Chủ đề: Ứng dụng tập giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất dẳng thức

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

chủ đề 2 ứng dụng tập giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và

Chứng minh bất đẳng thức

I Kiến thức cơ bản

Bài toán 1 ứng dụng tập giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

phơng pháp chung

Cho hàm số y=f(x) xác định trên D

a Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số nếu:

f(x)M với xDf f(x0)=M với ít nhất một giá trị x0D

Ta ký hiệu M=Maxy

b Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số nếu:

f(x)m với xDf f(x0)=m với ít nhất một giá trị x0D

Ta ký hiệu m=Miny

Vậy: Miny=myM=Maxy

Do đó từ tập giá trị I dễ dàng suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số

Ví dụ 1 (Đề 67): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y=

4 x sin x cos 2

3 x sin 2 x cos









với -<x<x<x<

Giải

Đặt t=tg

2

x

, vì <x<x<x< 

-2



<x<

2

x

<x<

2



do đó t nhận giá trị trên toàn R, thì:

y=

4 t 1

t 2 t

1

) t 1

(

2

3 t 1

t 4 t 1

t 1

2 2

2

2 2

2





















=

3 t t

2 t 2 t

2 2









Để tìm miền giá trị của hàm số ta đi tìm điều kiện của y để phơng trình

3 t

t

2 t

2

t

2

2







 =y có nghiệm đối với ẩn t

Phơng trình  (y-1)t2-(y+2)t-3y-2=0 (1) Trờng hợp 1: y=1

Khi đó:

(1)  -3t+1=0  t=

3

1 Trờng hợp 2: y1

Phơng trình (1) có nghiệm

 





 0 1

y  













0 ) 2 y 3 )(

1 y ( 4 ) 2 y ( 1 y









2 y 11 2 0 y

 11

2 y2. Vậy:

ymax=2 đạt đợc t=

) 1 y ( 2

2 y





=4  tg

2

x

=4=tg  x=2+2k kZ

27

Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số

ymin=

11

2

đạt đợc t=

) 1 y ( 2

2 y





=-3

8  tg

2

x

=-3

8

= tg  x=2+2k kZ

Bài toán 2 ứng dụng tập giá trị của hàm số để chứng minh bất đẳng thức.

phơng pháp chung

Ta có các kết quả sau:

 Để chứng minh f(x)<x<B luôn đúng  Chứng minh Maxf(x)<x<B

 Để chứng minh f(x)>B luôn đúng  Chứng minh Minf(x)>B

Do đó có thể ứng dụng tập giá trị của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 2 (Đề 139): CMR với mọi x và mọi a ta có:

2 x 3 cos

1 x sin a x cos









3

a 1

1  2 Giải

Xét hàm số y=

2 x 3 cos

1 x 3 sin a x 3 cos







Hàm số xác định với mọi x

Để tìm miền giá trị của hàm số ta đi tìm điều kiện của y để phơng trình

2 x 3 cos

1 x 3 sin a x

3

cos







=y có nghiệm đối với ẩn x

Phơng trình  asin3x+(1-y)cos3x=2y-1 (1)

Pt (1) có nghiệm

 a2+(1-y)2 (2y-1)2  3y2-2y-a20 

3

a 1

3

a

1

1  2

Vậy, |y|

3

a 1

1  2 (đpcm)

II Các bài toán chọn lọc

Bài 1 (ĐHGT/Đề 2-97): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=1+

x cos 2

x sin 3



bài giải

Ta đi tìm y để phơng trình y=1+

x cos 2

x sin 3

 có nghiệm đối với ẩn x

Phơng trình  3sinx+(1-y)cosx=2(y-1) (1)

Pt (1) có nghiệm

 32+(1-y)2 4(y-1)2  3y2-6y-60  1- 3 y1+ 3

Vậy:

ymax=1+ 3 đạt đợc khi 3sinx- 3 cosx=2 3  x=

3

2

+2k, kZ

ymin=1- 3 đạt đợc khi 3sinx+ 3 cosx=-2 3 

x=-3

2

+2k, kZ

Bài 2 (ĐHSP QN-99): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y=

x cos 2

x sin

 với x[0,

Chủ đề 2: ứ ng dụng tập giá trị của hàm số

để tìm gián trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và chứng minh bất đẳng thức

]

bài giải

Ta đi tìm y để phơng trình y=

x cos 2

x sin

 có nghiệm đối với ẩn x

Phơng trình  sinx-ycosx=2y (1) Phơng trình (1) có nghiệm

 12+y2 4y2 

-3

1

y

3

1

Mặt khác vì x[0, ]  y0, do đó điều kiện là 0y

3

1 Vậy:

ymax=

3

1

đạt đợc khi

sinx-3

1 cosx=

3

2



sin(x-6

 )=1  x=

3 2

ymin=0 đạt đợc khi sinx=0  x=0 hoặc x=

Bài 3 (HVCNBCVT/Đề 1-99): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2sin2x+4sinx.cosx+ 5

bài giải

Ta đi tìm y để phơng trình 2sin2x+4sinx.cosx+ 5 =y có nghiệm với ẩn x Phơng trình  2sin2x-cos2x=y-1- 5 (1) Phơng trình (1) có nghiệm

 22+12 (y-1- 5 )2  3y21  1y1+2 5

Vậy ymin=1 đạt đợc khi

2sin2x-cos2x=- 5 

x=-4

 +k, kZ, với cos2=

5

2

Bài 4 (HVNH TPHCM-98): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=

1 x 2 x 3

3 x 10 x 20

2 2







bài giải

Ta đi tìm y để phơng trình y=

1 x 2 x 3

3 x 10 x 20

2 2







 có nghiệm với ẩn x

Phơng trình  (3y-20)x2+2(y-5)x+y-3=0 (1) Trờng hợp 1: y=

3

20 Khi đó:

(1) 

3

10

x+

3

11

=0 

x=-10

11

Trờng hợp 2: y

3

20 Khi đó (1) có nghiệm











 0 ' 3

20 y



















0 ) 20 y )(

3 y ( ) 5 y ( 3 20 y













7 y 2 5 3 20 y

Từ đó, (1) có nghiệm khi

2

5

y7

Vậy:

Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số

ymax=7 đạt đợc khi

x=-20 y 3

5 y





=-2

ymin=

2

5

đạt đợc khi

x=-20 y 3 5 y





=-5

1

Bài 5 (ĐHQG-96): Cho hàm số : y=

2 x sin x cos

1 k x cos k 2









a Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số với k=1

b Xác định k sao cho giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất

bài giải

Ta đi tìm y để phơng trình

2 x sin x cos

1 k x cos k 2









=y có nghiệm đối với ẩn x Phơng trình  ysinx+(y-2k)cosx=k+1-2y (1) Phơng trình (1) có nghiệm

 y2+(y-2k)2 ( k+1-2y)2  2y2-4y-3k2+2k+10



1-2

1

2 k 4 k

6 2   y1+

2

1

2 k 4 k

Vậy: ymax=1+

2

1

2 k 4 k

6 2   & ymin

=1-2

1

2 k 4 k

a Với k=1, thì:

 ymax=2 đạt đợc khi 2sin2  sin1 

x=-2

 +2k, kZ

 ymin=0 đạt đợc khi -2cosx=2  cosx=-1  x=+2k, kZ

b Giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất

 6k2-4k+2 nhỏ nhất  k=

12

4

= 3

1

Vậy, với k=

3

1 thì giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất

III.Bài tập đề nghị

Bài tập 1 Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:

a (Đề 31) y=

2 ix cos x sin

x cos 2







b y=x2+2x+2 2

x x 2

c (Đề 115) y=

4 / 3 2

36 x

) a x ( x 12











Bài tập 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

a y=

4 x sin x cos

2

3 x sin 2 x cos









3 x 2 x

20 x 10 x 3

2 2









Bài tập 3 (Đề 34): Tìm K để giá trị nhỏ nhất của hàm số y=

2 x cos

1 x sin K



 nhỏ hơn -1

Bài tập 4 Cho hàm số : y=

2 x sin x cos

k x sin k 2







a Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số với k=1

b Xác định k sao cho giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất