Hạng của module trên miền dedekind và miền các ideal chính

So sánh một số tính chất của hạng module trên miền các ideal chính và miền Dedekind... LỜI MỞ ĐẦU Có nhiều nghiên cứu module trên miền các ideal chính vì nó có nhiều tính chất “hay và đẹ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Văn Ân

HẠNG CỦA MODULE TRÊN MIỀN

DEDEKIND VÀ MIỀN CÁC

IDEAL CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Văn Ân

HẠNG CỦA MODULE TRÊN MIỀN

DEDEKIND VÀ MIỀN CÁC

IDEAL CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ, K20

Mã số: 60 46 05

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Mỵ Vinh Quang

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán – tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, những người đã cho tôi niềm đam mê khoa học và

đã trang bị đầy đủ kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành luận văn

Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người

đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tận tình để tôi hoàn thành luận văn này, người đã cho tôi những định hướng và nhận xét quý báu trong quá trình xây dựng đề cương cũng như quá trình hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tin tưởng, động viên và ủng hộ về mặt tinh thần cả vật chất để tôi thuận lợi hoàn thành khóa học

Tp Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2012

Nguyễn Văn Ân

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Mục lục ii

Lời mở đầu iii

Chương 1 MIỀN DEDEKIND 1

1.1 Khái niệm đóng nguyên 1

1.2 Vành Noether 2

1.3 Miền Dedekind 3

1.4 Hạng của nhóm Abel 9

Chương 2 HẠNG CỦA MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND VÀ TRÊN MIỀN CÁC IDEAL CHÍNH 11

2.1 Cấp của phần tử 11

2.2 Module cyclic và tựa cyclic trên miền Dedekind 16

2.3 Khái niệm hạng của module trên miền Dedekind 21

2.4 Một số tính chất của hạng module trên miền các ideal chính 31

2.5 So sánh một số tính chất của hạng module trên miền các ideal chính và miền Dedekind 41

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 49

LỜI MỞ ĐẦU

Có nhiều nghiên cứu module trên miền các ideal chính vì nó có nhiều tính chất “hay và đẹp” và miền Dedekind có thể xem như là mở rộng gần gủi nhất của miền các ideal chính, vì miền Dedekind còn bảo lưu được nhiều tính chất rất giống với miền các ideal chính, chẳng hạn: trong miền Dedekind mỗi ideal đều phân tích được duy nhất thành tích các ideal tối đại, mỗi ideal nguyên tố của miền Dedekind đều là ideal tối đại, tuy nhiên nó cũng có nhiều tính chất rất khác so với miền các ideal chính, chẳng hạn mỗi ideal của miền Dedekind nói chung không là ideal chính, module con của môt module cyclic trên miền Dedekind có thể không là module cyclic…

Khái niệm hạng của module có thể xem như là khái niệm mở rộng của khái niệm hạng module tự do, tuy nhiên khái niệm hạng của một module đặc biệt là hạng của module trên miền Dedekind chưa được nghiên cứu nhiều, trong luận văn này sẽ nghiên cứu, tìm tòi và đưa ra những tính chất mới về hạng của một module trên miền Dedekind và miền các ideal chính

Luận văn gồm 2 chương

Chương I: Miền Dedekind

Trong chương này trình bài các tính chất cơ bản về miền Dedekind cần thiết cho chương II

Chương II: Hạng của module trên miền Dedekind và trên miền các ideal chính

Trong chương này chúng tôi xây dựng và nghiên cứu các tính chất của cấp một phần tử trong module trên miền Dedekind, xây dựng và nghiên cứu các tính chất của module cyclic và tựa cyclic trên miền Dedekind, xây dựng khái niệm hạng của một module trên miền Dedekind và miền các ideal chính, nghiên cứu các tính chất quan trọng hạng của module trên miền Dedekind và miền các ideal chính

Chương 1 MIỀN DEDEKIND 1.1 Khái niệm đóng nguyên

1.1.1 Định nghĩa phần tử nguyên

Cho 𝐴 và 𝐵 là những miền nguyên, 𝐴 ⊂ 𝐵 (tháp miền nguyên 𝐴 ⊂ 𝐵) Phần tử 𝑏 thuộc 𝐵 được gọi là phần tử nguyên trên 𝐴 nếu tồn tại đa thức 𝑓(𝑥) thuộc 𝐴[𝑥] đơn khởi, bậc lớn hơn hoặc bằng 1, nhận 𝑏 làm nghiệm Hay 𝑏 nguyên trên 𝐴 khi và chỉ khi tồn tại 𝑎0, 𝑎1, … 𝑎𝑛−1 ∈ 𝐴 sao cho

(−1)𝑚𝑏𝑚 + 𝑎𝑚−1𝑏𝑚−1+ ⋯ + 𝑎1𝑏 + 𝑎0 = 0, 𝑎𝑖 ∈ 𝐴

Vậy 𝑏 là nghiệm của đa thức:

ii) A[b] là A-module hữu hạn sinh

iii) A[b] nguyên trên A

1.1.4 Định nghĩa bao đóng nguyên

Cho các miền nguyên 𝐴 ⊂ 𝐵 Ta định nghĩa bao đóng nguyên của A trong

B là tập 𝐴𝐵 = {𝑏 ∈ 𝐵|𝑏 nguyên trên A}

Nếu 𝐴𝐵 = 𝐵 thì ta nói B nguyên trên A, nếu 𝐴𝐵 = 𝐴 thì ta nói A đóng nguyên trong B

1.2.1 Định nghĩa dây chuyền tăng các ideal

Cho một dãy vô hạn các ideal {𝐼𝑛|𝑛 = 1,2, … } trong một vành

Dãy này được gọi là một dây chuyền tăng nếu 𝐼1 ⊆ 𝐼2 ⊆ ⋯ ⊆ 𝐼𝑛 ⊆ ⋯ Dãy này gọi là dây chuyền tăng nghiêm ngặt nếu 𝐼1 ⊂ 𝐼2 ⊂ ⋯ ⊂ 𝐼𝑛 ⊂ ⋯

1.2.2 Định nghĩa dãy dừng

Một dây chuyền tăng các ideal 𝐼1 ⊆ 𝐼2 ⊆ ⋯ ⊆ 𝐼𝑛 ⊆ ⋯ trong một vành được gọi là dừng nếu có một số nguyên dương 𝑛0 sao cho 𝐼𝑛 = 𝐼𝑛0, ∀𝑛 ≥ 𝑛0

1.2.3 Định nghĩa điều kiện dây chuyền tăng

Một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng nếu mọi dây chuyền tăng các ideal của R đều dừng Nói cách khác, R được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng nếu R không chứa dây chuyền tăng nghiêm ngặt

các ideal nào

1.2.4 Định nghĩa vành Noether

Một vành R được gọi là vành Noether nếu R thỏa mãn điều kiện dây

chuyền tăng

1.2.5 Định nghĩa điều kiện tối đại

Một vành D được gọi là thỏa mãn điều kiện tối đại nếu mọi tập không rỗng S các ideal của D đều chứa một ideal sao cho không có một ideal nào trong S chứa nó thực sự; nghĩa là trong S có một ideal I sao cho nếu J là một ideal trong S mà 𝐼 ⊆ 𝐽 thì 𝐼 = 𝐽 (hay nói cách khác, mọi tập không rỗng S các ideal của D đều chứa phần tử tối đại)

1.2.6 Định lý

Cho R là một vành, các mệnh đề sau là tương đương:

i) R là vành Noether

ii) R thỏa mãn điều kiện tối đại

iii) Mọi ideal của R đều hữu hạn sinh

1.3 Miền Dedekind

1.3.1 Định nghĩa miền Dedekind

Cho D là miền nguyên, D được gọi là miền Dedekind nếu các điều kiện

sau đồng thời được thỏa mãn:

i) D là vành Noether

ii) Mọi ideal nguyên tố khác 0 đều tối đại

iii) D là đóng nguyên

Ví dụ 1 Miền các ideal chính là miền Dedekind, thậy vậy:

Trong miền các ideal chính mọi ideal đều sinh bởi một phần tử nên hữu hạn sinh, do đó miền các ideal chính là vành Noether

Giả sử 〈𝑝〉 là ideal nguyên tố khác 0 trong miền các ideal chính X, và có

ideal 〈𝑞〉 sao cho 〈𝑝〉 ⊂ 〈𝑞〉 ⊂ 𝑋 suy ra tồn tại 𝑎 ∈ 𝑋 sao cho 𝑝 = 𝑎𝑞, vì vậy

𝑎𝑞 ∈ 〈𝑝〉 kết hợp với 〈𝑝〉 là ideal nguyên tố suy ra 𝑎 ∈ 〈𝑝〉 hoặc 𝑞 ∈ 〈𝑝〉 điều này tương đương 𝑎 = 𝑏𝑝, (𝑣ớ𝑖 𝑏 ∈ 𝑋) hoặc 𝑞 = 𝑐𝑝, (𝑣ớ𝑖 𝑐 ∈ 𝑋) Vậy

〈𝑝〉 = 〈𝑞〉 hoặc 〈𝑞〉 = 𝑋, tức là 〈𝑝〉 tối đại

Giả sử X là miền các ideal chính, K là trường các thương của X, Ta đã có

𝑋 ⊂ 𝑋𝐾, ngược lại lấy 𝛼 ∈ 𝑋𝐾, ta có 𝛼 ∈ 𝐾 nên 𝛼 = 𝑎/𝑏, với 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 và

(𝑎, 𝑏) = 1 Vì 𝛼 nguyên trên X nên tồn tại 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1 ∈ 𝑋 sao cho

�𝑎𝑏�𝑛+ 𝑎𝑛−1�𝑎𝑏�𝑛−1+ ⋯ + 𝑎1�𝑎𝑏� + 𝑎0 = 0 suy ra

Ví dụ 2 Cho K là trường sau cho ℚ ⊂ 𝐾 ⊂ ℂ, trong đó ℚ và ℂ lần lượt là

trường các số hữu tỷ và trường các số phức, [𝐾: ℚ] = 𝑛 Ta gọi 𝑂𝐾 là vành

các số nguyên của K trên ℤ, tức là

𝑂𝐾 = {𝛼 ∈ 𝐾|𝛼 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑡𝑟ê𝑛 ℤ}

Khi đó 𝑂𝐾 là miền Dedekind (xem [9], trang 194, định lý 8.1.1)

1.3.2 Định nghĩa Ideal phân

Cho D là miền nguyên, K là trường các thương của D Tập con A khác rỗng của K được gọi là ideal phân của D nếu có 3 điều kiện sau:

i) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 thì 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝐴

Giả sử 𝑃�𝑃 = 𝑃, Khi đó ta chứng minh 𝑃� là một miền nguyên con của K

chứa D Thật vậy, vì 𝑃� là ideal phân của D nên 𝑃� đóng với phép trừ Để

chứng minh 𝑃� đóng với phép nhân ta lấy 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃�, cần chứng minh 𝛼𝛽 ∈ 𝑃�

Ta có:(𝛼𝛽)𝑃 = 𝛼(𝛽𝑃) ⊂ 𝛼𝑃 ⊂ 𝑃 ⊂ 𝐷(vì 𝑃�𝑃 = 𝑃) do đó 𝛼𝛽 ∈ 𝑃�

Do D là vành Noether nên 𝑃� là D-hữu hạn sinh Do 𝑃� là miền nguyên nên 𝑃� là D-module hữu hạn sinh Do đó 𝑃� nguyên trên D, mà D đóng nguyên nên

𝑃� = 𝐷, mâu thuẫn với bổ đề 1.3.5

1.3.6 Định lý

Nếu D là miền Dedekind thì mọi ideal khác 0 và khác D của D đều phân tích được duy nhất thành tích của một hoặc hữu hạn các ideal nguyên tố Chứng minh (xem [1], trang 10, mệnh đề 1.4.9)

1.3.7 Định nghĩa cấp của ideal

Từ định lý 1.3.6 nếu D là miền Dedekind thì ∀𝐴 ⊲ 𝐷, 𝐴 ≠ 0, 𝐴 ≠ 𝐷, ta

có

𝐴 = 𝑃1𝑘1 … 𝑃𝑚𝑘𝑚 trong đó 𝑃𝑖 là các ideal nguyên tố khác nhau của D và 𝑘𝑖 ≥ 1 Đây được gọi

là dạng phân tích tiêu chuẩn của A Với mọi P là ideal nguyên tố của D ta quy

thì 𝐼 = 𝛼𝐴 và 𝐽 = 𝛽𝐴 nên 𝛽𝐼 = 𝛼𝐽, do đó 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖(𝛽𝐼) = 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖(𝛼𝐽) suy ra

𝑙𝑖′ + 𝑘𝑖 = 𝑙𝑖 + 𝑘𝑖′ hay 𝑘𝑖 − 𝑙𝑖 = 𝑘𝑖′ − 𝑙𝑖′, 𝑖 = 1, … , 𝑚, vậy ta có

𝐴 = 𝑃1𝑘1 −𝑙1… 𝑃𝑚𝑘𝑚 −𝑙 𝑚 = 𝑃1𝑘1′−𝑙1′ … 𝑃1𝑘𝑚′ −𝑙 𝑚′

Từ kết quả trên ta suy ra các ideal phân của D lập thành một nhóm đối với

phép nhân ideal, đơn vị là D

Nhận xét

• Nếu 𝐴 = 𝑃1𝑘1… 𝑃𝑚𝑘𝑚, 𝑘𝑖 ∈ ℤ thì 𝐴−1 = 𝑃1−𝑘1… 𝑃𝑚−𝑘𝑚

• Nếu 𝐴 = 𝑃1𝑘1… 𝑃𝑚𝑘𝑚, 𝑘𝑖 ∈ ℤ thì các điều kiện sau là tương đương

o A là ideal nguyên của D

o 𝑘𝑖 ≥ 0, ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑚

o 𝑜𝑟𝑑𝑃(𝐴) ≥ 0, ∀𝑃 là ideal nguyên tố

• 𝐴 = 𝐷 khi và chỉ khi 𝑜𝑟𝑑𝑃(𝐴) = 0, ∀𝑃 là ideal nguyên tố

Để tiện lợi khi đưa ra tính chất cấp của ideal trong miền Dedekind, Sau đây chúng ta sẽ xây dựng tính chất số học của các ideal trong miền Dedekind

tương tự như tính chất số học của các phần tử trên miền các ideal chính

1.3.8 Định nghĩa chia hết

Cho A, B là ideal (nguyên, phân) của D Ta nói A chia hết cho B, viết

𝐴 ⋮ 𝐵, nếu tồn tại ideal nguyên C để 𝐴 = 𝐵𝐶 Khi 𝐴 ⋮ 𝐵 ta còn nói B là ước

của A, viết 𝐵|𝐴

Sự tồn tại ideal nguyên 𝐶 như trên là duy nhất nên ta ký hiệu 𝐶 ≔ 𝐴𝐵

Nhận xét:

i) 𝐴 ⊂ 𝐵 khi và chỉ khi 𝐴 ⋮ 𝐵

ii) 𝑎 ∈ 𝐵 khi và chỉ khi 〈𝑎〉 ⋮ 𝐵

1.3.9 Định nghĩa ước chung lớn nhất

Cho A và B là ideal của D, ideal (𝐴, 𝐵) gọi là ước chung lớn nhất của A

và B nếu xãy ra hai điều kiện sau:

Nếu 𝐴 ⋮ 𝐶 và 𝐵 ⋮ 𝐶 tức là 𝐴 ⊂ 𝐶 và 𝐵 ⊂ 𝐶 suy ra (𝐴 + 𝐵) ⊂ 𝐶 hay (𝐴 + 𝐵) ⋮ 𝐶

6) N ếu 𝑃1 và 𝑃2 là các ideal nguyên t ố khác nhau thì (𝑃1, 𝑃2) = 〈1〉

Ch ứng minh 𝑃1là ideal nguyên tố nên 𝑃1 tối đại mà 𝑃1 ⊂ 𝑃1+ 𝑃2 ⊂ 𝐷 nên 𝑃1+ 𝑃2 = 𝐷 hay (𝑃1, 𝑃2) = 〈1〉 

1.3.11 Định nghĩa bội chung nhỏ nhất

Cho A và B là ideal của D, ideal [𝐴, 𝐵] gọi là bội chung nhỏ nhất của A và

B nếu xãy ra hai điều kiện sau:

Từ đó suy ra 𝐴 ⊂ 𝐵 khi và chỉ khi 𝑜𝑟𝑑𝑃(𝐴) ≥ 𝑜𝑟𝑑𝑃(𝐵), ∀𝑃 là ideal nguyên tố

2) Ta định nghĩa 𝑜𝑟𝑑𝑃(𝛼) ≔ 𝑜𝑟𝑑𝑃(〈𝛼〉), ∀𝛼 ∈ 𝐾 , khi đó ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾 ta có

𝑜𝑟𝑑𝑃(𝛼𝛽) = 𝑜𝑟𝑑𝑃(𝛼) + 𝑜𝑟𝑑𝑃(𝛽) 𝑜𝑟𝑑𝑃(𝛼 + 𝛽) ≥ min {𝑜𝑟𝑑𝑃(𝛼), 𝑜𝑟𝑑𝑃(𝛽)}

Nếu 𝑜𝑟𝑑𝑃(𝛼) ≠ 𝑜𝑟𝑑𝑃(𝛽) thì 𝑜𝑟𝑑𝑃(𝛼 + 𝛽) =min {𝑜𝑟𝑑𝑃(𝛼), 𝑜𝑟𝑑𝑃(𝛽)}

1.4.1 Độc lập và hạng

Cho S là tập khác rỗng và không chứa phần tử 0 của nhóm Abel G, S được

gọi là độc lập nếu 𝑠1, … , 𝑠𝑟 là các phần tử của S, và 𝑚1, … , 𝑚𝑟 là các số nguyên thỏa hệ thức 𝑚1𝑠1+ ⋯ + 𝑚𝑟𝑠𝑟 = 0 ta sẽ suy ra được 𝑚𝑖𝑠𝑖 = 0 ∀𝑖

Nếu S không độc lập thì hiễn nhiên ta nói S là phụ thuộc

Từ định nghĩa suy ra “Nhóm G là tổng trực tiếp của nhóm cyclic nếu và chỉ nếu nó được sinh ra bởi một tập độc lập”

Từ bổ đề Zorn’s suy ra “Mỗi tập độc lập tuyến tính của G nằm trong một

tập độc lập tuyến tính tối đại”

Nếu 𝑝 nguyên tố, G là nhóm Abel thì ta gọi 𝑟𝑝(𝐺) là lực lượng của tập độc lập tuyến tính tối đại gồm những phần tử có cấp là lũy thừa của 𝑝

Tương tự ta gọi 𝑟0(𝐺) là lực lượng của tập độc lập tuyến tính tối đại gồm những phần tử có cấp vô hạn

𝑟0(𝐺), 𝑟𝑝(𝐺) và 𝑟(𝐺) chỉ phụ thuộc vào 𝐺

1.4.3 Mệnh đề (xem [5], Bài tập 2, trang 102)

Cho 𝐺 là nhóm Abel, H là nhóm con của G, 𝑑(𝐻) là số phần tử của tập sinh t ối tiểu của 𝐻 Khi đó 𝑟(𝐺) hữu hạn khi và chỉ khi 𝑚𝑎𝑥{𝑑(𝐻)} hữu hạn (v ới H chạy khắp các nhóm con hữu hạn sinh của G), hơn nữa trong trường

h ợp này ta có 𝑟(𝐺) = 𝑚𝑎𝑥{𝑑(𝐻)}

1.4.4 Mệnh đề (xem [5], Bài tập 3, trang 102)

Cho 𝐺 là nhóm Abel hữu hạn sinh thì 𝑑(𝐺) = 𝑟(𝐺), hơn nữa 𝑑(𝐺) =

𝑟0(𝐺) khi và chỉ khi 𝐺 không xoắn

1.4.5 Mệnh đề (xem [5], Bài tập 4, trang 102)

Cho A, B là các nhóm Abel hữu hạn sinh và B không xoắn thì ta có

𝑑(𝐴⨁𝐵) = 𝑑(𝐴) + 𝑑(𝐵)

1.4.6 Mệnh đề (xem [5], Bài tập 7, trang 102)

Cho 𝐻 là nhóm con của nhóm Abel 𝐺 thì ta có

i) 𝑟0(𝐻) + 𝑟0(𝐺/𝐻) = 𝑟0(𝐺)

ii) 𝑟𝑃(𝐻) + 𝑟𝑃(𝐺/𝐻) ≥ 𝑟𝑃(𝐺)

Chương 2 HẠNG CỦA MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND

VÀ TRÊN MIỀN CÁC IDEAL CHÍNH

Trong chương này chúng tôi xây dựng và nghiên cứu các tính chất của cấp một phần tử trong module trên miền Dedekind Dựa vào tính chất cấp của phần tử chúng tôi xây dựng và nghiên cứu các tính chất của module cyclic và tựa cyclic trên miền Dedekind Trên cơ sở đó chúng tôi xây dựng khái niệm hạng của một module trên miền Dedekind và miền các ideal chính, nghiên cứu các tính chất quan trọng về hạng của module trên miền Dedekind và miền các ideal chính

Trong chương này giả sử D là miền Dedekind, 𝑅 là vành giao hoán có

đơn vị (nếu không có giả thiết gì thêm)

2.1 Cấp của phần tử

2.1.1 Định nghĩa cấp của một phần tử

Cho 𝑀 là 𝑅-module, ta định nghĩa cấp của phần tử 𝑥 ∈ 𝑀 là

𝑂(𝑥) ≔ {𝑎 ∈ 𝑅/𝑎𝑥 = 0}

Khi đó 𝑂(𝑥) là một ideal của R

Nếu 𝑂(𝑥) = 0 thì ta nói 𝑥 có cấp vô hạn

Nếu 𝑂(𝑥) ≠ 0 thì ta nói 𝑥 có cấp hữu hạn

2.1.2 Mệnh đề

Cho 𝑀 là 𝑅-module và 𝑥 ∈ 𝑀, Khi đó: 𝑂(𝑥) = 𝐴 khi và ch ỉ khi 𝑎𝑥 =

0, ∀𝑎 ∈ 𝐴 và nếu 𝑏𝑥 = 0 thì b ∈ 𝐴

Chứng minh.Chiều thuận của mệnh đề là hiển nhiên

Đảo lại, từ giả thiết 𝑎𝑥 = 0, ∀𝑎 ∈ 𝐴 suy ra 𝐴 ⊂ O(𝑥), Mặt khác ∀𝑏 ∈𝑂(𝑥), thì theo định nghĩa của 𝑂(𝑥) ta có 𝑏𝑥 = 0, từ đây theo giả thiết của

mệnh đề thì 𝑏 ∈ 𝐴, do đó O(x) ⊂ 𝐴, vậy 𝑂(𝑥) = 𝐴

2.1.3 Mệnh đề

Cho M là D – module, khi đó ta có các tính chất sau

i) N ếu, 𝑂(𝑥) = 𝐴 thì 𝑂(𝑏𝑥) = 𝐴+〈𝑏〉𝐴 , ∀𝑏 ∈ 𝐷

ii) N ếu 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀, 𝑂(𝑥) = 𝐴, 𝑂(𝑦) = 𝐵, (𝐴, 𝐵) = 1 thì 𝑂(𝑥 + 𝑦) = 𝐴𝐵 iii) N ếu trong M các phần tử 𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛 có c ấp là 𝐴1, 𝐴2, … 𝐴𝑛 thì M có

iii) Ta chứng minh cho trường hợp 𝑛 = 2 Xãy ra hai trường hợp sau

Trường hợp 1 Tồn tại i sao cho 𝐴𝑖 = 0

Khi đó [𝐴1, 𝐴2] = 0, ta chọn 𝑥 = 𝑥𝑖

Trường hợp 2 𝐴𝑖 ≠ 0, ∀𝑖 ∈ {1,2}

Giả sử 𝐴1 = 𝑃1𝑘1… 𝑃𝑚𝑘𝑚, 𝐴2 = 𝑃1ℎ1… 𝑃𝑚ℎ𝑚 Khi đó [𝐴1, 𝐴2] = 𝑃1𝑙1… 𝑃𝑚𝑙𝑚, với 𝑙𝑖 = max{𝑘𝑖, ℎ𝑖} , 𝑖 ∈ {1, … , 𝑚}

Khi đó với mỗi i cố định (𝑖 ∈ {1, … , 𝑚}), không mất tính tổng quát, giả

sử 𝑙𝑖 = 𝑘𝑖 Khi đó với mỗi 𝑗 ∈ {1, … , 𝑚}\{𝑖}, ta lấy cố định phần tử 𝑎𝑗 ∈

𝑃𝑗𝑘𝑗\𝑃𝑖𝑘𝑖 Đặt 𝑦𝑖 = (𝑎1 𝑎2… 𝑎𝑖−1 𝑎𝑖+1… 𝑎𝑚)𝑥1 ∈ 𝑀 Ta chứng minh 𝑂(𝑦𝑖) = 𝑃𝑖𝑘𝑖

Ta có (𝑎1 𝑎2… 𝑎𝑖−1 𝑎𝑖+1… 𝑎𝑚) ∈ 𝑃𝑖𝑘𝑖 �𝑃1𝑘1 … 𝑃𝑖−1𝑘𝑖−1 𝑃𝑖+1𝑘𝑖+1 … 𝑃𝑚𝑘𝑚 � = 𝐴1 ,

∀𝑎 ∈ 𝑃𝑖𝑘𝑖, nên 𝑎𝑦𝑖 = 𝑎(𝑎1 𝑎2… 𝑎𝑖−1 𝑎𝑖+1… 𝑎𝑚)𝑥1 = 0, ∀𝑎 ∈ 𝑃𝑖𝑘𝑖

Nếu 𝑏𝑦𝑖 = 0 thì 𝑏(𝑎1 𝑎2… 𝑎𝑖−1 𝑎𝑖+1… 𝑎𝑚) ∈ 𝐴1, do đó 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 (𝑏𝑎1 𝑎2… 𝑎𝑖−1 𝑎𝑖+1… 𝑎𝑚) ≥ 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 𝐴1 = 𝑘𝑖, vì 𝑎𝑗 ∉ 𝑃𝑖, ∀𝑗 ≠ 𝑖 nên suy ra 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 (𝑏) ≥ 𝑘𝑖 = 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 �𝑃𝑖𝑘𝑖� Mặt khác ∀𝑃 ≠ 𝑃𝑖, thì 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝑏) ≥ 0 =𝑜𝑟𝑑𝑃 �𝑃𝑖𝑘𝑖� Vậy ta có 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝑏) ≥ 𝑜𝑟𝑑𝑃 �𝑃𝑖𝑘𝑖�, ∀𝑃 nên 𝑏 ∈ 𝑃𝑖𝑘𝑖

Vậy 𝑂(𝑦𝑖) = 𝑃𝑖𝑘𝑖 = 𝑃𝑖𝑙𝑖

Đặt 𝑦 = 𝑦1+ 𝑦2+ ⋯ + 𝑦𝑚 Theo (ii) thì 𝑂(𝑦) = 𝑃1𝑙1… 𝑃𝑚𝑙𝑚 = [𝐴1𝐴2]

Trong trường hợp n tổng quát, ta chứng minh (iii) bằng quy nạp 

2.1.4 Định nghĩa thành phần P-nguyên sơ

Cho D – module M và P là ideal nguyên tố của D, ta định nghĩa thành phần P-nguyên sơ của M là tập 𝑀𝑃 = {𝑥 ∈ 𝑀|𝑥 có cấp là lũy thừa của 𝑃} Khi đó 𝑀𝑃 là module con của M, thật vậy:

Ta có 0 ∈ 𝑀𝑃

Xét 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑀𝑃, với 𝑂(𝑥1) = 𝑃𝑟, 𝑂(𝑥2) = 𝑃𝑠, đặt 𝑘 = max{𝑟, 𝑠} Khi đó

∀𝑎 ∈ 𝑃𝑘 ta có 𝑎(𝑥1+ 𝑥2) = 𝑎𝑥1+ 𝑎𝑥2 = 0 suy ra 𝑎 ∈ 𝑂(𝑥1+ 𝑥2) nên

𝑃𝑘 ⊂ 𝑂(𝑥1+ 𝑥2) do đó 𝑂(𝑥1+ 𝑥2) = 𝑃𝑙, với 0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑘, vậy 𝑥1+ 𝑥2 ∈ 𝑀𝑃 Xét 𝑎 ∈ 𝐷, 𝑥 ∈ 𝑀𝑃, 𝑂(𝑥) = 𝑃𝑡, khi đó ∀𝑏 ∈ 𝑃𝑡 ta có 𝑏(𝑎𝑥) = 𝑎(𝑏𝑥) =

0 suy ra 𝑏 ∈ 𝑂(𝑎𝑥) nên 𝑃𝑡 ⊂ 𝑂(𝑎𝑥) do đó 𝑂(𝑎𝑥) = 𝑃𝑢, với 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝑡, vậy

2.1.5 Định nghĩa module P-nguyên sơ

D-module M được gọi là D-module P-nguyên sơ nếu 𝑀 = 𝑀𝑃, nói cách

khác M được gọi là D-module P-nguyên sơ nếu mỗi phần tử của M đều có cấp

là lũy thừa của P

2.1.6 Định nghĩa phần xoắn

Cho D-module M, ta gọi tập 𝑀𝑇 = {𝑥 ∈ 𝑀|𝑥 có cấp hữu hạn} là phần

xoắn của M Khi đó 𝑀𝑇 là module con của M, thật vậy:

Xét 𝑎 ∈ 𝐷, 𝑥 ∈ 𝑀𝑇, vì 𝑂(𝑥) ≠ 0, nên tồn tại 𝑏 ∈ 𝑂(𝑥)\{0} khi đó ta có 𝑏(𝑎𝑥) = 𝑎(𝑏𝑥) = 0 suy ra 𝑏 ∈ 𝑂(𝑎𝑥) nên 𝑂(𝑎𝑥) ≠ 0 hay 𝑎𝑥 ∈ 𝑀𝑇 

2.1.7 Định nghĩa module xoắn và không xoắn

M được gọi là module xoắn nếu 𝑀 = 𝑀𝑇 Nói cách khác M là module xoắn nếu mọi phần tử của M đều có cấp hữu hạn

M được gọi là module không xoắn nếu 𝑀𝑇 = 0 Nói cách khác M là

module không xoắn nếu mọi phần tử của M đều có cấp vô hạn

2.1.8 Mệnh đề

Cho D-module M và 𝑀𝑇 là phần xoắn của M Khi đó module thương

𝑀/𝑀𝑇 là D- module không xoắn

Ch ứng minh Giả sử 𝑀/𝑀𝑇 không là module không xoắn, khi đó tồn tại 𝑥̅ = 𝑥 + 𝑀𝑇 ∈ 𝑀/𝑀𝑇 sao cho 𝑥̅ ≠ 0� và 𝑂(𝑥̅) ≠ 0 tức là tồn tại 𝑎 ∈ 𝑂(𝑥̅)\{0} suy ra 𝑎𝑥̅ = 0� hay 𝑎𝑥 ∈ 𝑀𝑇 do đó 𝑂(𝑎𝑥) ≠ 0 nên tồn tại 𝑏 ∈ 𝑂(𝑎𝑥)\{0} khi đó 𝑏𝑎𝑥 = 0 tức là 𝑎𝑏 ∈ 𝑂(𝑥), 𝑎𝑏 ≠ 0 vậy 𝑥 ∈ 𝑀𝑇 hay 𝑥̅ = 0� điều này mâu thuẩn với cách chọn x

Với mỗi 𝑖 = 1, … , 𝑛 đặt 𝐴𝑖 = 𝑃1𝑒1… 𝑃𝑖−1𝑒𝑖−1 𝑃𝑖+1𝑒𝑖+1… 𝑃𝑛𝑒𝑛 Khi đó

(𝐴1, … , 𝐴𝑛) = 1 nên tồn tại 𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑛 sao cho 𝑎1+ ⋯ + 𝑎𝑛 = 1 Cho nên

𝑥 = (𝑎1+ ⋯ + 𝑎𝑛)𝑥 = � 𝑎𝑖𝑥

𝑛 𝑖=1

= � 𝑥𝑖 𝑛

𝑖=1

với 𝑥𝑖 = 𝑎𝑖𝑥 là phần tử thuộc 𝑀𝑃𝑖 Thật vậy, nếu 𝑏 ∈ 𝑃𝑖𝑒𝑖 thì 𝑏𝑎𝑖 ∈ 𝑂(𝑥) do

đó 𝑏𝑥𝑖 = 𝑏𝑎𝑖𝑥 = 0 hay 𝑏 ∈ 𝑂(𝑥𝑖) Vậy 𝑃𝑖𝑒𝑖 ⊂ 𝑂(𝑥𝑖) nên 𝑂(𝑥𝑖) = 𝑃𝑖𝑡, với

0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑒𝑖, do đó ta có 𝑥𝑖 ∈ 𝑀𝑃𝑖, ∀𝑖 = 1, … , 𝑛 Từ đó ta có

𝑥 = � 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1

∈ � 𝑀𝑃𝑖𝑛

nên ta có thể viết 𝑥 = 𝑥1+ ⋯ + 𝑥𝑛 với 𝑥𝑖 ∈ 𝑀𝑄𝑖, 𝑂(𝑥𝑖) = 𝑄𝑖𝑚𝑖 với 𝑄𝑖 là các

ideal nguyên tố khác nhau Ta có 𝑂(𝑥) = 𝑂(𝑥1+ ⋯ + 𝑥𝑛) = 𝑄1𝑚1… 𝑄𝑛𝑚𝑛 Vì

�𝑄1𝑚1… 𝑄𝑛𝑚𝑛, 𝑃𝑚� = 1 nên tồn tại 𝑎 ∈ 𝑄1𝑚1… 𝑄𝑛𝑚𝑛, và 𝑏 ∈ 𝑃𝑚 sao cho

2.2 Module cyclic và tựa cyclic trên miền Dedekind

2.2.1 Định nghĩa module cyclic

Cho 𝑅 là vành bất kỳ 𝑅 -module 𝑀 được gọi là module cyclic nếu 𝑀 được sinh bởi một phần tử, tức là 𝑀 = 〈𝑥〉 = 𝑅𝑥 = {𝑟𝑥|𝑟 ∈ 𝑅} với 𝑥 là

2.2.3 Định nghĩa cấp của module cyclic

M là D- module cyclic, cấp của M là cấp của phần tử sinh ra M

Nếu 𝑥 có cấp vô hạn Khi đó module cyclic sinh bởi 𝑥, 〈𝑥〉 = 𝐷𝑥, gọi là module cyclic cấp vô hạn

Nếu 𝑥 có cấp hữu hạn Khi đó module cyclic sinh bởi 𝑥, 〈𝑥〉 = 𝐷𝑥 gọi là module cyclic cấp hữu hạn

2.2.4 Mệnh đề

Cho M là D-module cyclic c ấp hữu hạn 𝐴 Nếu N là module con của M và

N có c ấp là 𝐴 thì 𝑀 = 𝑁

Ch ứng minh Giả sử 𝑀 = 〈𝑥〉 và 𝑁 = 〈𝑦〉 Vì N là module con của M nên tồn

tại 𝑏 ∈ 𝐷 sao cho 𝑦 = 𝑏𝑥 Khi đó theo mệnh đề 2.1.3 ta có

𝐴 = 𝑂(𝑦) = 𝑂(𝑏𝑥) = 𝑂(𝑥) + 〈𝑏〉 =𝑂(𝑥) 𝐴 + 〈𝑏〉𝐴

Do đó 𝐴 + 〈𝑏〉 = 𝐷, nên tồn tại 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑐 ∈ 𝐷 sao cho 𝑎 + 𝑐𝑏 = 1 Khi đó

2.2.5 Mệnh đề

Module con của module cyclic cấp hữu hạn là module cyclic cấp hữu hạn

Ch ứng minh Giả sử 𝑀 = 〈𝑥〉, 𝑂(𝑥) ≠ 0, và N là module con của M, ta chứng minh N là module cyclic cấp hữu hạn

Vì N là module con c ủa M tồn tại 𝑏 ∈ 𝐷 sao cho 𝑏𝑥 ∈ 𝑁, đặt

� = 𝐻 𝑘𝑒𝑟𝜑� ≅ 𝑁

Mặt khác H và 𝑂(𝑥) là ideal nguyên của D nên theo bổ đề 1.3.15 tồn tại

𝛼 ∈ 𝐻 sao cho 𝐻 = 〈𝛼〉 + 𝐻 𝑂(𝑥) Do đó 𝐻/𝑂(𝑥) là D-module sinh bởi

phần tử 𝛼 + 𝑂(𝑥) Điều này suy ra N là D-module cyclic Giả sử 𝑁 = 〈𝑦〉, khi

đó tồn tại 𝑐 ∈ 𝐷 sao cho 𝑦 = 𝑐𝑥 Mà 𝑂(𝑥) ≠ 0 nên tồn tại 𝑑 ∈ 𝐷\{0} sao cho

𝑑𝑥 = 0, khi đó 𝑑𝑦 = 𝑑𝑐𝑥 = 𝑐𝑑𝑥 = 0 suy ra 𝑑 ∈ 𝑂(𝑦) nên 𝑂(𝑦) ≠ 0

Trong miền ideal chính, module con của module cyclic cấp vô hạn là module cyclic Tuy nhiên, trong miền Dedekind kết quả này không còn đúng nữa, tức là module con của module cyclic cấp vô hạn trên miền Dedekind có thể không là module cyclic Ví dụ sau sẽ cho ta thấy rõ điều này

2.2.6 Ví dụ

Xét vành 𝐷 = ℤ + ℤ√−5 và ideal 𝐼 = 〈3,1 + √−5〉 Khi đó D là miền Dedekind và D là D- module cyclic cấp vô hạn, có module con I không là module cyclic

Chứng minh Trước tiên ta chứng minh D là miền Dedekind bằng cách chỉ ra

𝐷 = 𝑂ℚ�√−5�, với 𝑂ℚ�√−5� là vành các số nguyên của ℚ�√−5�

Với mọi phần tử 𝑚 + 𝑛√−5 ∈ ℤ + ℤ√−5, thì 𝑚 + 𝑛√−5 là nghiệm của

đa thức đơn khởi 𝑥2− 2𝑚𝑥 + 𝑚2+ 5𝑛2 ∈ ℤ[𝑥], cho nên 𝑚 + 𝑛√−5 ∈

vô lý) cho nên 2𝑏 = 2𝑣 + 1 với 𝑣 ∈ ℤ, dẫn đến điều vô lý:

𝑞 = 𝑎2+ 5𝑏2 = 𝑢2+ 𝑢 + 5𝑣2+ 5𝑣 +32 ∈ ℤ

Do đó ta có 𝑎 ∈ ℤ, nên 5𝑏2 = 𝑞 − 𝑎2 ∈ ℤ vì thế, 𝑏 ∈ ℤ Như vậy

𝛼 = 𝑎 + 𝑏√−5 ∈ ℤ + ℤ√−5 = 𝐷

Vậy ta có 𝐷 = 𝑂ℚ�√−5�

Tiếp theo ta thấy D là D-module cyclic cấp vô hạn (vì 𝐷 = 〈1〉 và

𝑂(1) = 0), nhưng I = 〈3,1 + √−5〉 không là ideal chính, thật vậy:

Xét 𝛼 = 𝑎 + 𝑏√−5 ∈ 𝐷, đặt 𝑁(𝛼) = 𝑎2+ 5𝑏2 Khi đó ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐷 ta có 𝑁(𝛼𝛽) = 𝑁(𝛼)(𝛽)

Giả sử I là ideal chính sinh bởi phần tử 𝑑 = 𝑎0+ 𝑏0√−5 ∈ 𝐷

Vì 3 ∈ 𝐼 = 〈𝑑〉 nên tồn tại 𝑥 ∈ 𝐷 sao cho 3 = 𝑥𝑑, khi đó 9 = 𝑁(3) =𝑁(𝑥𝑑) = 𝑁(𝑥)𝑁(𝑑), suy ra 𝑁(𝑑)|9

Vì 1 + √−5 ∈ 𝐼 = 〈𝑑〉 nên tồn tại 𝑦 ∈ 𝐷 sao cho 1 + √−5 = 𝑦𝑑, khi đó

6 = 𝑁�1 + √−5� = 𝑁(𝑦𝑑) = 𝑁(𝑦)𝑁(𝑑), suy ra 𝑁(𝑑)|6

Vậy ta có 𝑁(𝑑) = 1 hoặc 𝑁(𝑑) = 3

Nếu 𝑁(𝑑) = 3 thì 𝑎02+ 5𝑏02 = 3 điều này không thể xảy ra vì 𝑎0, 𝑏0 ∈ ℤ

Nếu 𝑁(𝑑) = 1 hay 𝑎02+ 5𝑏02 = 1, suy ra 𝑎02 = 1 và 𝑏02 = 0, nên 𝑑 = ±1 Suy ra 〈3,1 + √−5〉 = 〈1〉 = 𝐷, do đó tồn tại các số nguyên a, b, c, d sao cho

1 = 3�𝑎 + 𝑏√−5� + �1 + √−5��𝑐 + 𝑑√−5�

Suy ra

�3𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 0 (2)3𝑎 + 𝑐 − 5𝑑 = 1 (1)

Từ hệ này suy ra 3(𝑎 − 𝑏) − 6𝑑 = 1, vô lý

2.2.7 Định nghĩa module tựa cyclic

Cho 𝐷 là miền Dedekind, 𝑄(𝐷) là trường các thương của 𝐷, 𝑃 là ideal nguyên tố của 𝐷, đặt

𝐷(𝑃∞) = �𝑥 ∈ 𝑄(𝐷) 𝐷� �𝑥 có cấp là lũy thừa của 𝑃�

𝐷(𝑃∞) chính là thành phần P-nguyên sơ của D-module 𝑄(𝐷)/𝐷

Ta gọi 𝐷(𝑃∞) là module tựa cyclic kiểu 𝑃∞ của D

Cấu trúc của module tựa cyclic được thể hiện trong mệnh đề sau đây:

Thật vậy, lấy 𝑥 + 𝐷 ∈ 𝐷(𝑃∞), khi đó tồn tại số nguyên dương n sao cho

𝑃𝑛𝑥 ⊂ 𝐷, tức là 𝑥 ∈ 𝑃−𝑛, hay 𝑥 + 𝐷 ∈ 𝑃−𝑛/𝐷 Ngược lại 𝑥 + 𝐷 ∈ 𝑃−𝑛/𝐷 thì 𝑃𝑛𝑥 ⊂ 𝐷 hay 𝑥 + 𝐷 ∈ 𝐷(𝑃∞)

Tiếp theo ta chứng minh 𝑃−𝑛/𝐷 là module cyclic Áp dụng bổ đề 1.3.13 cho hai ideal 𝑃−𝑛 và 𝑃𝑛 thì tồn tại 𝛼 ∈ 𝑃−𝑛 sao cho

𝑃−𝑛 = 〈𝛼〉 + 𝑃𝑛 𝑃−𝑛 = 〈𝛼〉 + 𝐷 Suy ra

𝑃−𝑛

𝐷

� = 〈𝛼〉 + 𝐷 𝐷� ≅ 〈𝛼〉 〈𝛼〉 ∩ 𝐷�

Do đó, 𝑃−𝑛/𝐷 là module cyclic Giả sử 𝑃−𝑛/𝐷 = 〈𝑎���〉, với 𝑎𝑛 ��� = 𝑎𝑛 𝑛 + 𝐷,

𝑎𝑛 ∈ 𝑃−𝑛 Khi đó 𝐷(𝑃∞) sinh bởi tập đếm được các phần tử 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛, … khác 0 và 𝑃𝑎1 = 0, 〈𝑎𝑖〉 = 𝑃〈𝑎𝑖+1〉, với 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, … 

2.2.9 Mệnh đề

Module t ựa cyclic 𝐷(𝑃∞) có duy nhất một module con cấp 𝑃𝑛 v ới

𝑛 = 1,2, … và module con này là module cyclic Mọi module con thật sự của

𝐷(𝑃∞) đều là module cyclic cấp hữu hạn

Ch ứng minh Giả sử 𝐷(𝑃∞) sinh bởi tập đếm được các phần tử 𝑎1, … , 𝑎𝑛, …

và 𝑁 là module con thật sự của 𝐷(𝑃∞) Vì 𝐷(𝑃∞) ≠ 𝑁 nên tồn tại số nguyên

dương i sao cho 𝑎i ∉ 𝑁 Khi đó, 𝑎k ∉ 𝑁, ∀𝑘 ≥ 𝑖 Gọi n là số nguyên dương lớn nhất để 𝑎n ∈ 𝑁

Khi đó 𝑁 = 〈𝑎n〉, thật vậy vì 𝑎n ∈ 𝑁 nên 〈𝑎n〉 ⊂ 𝑁, ngược lại lấy

𝑥 ∈ 𝑁\{0}, vì 𝑎𝑖 ∈ 𝑃𝑎𝑖+1, ∀𝑖 ≥ 1 nên tồn tại số nguyên dương t sao cho

𝑥 ∈ 〈𝑎𝑡〉, hơn nữa

0 ⊂ 〈𝑎1〉 ⊂ ⋯ ⊂ 〈𝑎𝑛〉 ⊂ ⋯

gọi k là số nhỏ nhất để 𝑥 ∈ 〈𝑎𝑘〉 Khi đó, 𝑥 = 𝑚𝑎��� và (〈𝑚〉, 𝑃) = 1 Suy ra 𝑘

tồn tại 𝑎 ∈ 𝐷, 𝑏 ∈ 𝑃𝑘 sao cho 𝑎𝑚 + 𝑏 = 1, cho nên

𝑎𝑘 = (𝑎𝑚 + 𝑏)𝑎𝑘 = 𝑎𝑚𝑎𝑘 = 𝑎𝑥 ∈ 𝑁

Do đó 𝑘 ≤ 𝑛, suy ra 𝑎𝑘 ∈ 〈𝑎𝑛〉 hay 𝑥 ∈ 〈𝑎𝑛〉, vậy 𝑁 ⊂ 〈an〉

Như vậy các module con của 𝐷(𝑃∞) là

0 ⊂ 〈𝑎1〉 ⊂ ⋯ ⊂ 〈𝑎𝑛〉 ⊂ ⋯ ⊂ 𝐷(𝑃∞)

2.3 Khái niệm hạng của module trên miền Dedekind

Trước khi định nghĩa hạng của module trên miền Dedekind ta có một số nhận xét quan trọng như sau

Ch ứng minh Vì 𝑀 là R-module nên ta chỉ cần chứng minh phép nhân ngoài

như trên là hợp lý, thật vậy giả sử 𝑎��� = 𝑎1 ��� tức là 𝑎2 1 − 𝑎2 ∈ 𝑃 suy ra (𝑎1 −

𝑎2)𝑚 = 0 hay 𝑎1𝑚 = 𝑎2𝑚

ii) Đặt 𝑀[𝑃] = {𝑥 ∈ 𝑀|𝑃𝑥 = 0} thì 𝑀[𝑃] là module con của M, dễ thấy 𝑃(𝑀[𝑃]) = 0 nên theo tính chất i) thì 𝑀[𝑃] là không gian vectơ trên 𝑅/𝑃 với phép nhân ngoài

vi) Cho A,B là R-module thì

(𝐴⨁𝐵)

𝑃(𝐴⨁𝐵)

� ≅ �𝐴 𝑃𝐴� � ⨁ �𝐵 𝑃𝐵� � Chứng minh Xét ánh xạ

Cho R là mi ền nguyên, M là module trên R Tập con 𝑋 của M được gọi là

h ệ sinh của M nếu ∀𝑥 ∈ 𝑀 thì tồn tại các phần tử 𝑥1, … , 𝑥𝑛 thuộc X, và

𝑎1, … , 𝑎𝑛 là các phần tử thuộc R sao cho 𝑥 = 𝑎1𝑥1+ ⋯ 𝑎𝑛𝑥𝑛

Tập S không độc lập ta nói S phụ thuộc

2.3.4 Định nghĩa hệ độc lập tối đại

Cho 𝑅 là miền nguyên, 𝑀 là module trên 𝑅 Tập 𝑆 được gọi là hệ độc lập

tối đại trong 𝑀 nếu 𝑆 là độc lập và 𝑆 ∪ {𝑚} là phụ thuộc ∀𝑚 ∈ 𝑀

2.3.5 Mệnh đề

Cho R là miền nguyên, M là module trên R M là tổng trực tiếp của các module cyclic nếu và chỉ nếu nó được sinh ra bởi một tập độc lập

Chứng minh Giả sử