Thuật toán phân tích tính độc lập của hệ cơ sở của t ideal các đồng thức của đại số các ma trận trên một trường có đặc số không

L ỜI NÓI ĐẦU Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày những kết quả liên quan đến đa thức đồng nhất của đại số các ma trận trên một trường có đặc số không.. Đặc biệt là định lý AMITSUR

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: GS BÙI TƯỜNG TRÍ

L ỜI NÓI ĐẦU

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày những kết quả liên quan đến đa thức đồng nhất của đại số các ma trận trên một trường có đặc số không Đặc biệt là định lý AMITSUR – LEVITZKI về đa thức chuẩn tắc S2n trên Mk(K) là đại số các ma trận vuông cấp n trên trường K Đặc biệt là chúng tôi cố gắng phát triển kết quả của RAZMYLOV về hệ cơ sở của T – Ideal cá đồng nhất thức của M2(K) bằng cách đưa ra

một thuật toán phân tích tính độc lập của hệ cơ sở đó bằng Computer

Chúng tôi xin chân thành biết ơn các Thầy, Cô ở trường Đại học Sư phạm và Đại

học Tổng hợp đã tận tình hướng dẫn chúng tôi trong các năm học

Đặc biệt là Thầy BÙI TƯỜNG TRÍ, người đã trực tiếp ra đề tài và hướng dẫn chúng tôi hoàn thành luận văn này

Thành ph ố Hồ Chí Minh

12-1994

Tr ần Đức Huyên

M ỤC LỤC

L ỜI NÓI ĐẦU 3

M ỤC LỤC 4

PH ẦN 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 6

1 Đại số trên một trường: 6

2 Đại số tự do trên một trường 6

3 PI Đại số 7

4 T Ideal 7

5 Đồng nhất thức hệ quả: 8

6 Tuy ến tính hóa 8

7 Các k ết quả cơ bản 11

PH ẦN 2: CƠ SỞ CỦA T_IDEAL CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA ĐẠI SỐ M2(K) 12

1 K ết quả của RAZMYLOV 12

2 Tính độc lập của hệ cơ sở 13

PH ẦN 3: THUẬT TOÁN PHÂN TÍCH TÍNH ĐỘC LẬP CỦA HỆ SINH C ỦA U(M2(K) 14

1 M ệnh đề 1 14

2 M ệnh đề 2 15

3 Thu ật toán phân tích độc lập của H đối với <S 4 > T 15

4 M ệnh đề 4: 16

K ẾT LUẬN CHÍNH CỦA LUẬN VĂN 20

PH Ụ LỤC 21

PH ẦN 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1 Đại số trên một trường:

Cho K là một trường, A là một đại số trên trường K nếu:

Nói cách khác A là một đại số trên trường K nếu A vừa là vành có đơn vị là một không gian vectơ trên trường K sao cho phép nhân vô hướng và phép nhân của vành giao hoán với nhau

2 Đại số tự do trên một trường

K là một trường có đặc số 0

X = {x1,…,xn,…} : Tập vô hạn đếm được các biến hình thức

Từ : x xi1 ik : Không giao hoán

<X> Nửa nhóm tự do sinh bởi X

K{X} : Tập các đa thức nhiều biến không gian hoán hệ số trên K cũng là đại số tự

do sinh bởi X trên K

Tính ch ất cơ bản của đại số tự do K{X}

Cho A là một đại số bất kỳ trên K và ánh xạ ϕ : X → A

Luôn tồn tại đồng cấu φ: K{X} → A sao cho biểu đồ sau giao hoán:

f được gọi là đa thức đồng nhất của A hay đồng nhất thức của A

Gọi U(A) là Ideal các đồng nhất thức của A trong đại số tự do K{X}, ta có:

U(A) = ∩ Ker φ ∀ϕ : X → A U(A) ∆ K{X}

4 T Ideal

Một Ideal I của K{X} được gọi là một T_ideal nếu:

Thì U(A) được gọi là T_Ideal hữu hạn sinh

Ta sẽ phân tích f(x1,…,xn) thành các đa thức tuyến tính bằng cách quy nạp theo bậc

k1 của f đối với x1

2 -2

⇒

Theo giả thiết quy nạp: g là hệ quả của các đa thức tuyến tính suy ra f cũng vậy

B ổ đề 3: Giả sử F là một trường trên K và V là không gian vectơ vô hạn chiều trên

F Khi đó đại số các phép biến đổi tuyến tính EndFV không thỏa mãn đồng nhất thức thực

sự

Định lý 1: (Kaplansky - Amitsur)

Giả sử A là đại số nguyên thủy có đồng nhất thức thực sự bậc d, thì tâm C của A là

một trường A là đại số đơn và [A : C] ≤ [d/2]2

Định lý 2: (Kaplansky - Levitzki)

Đa hức chuẩn tắc S2n là một đồng nhất thức của Mn(K)

PH ẦN 2: CƠ SỞ CỦA T_IDEAL CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA

ĐẠI SỐ M2(K)

1 K ết quả của RAZMYLOV

1974 RAZMYLOV đã chứng minh được các đồng nhất thức của đại số M2(K) là hệ

quả của 9 đồng nhất thức sau đây:

(1)

(2) (3) 3

(1) (2) (3) 3

ε(σ)

σ ε(σ)

5 4 σ σ σ 4 σ

Chính Razmylov trong bài báo của mình đã nói rằng không có gì đảm bảo rằng hệ

cơ sở gồm 9 đồng nhất thức này là độc lập và ông ta nghĩ rằng có thể rút gọn hệ cơ sở hơn nữa

Năm 1980, Giáo sư Bùi Tường Trí đã chứng minh rằng chỉ cần S4, H, ∅’, và (4) cũng có thể sinh ra được U(M2(K)) trong đó ∅’

là tuyến tính hóa của đồng nhất thức Lie:

∅ = [y, z, [t, x] + [y, x, [z, x], t]

Vấn đề đặt ra ở đây là có thể rút gọn hệ cơ sở hơn nữa hay không ?

PH ẦN 3: THUẬT TOÁN PHÂN TÍCH TÍNH ĐỘC LẬP CỦA HỆ

SINH C ỦA U(M2(K)

1 M ệnh đề 1

Đặt S4 = [x1, x2, x3, x4]

=

(1) (2) (3) (4) 4

σ σ σ σ σ

Vì S4(x1, x2, x3, x4) là đa thức đa tuyến tính và đổi dấu nên ta chỉ cần chứng minh

S4=0 Khi thay các phần tử khác nhau của B vào S4

Vì tích các ma trận eij chỉ khác 0 khi chỉ số thứ hai của ma trận thứ nhất bằng chỉ số

thứ nhất của ma trận thứ hai nên các số hạng khác 0 của biểu thức S (e ,e4 i j1 1 i j2 2,ei j3 3,ei j4 4) là:

Vì αI giao hoán với mọi ma trận của M2(K) nên ta có:

[αI, x5] = αIx5 – x5αI =0

- So sánh H và ∑aiΦi + ∑biΨi + ∑cijΓij theo từng chuỗi xσ(1) xσ(2) xσ(3) xσ(4) xσ(5)

- Đồngnhất hai vế ta được một hệ phương trình tuyến tính:

Chứng minh:

Ta áp dụng thuật toán trên để chứng minh mệnh đề 4 Theo Razmylov ta có:

V5 ⊂ <S4, H, f1, f2*, f3>TTrong đó :

f2*được tính từ f2 theo thuật toán sau:

- Khai triển f2 thành các chuỗi không giao hoán

- Trong mỗi chuỗi thay thế lần lượt 2 trong 3 vị trí của x3 bởi x4; x5

- Giữ nguyên dấu của chuỗi

Ví dụ:

+13254 +13245

+15243 +14235 +14253

3/ f3 gồm 2 phần, phần đầu tính như f1, phần sau tính theo thuật toán sau:

- Xem [x1, x2] như x1 tìm tất cả các hoán vị của [x5, x1, x3, x4] kèm theo dấu của

nó

- Trong mỗi chuỗi tìm được thay x1 bởi x1x2 (không đổi dấu của chuỗn) và thay x1

bởi x2x1 (đổi dấu của chuỗi)

Ví dụ:

- 51234

- 52134 Công việc cụ thể trên máy tính như sau:

- Dùng một phần mềm soạn thảo văn bản ghi các biểu thức ban đầu của f1, f2, f3 vào file F1.DAT, F2.DAT, F3.DAT

- Dùng chương trình EXPAND.EXE thể hiện các thuất toán khai triển ở trên để xử

lý các file DAT ở trên thành các file:

F1.TXT, F2.TXT, F3.TXT

- Dùng chương trình MATRIX.EXE để đọc file TXT ở trên và đặt nó thành các hệ phương trình tuyến tính dạng ma trận: AX = B theo đúng cú pháp của phần mềm MAPLE

và ghi ra 3 file:

- Dùng phần mềm MAPLE để giải hệ 3 phương trình tuyến tính ở trên ta được kết

quả là chúng có nghiệm và nghiệm được ghi ra các file RST (Xem phụ lục 2, 3, 4)

Mệnh đề 5

U(M2(K)) = <S4, H, (4) >T

Theo Bùi Tường Trí ta có U(M2(K)) = <S4, H (4), ∅’

>T Nhưng ∅ = [y, z, [t, x, x] + [y, x, [z, x], t]

⇒ ∅’ ∈ V5 ⇒ ∅’ ∈ <S4, H >T

⇒ U(M2(K)) = < S4, H, (4) >T

-5134

K ẾT LUẬN CHÍNH CỦA LUẬN VĂN

1) Có thể loại bỏ (1), (2), (3), (7), (8), (9) ra khỏi cơ sở của RAZMYLOV

thiệu tại Hội nghị Toán – Tin học Liên Khoa Toán Tp Hồ Chí Minh tháng 4/1993

(2) Các chương trình EXPAND.EXE và MATRIX.EXE được viết bằng ngôn ngữ PASCAL bởi người làm luận văn

PH Ụ LỤC