Về các ideal nguyên tố, cực đại và nguyên sơ

Kiến thức Đại số rất phong phú, trừu tượng và được xây dựng, phát triển từ những kiến thức cơ sở của của cấu trúc đại số như: nhóm, vành, trường… Các khái niệm iđêan nguyên tố, iđêan ng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học ThS Đỗ Văn Kiên

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu miệt mài, nghiêm túc cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, đến nay khóa luận tốt nghiệp của tôi đã được hoàn thành Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc chân thành, sâu sắc tới các thầy cô giáo đặc biệt là thầy

giáo-ThS Đỗ Văn Kiên, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành

khóa luận này

Do còn hạn chế về thời gian và kiến thức của bản thân nên khóa luận của tôi không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Phùng Thị Ngân

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp “Về các ideal nguyên tố, cực đại và nguyên

sơ” đƣợc hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản

thân cũng sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo-ThS Đỗ Văn Kiên

Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng với kết quả của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Phùng Thị Ngân

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÀNH 2

1.1 Vành và các tính chất cơ bản 2

1.2 Vành con và các tính chất cơ bản 3

1.3 Miền nguyên, trường 3

1.4 Iđêan 4

1.5 Vành chính, vành nhân tử hóa, vành Ơclit 7

1.6 Vành thương và đồng cấu vành 8

1.7 Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự 12

Chương 2: IĐÊAN CỰC ĐẠI VÀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ 14

2.1 Iđêan cực đại 14

2.2 Iđêan nguyên tố 19

Chương 3: IĐÊAN NGUYÊN SƠ 32

3.1 Iđêan nguyên sơ 32

3.2 Mối liên hệ giữa iđêan cực đại, iđêan nguyên tố và iđêan nguyên sơ 39

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đại số là một nghành rất quan trọng của Toán học Kiến thức Đại số rất phong phú, trừu tượng và được xây dựng, phát triển từ những kiến thức cơ

sở của của cấu trúc đại số như: nhóm, vành, trường…

Các khái niệm iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại là những khái niệm trọng tâm cho việc ứng dụng lý thuyết vành giao hoán vào đại số hình học Tuy nhiên trong chương trình đại học vấn đề này mới chỉ được trình bày một cách sơ lược gây nhiều khó khăn cho việc tìm hiểu của bạn đọc, đặc biệt là sinh viên khoa Toán

Được sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của thầy giáo-ThS Đỗ Văn Kiên

và mong muốn tìm hiểu sâu về đại số giao hoán tôi chọn đề tài “Về các ideal nguyên tố, cực đại và nguyên sơ” để làm khóa luận tốt nghiệp hi vọng giúp ích cho các bạn yêu thích môn Đại số có thêm tài liệu để tham khảo

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu sâu về các iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại,

sự phân tích nguyên sơ và mối liên hệ giữa chúng

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Lý thuyết về iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ và iđêan cực đại trên các vành giao hoán

4 Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp

5 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận này được chia làm 3 chương

Chương 1 Kiến thức cơ bản về vành

Chương 2 Iđêan cực đại và iđêan nguyên tố

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÀNH

Trong chương này ta sẽ trình bày lại một số kiến thức về vành và các tính chất cơ bản về vành, miền nguyên và trường, iđêan, quan hệ thứ

tự và tập sắp thứ tự

1.1 Vành và các tính chất cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là tập khác rỗng, trên X trang bị hai phép

toán hai ngôi, ký hiệu là (+), (.) và gọi là phép cộng và phép nhân

X được gọi là vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau

i) X cùng với phép cộng là nhóm Aben,

ii) X cùng với phép nhân là nửa nhóm,

iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với các phần

+ Vành X gọi là vành có đơn vị nếu X là vị nhóm nhân

+ Vành X được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân có giao hoán + Vành X gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu X là vị nhóm nhân

giao hoán

+ Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0

+ Phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có) ký hiệu là 1

+ Trong khoá luận này luôn giả thiết rằng vành là vành giao hoán

có đơn vị 1

Định nghĩa 1.1.3 Cho X là vành có đơn vị 1, nếu tồn tại số nguyên

dương n nhỏ nhất sao cho n.1 0 thì ta nói X có đặc số là n , ngược lại

ta nói X có đặc số bằng 0 Đặc số của vành X ký hiệu là char X( )

Định nghĩa 1.1.5 (Tập con nhân đóng) Cho R là vành có đơn vị 1 Tập

con S của R được gọi là tập con nhân đóng của R nếu thỏa mãn

i) 1S,

ii) Với mọi x y, S thì xyS

1.2 Vành con và các tính chất cơ bản

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X là một vành, A là một bộ phận của X , ổn

định với hai phép toán trong X , nghĩa là x y A, x y A với mọi

Định nghĩa 1.3.1 (Ước của không) Cho aX , a0, a được gọi là

Định nghĩa 1.3.2 (Phần tử khả nghịch) Phần tử uX được gọi là phần

tử khả nghịch nếu u là ước của 1, tức là tồn tại vX sao cho u v 1

Định nghĩa 1.3.3 (Phần tử liên kết) Với '

Định nghĩa 1.3.4 (Ước thực sự) a được gọi là ước thực sự của b nếu a

là ước của b , a không khả nghịch và a không liên kết với b

Định nghĩa 1.3.5 (Phần tử bất khả quy) aX là phần tử bất khả quy

nếu a0, a không khả nghịch và a không có ước thực sự

Định nghĩa 1.3.6 (Phần tử nguyên tố) Phần tử a0, không khả nghịch

được gọi là phần tử nguyên tố nếu từ a u v thì a u hoặc a v

Định nghĩa 1.3.7 (Miền nguyên) Một vành giao hoán X có đơn vị có

nhiều hơn một phần tử và không có ước của không được gọi là một miền

nguyên

Định nghĩa 1.3.8 (Trường) Một miền nguyên trong đó mọi phần tử

khác không đều khả nghịch trong vị nhóm nhân được gọi là một trường

+ Phép nhân phân phối đối với phép cộng

Nhận xét 1.3.9 Đặc số của một miền nguyên hoặc bằng 0, hoặc là một

số nguyên tố

1.4 Iđêan

Định nghĩa 1.4.1 Cho R là vành giao hoán, I là tập con của R I được

gọi là iđêan của R khi nó thỏa mãn các điều kiện sau

i) I  ,

ii) Với mọi ,a bI thì a b I,

iii) Với mọi aI r, R thì raI

Định lý 1.4.2 Cho X là vành, I  X, I   Các khẳng định sau

tương đương

i) I là iđêan của X ;

ii) Với mọi ,a bI thì a b I và xX thì a x I, x a I

Định lý 1.4.3 a) Giao của tất cả các iđêan của X là một iđêan của X

b) Cho X là vành giao hoán có đơn vị là 1, I là một iđêan của X , 1 I thì I  X

Định nghĩa 1.4.4 (Iđêan sinh bởi một tập) Cho U là tập con của vành

X Giao của họ tất cả các iđêan của X chứa U là một iđêan chứa U và

được gọi là iđêan sinh bởi tập U

Ký hiệu: U hoặc XU

Nhận xét 1.4.5 Cho X là vành giao hoán, tập U X

+ U là iđêan nhỏ nhất của X chứa U;

+ Nếu U là tập con hữu hạn của X thì ta nói I  U là iđêan

hữu hạn sinh của X ;

+ Nếu U u i\ i1,nthì

* 1

Định nghĩa 1.4.7 (Căn của iđêan) Cho R là vành giao hoán và cho I là

iđêan của R Căn của iđêan I ký hiệu là I hoặc Rad I xác định bởi  

đƣợc gọi là căn lũy linh của R và ký hiệu là Rad R  

Định lý 1.4.8 Cho I I1, , ,2 I là các iđêan của R , ta có n

m m

1.5 Vành chính, vành nhân tử hóa, vành Ơclit

Định nghĩa 1.5.1 (Vành chính) Miền nguyên X được gọi là vành chính

nếu mọi iđêan của X đều là iđêan chính

Ví dụ 1.5.2 Vành các số nguyên là vành chính

Định nghĩa 1.5.3 (Vành nhân tử hóa) Miền nguyên X được gọi là vành

nhân tử hóa nếu và chỉ nếu mọi phần tử khác 0, không khả nghịch đều

phân tích được một cách duy nhất thành tích các phần tử bất khả quy

Nhận xét 1.5.4

+ Mọi vành chính đều là vành nhân tử hóa

+ Nếu K là một trường thì K x là vành nhân tử hóa  

Định nghĩa 1.5.5 (Vành Ơclit) Cho X là miền nguyên, *

X là tập các

phần tử khác 0 của X X được gọi là vành Ơclit nếu tồn tại ánh xạ

*

: X

  thỏa mãn các điều kiện sau

i) Nếu a là bội của b và a0 thì ( )b ( )a

ii) Với ,a bX và b0 thì tồn tại q và r thuộc X sao cho

lập thành một vành gọi là vành thương của X theo iđêan A

giao hoán có đơn vị là 1 A

+ Đặc biệt,  0 , X là 2 iđêan của X nên tồn tại 2 vành thương

Định lý 1.6.4 Cho R là vành giao hoán, I là iđêan của R Khi đó

i) Nếu J là iđêan của R sao cho J I thì J

I là một iđêan của

vành thương R

I

ii) Mỗi iđean J của R I đều có dạng K I với K là iđêan của R

thỏa mãn K I Tồn tại duy nhất iđêan K aR a I J của R thỏa mãn điều kiện

iii) Nếu J J là các iđêan của R sao cho 1, 2 J J1, 2 I thì J1 J2

+ Lấy ,a bK và rR thì ta có aI, b I Do đó

(ab) I , ra I Suy ra ab, raK và K là một iđêan của R

Từ đó theo định nghĩa của K và K I suy ra rằng K

I  

+ Mặt khác, giả sử L là 1 iđêan khác của R cũng có tính chất

LI và L I   Cho aL thì a I L I   Suy ra aK Suy ra

LK

Lại có nếu bK thì b I L

I

   Theo (i) ta có bL Suy ra K L

Vậy L K hay K là duy nhất

iii) Theo (i) ta có J1 ,J2

I I là các iđêan của R I

Từ (ii) ta có điều phải chứng minh □

Định nghĩa 1.6.5 (Đồng cấu vành) Cho X Y là hai vành Ánh xạ ,

:

f X Y gọi là đồng cấu vành nếu với mọi x y, X ta có

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+ f gọi là đơn cấu nếu f là đồng cấu vành và f là đơn ánh,

+ f gọi là toàn cấu nếu f là đồng cấu vành và f là toàn ánh, + f gọi là đẳng cấu nếu f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu,

+) Cho hai vành X Y ta nói X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một ,đẳng cấu vành f X: Y

Định lý 1.6.6 Ta có các khẳng định sau

(i) Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành;

(ii) Cho f X: Y là đồng cấu vành, trong đó X là một trường

thì f là đồng cấu không hoặc đơn cấu;

(iii) Cho f X: Y là đồng cấu vành;

+ Nếu f có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành

:

g X Y sao cho g f 1X thì f là đơn cấu;

+ Nếu f có nghịch đảo phải, tức là tồn tại một đồng cấu vành g X: Y sao cho f g 1Y thì f là toàn cấu;

+ Nếu f có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì f là đẳng cấu

(iv) f X: Y là đồng cấu vành, A là vành con của X , B là iđêan của Y thì

+ f A( ) là vành con của Y ;

+ f1( )B là iđêan của X

Đặc biệt, cho f X: Y là đồng cấu vành

Hạt nhân của f ký hiệu là K fer , Kerf xX f x( )0

Ảnh của đồng cấu f ký hiệu Im f , Im f  f X( )f x( )Y xX Khi đó

+ X là vành con của X nên Im f là vành con của Y ;

+  0Y là 1 iđêan của Y nên K fer là một iđêan của X

Vậy f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf  0X ,

f là toàn cấu khi và chỉ khi Im f Y

Định lý 1.6.7 (Định lý cơ bản của đồng cấu vành) Cho đồng cấu vành

:

f X Y, A B tương ứng là các iđêan của , X Y sao cho , f A( )B

Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành f : X Y

A B sao cho biểu đồ sau giao hoán

nghĩa là f p A  p f B với p A:X  X A, p B:Y Y B là các toàn cấu

chính tắc

Đặc biệt, nếu A Kerf , B 0Y thì Y B Y 0Y Y , khi đó ta

có f p f với p X: X Kerf là toàn cấu chính tắc

Nếu f là toàn cấu vành thì X Y

Kerf  Hơn nữa, f là đơn cấu và

Định nghĩa 1.7.1 Cho tập X   Quan hệ hai ngôi “” trên X đƣợc

gọi là quan hệ thứ tự trên X nếu thỏa mãn 3 tính chất sau

Khi đó ta viết X, đƣợc gọi là tập sắp thứ tự

Tập sắp thứ tự X, đƣợc gọi là tập sắp thứ tự toàn phần nếu với mọi

dưới) của A nếu với mọi aA thì aa0 (a0 a)

Bổ đề 1.7.3 (bổ đề Zorn) Cho tập sắp thứ tự X, khác rỗng Nếu mọi

tập con sắp thứ tự toàn phần (khác rỗng) của X đều chứa một cận trên của X thì X có ít nhất một phần tử cực đại

Chương 2: IĐÊAN CỰC ĐẠI VÀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ

2.1 Iđêan cực đại

Định nghĩa 2.1.1 Iđêan A của vành giao hoán R được gọi là iđêan cực

đại nếu thỏa mãn hai điều kiện sau

i) AR,

ii) Giả sử tồn tại iđêan B của R mà A B thì BR

Ví dụ 2.1.2 Trong vành các số nguyên các iđêan cực đại đều có dạngp với p là số nguyên tố

Thật vậy, nếu I là một iđêan cực đại tùy ý của thì

0,

I  I nên I có dạng I  p với p ,p1, ta sẽ chỉ ra p là số nguyên tố Giả sử p không là số nguyên tố thì p p p1 2 với

Mệnh đề 2.1.3 Cho R là vành giao hoán có đơn vị A là iđêan cực đại

của R nếu và chỉ nếu R

Suy ra

1 A xx   a A xx   A (x A x)(  A)Vậy xA có nghịch đảo trong R

Vậy tồn tại aA để a xx0 1 Suy ra 1 xx0  a B (vì B là iđêan

của R và tập  x a, B ) Vậy BR hay A là iđêan cực đại của R □

Định lý 2.1.4 Nếu R là vành giao hoán không tầm thường thì R luôn

có ít nhất một iđêan cực đại

Chứng minh Gọi là tập tất cả các iđêan thực sự của R Do R không

tầm thường nên  0 là iđêan thực sự của R Suy ra   

Quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự bộ phận trên  và iđêan cực đại

của R chính là phần tử cực đại của tập sắp thứ tự bộ phận ( , ) 

Cho  là tập con sắp thứ tự toàn phần của 

Đặt J  I, rõ ràng J   vì 0J

+ Với mọi aJ , rR thì raJ

+ Với ,a bJ luôn tồn tại I I1, 2 sao cho aI b1, I2

Do ( , )  sắp thứ tự toàn phần nên ta luôn có I1I2 hoặc I2 I1 Không mất tính tổng quát ta giả sử I1I2 Khi đó a b  I2 J Do vậy J là iđêan của R và là iđêan thực sự (vì với mọi I thì 1 I suy

ra 1 J )

Suy ra J Vì vậy J là cận trên của  trong 

Áp dụng bổ đề Zorn ta có tập sắp thứ tự bộ phận ( , )  luôn có phần tử

cực đại nên R luôn có ít nhất một iđêan cực đại □

Hệ quả 2.1.5 Cho R là vành giao hoán, I là iđêan thực sự của R Khi

đó luôn tồn tại một iđêan cực đại M của R sao cho M I

Chứng minh Do I là iđêan thực sự nên vành thương R I không tầm

thường Theo định lý 2.1.4 thì R

I có iđêan cực đại và theo định lý

1.5.4.ii) thì iđêan cực đại đó phải có dạng M I với đúng một iđêan M của R thỏa mãn M I

Vậy M là iđêan cực đại của R và M I □

Hệ quả 2.1.6 Cho R là vành giao hoán và aR Khi đó a là phần tử khả nghịch của R nếu và chỉ nếu với mọi iđêan cực đại M của R thì

aM

Chứng minh Giả sử a là khả nghịch của vành giao hoán R thì a R Nếu aM với M là iđêan cực đại nào đó của R suy ra M R Điều

này mâu thuẫn với giả thiết M là iđêan cực đại Vậy a M

Ngược lại, giả sử aM với mọi M là iđêan cực đại của R Nếu a không khả nghịch thì a là iđêan thực sự của R Theo hệ quả

2.1.5 thì tồn tại iđêan cực đại M của R chứa a Điều này mâu

thuẫn với giả thiết

Định nghĩa 2.1.8 Một vành giao hoán R có đúng một iđêan cực đại

được gọi là vành địa phương

Nếu M là iđêan cực đại duy nhất của vành địa phương R thì

R

M là trường và được gọi là trường thương của R theo M

Ví dụ 2.1.9 Nếu R là trường thì R là vành địa phương vì R có duy

nhất iđêan cực đại là iđêan  0

Mệnh đề 2.1.10 Cho R là vành giao hoán Khi đó R là vành địa

phương nếu và chỉ nếu tập các phần tử không khả nghịch của R là một iđêan của R

Chứng minh Giả sử R là vành địa phương với một iđêan cực đại duy nhất M Theo hệ quả 2.1.6 thì M là tập các phần tử không khả nghịch

của R

Ngược lại, ta có R0 vì nếu R0 thì tập các phần tử không

Gọi I là tập các phần tử không khả nghịch của R Theo giả thiết, I là iđêan của R Do 0I nên R là không tầm thường Theo định lý 2.1.4 thì R có ít nhất một iđêan cực đại Theo hệ quả 2.1.6 thì mọi phần tử của

Vậy R là vành địa phương □

Nhận xét 2.1.11 Giả sử vành giao hoán R là vành địa phương Khi đó

từ hệ quả 2.1.6 suy ra iđêan cực đại duy nhất của R là tập các phần tử khả nghịch của R

Định nghĩa 2.1.12 Cho R là vành giao hoán căn Jacobson của R , ký

hiệu Jac R( ), là giao của tất cả các iđêan cực đại của R

Nhận xét 2.1.13

+ Jac R( ) là một iđêan của R

+ Nếu R là vành giao hoán tầm thường thì ta quy ước

Mệnh đề 2.1.15 Cho R là vành giao hoán và r R Khi đó rJac R( )

nếu và chỉ nếu với mọi aR thì (1ra) là phần tử khả nghịch của R

Chứng minh Gọi M là iđêan cực đại bất kỳ của R Suy ra r M Thế thì raM Mà 1 M suy ra (1ra)M Theo hệ quả 2.1.6 suy ra

(1ra) là phần tử khả nghịch của R

Ngƣợc lại, giả sử với mọi aR thì (1ra) là phần tử khả nghịch

của R Gọi M là iđêan cực đại bất kỳ của R Ta chỉ ra rằng r M

Thật vậy, M là iđêan cực đại của R nên theo hệ quả 2.1.6 thì

(1ra)M Giả sử rM thì M M RrR Do M là iđêan cực đại nên M Rr R  Suy ra 1 M Rr Suy ra tồn tại bM a, R

thỏa mãn 1 b ra Do đó 1 ra  b M (mâu thuẫn)

Vậy r M Vì M bất kỳ nên rRac R( ) □

2.2 Iđêan nguyên tố

Định nghĩa 2.2.1 Cho R là vành giao hoán Iđêan A của R đƣợc gọi là

iđêan nguyên tố nếu thỏa mãn

Thật vậy, nếu I là iđêan nguyên tố tuỳ ý của thì I 0, I nên I

có dạng I n với n ,n1, ta sẽ chỉ ra n là số nguyên tố Giả sử n

không là số nguyên tố thì nn n1 2 với 1n n1, 2 n (1)

Do nn n1 2 và n là iđêan nguyên tố nên ta có

Ngƣợc lại, giả sử n là số nguyên tố, ta sẽ chỉ ra n là iđêan nguyên tố Thật vậy, với mọi xyn thì xy n

+ R không là iđêan nguyên tố của R

+ Khi R là miền nguyên, iđêan không của nó là một iđêan nguyên tố của R

Định lý 2.2.4 Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan nguyên tố

của R nếu và chỉ nếu R

Vì R là vành giao hoán có đơn vị nên R

I là vành giao hoán có đơn vị là

1 I Vậy R

I   vì

01

R

R I I