Tập X được gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số f Tập ảnh fX={fx:x∈X} được gọi là tập giá trị hay miền giá trị của hàm số f.. Nếu ta có một quy tắc f nào đó mà ứng với mỗi x∈
Trang 1I/ Định nghĩa về Tập giá trị của hàm số
1 Định nghĩa thứ nhất về tập giá trị của hàm số :
Cho tập X ⊆R ánh xạ f : X →R được gọi là một hàm số xác định trên X Tập
X được gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số f
Tập ảnh f(X)={f(x):x∈X} được gọi là tập giá trị hay miền giá trị của hàm số f
2 Định nghĩa thứ hai về tập giá trị của hàm số :
Cho X⊆R Nếu ta có một quy tắc f nào đó mà ứng với mỗi x∈ X xác định được một giá trị tương ứng y∈R thì quy tắc f được gọi là một hàm số của x và viết y=f(x) x được gọi là biến số hay đối số và y gọi là giá trị của hàm số tại x Tập hợp tất cả các giá trị y với y =f(x); x∈X gọi là tập giá trị của hàm số f
3 Định nghĩa thứ ba về tập giá trị của hàm số:
Cho Φ≠ X⊆R Một hàm số f xác định trên X là một quy tắc f cho tương ứng mỗi phần tử x∈X xác định duy nhất một phần tử y∈R
x được gọi là biến số hay đối số
y được gọi là giá trị của hàm số tại x
X được gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số
Tập giá trị của hàm số T = f(X) ={ f(x): x ∈X}
II/ Tập giá trị của một số hàm số sơ cấp cơ bản
1.Hàm hằng số :
Y = f(x) = c
Tập xác định : D = R
Tập giá trị : T = { c}
2.Hàm số bậc nhất :
Y = f(x) =ax +b ( a≠0 )
Tập xác định : D = R
Tập giá trị : T = R
3.Hàm số bậc hai :
y = a x2 + b x +c ( a≠0 )
Tập xác định : D = R
Tập giá trị của hàm số :
+ Nếu a > 0 , Tập giá trị của hàm số là T =[
-a
4
∆
; +∞)
+ Nếu a< 0 , Tập giá trị của hàm số là T = (-∞
;-a
∆
]
4.Hàm số y = x
Tập xác định : D = R
Tập giá trị : T = R*+
5 Hàm số y = [ ]x
Tập xác định : D = R
Trang 2Tập giá trị : T = Z
6 Các hàm số lượng giác:
+ y = Sinx , y = Cosx có TGT là T = [ -1 ; 1]
+ y = Tanx và y = Cotx có TGT là T = R
7 Hàm số mũ:
y = ax ; 0 < a ≠ 1 :
Tập xác định : D = R
Tập giá trị của hàm số : T = R*+
8 Hàm số Lôgarít :
y = Logax ; 0 < a ≠ 1 :
Tập xác định : D = R*+
Tập giá trị : T = R
III/ Một số phương pháp tìm tập giá trị của hàm số
1.Phương pháp 1:Tìm tập giá trị của hàm số bằng cách tìm tập xác định của
hàm số ngược của nó
Ta đã biết hai hàm số ngược nhau thì tập giá trị của hàm số này là tập xác định
của hàm số kia và ngược lại Do vậy để tìm tập giá trị của một hàm số ta đi tìm tập
xác định của hàm số ngược của nó:
Ví dụ 1:
Tìm tập giá trị của hàm số y =
1 2
5 3
−
+
x
x
Hàm số có tập xác định là D = R \
2
1
Với mọi x∈D ta có : y =
1 2
5 3
−
+
x x
⇔ y(2x -1) = 3x + 5
⇔ ( 2y – 3) x = y + 5
⇔ x =
3 2
5
−
+
y
y
Biểu thức có nghĩa khi : 2y – 3 ≠ 0
⇔ y ≠
2 3
Vậy tập giá trị của hàm số là : T = R\ { }23
áp dụng phương pháp này ta có thể tìm được tập giá trị của một số hàm số sau
coi như bài tập
1
x
a
y = 2
d cx
b ax y
+ +
= 3 y=ax2 +bx+c
Trang 3
2.Phương pháp 2:Tìm tập giá trị của hàm số từ điều kiện có nghiệm của
phương trình : f(x) = y
Từ điều kiện có nghiệm của phương trình f(x) = y ta đánh giá được
y ∈[a;b] từ đó ta tìm được tập giá trị của hàm số
Ví dụ 1: Tìm tập giá trị của hàm số y =
1
1 2
2
+ +
+
−
x x
x x
Lời giải:
Tập xác định của hàm số là D = R
Gọi y là một giá trị của hàm số khi đó phương trình sau có nghiệm
y =
1
1 2
2
+ +
+
−
x x
x x
⇔ y x2 +yx + y =x2 – x + 1 có nghiệm
⇔ ( y – 1 )x2 +(y + 1 )x + y – 1 = 0 có nghiệm
Nếu y = 1 thì phương trình có nghiệm x = 0
Nếu y ≠ 1 thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
∆ '= (y + 1)2- 4(y – 1)2 ≥ 0
⇔ - 3y2 +10 y – 3 ≥ 0
⇔ 3
3
1
≤
≤ y Vậy tập giá trị của hàm số là T = ; 3
3
1
Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm số y =
3 2
3 2
+ +
+ +
Cosx Sinx
Cosx Sinx
Lời giải:
Tập xác định của hàm số là D = R
y là một giá trị của hàm số thì phương trình sau có nghiệm
y =
3 2
3 2
+ +
+ +
Cosx Sinx
Cosx Sinx
⇔ 2y Sinx + y Cosx +3y = Sinx +2Cosx + 3 có nghiệm
⇔ ( 2y – 1) Sinx + (y – 2) Cosx = 3 – 3y có nghiệm
⇔ ( 2y – 1)2 +( y+2)2 ≥ (3 – 3y)2
⇔ 2y2 -5y + 2 ≤ 0
⇔ 2
2
1
≤
≤ y
Vậy tập giá trị của hàm số là T = ; 2
2
1
* Sau đây là một số bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sa
Trang 41
5
1 2
−
+
=
x
x
y 2 y= −x2 +x+ 1 3
1
4 3
2 +
+
−
=
x
x x y
4
7 sin 4 cos 3
3 cos sin
2
+
−
− +
=
x x
x x
y
5
2 cos cos
sin 4 sin 3
1 cos 4 cos sin 3 sin 2
2 2
2 2
+ +
−
− +
+
−
=
x x
x x
x x
x x
y
6 y= sin2 x+ 4 sinxcosx
7 y= cos3 xcos 3x− sin3 xsin 3x
Bài 2 : Tìm a và b để tập giá trị của hàm số
1 2 2
+
+ +
=
x
b ax x
y có tập giá trị là [0 ; 2]
Bài 3 : Tìm a để hàm số
a x
a x x y
−
+
−
= 2
2
có tập giá trị là R
Bài 4 : Tìm a để hàm số
a x
x y
−
−
= 2
1
có tập giá trị chứa [-1;0]
Bài 5: Tìm tập giá trị của hàm số
2 2
3 2
20 10
3 ) , (
y xy x
y xy x
y x f
+ +
+ +
= trên miền D={(x,y) :x2 + y2 f 0}
3 /Phương pháp tìm tGT của hàm số bằng cách sử DụNG bất đẳng thức
Bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ta chứng minh được
M
y
m≤ ≤ và chỉ ra được dáu = xảy ra khi nào thì ta kết luận được tập giá trị của hàm số y = f(x)
VD1: Tìm tập giá trị của hàm số
y =x + 2005
1
16 + +
x
Tập xác định của hàm số là : D=(-1;+∞)
áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương x+ 1 ;
1
8 +
x ;
1
8 +
x ta có
12 1
8 1
8 ).
1 ( 3 1
8 1
8
+ +
+
≥ +
+ +
+
+
x x
x x
x
1
16
≥ +
⇔ x+ 2009 2020
1
16
≥ +
+
x
Hay Y≥ 2020
Dấu = xảy ra ⇔x+1=
1
8 +
x ⇔(x+1) x+ 1=8 ⇔x=3
Mặt khác hàm số đã cho liên tục trên D và lim y=+∞
x→ +∞
Vậy tập giá trị của hàm số là T=[2020;+∞)
VD2: Tìm TGT của hàm số y= x+ 1 + 8 −x
Trang 5Lời giải: Hàm số có TXĐ là D=[-1;8]
Dễ thấy y≥ 0
Ta có :y2=9 + 2 (x+ 1 ).( 8 −x) ≥ 9 đẳng thức xảy ra ↔x=-1 hoặc x=8→y≥ 3
Mặt khác :áp dụng BĐT Côsi ta có:
2 (x+ 1 )( 8 −x) ≤x+1 +8-x =9 →y2 ≤9 +9 = 18↔y≤3 2
đẳng thức xảy ra →x+ 1= 8 – x ↔x =
2
7
mà hàm số liên tục trên D
→ TGT của hàm số là [3;3 2]
* Nhận xét: Bằng phương pháp này kết luận dược tập giá trị của hàm số đồng thời cũng kết luận được về GTLN, GTNN của hàm số đó là một ứng dụng rất quan trọng về tập giá trị của hàm số mà chúng ta đề cập ở phần sau
** Sau đây là một số bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm TGT của hàm số:
y = x+ 1 +2 +x 5 +3 −x 10
Bài 2: Tìm tập giá trị của hàm số:
f(x,y) = 4 − 5x2 − 2y2 + 2xy+ 8x+ 2y
Bài 3: Tìm tập giá trị của hàm số :
xyz
y x y x
f( , ) = + trên miền D={(x;y;z) :x;y;z f 0 ;x+ y+z = 1}
4/Phương pháp tìm TGT của hàm số bằng cách khảo sát hàm số:
Bằng cách sử dụng đạo hàm khảo sát hàm số , lập bảng biến thiên của hàm số
Từ bảng biến thiên ta có thể kết luận về tập giá trị của hàm số
VD1: Tìm TGT của hàm số : y =
2
1
2 +
+
x x
Hàm số có TXĐ: D = R
y'=
2 ) 2 (
2 2
2 + +
−
x x
x
y, = 0 ↔ x= 2; y(2 )=
2 3
Lim
2
1
2 +
+
x
x
= lim
2
2 1
1 1
x
x
+
+
= -1
x → −∞ x→ −∞
lim
2
1
2 +
+
x
x
= 1
x→ +∞
do đó ta có bảng biến thiên
Trang 6Từ bảng biến thiên →TGT của hàm số là T=[-1;
2
3
]
Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm số :
y x
y x y x
3 ) ( ) , ( = + trên miền D ={(x,y) :xf 0 ,yf 0}
Lời giải:
Ta có
2 3
) (
) 1 ( ) , (
y x y
x y x f
+
y
x
= với t≥ 0
3 ) 1 ( ) ( ) , (
t
t t g y x
2
1 0
) 1 2 ( ) 1 ( )
(
4
2
t
t t
t t
g
Ta có bảng biến thiên
t 0
2
1
+ ∞
g ,(t) - 0 +
g (t)
∞ + + ∞
4 27
Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số là : T=
+∞
, 4
27
*Nhận xét: Từ bảng biến thiên của hàm số chúng ta còn kết luận được về GTLN,
GTNN của hàm số đồng thời còn có thể biện luận về số nghiệm của phương trình
và giảI được bất phương trình Đó là những ứng dụng của tập giá trị của hàm số chúng ta sẽ xết ở phần sau
Để xét các bài toán ứng dụng được tốt , các bạn hãy tự giải các bài tập sau:
Bài 1:Tìm TGT của hàm số :y= (2 + 3 )2x+(2 - 3 ) 2x-8[(2+ 3 )x+ ( 2 − 3)x
]
x − ∞ 2 + ∞
y’ + 0 -
y
2 3
1
-1
Trang 7Bài 2: Tìm tập giá trị của hàm số:
x
y y
x x
y y
x x
y y
x y x
f( , ) = + − ( + ) + +
2 2 4
Bài 3: Tìm tập giá trị của hàm số
y = sin20x + cos20x
Bài 4 : Tìm tập giá trị của hàm số : x y
y x
f( , ) = 3 + 3
trên miền D={(x,y) :x≥ 0 ;y≥ 0 ;x+y= 1}
IV Một số bài toán nâng cao về tìm TGT của hàm số
Để rèn luyện thêm kỹ năng giải toán về tìm tập giá trị cũng như các ứng dụng của nó chúng ta cùng giải một số bài toán nâng cao
Bài 1: Tìm tập giá trị của hàm số Y =x4- 2
6x +2
Lời giải :
Tập xác định của hàm số là D = R
đặt t= 2
x , thì t ≥ 0 Khi đó ta có y = g(t)= t2
- 6t + 2 với t∈ [ +∞ 0 ; )
y'
=g' (t)= 2t – 6
g'
(t) = 0 ↔ t = 3
Bảng biến thiên
Vậy TGT của hàm số là: T=[− ; 7 +∞)
Bài 2: Tìm TGT của hàm số
y=
4 3
36
) ( 12
2
+
−
x
a x x
với a≠ 0
Lời giải:
đặt z =
36
) ( 12 2 +
−
x
a x x
thì y = 4 3
z với z ≥ 0 và y ≥ 0
Ta có z( x2+36) = 12x(x-a)
⇔ (12 –z) x2 – 12ax – 36 z = 0
để 0 ≤ z ∈ Tập giá trị của hàm số thì phương trình trên phải có nghiệm
Nếu z = 12 thì phương trình ⇔ ax +36 = 0 ⇔ x =
a
36
−
Nếu z ≠ 12 thì phương trình có nghiệm
⇔ ∆' = 36a2 + 36z( 12 −x) ≥ 0
⇔ z2 -12z- a2 ≤ 0
t 0 3 + ∞
y'
- 0 +
y
-7
Trang 8⇔ 6 − 36 +a ≤z ≤ 6 + 36 +a
Do z≥ 0 nên
+ +
≤
≠
2 36 6 12
12
a z
→ z [ 2]
36 6
;
0 + +a
∈
+
3 2 ) 36 6 (
;
Bài 3 : Tìm a để tập giá trị của hàm số y =
a x
x
+
+ 2
1
chứa [ ]0 ; 1
Lời giải:
1
1 1
1
−
=
−
+
x x
x x
→ tập giá trị của hàm số là (− ∞ ; 0) (∪ 0 ; +∞) không chứa [ ]0 ; 1
Nếu a ≠ 1 thì y =
a x
x
+
+ 2 1
↔ y(x2+a) = x+1
↔ yx2 – x + ay – 1 = 0
xét y = 0 → x = - 1
xét y ≠ 0 ta có y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình yx2 – x + ay – 1 = 0 có nghiệm
4 4 1 0
0 ) 1 ( 4 1
2
≤
−
−
↔
≥
−
−
=
∆
↔
y ay
ay y
để tập giá trị của hàm số chứa [0 ; 1] thì g(y) ≤ 0 đúng với mọi y∈[ ]0 ; 1
+ nếu a=0 thì g(y) = -4y – 1
4
1
0 ↔ ≥ −
→ tập giá trị của hàm số là ; ) [ 0 ; 1 ]
4
1 [ − +∞ ⊃
+ nếu a≤ 0 thì g(y) ≤ 0 ∀y∈[ ]0 ; 1 luôn đúng
+ nếu a≥ 0 thì
4
5 0
0 1
0 5 4 0 ) 0 ( 4
0 ) 1 ( 4 0 )
≤
−
≤
−
↔
≤
≤
↔
ag
ag y
g
Kết hợp các khả năng đã xét ta có các giá trị của a thoả mãn bài toán là
4
5
1 ≠ ≤
− a
Bài 4 : Tìm miền giá trị của hàm số y = 2000x + 2000-x
Lời giải:
Tập xác định của hàm số là D = R
Với mọi x∈R ta có 2000x > 0 và 2000-x > 0
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có :
y= 2000x+ 2000−x ≥ 2 2000x 2000−x = 2
Trang 9Mặt khác ta có:
+∞
=
+∞
=
+∞
→
−∞
→
y
y
x
x
lim lim
Do đó tập giá trị của hàm số là T= [ +∞ 2 ; )
Bài 5 : Tìm miền giá trị của hàm số y =
x
x+1
Lời giải:
Tập xác định của hàm số là D = R\{ }0
Với mọi x khác 0 ta có
≥
−
≤
↔
≥ +
= +
= +
=
2 2
2 1 1
1
y y
x
x x
x x x y
dấu = xảy ra khi x= ± 1
Vậy tập giá trị của hàm số là T =(− ∞ ; − 2] [∪ 2 ; +∞)
Bài 6 : Tìm tập giá trị của hàm số 2
1
2
x
x y
+
=
Lời giải:
Tập xác định của hàm số là D = R
2
2 1
2
2 ≤ = ∀ ≠ +
x
x x
x y
→ − 1 ≤ y≤ 1 dấu = xảy ra khi x= 1 hoặc x= -1
Mặt khác với x = 0 ta có y = 0
Vậy tập giá trị của hàm số là T = [ -1 ; 1 ]
Bài 7: Tìm miền giá trị của hàm số y = lg(1- 2cosx)
Lời giải:
Biểu thức xác định hàm số có nghĩa khi
1 – 2cosx > 0 ↔ cosx <
2
1
3
5 2
3 +k < x< +k π k∈Z
π π
π
mặt khác : 1 – 2cosx ∈(0 ; 3]
nên y∈(− ∞ ; lg 3]
Vậy tập giá trị của hàm số là T =(− ∞ ; lg 3]
Bài 8 : Tìm tập giá trị của hàm số y =
x Cos
x Sin
2 2
1
1 + +
Lời giải:
Để tìm tập giá trị của hàm số ta tìm y để phương trình
Trang 10y =
x Cos
x Sin
2 1
1 +
+
có nghiệm ↔ y + y Cos 2 x = 1 + Sin2 x
↔ y + y ( 1 - Sin2 x) = 1 + Sin2 x
↔ ( y + 1) Sin2 x = 2y – 1
Với y = -1 phương trình trở thành : 0 = -1 phương trình vô nghiệm
Với y ≠ − 1 phương trình tương đương
1
1 2 2
+
−
=
y
y x Sin
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
1
1
1 2
+
−
≤
y y
2
2
1
≤
≤
Vậy tập giá trị của hàm số là T = ; 2
2
1
V/ ứng dụng của tập giá trị của hàm số
Sử dụng các bài toán về tìm tập giá trị của hàm số chúng ta đông thời giải quyết được một số bài toán quan trọng thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào các trường ĐH- CĐ
1.ứng dụng 1: Chứng minh bất đẳng thức
VD 1: chứng minh rằng : ln(1+x) > x -
2
2
x
với mọi x > 0
Lời giải:
xét hàm số
2 )
1 ( ) (
2
x x x Ln x
f = − − + trên (0 ; +∞)
1
1 1
1 ) (
2
+
= +
− +
x
x x x
x f
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số là:(0 ; +∞)
Vậy f (x) > 0 với mọi x hay ta có điều phải chứng minh
x 0 + ∞
f ‘(x) +
f (x)
+ ∞
0
Trang 11VD 2: Chứng minh rằng
2
2 3 2 log 3
log
2 < 2 + 3 <
Lời giải:
đặt
x
x log 3 log 2 1
3
x
x 1
2 log 3
log2 + 3 = +
xét hàm số
x x x
f( ) = + 1 trên (1 ; 2)
có ( ) 2 1 0 ( 1 ; 2 )
2 ' = − > ∀x∈
x
x x f
bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có điều phải chứng minh
2/ ứng dụng 2: Tìm GTLN, GTNN của một hàm số hay một biểu thức
VD 1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x + Cos2x trên 0;4
π
xét hàm số y = x + Cos2x trên 0;4
π
Có y ‘ = 1 – Sin2x ≥ 0 với ∀ ∈0;4
π
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có
x 1 2
f’(x) +
f (x) 2
2 3
2
x 0
4
π
y ‘ +
y
2
2
4 +
π
1
Trang 12Maxy =
2
2
4 +
π
; Min y =1
VD 2: Cho x,y là 2 số không đồng thời bằng 0
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
A = 2 2
2 2
4 y
xy x
y x
+ +
+
Lời giải:
Nếu y = 0 thì x≠ 0 và A = 1
Nếu y ≠ 0 ta có A =
4
1
2 2 2 2
+ + +
y
x y x y x
đặt t
y
x
= ta có A =
4
1 2 2
+ +
+
t t t
Bằng cách khảo sát hàm số ta lập được bảng biến thiên của hàm số như sau
Từ bảng biến thiên ta có kết luận:
Min A =
10 5 20
10 6 20
−
−
; Max A =
10 5 20
10 6 20 +
+
ứng dụng 3: ứng dụng vào việc giải phương trình
VD1: Giải phương trình: 3 x+ 13 + 3 x− 13 = 4
Xét hàm số f(x) = 3 x+ 13 + 3 x− 13 trên R
) 13 ( 3
1 )
13 ( 3
1 )
(
−
+ +
x x
x f
t − ∞ − 3 − 10 − 3 + 10 + ∞
A’ + 0 - 0 +
A
10 5 20
10 6 20 + +
1 1
10 5 20
10 6 20
−
−
