Phương pháp tọa độ trong phẳng

Tìm toạ độ chân các đường phân giác trong, ngoài của góc A... II- Bài tập: Dạng 1:viết phương trình của đường thẳng Bài 1:Viết phương trình tổng quát,phương trình tham số ,phương trình

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Chủ đề 1 Tọa độ điểm, phép tính véc tơ

I Tóm tắt lí thuyết

Ngoài các kiến thức quen thuộc, cần chó ý các hệ quả sau:

1 M là trung điểm của AB, thì:

II Các ví dụ dụ tiêu biểu

Vídụ1: Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho hình thoi ABCD có A (3;1), B − ( 2;4) và giao của hai

đường chéo thuộc Ox Tìm toạ độ C, D?

Vậy có 2 kết quả của C, D

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho hệ Oxy vuông góc có A ( 6;2) − B (2;6) C (7; 8) − Tìm D ∈ Ox sao cho

ABDC là hình thang có đáy AB?

Ví dụ 3: a) Cho A ( 3;2) − B (4;3) Tìm M ∈ O x sao cho ∆ MAB vuông tại M

b) ∆ ABC có A (1;5) B ( 4; 5) − − C (4; 1) − Tìm toạ độ chân các đường phân giác trong, ngoài của góc A

c) ∆ ABC có A (1; 1) − B (5; 3) − và đỉnh C thuộc Oy, trọng tâm G thuộc Ox Tìm C và G?

Hướng dẫn:

Chó ý: Có th ể dùng Pitago trong tam giác vuông

b) I - chân phân giác trong

Chứng minh tương tự suy ra chân phân giác ngoài là J (16;5)

c) Gọi C (0; y0), G x ( ;0)0 Theo công thức tính toạ độ trọng tâm suy ra:

0

1 5 0

2 3

AB AD BAD

CB CD BCD

CB CD

−

uuur uuur uuur uuur

0

cos BAD cos BCD 0 BAD BCD 180

Cách khác: I(x;y) cách đều A, B, C, D

Ta có: IA = IB = IC = ID, tìm được 3

0

x y

Vậy I(3;0) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD

III Bài tập luyện tập

1) (ĐH, CĐ khối D - 2004) Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho ∆ ABC có A(-1;0) B(4;0) C(0;m) m ≠ 0 Tìm toạ độ trọng tâm G theo m Tìm m để ∆ GAB vuông tại G

Đáp số: m = ± 3 6

2) Cho A(-3;2) B(4;3) Tìm C thuộc Ox sao cho ∆ ABC vuông tại C

3) Trong mặt phẳng hệ Oxy vuông góc cho A(-2;1) B(1;1) C(0;1).Tìm M để ∆ MAB , ∆ OMC cùng cân tại M

4) Cho A(6;6) 1

( ;1) 3

G là trọng tâm ∆ ABC Tìm A, B, C?

Đáp số: A(0;2) B(4;0) C(-2;-2) (B, C có thể đổi cho nhau)

6) Trên hệ Đề các Oxy cho A(3;1) Tìm B, C sao cho OABC là hình vuông và B nằm trong góc phần tư thứ nhất?

7) (ĐH,CĐ khối A - 2004): Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho A(0;2) B − ( 3; 1) − Tìm toạ

độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp OAB?

Đáp số: Tâm I − ( 3;1); Tr ực tâm H ( 3; 1) −

8) Cho A(2;5) B(1;1) C(3;3) Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành?

9) ∆ ABC có: A(0;6) B(-2;0) C(2;0) Gọi G là trọng tâm ∆ ACM , với M là trung điểm AB

G b) 8

(0; ) 3

Tìm k để AD, EN, BC đồng quy

e) Tìm quỹ tích M sao cho MA + 3 MB − 2 MC = 2 MA − MB − MC

2 Nếu đường thẳng (d) biết

4.Nếu (d) có phương trình tham số 0

6.Cho đường thẳng (d): ax+by+c=0

- Nếu (d1)//(d) thì phương trình (d1)có dạng :ax+by+m=0

- Nếu (d2) ⊥ (d) thì phương trình (d2)có dạng :-bx+ay+n=0

7.Phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(a;0) và B(0;b) có dạng

Góc giữa hai đường thẳng luôn bằng hoặc kề bù với góc giữa hai vtpt (hoặc góc giữa hai vtcp)

D-Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Cho (d): ax+by+c=0 và điểm M x y( ;0 0).Khi đó khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng (d):

/ 0 0

ax +by +c

M d d

a b

=

+

Lưu ý:

Cho (d): ax+by+c=0 và hai điểm M x y( ;0 0),N x y( ;1 1).Đặt t = (ax +by +c)(ax +by +c) 0 0 1 1

Nếu t < 0 thì M,N nằm về hai phớa của (d)

Nếu t>0 thì M,N nằm cựng một phớa với (d)

II- Bài tập:

Dạng 1:viết phương trình của đường thẳng

Bài 1:Viết phương trình tổng quát,phương trình tham số ,phương trình chớnh tắc (nếu có) của đường thẳng

(d) trong các trường hợp sau:

a) (d) có vtpt n

r

=(2;-3) và đi qua điểm M(1;2)

b) (d) đi qua điểm A(3;2) và vuông góc với (d1):2x-y-1=0

c) (d) đi qua hai điểm A(1;2) và B(3;4)

Vì A(3;2)∈(d) nờn ta có :3+2.2+m=0↔m=-7

Vậy phương trình tổng quát của (d) là :x+2y-7=0

+) Phương trình tham số của (d): Đặt y=t suy ra x=7-2t

Vậy phương trình tham số của (d): x 7 2t

+) Phương trình tổng quát của (d):Khử tham số t ở p tham số ta được: x-y+1=0

Cách 2: Phương trình tổng quát của (d):

Bài 3:lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết B(-4;-5) và phương trình hai đường cao của

tam giác là (d1):5x+3y-4=0 và (d2): 3x+8y+13=0

Điểm A=( )d1 ∩(AB) nên tọa độ A (-1;3)

Điểm C=(d2)∩(BC) nên tọa độ C (1;-2)

Kết luận : phương trình các cạnh của tam giác ABC:

(AB):8x-3y+17=0 (BC):3x-5y-13=0 (AC):5x+2y-1=0

Dạng 2:xét tương giao của hai đường thẳng

Bài 1:xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

  .Vậy (d1)cắt (d2) tại điểm A(4;4)

Bài 2: a) Biện luận theo m vị trí tương đối của (d1):mx+y+2=0 và (d2):x+my+m+1=0

b) Cho hai đường thẳng (d1): 1

m y

b) (d1)//(d2)

0

00

p y y q x x D

c) (d1) trựng (d2)

0

00

( ) ( ) 00

t

u

D

np mq D

r r

Dạng 3:Một số bài toán về góc và khoảng cách

Bài1:Tính góc giữa hai đường thẳng (d1) và (d2) trong các trường hợp sau

Bài 2:Viết phương trình đường thẳng (d) trong các trường hớp sau

a) (d) đi qua M(1;1) và tạo một góc 300

với đường thẳng (d1):x-2y+8=0 b) (d) đi qua M(1;1) và tạo một góc 450

Gọi (d):ax+by +c=0 là đường thẳng tháa món đề bài

Điểm P(2;5) thuộc (d) nên ta có:2a+5b+c=0

Khoảng cách từ Q(5;1) tới (d) bằng 3 nờn :

hai đường thẳng x-2=0 và 7x+24y-134=0

Bài 5: Cho P(3;0) và hai đường thẳng (d1):2x-y-2=0 và (d2):x+y+3=0.Gọi (d) là đường thẳng qua P cắt (d1)và (d2) lần lượt tại A và B sao cho PA=PB.Viết phương trình của (d)

Bài 7:Cho hai đường thẳng :

(d1):x+2y-3=0

(d2):3x-y+2=0

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua P(3;1) và cắt d1;d2 tại A;B sao cho đường thẳng (d) tạo với (d1)

và (d2) một tam giác cân cóc cạnh đáy là AB

Hướng dẫn:

Cách 1:Viết phương trình hai đường phân giác của (d1)và (d2).Khi đó (d) vuông góc với các đường phân giác này

Cách 2: Giả sử A(xA;yA) và B(xB;yB).Dựa vào giả thiết:A thuộc (d1),B thuộc (d2),ba điểm A,B,P thẳng hàng

ta tìm được tọa độ A,B

Dạng 4:Tìm điểm liên quan tới đường thẳng

Lưu ý:- Tìm hình chiếu H của M trờn đường thẳng (d)

Ta là theo các bước:-Viết phương trình Mx vuông góc với (d)

- H là giao của Mx và (d)

- Tìm điểm N đối xứng với M qua (d)

Ta làm theo các bước: -Tìm tọa độ hình chiếu H của M trờn (d)

- H là trung điểm MN

- Cho hai điểm A;B và đường thẳng (d).Tìm trờn (d) điểm P sao cho PA+PB nhá nhất:

Ta xét hai trường hợp:

TH1:A,B khác phớa thì P chớnh là giao điểm của AB và (d)

TH2:Nếu A,B cựng phớa với (d):- Ta tìm điểm A1 đối xứng với A qua (d)

Bài 2:Tìm trờn trục hoành điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P tới các đểm A(1;2) và B(3;4) la nhá

nhất

Giải:

Nhận xột:A.B cựng phớa với 0x

Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua 0x suy ra A1(1;-2)

Vậy PA+PB nhá nhất khi A1,P,B thẳng hàng↔P trựng P0

Bài 3:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ 0xy cho hai điểm A(-1;3) và B(1;1) và đường thẳng

(d):y=2x.Tìm trờn (d)điểm C sao cho:

a) Tam giác ABC là một tam giác đều

b) Tam giác ABC là một tam giác cõn

1 – Cho trung điểm ba cạnh của một tam giác là M(2;1), N(5;3), P(3;-4)

a/ Hãy lập phương trình ba cạnh của tam giác

b/ Lập phương trình các đường trung trực của các cạnh tam giác

2: a- Viết phương trình đường thẳng đi qua (3 ; -4) và song song với đường thẳng:

x + 4y – 2 = 0

b- Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường thẳng: 3x – 5y + 2 =0 và 5x – 2y + 4

= 0 đồng thời song song với đường thẳng: 2x – y + 4 = 0

3: Lập phương trình đường trung trực của các cạnh của tam giác, biết trung điểm các cạnh là: M(-1 ; -1),

Lập phương trình hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba?

6: Xác định a để các đường thẳng sau đồng quy:

2x – y + 3 = 0 , x + y + 3 = 0 , ax + y – 3 = 0

7: Cho điểm P(3 ; 0) và hai đường thẳng:

d1: 2x – y – 2 = 0 , d2: x + y + 3 = 0

Gọi d là đường thẳng đi qua P cắt d1, d2 lần lượt tại A;B Viết phương trình của d biết rằng PA = PB

8: Cho ∆ABC ,biết trung điểm của BC, CA, AB lần lượt là M1(2;1), M2(5;3),

M3(3;-4)

1/ Lập phương trình các cạnh của tam giác?

2/ Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác?

9: Cho ∆ABC có A(1;3), trung tuyến BM: x – 2y + 1 = 0, CN: y – 1 =0 Tìm toạ độ các đỉnh của

13 – Tính diện tích tam giác ABC có A(2; -3), B(3; 2), C(-2; 5)

14 – Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(7; -2) cách điểm N(4;-6) một khoảng bằng 5 ?

15 – Tam giác có diện tích S = 3, hai đỉnh A(3; 1), B(1; -3), trọng tâm tam giác nằm trên trục Ox Tìm toạ

độ đỉnh C ?

16 - Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; 1), tạo với đường thẳng

2x + 3y + 4 = 0 một góc 45 0

17 – Lập phương trình các cạnh của một tam giác nếu biệt một đỉnh A(1; 3), và hai

trung tuyến lần lượt có phương trình là: x- 2y+ 1= 0, y- 1 =0

18 – Một tam giác có M(-1; 1) là trung điểm của một cạnh và phương trình của hai cạnh kia là: x+ 2y- 2=

0; 2x+ 6y+ 3 = 0 Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác

19 - Cho ∆ ABC , biết A(3; -3), đường phân giác trong BE: x + 2y – 1 =0,

CF: x – 3y – 6 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC?

20 - Cho ∆ ABC , biết A(7; 9), trung tuyến CM: 3x + y – 15 = 0, phân giác trong BD: x + 7y – 20 = 0

Lập phương trình các cạnh của tam giác

21 – Lập phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua M(1;2) cach đều hai điểm A(2; 7), B(5; -5)

22 – Cho điểm A(1; 2), B(3; 4) và đường thẳng ( ∆ ): x – 2y – 2 = 0 Tìm điểm M∈( ∆ ) để:

a/ MA MB+

uuur uuur

nhá nhất?

b/ MA2 + MB2 nhá nhất ?

23 – Cho A(2; 1) và đường thẳng (d): 2x + 3y + 4 =0

a/ Tìm các điểm B, C trên đường thẳng (d) để ∆ ABC vuông cân tại A

b/ Tìm các điểm B, C trên đường thẳng (d) để ∆ ABC là tam giác đều

24 – Cho hình vuông ABCD có A-4; 5), một đường chéo nằm trên đường thẳng (d): 7x – y + 8 = 0 Lập

phương trình các cạnh và đường chéo còn lại

25 – Lập phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua P(2; -1) sao cho nó cùng với đường thẳng (d1): 2x –y +5 =0, (d2): 3x +6y – 1= 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d1) và (d2)

26 – Cho đường thẳng (d1): x – y =0, (d2): 2x + y – 1 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết

A∈ (d1), C ∈ (d2); B,D ∈ Ox

27 – Cho hình chữ nhật ABCD tâm I(1/2; 0), AB: x -2y +2 = 0, AB = 2 AD Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C,D

biết A có hoành độ âm

Chủ đề 3:Đường trũn A-lý thuyết

1.Cho đường trũn (C) có tâm I(a;b)

3.Để viết phương trình tiếp tuyến của đường trũn (C) ta xột hai khả năng

Khả năng 1: Biết tiếp điểm.Khi đó tiếp tuyến là đường thẳng đi qua tiếp điểm và vuônng góc với đường thẳng nối tâm và tiếp điểm

Khả năng 2: không biết tiếp điểm.Ta thường sử dụng điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xóc với đường trũn (C) là :Khoảng cách từ tõm tới (d) bằng bán kớnh

B-Bài tập:

Dạng 1:lập phương trình đường trũn

Bài 1:Lập phương trình đương trũn (C) biết:

a) (C) có tâm I(2;-4) và đi qua điểm A(1;3)

b) (C) có tâm I(-2;2) và tiếp xóc với đường thẳng (d):x+2y+1=0

Bài 2: lập phương trình đường trũn (C),biết :

a) (C) đi qua ba điểm A(1;4),B(-4;0),C(-2;-2)

b) (C) đi qua hai điểm A(0;1),B(1;0) và có tâm nằm trên đường thẳng (d): x+y+2=0

Giải:

a) Giả sử phương trình (C): 2 2

x +y − ax− by+ =c điều kiện a2+b2− >c 0

Ta có :Điểm A(1;4) thuộc (C) nên 1+16-2a-8b+c=0 (1)

Điểm B(-4;0) thuộc (C) nờn 16+8a+c=0 (2)

Điểm C(-2;-2) thuộc (C) nên 4+4+4a+4b+c=0 (3)

Từ (1);(2);(3) ta có hệ.Giải hệ này ta được a=1/2;b=1/2;c=-20

Vậy phương trình (C):x2+y2-x-y-20=0

A(0;1) thuộc (C) nờn ta có :1-2b+c=0

B(1;0) thuộc (C) nờn ta có:1-2a+c=0

Giải hệ ta được: a=-1;b=-1;c=-3

Vậy phương trình của (C):x2+y2+2x+2y-3=0

Bài 3:Lập phương trình đường trũn (C) biết (C) đi qua điểm A(2;-1) và tiếp xóc với hai trục 0x,0y

Giải

Gọi I(a;b) là tõm của (C).Vì (C) tiếp xỳc với hai trục tọa độ nên ta có : a = b =R

TH1:a=b.Khi đó (C) có dạng :(x-a)2+(y-a)2=a2

A(2;-1) thuộc (C) nờn (2-a)2+(-1-a)2=a2↔vụ nghiệm

TH2:a=-b.Khi đó (C) có dạng (x-a)2+(y+a)2=a2

A(2;-1) thuộc (C) nờn (2-a)2+(-1+a)2=a2↔a=1 hoặc a=5

 Với a=1 phương trình (C): (x-1)2

Vậy phương trình (C):(x-1)2+(y-1)2=1

Cách 2: Gọi I(a;b) là tõm của (C)

Ta có I thuộc các đường phân giác trong của góc AOB và BAO

Phõn giác trong của AOB là :x-y=0

Suy ra phương trình đường phõn giác trong của góc BAO là :3x+9y-12=0

Tọa độ của I là nghiệm của hệ tạo bởi hai đường phân giác nên I(1;1)

Bán kính r=kc(I,OA)=1.Vậy phương trình (C): (x-1)2+(y-1)2=1

Bài 5: Lập phương trình đường trũn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có ba cạnh nằm trờn ba đường thẳng

5y=x;y=x+2,y=8-x

Hướng dẫn:

Tìm tọa độ ba đỉnh và viết phương trình đường trũn qua 3 điểm

Dạng 2:Viết phương trình tiếp tuyến của đường trũn

Bài 1:Cho đường trũn (C): (x-5)2+(y+5)2=25

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết:

a) Tiếp tuyến đi qua điểm M(1;2)

b) Tiếp tuyến tại điểm M(5;0)

Giải phương trình trờn bằng cách đặt a=kb.Ta có: 2

28 10 109

28 10 109

a) Tiếp tuyến song song với (d):x-y=0

b) Tiếp tuyến vuông góc với (d1):3x-4y=0

Vậy ta có hai tiếp tuyến :x−y+ +2 2=0 và x−y+ −2 2 = 0

b) Tiếp tuyến của (C) vuông góc với (d1):3x-4y=0 nờn tiếp tuyến có dạng:4x+3y+c=0 (d2)

Vì (d2) là tiếp tuyến của (C)

I d

c c

Vậy ta có hai tiếp tuyến : 4x+3y-8=0 và 4x+3y-18=0

Lưu ý :Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường trũn:

B1:xột tiếp tuyến vuông góc với 0x : x=a+R và x=a-R.Kiểm nghiệm lại tiếp tuyến tháa món điều kiện đầu bài

B2:Xột tiếp tuyến khụng vuông góc với 0x có dạng: y=kx+m

Để tìm k và m: Ta giải hệ lập được từ điều kiện tiếp xóc

 Chỳ ý: Nếu (C1) và (C2) ngoài nhau:có 4 tiếp tuyến chung

 Nếu (C1) và (C2) tiếp xỳc ngoài:có 3 tiếp tuyến chung

 Nếu (C1) và (C2) cắt nhau:có 2 tiếp tuyến chung

 Nếu (C1) và (C2) tiếp xỳc trong:có 1 tiếp tuyến chung

 Nếu (C1) và (C2) lồng nhau:khụng có tiếp tuyến chung

Bài 3: Cho hai đường trũn (C1): x2 +y2 −10x+24y−56=0 và

* Xột tiếp tuyến vuông góc với 0x :

 Tiếp tuyến vuông góc với 0x của (C1):x=5 ± 15

 Tiếp tuyến vuông góc với 0x của (C2):x=1 ± 5

Vậy (C1) và (C2) khụng có tiếp tuyến chung vuông góc 0x

* Xét tiếp tuyến chung không vuông góc với 0x:Giả sử phương trình tiếp tuyến chung là y+m=0(d)

:y=kx+m↔kx (d) tiếp xỳc với (C1)↔kc(I1,(d))=R1↔(5k+12+m)2=225(1+k2)

- (d) tiếp xỳc với (C2)↔kc(I2,(d))=R2↔(k-2+m)2=25(1+k2)

Chủ đề 4 ứng dụng phương pháp toạ độ phẳng

vào bài toán đại số

I ứng dụng phương pháp toạ độ véc tơ để chứng minh bất đẳng thức, tìm

GTLN, GTNN

A Các công thức về độ dài đoạn thẳng kết hợp bất đẳng thức về độ dài véc tơ

1 Cho 3 điểm A, B, C:

AB + BC ≥ AC (Đẳng thức xảy ra khi B nằm giữa A và C)

| AB − BC |≤ AC (Đẳng thức xảy ra khi B nằm ngoài khoảng A và C)

Thay vào (1) suy ra điều phải chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi 1

A Phương pháp chung và các ví dụ tiêu biểu

Phương pháp chung: Sử dụng phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn và tính chất

của đường tròn (hình tròn) trong mặt phẳng toạ độ để khảo sát sự tương giao giữa các hình Từ đó dẫn tới kết quả

1 Xét sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn để giải toán

+ Nếu a ≤ 0, hệ vô nghiệm

+ Nếu a > 0, thì số nghiệm của hệ (nếu có) là số giao điểm của nửa mặt phẳng biểu diễn bởi

4 x − 3 y + 2 ≤ 0 và đường tròn tâm O(0;0), R = a Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi

4 25

R ≥ OH ⇔ a ≥ (H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng 4 x − 3 y + 2 = 0)



+ Với m + ≤ 1 0 hay m ≤ − 1, hệ vô nghiệm

+ Với m + > 1 0 hay m > − 1

(1) biểu diễn hình tròn tâm I (1;1), R = m + 1 trên hệ toạ độ Oxy

(2) biểu diễn nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x + y = 1 Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

2 Sự tương giao giữa đường tròn và đường tròn để giải toán

Ví dụ 3: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

3

a

< <