Chuyên đề tìm cực trị của hàm số

Nếu hàm số fx đạt cực đại cực tiểu tại x 0 thì x 0 được gọi là điểm cực đại điểm cực tiểu của hàm số; fx0 được gọi là giá trị cực đại giá trị cực tiểu của hàm số.. Giá trị cực đại giá tr

BÀI 2 CỰC TRỊ HÀM SỐ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ

Giả sử hàm số f xác định trên khoảnga b cĩ thể a là  ; b là  và điểm ;  x0a b ; 

1 Nếu tồn tại h>0 sao cho f x( ) f x( ),0  x x0 h x; 0 h và xx 0 thì ta nĩi hàm số f(x) đạt tại x 0

2 Nếu tồn tại h>0 sao cho f x( ) f x( ),0  x x0 h x; 0 h và x  x thì ta nĩi hàm số f(x) 0đạt cực tiểu tại x 0

Chú ý:

1 Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x 0 thì x 0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại( giá trị cực tiểu) của hàm số Kí hiệu

là : f CD(f CT), còn điểm M(x 0 ;f(x 0 )) được gọi là của đồ thị hàm số Các điểm cực đại và

cực tiểu nói chung là Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là được gọi chung là điểm cực trị của hàm số

2 Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng a b và ; đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f’(x 0 )=0

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f (x 0 ) = 0

x nhưng vẫn đạt giá trị cực tiểu tại x0,y CT 0

 Đạo hàm f có thể bằng 0 tại điểm ' x nhưng hàm f không đạt cực trị tại điểm 0 x 0

Ví dụ minh họa:

Mặc dù f x'( ) 0 tại x 2 nhưng không có cực trị taại  2x

 Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0}

a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0

b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 thì f đạt cực đại tại x 0

 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 , f (x 0 ) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0

a) Nếu f (x 0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x 0

b) Nếu f (x 0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

DẠNG 1: TÌM CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Phương pháp

Qui tắc 1: Dùng định lí 1

 Tìm f (x)

 Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đĩ đạo hàm bằng 0 hoặc khơng cĩ đạo hàm

 Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Qui tắc 2: Dùng định lí 2

 Tính f (x)

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …)

 Tính f (x) và f (x i ) (i = 1, 2, …)

Nếu f (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i

Nếu f (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

322Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 3; (3) -

3) ' 3 1 0, hàm không có cực trị

Chú ý:

 Nếu y’ khơng đổi dấu thì hàm khơng cĩ cực trị Đối với hàm bậc 3 thì điều kiện cần và

đủ để hàm đạt cực trị là y’=0 cĩ hai nghiệm phân biệt

b) Hàm đạt cực đại tại các điểm x= 1, với giá trị cực đại là y( 1)=2 và hàm đạt

cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu là y(0)=1

Nhận xét: Đối với hàm bậc 4, vì đạo hàm là đa thức bậc 3 nên hàm chỉ cĩ thể cĩ một cực trị

hoặc ba cực trị Hàm số cĩ một cực trị khi phương trình y’=0 cĩ một hoặc hai nghiệm ( 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép), hàm số cĩ 3 cực trị khi phương trình y’=0 cĩ 3 nghiệm phân

biệt

Bài 3 Tìm cực trị của hàm số sau:

2

18

25

Hàm đạt cực đại tại x=1, đạt cực tiểu tại x=0

Hàm đạt cực tiểu tại x=1, đạt cực đại tại x=0

Nhận xét: Ta thấy các trường hợp này, mặc dù hàm khơng cĩ đạo hàm tại x0 nhưng vẫn đạt cực trị tại x 0

Bảng biến thiên:

Hàm đạt cực đại tại x= 2, cực tiểu tại x=- 2

Hàm đạt cực tiểu tại x=2, hàm khơng cĩ cực đại

Nhận xét: Mặc dùx  3 là điểm mà tại đĩ hàm số khơng cĩ đạo hàm, tuy nhiên hàm số khơng xác định trên bất kì khoảng a b nào của hai điểm này nên hai điểm này khơng phải là ; 

' 0 2, hàm số không có đạo hàm tại x=0 và x=3

Hàm đạt cực đại tại x=2, đạt cực tiểu tại x=0

Nhận xét: Lý luận tương tự câu b) x3ở câu c) cũng không phải là điểm cực trị nhưng

0

x lại là điểm cực trị của hàm số

Bài 6 Tìm cực trị của hàm số sau:

32

b

x k x

1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm

2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x 0

3 Hàm số y f x( )đạt cực đại tại 0

0

0

00

'( )''( )

f x x

'( )''( )

f x x

yax bx cx d a  có 3 cực trị  y'0 có ba nghiệm phân biệt

Chú ý: ta cĩ thể giải bài tốn trên theo cách sau:

Để hàm đạt cực đại tại x=2 thì y'(2)=0 m=-2

Với m=-2 ta thử lại ta thấy thỏa

12

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đạt cực đại tại x  , vậy 2 m   thỏa 3

Nếu m=0 thì y=x 1 có một cực trị

1Nếu m 0: hàm xác định với mọi x

Hàm số đạt cực trị khi phương trình mx 2 0 có hai nghiệm phân bi

Dấu của g(x) cũng là dấu của y' và ' 1 0,

g(x) luôn có 2 nghiệm phân biệt x=m-1;

Nhận xét:

1 Nếu g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 thì hàm có hai cực tiểu và một cực đại

2 Nếu g(x)=0 có một nghiệm x=0 thì hàm chỉ có một cực tiểu

3 Nếu g(x)=0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm đạt cực tiểu tại x=0

b ab

Khi đó:

 Hàm có hai cực tiểu, một cực đại khi a>0

 Hàm có hai cực đại, một cực tiểu khi a<0

2 Hàm có một một cực trị (1) có một nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm

x=0  





0(0) 0

f

Khi đó:

 Hàm có cực tiểu khi a>0

 Hàm có cực đại khi a<0

Bài 6 Tìm các hệ số a,b,c,d sao cho hàm số y f x( ) ax 3bx2cx d đạt cực tiểu tại 0

m m

Bài 2 Tìm m để hàm số ym2x33x2 mx m cĩ cực đại, cực tiểu 

Hàm số không có cực đại và cực tiểu khi y' không đổi dấu qua nghiệm

g(x)= 2 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

       ( ) có hai nghiệm phân biệt nên không có

giá trị của tham số m để g(x)=0 vô nghiệm hay có nghiệm kép

Vậy: chỉ có m =0 thỏa yêu cầu bài toán

x

Bài 4 Tìm m để hàm số ymx33mx2 m1x1 khơng cĩ cực trị

Hướng dẫn:

0 : khi đó y'=1>0, x nên hàm không có cực trị

m 0: Hàm không có cực trị khi phương trình y'=0 vô nghiệm hoặc có

1nghiệm kép ' 0 0<m

41

Hàm có cực tiểu mà không có cực đại khi y'=0 có một nghiệm duy nhất và

y' đổi dấu khi đi qua nghiệm đó vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x=0

Đồ thị đi qua A(1;0) nên (1) 0 1 0

Giải hệ ta được : 3; 0; 4

Bài 1 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:

x đạt cực đại bằng 5 tại x = 1

DẠNG 3:Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa điều kiện nào đó

Phương pháp

 Trước hết ta tìm điều kiện để hàm số có cực trị;

 Biểu diễn điều kiện của bài toán thông qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số, từ

đó ta tìm được điều kiện của tham số;

Chú ý:

 Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các cực trị là nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta dùng định lí Viet

 Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết quả sau:

 Kết quả 1: Cho hàm đa thức y P x Giả sử ( ) yaxb Q x ( )r x( ) Khi đó, nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là y x( )0 r x ( )0

và yr x gọi là phương trình quỹ tích các điểm cực trị ( )

 Kết quả 2: Cho hàm phân thức  ( ) 

, ( ) 0( )

u x

v x Khi đó, nếu x0 là điểm cực

trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là  0

0

0

'( )( )

' 0 1

10

m S

m P

x cĩ cực đại và cực tiểu và hai điểm đĩ

nằm về hai phía của trục Ox

0Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục Ox y(x ) ( ) 0

Vì (*) luôn có hai nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có hai cực trị ;

Hai cực trị này cách đều trục tung vì

Hàm có cực dại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung y'=0 có hai nghiệm

' 0

m m

m

Theo định lí Vi-ét và yêu cầu bài tốn ta cĩ:

BTTT: Cho hàm số 3   2

3 1 9 , với m là tham số thực

yx  m x  x m Tìm m để hàm có cực trị x x sao cho 1; 2 3x12x2 m6

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y'=0 có hai nghiệm phân biệt

khác -2 m>0 Khi đó:

x m cĩ cực đại và cực tiểu và các điểm cực đại cực tiểu

có hai nghiệm phân biệt khác 0 m>0

Kết hợp điều kiện: 2

Gọi A x y 1; 1 ,B x y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số và I là trung điểm của đoạn AB 2; 2

Do x x là nghiệm của (1) nên theo định lí Vi-ét, ta có: 1, 2

Đường thẳng  và AB có hệ số góc lần lượt là:

 Trung điểm của AB là: I1; 2 

Hơn nữa  I Vậy: m0 thoả yêu cầu bài toán

Bây giờ ta hãy xét bài toán sau theo cách nhìn khác Từ đó, các em có thể chọn ra cách giải cho riêng mình

Bài tập: Cho hàm số yx33mx2m2m Tìm giá trị m để hàm có giá trị cực đại và cực

tiểu, đồng thời các cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng 1 1

Hàm có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi m  0

Cách 1: Trong trường hợp hai cực trị có tọa độ thuận lợi

Điều kiện cần: Để hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng 1 1

Điều kiện cần: Để hai điểm A,B đối xứng qua đường thẳng d điều kiện cần là đường thẳng AB

vuông góc với đường thẳng d m  1

Điều kiện đủ:

- Khi m 1 A B,  M(1;0)là trung điểm của AB và M thuộc d

- Khi m  1 A B,  M( 1;2) là trung điểm của AB và M  d

Hàm đã cho xác định trên \ {1} Hàm có cực trị khi m 1

Đường thẳng đi qua các điểm cực trị có phương trình là y 2x m Do đó, các điểm cực trị 

là A x 1; 2 x1m B x ; 2; 2 x2 m  AB2 100m4

Vậy, m=4 là gí trị cần tìm

Bài 5 Tìm giá trị của m để hàm số  

x cĩ cực đại và cực tiểu, và khoảng cách từ

hai điểm đĩ đến đường thẳng :x y 20 bằng nhau

2Gọi ;2 ; ;2 là các điểm cực trị

Bảng biến thiên

 1 1Dựa vào bảng biến thiên thì A x y; là điểm cực tiểu của hàm số A (P) m=-2

Bài 7 Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A  2; 0 sao cho khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số y x33x đến d là lớn nhất 2

Bước 3: Để ý AB2R nên đường trịn ngoại tiếp tam giác là đường trịn cĩ đường kính AB

hay IAB vuơng tại I

Đáp số:

135

y x mx mx đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1x2 8

Bài 5 Cho hàm số 4 2 2

2 có đồ thị là (C ) với m là tham sốm

y x  mx m m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m   1

b) Tìm m để (Cm) có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị này lập thành một tam giác có một góc bằng 1200

Để hàm có ba cực trị thì m  0

Tọa độ các điểm cực trị A0;m2 m B;  m m C;  ;  m m;  Tam giác ABC cân tại A Để tam giác ABC có một góc bằng 1200 thì  0

Bài 6 ĐHB 2011 Cho yx4 2m1x2 m, m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=1

2 Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị A, B, C sao cho OA=BC, trong đó O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai cực trị còn lại

Bài 7 CĐ2009 Cho 3   2  

y x  m x  m x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=2

2 Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị có hoành độ dương

DẠNG 4: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Những chú ý khi giải toán:

1) Hàm số đa thức:

 Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B

 Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị thì:

P x y

Vậy các điểm cực trị nằm trên đường thẳng y 6x1

Bài 2 Tìm tham số m yx3 mx2 7x3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7

f x x x m có 2 nghiệm phân biệt

   9 3m2 0 m  3 Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

x m Xác định m để hàm số có cực trị, khi đó viết phương trình

đường thẳng qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

 Hàm số có cực đại và cực tiểu  y' 0 hay g x  x2 2mx m 2  8 0 (1) có hai nghiệm phân biệt x x khác m 1, 2

2 2

là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

A và B nằm khác phác phía đối với đường thẳng :x y   khi và chỉ khi 1 0

Để cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y  4x thì ()  (d)

Bước 1: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y2m1x 1

Bước 2: Sử dụng công thức góc tạo bởi hai đường thẳng

MỘT SỐ BÀI TẬP CỰC TRỊ CẦN LÀM TRƯỚC KHI SANG BÀI TIẾP THEO

điểm cực đại và cực tiểu x x sao cho 1, 2 x1 4x2 Đáp số:  3 m  2

Bài 5 Cho hàm số yx33x2  Xác định M thuộc đường thẳng 2 d y: 3x sao cho 2

Bài 9 Cho hàm số yx3 3x2 m ( m là tham số) Xác định m để hàm có các điểm cực trị A

số luôn có cực đại cực tiểu với mọi m Tìm m để các điểm cực trị và điểm I(1;1) tạo thành tam

giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5 Đáp số: 1; 3

y x  x  m x có cực đại và cực tiểu , đồng thời

các điểm cực trị nằm về hai phía đường thẳng :x y   Đáp số: 1 0 1

Bài 17 Cho hàm số yx33mx Tìm m để phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực 2trị cắt đường tròn tâm I(1;1), bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích

IAB

 nhỏ nhất Đáp số: 2 3

2

m 

Bài 18 Cho hàm số yx33x2m6x m  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị và 2

khoảng cách từ A 1;4 đến đường thẳng qua hai cực trị là 12

đến đường thẳng qua hai cực trị là lớn nhất Đáp số: m  1

Bài 20 Cho hàm số y x33m1x2 3m m 2x m 33m2 Chứng minh rằng hàm

luôn có cực trị với mọi m và khoảng cách giữa hai cực trị là không đổi Đáp số: AB 2 5

Bài 21 Cho hàm số yx33mx2 3m21x m 34m Tìm m để hàm số có hai cực trị 1

A, B sao cho OAB vuông tại O Đáp số: m 1;m 2

Bài 22 Cho hàm số y x3 3x2m2m Tìm m để hàm số có hai cực trị A, B sao cho 1diện tích tam giác ABC bằng 7 với C  2; 4 Đáp số: m3;m  2

Bài 23 Cho hàm số y2x33m3x2 11 3 m Tìm m để hàm số có hai cực trị A, B sao cho A, B, C thẳng hàng, biết C0; 1  Đáp số: m  4

Bài 25 Cho hàm số 1 3 2

13

Bài 27 Cho hàm số yx42 1 m2x2 m Tìm m để hàm số có ba cực trị tạo thành 1

một tam giác có diện tích lớn nhất Đáp số: m  0

Bài 28 Cho hàm số yx4 2mx2  Tìm m để hàm số có ba cực trị tạo thành một tam giác 2

có đường tròn ngoại tiếp đi qua 3 9

Bài 29 Cho hàm số y x4 2m2x2m25m Tìm m để hàm số có ba cực trị tạo 5

thành một tam giác vuông cân Đáp số: m  1

Bài 30 Cho hàm số yx33x2 mx Tìm m để hàm số có hai cực trị và đường thẳng đi 2

qua hai cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân Đáp số: 3