sử dụng phương pháp toạ độ trong phẳng vào giải toán hình học

A.ĐẶT VẤN ĐỀ Một trong các nhiệm vụ của dạy học hình học 10 chương trình THPT là dạycho học sinh biết sử dụng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng vào giải toánhình học.. Bởi vậy sau khi t

A.ĐẶT VẤN ĐỀ

Một trong các nhiệm vụ của dạy học hình học 10 chương trình THPT là dạycho học sinh biết sử dụng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng vào giải toánhình học

Tuy nhiên, nếu chỉ dừng lại ở những bài toán thuần tuý chỉ dùng các biểuthức toạ độ, các biến đổi phương trình, các công thức tính toán thì việc họchình học như thế sẽ kém thú vị !

Ta biết rằng có rất nhiều bài toán hình học phải giải quyết rất phức tạp,trong khi hầu hết các bài toán dạng toạ độ học sinh đều có hướng giải Nhưvậy nếu ta chuyển đổi bài toán hình học về bài toán toạ độ thì việc giải toánhình học trở nên đơn giản hơn Bởi vậy sau khi trang bị cho học sinh các kiếnthức về toạ độ, phương trình chúng ta nên cho học sinh vận dụng linh hoạt,sáng tạo vào các hình qua các bài toán cụ thể

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh

có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Việchướng dẫn học sinh biết cách chuyển đổi ngôn ngữ toán hoc là việc làm cầnthiết, thường xuyên của người thầy, có tác dụng phát triển tư duy cho họcsinh, đáp ứng yêu cầu của chương trình mới

Trong đề tài này chủ yếu được đề cập đến vấn đề: “Sử dụng phương pháp toạ độ trong phẳng vào giải toán hình học” nhằm bồi dưỡng cho học

sinh cách thức nhìn nhận các bài toán theo nhiều góc độ khác nhau, tạo cơ hộicho học sinh củng cố các phương pháp khác nhau giải toán hình học, đồngthời thực hiện ý tưởng góp phần bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy biệnchứng, nhìn nhận vấn đề trong mối liên quan tương hỗ lẫn nhau Vấn đề tôiđưa ra ở đây cũng là một cơ sở cho các em học sinh sau này lên lớp 12 tiếpcận một bài toán lớn: “sử dụng phương pháp toạ độ giải quyết các bài toánhình học không gian”

B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lý luận của vấn đề

Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình GDPT là đổimới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học môntoán Việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán hiện nay là nhằm phát huytính tích cực của học sinh qua đó khai thác vận dụng những khả năng vốn có

và phát huy trí lực của học sinh

Để tiếp cận vấn đề trong đề tài này yêu cầu học sinh phải có tính sáng tạo,tích cực, biết cách nhìn nhận bài toán theo các góc độ khác nhau: bài toánhình học thuần tuý và hình ảnh của nó khi gắn vào hệ trục toạ độ Qua đó pháthuy tư duy tổng hợp, nhằm hướng tới mục tiêu giáo dục toàn diện cho họcsinh

II.Thực trạng của vấn đề

1.Về phía học sinh

a.Thuận lợi

Năm học này tôi được nhà trường giao nhiệm vụ giảng dạy lớp 10A6 và

10A4 là lớp học theo chương trình nâng cao các môn KHTN, vì thế mà đaphần học sinh cũng có được lượng kiến thức khá Các em có khả năng tiếp thuvấn đề ở dạng tổng quát và nhiều góc độ Học sinh có khả năng chuyển đổicác loại ngôn ngữ khác nhau của bài toán

b Khó khăn

Đa phần học sinh đều có cảm giác sợ khi đứng trước các bài toán hình họcngay cả với các em có học lực khá, giỏi Các em gần như không có địnhhướng, không nghĩ ra phương pháp giải cho bài toán cụ thể

2 Về phía giáo viên

Do chương trình SGK không đề cập đến vấn đề chuyển đổi các bài toánhình học thuần tuý sang bài toán sử dụng phương pháp toạ độ, nên đa phần

Bản thân tôi đã đứng lớp nhiều năm, nhận thấy việc giải quyết bài toán hìnhhọc bằng phương pháp toạ độ là cách giải quyết rất hiệu quả Vấn đề là phảihướng dẫn cho học sinh kỹ năng chuyển đổi bài toán Thực tế ta thấy vấn đềnày sẽ còn được sử dụng khá hiệu quả khi các em học lớp 12 trong phần hìnhhọc không gian

III Giải pháp và tổ chức thưc hiện

1 Các giải pháp thực hiện

- Giáo viên hướng dẫn học sinh tiếp cận “dấu hiệu” để chọn hệ trục toạ độ.

- Giáo viên ra đề bài cụ thể và hướng dẫn các em suy nghĩ để phát hiện “điểmmấu chốt” của bài toán và chọn điểm trùng với gốc toạ độ

- Các bài toán được đưa ra với mức độ khó tăng dần Ban đầu để các em tiếpcận với kỹ năng chọn hệ trục, sau đó yêu cầu được tăng dần đến việc phải suyluận để lựa chọn hệ trục phù hợp

2.Các biện pháp để tổ chức thực hiện

- Đặt vấn đề cho cả lớp suy nghĩ

- Đại diện nhóm trình bày suy luận để tìm ra “điểm mấu chốt” của bài toán

- Có thể có nhiều hướng suy luận khác nhau, giáo viên sẽ phân tích cho họcsinh hiểu nên lựa chọn theo hướng nào thì thuận lợi cho bài toán

Sau khi phân tích cho học sinh nắm bắt được yêu cầu và hướng giải quyếtcủa bài toán, ta thực hiện theo các bước sau để giải quyết vấn đề:

Bước 1: Thực hiện phép toạ độ hoá các điểm trong hình, chuyển bài toán đã

cho về bài toán hình giải tích

Bước 2: Giải bài toán hình giải tích vừa thu được.

Bước 3: Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính

- Xác định được “ điểm mấu chốt” của bài toán là giao của hai đường vuônggóc nào đó.

- Có thể bài toán có nhiều điểm là giao của hai đường vuông góc nhưng taphải phân tích để lựa chọn điểm phù hợp, sao cho việc tìm toạ độ của cácđiểm còn lại trong hình dễ dàng hơn, vấn đề cần giải quyết hiệu quả hơn

b.Kiến thức yêu cầu

- Sử dụng kiến thức về toạ độ trong mặt phẳng.

- Phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, phương trình các

đường cônic trong mặt phẳng

c.Một số dạng toán sử dụng trong đề tài

Dạng 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể sử dụng một trong các

cách sau :

Cách 1: Chứng minh hai véctơ cùng phương

Cách 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, và chỉ ra điểm thứ bathuộc đường thẳng đó

Dạng 2: Chứng minh hai véctơ vuông góc ta chỉ ra tích vô hướng của hai

véctơ đó bằng không

Dạng 3: Chứng minh các biểu thức về độ dài.

Sử dụng công thức tính khoảng cách của hai điểm để tính độ dài đoạn thẳng,

từ đó suy ra biểu thức chứng minh

Dạng 4: Tìm quỹ tích điểm.

Để giải quyết yêu cầu này ta có thể tìm ra một phương trình đường mà toạ

độ của điểm đó thoả mãn Từ đó kết luận quỹ tích của điểm cần tìm

4 Nhận dạng một số hình đặc biệt khi gắn hệ trục toạ độ

1 Tam giác cân

Cho D ABC cân tại A, đường cao

-2 Tam giác vuông

Đối với D ABC vuông tại A có

AB = a ; AC = b

Ta chọn hệ trục tọa độ Đề các Oxy

sao cho:

Oº A(0;0) , B(0;b) ,C(c;0)

3 Tam giác đều

Đối với D ABC đều cạnh a,

nhận thấy đây là trường hợp đặc

biệt của tam giác cân

Có thể lựa chọn hệ trục Đề các

Oxy sao cho O H(0;0)º , H là

trung điểm của BC

C( ;0),B( ;0),A(0; )

4 Hình thang vuông

Cho hình thang vuông ABCD

Bài 1: Cho hình thang ABCD vuông tại A và B Đường cao AH = h, các cạnh

đáy AD = a, BC = b Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB và ta có ·CID làgóc vuông Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các đại lượng a, b, h của hình thang

đã cho

Hướng dẫn học sinh tiếp cận vấn đề:

- Ta có qua A và B có hai đường thẳng vuông góc với nhau chứa hai cạnh của hình thang

- Ta thấy vai trò của hai điểm A và B như nhau nên có chọn gốc toạ độ trùng với một trong hai điểm này

- Theo dõi phần hình thang khi gắn hệ truc toạ độ

Giải :

Chọn hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxy sao cho

O B(0;0),C (b;0),A(0;h)≡ ≡ ⇒D(a;h) với a, b, h > 0 ( Hình 1)

I là trung điểm của OA nên I(0; )h

Bài 2: Cho 2 điểm A, B cố định và AB=a (a > 0) Tìm tập hợp các điểm M

sao cho MA=2MB

Hướng dẫn học sinh phân tích đề bài:

Vì A, B cố định và không bị ràng buộc bởi quan hệ cạnh nên có thể chọn một trong hai điểm A, B trùng với gốc toạ độ

Vì tam giác ABC cân tại A nên nếu chọn điểm H trùng với gốc toạ độ thì ta

có thể suy ra được toạ độ các điểm còn lại

Nếu ta lựa chọn điểm gốc toạ độ trùng với điểm D thì việc suy ra toạ độ củacác điểm còn lại gặp khó khăn

Giải:

Chọn hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy, sao cho H(0;0), A(0;a), B(-b;0),C(b;0) (Hình 3)

Hình 3Giả sử D(x,y) ta có:

DHuuur uuur⊥AC và ADuuur cùng phương với ACuuur nên:

2

2 2 2

2 2

a bx

Bài 4: Cho ∆ABC Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp,trọng tâm, trực tâm của tâm giác đó Chứng minh rằng 3 điểm O, G, H thuộcmột đường thẳng (đường thẳng Ơle).

Hướng dẫn học sinh tiếp cận vấn đề:

Trước hết ta thấy đây là bài toán quen thuộc có thể giải bằng nhiều cách Khi đưa bài toán về giải quyết bằng phương pháp toạ độ, ta cần chú ý đến

“điểm mấu chốt” của bài toán chính là chân các đường cao của tam giác

Giải :

Gọi K là chân đường cao AH

Chọn hệ trục Oxy sao cho K(0;0), B(b;0), C(c;0), A(0;a) ( hình 4)

Hình 4Theo giả thiết, G là trọng tâm của ∆ABC nên b c a

Theo giả thiết: OM ⊥ BC nên b c

Chú ý : Tất nhiên ta có thể giải quyết bài toán này theo một hướng khác , đó

là ta có thể lập phương trình GO rồi chỉ ra H thuộc đường thẳng GO

Bài 5: Cho tam giác ABC có đường cao CH Gọi I, K lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB, CH Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh

AB cắt các cạnh AC, BC lần lượt ở M, N Dựng hình chữ nhật MNPQ với haiđiểm P, Q nằm trên cạnh AB Gọi J là tâm của hình chữ nhật MNPQ Chứngminh ba điểm I, J, K thẳng hàng

Q là hình chiếu vuông góc của M trên Ox nên Q a(c m);0

Hướng dẫn học sinh tiếp cận vấn đề:

Vấn đề mấu chốt của bài toán là có µC 60= o

Có CDEF là hình thoi vì vậy nếu biết tọa độ hai điểm C, F hoặc C, D thì cóthể tìm được toạ độ của có thể tìm được toạ độ của các điểm còn lại

( )

( ) ( )

ax

Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A Giả sử M là trung điểm của BC và P

là điểm nằm trên đường thẳng AM sao cho PB AB⊥ ; Q là điểm tuỳ ý trêncạnh BC, không trùng với B và C ; E, F là hai điểm tương ứng nằm trên cácđường thẳng AB, AC sao cho E, Q, F là ba điểm phân biệt thẳng hàng Chứngminh:

PQ ⊥ EF khi và chỉ khi QE = QF

Gợi ý cho học sinh suy nghĩ :

+) Do tam giác ABC cân tại A , M là trung điểm của BC ta có AM⊥BC +) Như vậy ta có thể lựa chọn điểm M làm tâm của hệ trục

+) Dựa vào quan hệ vuông góc, tam giác đặc biệt có thể suy ra toạ độ củacác

điểm còn lại

Áp dụng phần tam giác cân khi gắn hệ trục toạ độ

Giải

Tam giác ABC cân tại A nên AM ⊥BC

Chọn hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy sao cho

O M(0;0), B( 1;0), C(1;0), A(0;a), Q(q;0)≡ − với -1 < q < 1 ( hình 7 )

Suy ra QEuuur=(x0 −q;a ax ,QF+ 0) uuur=(x1 −q;a ax− 1)

Để E, Q, F thẳng hàng thì QE,QFuuuruuur cùng phương

Ta có PQ.EF 2q 2q 0uuuruur= − =

Vậy PQ EF⊥

Bài 8: Cho tam giác ABC và D là chân đường cao hạ từ A Gọi E, F là các

điểm nằm trên đường thẳng qua D sao cho AE⊥ BE,AF ⊥CF và E, F khôngtrùng D Giả sử M, N là các trung điểm tương ứng của BC và EF Chứngminh rằng AN ⊥ NM

Hướng dẫn tiếp cận vấn đề :

+) Phát hiện điểm là giao của hai đường vuông góc

+) Dựa vào quan hệ vuông góc, tính chất trung điểm để tìm toạ độ các điểmliên quan

Giải

Hình 8 Chọn hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxy sao cho

Bài 3: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến và các đường phân giác

kẻ từ A theo thứ tự cắt BC tại M và N.Từ N, kẻ đường vuông góc NA, đườngnày cắt MA và AB tương ứng tại P và Q Từ P, kẻ đường vuông góc với AB,đường này cắt NA tại O Chứng minh rằng QO BC⊥

Bài 4: Cho ∆ABC, đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc C cắtđường thẳng AB ở L và M

Chứng minh rằng: nếu CL = CM thì AC2 + BC2 = 4R2

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC)

Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC, D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống

BC, E là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC, F là điểm nằm trên đoạn

thẳng DE Chứng minh rằng

DC

BD FD

FE BE

AF ⊥ ⇔ =

C KẾT LUẬN

I Kết quả nghiên cứu:

Qua một số tiết dạy, mà mỗi bài toán hình học đưa ra được giải quyếttheo phương pháp toạ độ hoá, tôi thấy được ở một số học sinh đã có cách nhìnbài toán tổng quát và hiểu sâu hiểu kĩ hơn Tôi nghĩ phương pháp này sẽ giúpcho các em phát triển năng lực tư duy biện chứng, nhìn nhận vấn đề trong mốiquan hệ tương hỗ, xác lập mối quan hệ giữa các chương mục khác nhau theomạch kiến thức

Tôi đã đưa ra bài kiểm tra kiến thức phần này cùng một đề cho 2 lớp cólực học tương đương là lớp 10A4 (lớp đối chứng) và lớp 10A6 (lớp thựcnghiệm) và kết quả thu được là khả quan

II.Kết quả thực hiện :

Lớp đối chứng (Lớp 10A4) Lớp thực nghiệm ( Lớp 10A6)

III Kiến nghị, đề xuất

- Do giới hạn của đề tài nên tôi chỉ trình bày được một số bài toán nhỏ Nhưngtôi rất mong nó sẽ giúp cho bạn đọc thêm được một phần kiến thức bổ ích

- Tôi hy vọng các tác giả viết sách sẽ có sự đầu tư hơn ở những bài toán hìnhhọc được giải quyết bằng phương pháp toạ độ hoá Tôi nghĩ rằng đây là vấn

đề sẽ thu hút được sự chú ý của học sinh

XÁC NHẬN CỦATHỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 18 tháng 5 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Lê Thị Liên

TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Sách giáo khoa hình học 10

- Báo toán học tuổi trẻ

- Giải toán hình học 10 của LÊ HỒNG ĐỨC

- Một số đề thi học sinh giỏi và đại học