0
2
1
dx e
e
x x
Hướng dẫn
Đặt t = ex, làm tương tự như VD5, VD6
Ví dụ 8 ĐHHH – 98 Tính tích phân : I = dx
x x
x e
∫
+
1 1 ln ln
Bài giải
Đặt t = 1 +lnx * x = 1 ⇒ t = 1
* x = e ⇒ t = 2
⇒ lnx = t2
– 1 ⇒ tdt
x
dx
2
t
t dx x x
x
) 2 2 ( 2 1 ln
1
−
=
−
= +
⇒ I =
3
2 2 4 )
2 3
2 ( ) 2 2
(
2
1
2 1
3
=
−
=
−
Ví dụ 9 Tính tích phân sau:
a) ĐH.K.B – 2004.: I = dx
x
x x e
∫ +
ln ln 3 1
x
x x
e
1
ln 2 ln
;
Bài giải
a) Đặt t = 1 +3lnx * x = 1 ⇒ t = 1
* t = e ⇒ t = 2
x
x x tdt
x
dx t
) (
9
2 3
2 3
1 ln
ln 3 1 3
2 3
2
−
=
−
= +
⇒
=
⇒
−
2
1
2 1
3 5 2
4
135
116 ) 3
7 5
31 ( 9
2 ) 3 5
( 9
2 ) (
9
dt t
b) Làm tương tự
Bài tập áp dụng
a
a dx x a x dx
x x
A
2
0
2 1
0
8 15
) 0 ( 2 B
; 3 1
+
=
−
=
4
1 0
2 2 2
) 0 ( ) 1 ( B
;
x x
dx dx
x a x
A
a
+ +
= +
+
=
−
2
1 0
1 2 1; B (x 1)(x 2)
dx x
x
dx A
=
−
=
0
1 1
2
1
2 2
2 4
B
; 1
x x
dx x
dx x A
+
=
2 2
0 2 2
1 B
; 1
dx x
x x
x
dx
A
Trang 106) ∫ ∫
+
= +
=
2
0 3 1
0 4 3 1; B 2x 1
dx x
dx x
A
+ + + +
− +
=
−
=
−
−
3
0 2 3
) 2 1 ( (*)B
;
dx x
x x
dx
A
1 1
1 (*)
0
1
3
∫
+
=
x
dx x
x A
−
+ +
=
−
=
0
1 2 1
0
2
2 2 B
;
A
1
2 1 2
2 2
1
2
1 D
;
1
dx x
x dx
x
x
C
10) (HVNH THCM 2000) ∫
+ +
=
1
3
1
x x
dx x I
11) a)(ĐH BKHN 1995) ∫
−
=
2
3
2 x x2 1
dx I
b) (HVKTQS 1998) ∫
=
1
dx I
12) (ĐHAN 1999) ∫
+
=
4
7x x2 9
dx I
13) (ĐHQG HN 1998) =∫ +
1
0
2 3
1
x I
14) (ĐHSP2 HN 2000) ∫
+
=
2
1 x x3 1
dx I
15) (ĐHXD HN 1996) ∫
+
−
=
1
0
2
1
)
1 (
x
dx x
I
16) (ĐHTM 1997) ∫
+
=
7
3
1
x
dx x I
17) (ĐHQG TPHCM 1998) ∫
+
=
1
x
dx x I
Bài toán 3 Phương pháp tích phân từng phần
I Công thức tích phân từng phần
Ta có: ∫ = −∫
b
a
b
a
b
uv
II Phương pháp giải toán
Trang 11Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I = ∫
a
dx x
f( )
Phương pháp chung:
Bước 1: Biến đổi TP về dạng: I = ∫b
a
dx x
f( ) = ∫b
a
dx x f x
f1( ) 2( )
Bước 2: Đặt:
⇒
=
=
v
du dx
x f dv
x f u
) (
) (
2
1
Bước 3: Khi đó: I = ∫ = −∫
b
a
b
a
b
uv
Ví dụ 1 ĐHK.D – 2006: Tính tích phân sau: I = ∫ −
1
0
2
) 2 (x e x dx
Bài giải
Đặt:
=
=
⇒
=
−
=
dx e v
dx du dx
e
dv
x
u
x
2
2 1
2
⇒ I =
2
3 5
4
1 ) 2 (
2
1
2
` 1 )
2 ( 2
0 2 2
1
0
2 1
0
e e
dx e e
=
=
− +
−
=
−
Ví dụ 2 Tính tích phân sau:
=
−
1
0
1
0
2 2
2 ( : 99
Hướng dẫn: Từng phần 2 lần
Ví dụ 3 TN.THPT-2008: Tính tích phân sau: =∫ −
2
0
cos ) 1 2 (
π
xdx x
I
Bài giải
Đặt:
=
=
⇒
=
−
=
x v
dx du xdx
dv
x
u
sin
2 cos
1 2
⇒ I = = ((2x-1)sinx + 2cosx) 2
0
π
= π −3
Ví dụ 4 ĐH KT – 2001 Tính tích phân sau: I = ∫ x dx
3
) 2 (
0
3
sin
π
Bài giải
Đặt t = 3 x * x = 0 ⇒ t = 0
* x =
2
) 2 (π 3 ⇒ t =π
⇒ x = t3 ⇒ dx = 3t2dt ⇒ =∫
2
0
2
sin 3
π
dx t t I
Bạn đọc tự giải( Từng phần 2 lần)
Ví dụ 5 ĐHK.D-2004 Tính tích phân sau : I = ∫ −
3
2
2
) ln(x x dx Bài giải
Trang 12Đặt:
=
−
−
=
⇒
=
−
=
x v
dx x x
x du dx
dv
x x
3
2
3
1
1 2
− +
−
−
=
−
−
x x
= ln216 - ln4 – 2 – ln2 = ln27 – 2
Ví dụ 6 Tính tích phân :
a)ĐH K.D – 2007: I = ln2
1
3
xdx x
e
∫ b) ĐHL.TPMCM : J = lg2
10
1
xdx x
∫
Bài giải
a) Đặt :
=
=
⇒
=
=
4
ln 2 ln
4 3
2
x v
dx x
x du
dx x dv
x u
4
1
3 1
2
4
4 2
ln 4
ln
I
e dx x x x
−
=
−∫
Đặt :
=
=
⇒
=
=
8
1
2
1
ln
4 1
1 3
1
1
x v
dx x du dx
x dv
x u
⇒ I1 =
32
1 8
8 8
1
3 1
−
=
=
x
⇒ I =
32
1
5e4 −
b) Làm tương tự
Ví dụ 6 Tính tích phân sau :
2
0
2
0
; cos )
sin
xdx e
J b xdx
Hướng dẫn
cos
;
1
=
=
=
=
xdx dv
e u xdx dv
e
b) Làm tương tự
Ví dụ 7 CĐSP.Tây Ninh – 2003 Tính tích phân sau :
e e
dx x J
b dx x I
a
1 1
) sin(ln )
; ) cos(ln
)
π
; Hướng dẫn
Đặt : t = lnx và từng phần 2 lần
Trang 13Bài tập áp dụng
Tính các tích phân sau:
1/ I = 2 ln
1
e
∫
2/ (CĐSP Hà Nam A2004) T =
tan 0
π
∫
3/.(CĐ KTKT I - 2005) T = 2 3 sin5
0
x
e xdx
π
∫
4/.(CĐ KTKT Cần Thơ A2005) T = ln
2 1
dx x
∫
5/.(CĐ SP STrB 2005) T = 3 .sin2
2 sin 2 cos 0
x x
dx
x x
π
∫
6/ .(CĐ SP Vĩnh Long A05) T = ln
1
e
∫
7/ (CĐ CN Hà Nội 2005) T =
2 4 cos 0
x x dx
π
∫
8/.(CĐ SP QNam05) T =
1
0
∫
9/ (CĐ Y tế ThHoá05) T = ln2 5 2
0
x
x e dx
∫
10/ (ĐH Thuỷ Lợi 2001 - 2002) 4
104 0
ln(1 tan )
π
11/ (ĐH Luật, Dược 01-02) 10 2
107 1
lg
T =∫x xdx
2
1
2
1
3
1
2 2
2 2
0 2 1
0
3
ln )
4 6 ( ) ln
) 3 4 ( ) )
10 ln(
) )
3 ( ) )
3
(
Trang 14Bài toán 4 Tích phân của hàm số lượng giác
Ví dụ : Tính các tích phân sau
1)
3 2
2 0
6
tan
; B
A
π π
π
2)
0
6
tan
; B ( cos sin )
cos 2
x dx
x
π
π
x
dx x x
A ; B sin cos 2
cos 1
) sin
0 2 4
0
∫
+
+
=
π π
sin 1
cos
2
0
2
∫ +
=
π
x
dx x x A
Bài tập
Trang 151) (ĐHQG TPHCM 1998) Tính :
+
=
2
0 4 2
0
4
1 cos
2 sin J
va
; sin
1
2
sin
π π
x
dx x x
dx x I
2) (ĐHSP TPHCM 1995)
Cho
x x
x x
f
cos sin
sin )
(
+
=
+
− +
=
x x
x x B A x f
sin cos
sin cos )
(
b) Tính =∫
3
0
)
(
π
dx x f I
3) (ĐHGTVT TPHCM 1999)
+
2
0
4 4
4 2
0
4 4
4
sin cos
sin sin
cos
cos
π π
x x
dx x x
x
dx x
b) Tính =∫ +
2
0
4 4
4
sin cos
cos
π
x x
dx x I
4) (ĐHTS 1999) Tính : = ∫ +
2
0
2
) cos 1 (
cos sin
π
dx x x
x
5) (ĐHTM HN 1995) Tính =∫
4
0 4
cos
π
x
dx
6) (HVKTQS 1999):Tính = ∫ +
4
0
4 3
cos 1
sin 4
π
x
dx x I
7) (ĐHNN1 HN Khối B 1998) =∫ +
2
0 1 cos
2 cos
π
x
dx x I
8) (ĐHQGHN Khối A 1997) =∫ +
2
0
2 3
cos 1
sin
π
x
dx x I
9) (ĐHNN1 HN 1998) Tính =∫ + ++
2
6
cos sin
2 cos 2
sin 1
π
π
dx x x
x x
I
10) (ĐHQG TPHCM 1998) =∫
2
0
2 3
sin cos
π
dx x x I
11) (HVNH TPHCM 2000) =∫ +
4
0
2
cos 1
4 sin
π
x
dx x I
) sin 2 (
2 sin )
(
x
x x
h
+
=