Ứng dụng phương pháp vectơ để giải toán

Một số bài toán được giải bằng phương pháp vectơ .... Nhờ có phương pháp này các bài toán như chứng minh tính song song, vuông góc, thẳng hàng,… nói chung được giải quyết một cách dễ dàn

và đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành đề tài này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô Đinh Thị Kim Thúy người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài

Do thời gian tìm hiểu còn hạn hẹp, trang bị kiến thức về toán học còn hạn chế nên đề tài này không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự giúp đỡ và góp ý của thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Hoa

LỜI CAM ĐOAN

Tôi tên là: Nguyễn Thị Hoa

Sinh viên: Lớp K37A – Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan những nội dung mà tôi đã trình bày trong khóa luận tốt nghiệp này là kết quả quá trình nghiên cứu, tìm tòi, học hỏi của bản thân dưới sự chỉ đạo của giáo viên hướng dẫn

Hà Nội, ngày tháng năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Hoa

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Kết cấu của khóa luận 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 : MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 3

1.1 Đoạn thẳng định hướng 3

1.2 Vectơ 3

1.3 Các phép toán vectơ 5

1.4 Tích vô hướng của hai vectơ 6

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN 7

§1: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 7

1.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 7

1.2 Chứng minh hai điểm trùng nhau 11

1.3 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 12

1.4 Tính góc giữa hai đường thẳng 15

1.5 Giải các bài toán chứa yếu tố cố định 19

1.6 Giải bài toán chứa yếu tố song song 22

1.7 Tìm quỹ tích điểm 25

1.8 Giải bài toán cực trị 28

1.9 Bài tập đề nghị 31

§2: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 35

2.1 Các kiến thức cần sử dụng 35

2.2 Một số bài toán được giải bằng phương pháp vectơ 35

2.2.1 Bài toán chứng minh bất đẳng thức 35

2.2.2 Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 38

2.2.3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 43

2.2.4 Bài tập đề nghị 46

KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

Thông thường khi mở rộng một khái niệm nào đó thì đồng thời cho ta một phương pháp mới, một công cụ mới để giải toán Khái niệm vectơ ra đời cho ta một phương pháp mới, để giải toán một cách hiệu quả hơn Nhờ có phương pháp này các bài toán như chứng minh tính song song, vuông góc, thẳng hàng,… nói chung được giải quyết một cách dễ dàng và ngắn ngọn

Với mong muốn trên, được sự giúp đỡ của cô Đinh Thị Kim Thúy tôi đã chọn đề tài: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Qua các dạng toán, các ví dụ tham khảo mẫu sẽ cho học sinh thấy được phần quan trọng của việc sử dụng vectơ trong lời giải các bài tập toán trong THPT, khiến cho học sinh coi đây là một phương pháp để giải toán có hiệu quả, một cách tư duy khá mới mẻ, sáng tạo trong toán học

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là vectơ và những ứng dụng của nó để giải toán THPT

Do thời gian có hạn, đề tài chỉ đề cập đến vấn đề sử dụng công cụ vectơ

để giải một số bài toán THPT cơ bản

2

4 Kết cấu của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo nội dung của khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Một số kiến thức liên quan

Chương 2: Ứng dụng phương pháp vectơ để giải toán

3

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 : MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN

 Một vectơ kí hiệu là AB, CD,… hoặc a, b,…

 Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như AA, BB được gọi là vectơ - không Kí hiệu: 0

1.2.2 Độ dài vectơ

Độ dài vectơ AB kí hiệu là AB chính là AB

(Đối với a thì độ dài của nó kí hiệu là a )

1.2.3 Hai vectơ cùng phương

 Hai vectơ AB,CD khác vectơ - không cùng phương kí hiệu AB// CD

khi và chỉ khi AB song song CD hoặc A, B, C, D thẳng hàng

 Điều kiện để hai vectơ AB, CD cùng phương là AB= kCD, kR

1.2.4 Hai vectơ cùng hướng, hai vectơ ngược hướng

 Hai vectơ AB, CD cùng phương gọi là cùng hướng khi và chỉ khi

AB// CD và hai tia AB, CD cùng hướng Kí hiệu: AB  CD

4

 Điều kiện để hai vectơ AB, CD cùng hướng là AB= kCD (k > 0)

 Hai vectơ AB , CD cùng phương gọi là ngược hướng khi và chỉ khi

AB// CD và hai tia AB, CD ngược hướng Kí hiệu: AB  CD

 Điều kiện để hai vectơ AB, CD ngược hướng là AB= kCD (k < 0)

 Vectơ - không thì cùng phương, cùng hướng mọi vectơ

1.2.6 Hai vectơ bằng nhau

 Hai vectơ AB, CD được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài Kí hiệu: AB=CD

 Điều kiện để hai vectơ AB, CD bằng nhau là AB  CD và AB  CD Chú ý: Hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì bằng nhau

Nếu cho một vectơ a và một điểm O, thì ta có duy nhất một điểm A sao cho: OAa

1.2.7 Hai vectơ đối nhau

 Hai vectơ AB, CD đối nhau nếu AB + CD = 0 Kí hiệu: AB = - CD

 Điều kiện để hai vectơ AB, CD đối nhau là AB CD và AB  CD

1.2.7 Ba vectơ đồng phẳng trong không gian

 Ba vectơ a b c, , được gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng hoặc nằm trong các mặt phẳng song song

 Điều kiện để ba vectơ a b c, , khác 0 đồng phẳng là tìm được cặp số thực m, n sao cho: cm an b

 Cho ba vectơ a b c, , không đồng phẳng nếu ma nb kc  0 thì

m = k = n = 0

1.2.8 Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ a≠0, b≠0, góc giữa hai vectơ a b, kí hiệu là (a b, ) và

5

  0

180 ,

a) Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các

điểm B và C sao cho ABa,BCb Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b Kí hiệu: ACab.

b) Các tính chất

Với mọi vectơ a ,,b cta có:

(1) Tính chất của vectơ – không: a 0  0 aa

(2) Tính chất giao hoán: abba

(3) Tính chất kết hợp:  ab ca bc

1.3.2 Hiệu hai vectơ

a) Định nghĩa: Hiệu của hai vectơ a và b, kí hiệu a - b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b, tức là: aba b

Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ

b) Quy tắc ba điểm về phép trừ vectơ

Nếu MN là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kỳ, ta luôn có:

OM ON

MN  

1.3.3 Phép nhân vectơ với một số

a) Định nghĩa: Tích của vectơ a với một số thực k là một vectơ, kí hiệu là

ka, được xác định như sau:

1) Nếu k0 thì vectơ ka cùng hướng vectơ a

Nếu k<0 thì vectơ ka ngược hướng vectơ a

6

2) Độ dài của vectơ ka bằng k a

Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một số

1.4 Tích vô hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ a, b là một số thực, kí hiệu là

7

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN

§1: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

Sử dụng phương pháp vectơ ta sẽ giải quyết được rất nhiều bài toán trong mặt phẳng cũng như trong không gian mà các phương pháp khác không đạt được tính ưu việt như phương pháp này

Nội dung của việc sử dụng phương pháp vectơ trong giải toán hình học được thể hiện qua một số dạng sau

Cách 2: Lấy điểm O bất kỳ ta chứng minh OC OA OB trong đó    1

Ví dụ 1.1 Cho tam giác ABC Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường

tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng

Ta lại có: M là trung điểm của BC Suy ra M là trung điểm của A’H

Theo giả thiết ta có G là trọng tâm của tam giác ABC

 ⃗⃗⃗⃗⃗ 1

3( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )  ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

Vì M là trung điểm của BC suy ra ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có OM là đường trung bình của tam giác AA’H ` ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1

Ví dụ 1.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các đường

thẳng song song đi qua A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp lần lượt tại các điểm thứ hai là A1, B1, C1 Chứng minh rằng các trực tâm của tam giác ABC1, BCA1, CAB1 nằm trên một đường thẳng

Lời giải

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

Nhận xét: Nhờ hệ thức vectơ về tính chất trọng tâm trong một tam giác

và tính chất song song của bài ta tìm được hệ thức vectơ biểu thị liên hệ giữa

10

Ví dụ 1.3 Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam

giác A’BD Chứng minh rằng A, G, C’ thẳng hàng

2

DA DB DM

1 2

' 3

1 2

' 3

1 '

Cách 2: Chứng minh OAOB với O là điểm tùy ý

Ví dụ 2.1 Cho tam giác ABC lấy các điểm A’BC, B’AC, C’AB sao cho: AA  BB '  CC '  0 (1) Chứng minh rằng hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng trọng tâm

Lời giải Gọi G, G’ lần lƣợt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A’B’C’ ta có:

' '

''''

'''

''

GG

GG C

G B G A G GC GB

GA

C G GG CG

B G GG BG

A G GG

 GG Vậy G, G’ trùng nhau

Nhận xét: Ta sử dụng hướng chứng minh GG' GG'0 xuất phát từ đẳng thức (1) ta tiến hành việc phân tích vectơ bằng cách xen hai điểm G, G’ vào Vận dụng đẳng thức vectơ về tính chất trọng tâm của tam giác ta đi đến đẳng thức GG'0

12

Ví dụ 2.2 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung

điểm của AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm

Lời giải Gọi G1, G2 là trọng tâm của tam giác ANP, CMQ và O là một điểm tùy ý

OM OC

OG OP

ON OA

(1)

Mặt khác:

OA OP

ON

2

1 2

1 2

1

(2)

OC OQ

OM

2

1 2

1 2

1

(3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra OG1 OG2 Vậy G1, G2 trùng nhau

Nhận xét: Ta sử dụng hướng chứng minh G1 G2  OG1OG2

1.3 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp: Muốn chứng minh hai đường thẳng a, b vuông góc với

nhau ta đi chứng minh u ua b 0

Trong đó u ,a ub lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng

a và b

Chẳng hạn, muốn chứng minh AB CD ta đi chứng minh AB CD = 0

Ví dụ 3.1 Chứng minh ba đường cao trong tam giác đồng quy

Lời giải Giả sử AA’, BB’, CC’ là ba đường cao trong tam giác ABC

Gọi H = BB’CC’ Ta chứng minh AHBC  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Thật vậy:

  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

13

  ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

= 0 Vậy AHBC tức là ba đường cao đồng quy Ví dụ 3.2 Tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH và gọi D là hình chiếu của H trên AC, I là trung điểm của HD Chứng minh rằng AIBD Lời giải Ta có: 1  AI AH AD 2   ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Do đó:     1 2 AI BD  AH HD HC HD [ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

[ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]

[ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ]

[ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Suy ra 

A

D

H

I

14

Ví dụ 3.3 Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Gọi M, N là các

điểm tương ứng thuộc các cạnh AD, BB’ sao cho AM = BN I, J tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, C’D’ Chứng minh rằng IJ MN

Lời giải

Suy ra MNIJ

Ví dụ 3.4 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O Gọi

M là trung điểm của AB, G là trọng tâm của tam giác AMC Chứng minh rằng OGCM

15

Gọi N là trung điểm của AC, ta có:

⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Do đó: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

[( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ]

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

(| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗⃗ | ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗⃗ | ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ))

Suy ra OGCM

1.4 Tính góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp:

Muốn tính góc giữa hai đường thẳng a, b ta đi tìm góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến pháp tuyến của chúng

Gọi là góc giữa hai đường thẳng a, b thì khi đó:

N

C

A

B

G +

O

M

16

| ( ⃗ ⃗ )| | ⃗ ⃗ |

| ⃗ | | ⃗ |( với ⃗ ⃗ là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a, b.)

Hoặc

| ( ⃗ ⃗ )| | ⃗ ⃗ |

| ⃗ | | ⃗ |(với ⃗ ⃗ là hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng a, b.)

Ví dụ 4.1 Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BB1,

CC1 vuông góc với nhau Hãy tính góc giữa hai cạnh bên của hai tam giác đó

Lời giải Đặt: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

b

2

1 2

1

cos ,

17

Nhận xét: Với kết quả tìm được không phải là góc đặc biệt thì việc tìm chúng bằng phương pháp bình thường không phải là đơn giản

Ví dụ 4.2 Cho tứ diện đều ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB, BC, AD và G là trọng tâm của tam giác BCD Hãy tính góc giữa hai đường thẳng MG và NP

Lời giải Đặt: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |

( ⃗ )( ⃗ )|

|

( ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ )| ⃗ ⃗

Ví dụ 4.3 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi AH là đường cao của tứ

diện xuất phát từ đỉnh A và O là trung điểm của AH Tìm góc giữa OC và OB

Lời giải Đặt: ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

19

1.5 Giải các bài toán chứa yếu tố cố định

Phương pháp:

Bước 1: Dự đoán yếu tố cố định

Bước 2: Dựa vào phương pháp vectơ để chứng minh

Chẳng hạn, muốn chứng minh một hình chứa một điểm cố định ta làm như sau:

+) Dự đoán yếu tố cố định

+) Dựa vào phương pháp vectơ để chứng minh nó trùng với một điểm

cố định hoặc rút ra một đẳng thức vectơ trong đó tất cả các điểm đều cố định trừ điểm đang xét

Ví dụ 5.1 Cho góc Oxy và hai số dương a, b Điểm A, B là hai điểm

chạy trên Ox, Oy sao cho:   1

OB

b AB

a

Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định

AC AC

n AJ

m AI

AB AB

m

AI

11

Từ giả thiết ta có:

Giả sử ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ta có:

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

11

21

{

{

1

)1.(

.)

23

23

1

n m







Vậy IJ luôn đi qua điểm cố định G

Ví dụ 5.3 Cho hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có độ dài các cạnh

bên bằng a Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’ lấy các điểm M, N, P sao cho

MA + MB + MC = a Chứng minh rằng, mặt phẳng (MNP) luôn đi qua một điểm cố định

C

Ví dụ 6.1 Cho tứ giác ABCD không là hình bình hành Đường thẳng

qua A song song với BC cắt BD tại M, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC tại N Chứng minh rằng: MN // DC

Lời giải

 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Lại có AM // BC nên

 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Ví dụ 6.2 Cho tứ giác ABCD không phải là hình bình hành M, N lần

lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng trung điểm các đường chéo của các tứ giác AMND và BMNC là các đỉnh của hình bình hành