MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN TỈ LỆ THỨC VÀ CÁC GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC Khi giải cỏc bài toỏn chỳng ta đó khụng ớt lần mắc phải sai lầm đỏng tiếc.. Stoliar cũn nhấn mạnh: “ Khụ
Trang 1
MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN TỈ LỆ THỨC
VÀ CÁC GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC
Khi giải cỏc bài toỏn chỳng ta đó khụng ớt lần mắc phải sai lầm đỏng tiếc Trong chuyờn mục “ Sai ở đõu? Sửa cho đỳng”, chỳng ta chứng kiến rất nhiều lời giải sai lầm Nhà sư phạm toỏn nổi tiếng G.Polya đó núi: “ Con người phải biết học những sai lầm và thiếu sút của mỡnh” A.A Stoliar cũn nhấn mạnh: “ Khụng được tiếc thời gian để phõn tớch trờn giờ học cỏc sai lầm của học sinh”, cũn theo J.A.Komenxkee thỡ:“Bất kỳ một sai lầm nào cũng cú thể làm cho học sinh kộm đi nếu như giỏo viờn khụng chỳ ý ngay đến sai lầm đú, và hướng dẫn học sinh nhận ra, sữa chữa, khắc phục sai lầm”.
Trong quỏ trỡnh quản lý và trực tiếp bồi dỡng HSG môn toán lớp 7, dự giờ
GV, tham khảo đề thi, đáp án của một số huyện và cỏc tỉnh Tôi thấy rằng học sinh giải sai rất nhiều về dạng toán tỉ lệ thức, ngay cả đỏp ỏn đề thi của một số trờng về bài toán tỉ lệ thức đa ra cũng cha đúng Chớnh vỡ
những lý do trờn nờn tụi đó đưa ra “Những sai lầm thường gặp khi giải bài toỏn về tỉ lệ thức” nhằm giỳp học sinh cũng như cỏc bạn đồng nghiệp tham khảo và gúp ý để trong quỏ
trỡnh giải những bài toỏn về tỉ lệ thức, cỏc em trỏnh được những sai lầm đỏng tiếc xẩy ra
Những số liệu điều tra,cỏc sai lầm thường gặp khi học sinh làm dạng toỏn
về tỉ lệ thức, phõn tớch sai lầm, đưa ra lời giải đỳng :
Khi xem xột cỏc sai lầm của học sinh, ta cú thể sắp xếp theo từng chủ đề kiến thức hoặc
từ phương diện toỏn học
1 Những số liệu điều tra,cỏc sai lầm thường gặp khi học sinh làm dạng toỏn
về tỉ lệ thức, phõn tớch nguyờn nhõn sai lầm, đưa ra lời giải đỳng :
1.1 Sai lầm khụng chỳ ý điều kiện tồn tại cỏc biểu thức:
Bài 1: Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu trả lời A, B, C, D.
Nếu
d
c
b
a
= thì: A ad = bc; B
b
a d b
c a
= +
+
; C
d
b c
a
= ; D Cả ba câu trả lời trên đều đúng
( Đề thi HSG Toán 7 Huyện Thạch Hà Năm học 2003 -2004)
* Năm học 2009 -2010 khi dạy bồi dỡng học sinh giỏi phần tỉ lệ thức tôi
đã đa ra bài tập trờn và yờu cầu HS làm Qua kiểm tra HS tụi thấy 80% học sinh chọn đáp án D.( Ta thấy rõ ràng là đáp án D là áp án sai)
Phõn tớch sai lầm: Nguyờn nhõn sai lầm là HS khụng quan tõm đến điều kiện để cỏc biểu thức tồn tại
Ta thấy đáp án B,C,D là sai vì thiếu điều kiện để các biểu thức tồn tại
Đáp án B là sai vì nếu b + d = 0 thì không tồn tại
b
a d b
c
+
+
, Hay
9
7 9
7
−
−
= nhng không thể suy ra đợc:
9
7 9
7
−
−
) 9 ( 9
) 7 ( 7
− +
− + Vì biểu thức 97++((−−97)) không xác định
Đáp án C là sai vì nếu c = 0 thì không tồn tại
d
b c
a =
Đáp án D là đáp án sai vì khẳng định cả 3 đáp án đều đúng
Trang 2Đáp án đúng là: Đáp án A.
1.2 Sai lầm khi ỏp dụng tượng tự :
Bài 1: ( Bài 62 trang 31 - SGK NXBGD - 2003 ) Tìm x và y biết :
2 5
x = y và xy=90.
Lời giải sai lầm:
2 5
x = y =
5 2
xy
=
10
90
= 9 Suy ra x = 2 9 = 18
y = 5 9 = 45
Bài 2: Tỡm cỏc số x,y,z biết rằng
2 3 4
x = =y z và x.y.z= 648
Lời giải sai lầm: . 648 27
2 3 4 2.3.4 24
Suy ra a =54, b = 81, c = 108
* Với hai bài toán trên qua điều tra giờ luyện tập của lớp 7A năm học
2009 - 2010 tôi thấy có tới 70% học sinh có lời giải nh trên
Phõn tớch sai lầm: Sai lầm của học sinh là ỏp dụng .
.
a = =b a b hay .
.
a = = =b c a b cvỡ khụng nắm vững tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau, khụng cú tớch chất nào như vậy, nờn x, y tỡm được khụng thỏa món x.y = 90
Lời giải đỳng:
+ Cách 1: Đặt
2 5
x = y = k suy ra x = 2k; y = 5k
Mà x y = 90 ⇒ 2k 5k = 90 ⇒ 10k2 = 90 ⇒ k2 = 9 ⇒ k = ± 3
Với k = 3 ⇒ x = 6; y =15
Với k = - 3 ⇒ x = - 6; y = -15
Vậy (x,y) = (6 ; 15) ; (-6 ; -15)
+ Cỏch 2 : Cỏch 2 sử dụng tớch chất dạy tỷ số bằng nhau :
Từ giả thiết : x y = 90 ⇒ x ≠ 0
Nhõn cả hai vế của
2 5
x = y với x ta được : 18
5
90 5 2
2
=
=
= xy
x ⇒ x2 = 36 ⇒ x = ± 6 Với x = 6 ⇒ y = 15
Với x = -6 ⇒ y = -15
Vậy (x,y) = (6 ; 15) ; (-6 ; -15)
Bài tập 2: Lời giải đỳng: cỏch giải hoàn toàn giống bài tập 1
Bài 3: Tìm x , y biết : a, 7x = 7y; b; 0x = 0y
Có một số HS đã giải : a, Ta có 7x = 7y suy ra x = y ;
Trang 3b, Từ 0x = 0y suy ra x = y
Phõn tớch sai lầm: Từ
y x
7
7 = suy ra x = y là đúng Nhng từ x0 = 0y suy ra x = y là sai ( trờng hợp này x có thể khác y)
Lời giải đỳng là : Từ
y x
0
0 = suy ra với mọi giá trị x ≠ 0, y ≠ 0
1.3 Sai lầm do khụng quan tõm số 0 ở tử :
Bài 1 : Tìm x , y biết:
x
y x y
x
6
1 3 2 7
2 3 5
1
(1)
*Với bài toán trên qua chấm thi HSG trờng tôi thấy 60% học sinh có lời giải
nh sau:
Lời giải sai lầm:
áp dụng tính chất dạy tỷ số bằng nhau ta có :
+
− + +
=
− +
=
−
=
+
7 5
) 2 3 ( ) 1 2 ( 6
1 3 2 7
2 3 5
1
x
y x y
x
12
1 3
2x+ y−
( **) ⇒ 6x = 12 ⇒ x
= 2
Từ x= 2 ⇒ y = 3
Phõn tớch sai lầm: Lời giải trên là sai vì khi biến đổi đến đến (* *) học sinh thấy trong dóy tỷ số bằng nhau, cú cả hai tỷ số cú tử giống nhau, nờn kết luận mẫubằng nhau, rồi suy ra cỏc giỏ trị x, y là chưa đỳng.( cụ thể như vớ dụ 3 b đó minh họa rất rừ điều ta khẳng định là sai , vỡ nếu tử bằng 0 thỡ mẫu cú thể khỏc nhau mà hai tỉ số vẫn bằng nhau vỡ cựng bằng 0 và ta cú thể khẳng định mẫu của hai tỷ số cú thể bằng nhau khi nào) Rừ ràng ta cũn
cú với x =
2
1
−
và y =
3
2
thỏa món
x
y x y
x
6
1 3 2 7
2 3 5
1
Lời giải đỳng : áp dụng tính chất dạy tỷ số bằng nhau ta có :
+
− + +
=
− +
=
−
=
+
7 5
) 2 3 ( ) 1 2 ( 6
1 3 2 7
2 3 5
1
x
y x y
x
12
1 3
2x+ y−
( **) +) Với 2x + 3y - 1 ≠ 0 từ (**) suy ra :
6x = 12 ⇒x= 2, từ x = 2 thay vào (1) ta đợc y
= 3
7
2 3 5
1 2
=
−
=
x
⇒ x =
2
1
−
; y =
3 2
Vậy các giá trị x,y tìm đợc t/ m đề bài là : x = 2 , y =3; và x =
2
1
−
; y =
3
2
Bài 2: Cho dãy tỷ số bằng nhau:
d c b
a
+ + = a c d
b
+ + = a b d
c
+ + = b c a
d
+ + (4) Tính giá trị của B =
d c
b a
+
+ +
d a
c b
+
+ +
b a
d c
+
+ +
c b
a d
+ +
Trang 4*Với bài toán trên qua kiểm tra vở bài tập của học sinh, tôi thấy 70% học
sinh có lời giải nh sau:
Lời giải sai lầm: Từ (4) suy ra :
d c b
a
+
b
+
c
+ + + 1 = b c a
d
+
Hay
d c b
d c b a
+ +
+ + +
=
d c a
d c b a
+ +
+ + +
=
d b a
d c b a
+ +
+ + +
=
a c b
d c b a
+ +
+ + +
(****)
⇒ b+ c + d = a + c+ d = a + b+ d = b+ c+ a ⇒ a = b = c = d nên B = 4
Phõn tớch sai lầm: Lời giải trên là sai vì sau khi biến đổi đến biểu thức (****)
ta thấy tử của các tỷ số trên giống nhau nên suy ra mẫu bằng nhau và từ
đó suy ra
B = 4 là thiếu Vì ngoài B = 4 thì B còn có giá trị bằng - 4
Lời giải đỳng :
Từ giả thiết:
d c b
a
+ + = a c d
b
+ + = a b d
c
+ + = b c a
d
+ + Suy ra
d c b
a
+
b
+
c
+ + + 1 = b c a
d
+
Hay
d c b
d c b a
+ +
+ + +
=
d c a
d c b a
+ +
+ + +
=
d b a
d c b a
+ +
+ + +
=
a c b
d c b a
+ +
+ + +
(****)
+ Với a + b + c+ d ≠ 0 ⇒ b+ c + d = a + c+ d = a + b+ d = b+ c+ a
⇒ a = b = c = d
⇒ B =
d c
b a
+
+
+
d a
c b
+
+ +
b a
d c
+
+ +
c b
a d
+
+ = 4
+ Với a + b + c+ d = 0 thì: a+ b = -(c + d); b + c = -( a + d )
⇒ B =
d c
b a
+
+
+
d a
c b
+
+ +
b a
d c
+
+ +
c b
a d
+
+ = - 4 Cần lưu ý rằng trong một dóy tỉ số bằng nhau nếu cỏc số hạng trờn bằng nhau (nhưng khỏc 0) thỡ cỏc số hạng dưới bằng nhau và ngược lại , nếu cỏc số hạng dưới bằng nhau thỡ cỏc
số hạng trờn bằng nhau
1.4 Sai lầm bỏ qua điều kiện khỏc 0:
Khi rỳt gọn học sinh thường bỏ qua điều kiện số chia khỏc 0 dẫn đến thiếu giỏ trị cần tỡm:
Bài 1: Tìm x biết:
x =
d c b
a
+ + = a c d
b
+ + = a b d
c
+ + = a b c
d
+
+
(Đề thi HSG Toán 7 , Huyện Can Lộc - Năm học 2005 - 2006)
Với bài toán trên qua chấm thi HSG và khảo sát các đội tuyển chọn HSG ở trờng tôi thấy 55 % học sinh có lời giải nh sau:
Lời giải sai lầm: áp dụng tính chất dạy tỷ số bằng nhau ta có :
Trang 5x =
d c
b
a
+
+ = a c d
b
+ + = a b d
c
+ + = a b c
d
+ + =
c b a d b a d c a d c
b
d c b a
+ + + + + + + + + + +
+ + +
=
) (
3 a b c d
d c b a
+ + +
+ + +
=
3 1
Vậy giá trị x =
3 1
Phõn tớch sai lầm: Sai lầm của học sinh khi rỳt gọn, bỏ qua điều kiện số chia khỏc 0 dẫn đến thiếu giỏ trị cần tỡm, dấn đến lời giải trên là sai vì ngoài giá trị
x =
3
1
; cũn cú với a = -3, b = 1, c = 1 , d = 1 thì x = -1.Do HS chỉ mới ngộ nhận trong làm toán thấy cả tử và mẫu có (a + b + c + d) nên rút gọn, cha nắm vững tính chất phân số trong giải toán.HS phải nhớ rằng
b
a m b
m
:
:
(b ≠0 , m ≠0 )
Lời giải đỳng :
áp dụng tính chất dạy tỷ số bằng nhau ta có :
x =
d c
b
a
+
+ = a c d
b
+ + = a b d
c
+ + = a b c
d
+ + =
c b a d b a d c a d c
b
d c b a
+ + + + + + + + + +
+
+ + +
=
) (
3 a b c d
d c b a
+ + +
+ + +
(*) +) Với a + b + c + d ≠ 0 thì từ (*) suy ra x =
3 1
+) Với a + b + c + d = 0 thì :
a = - (b + c+ d) ; b = - (a + c +d); c = - (a +b + d); d = - (a + b+ c)
⇒ x =
d c b
a
+ + = a c d
b
+ + = a b d
c
+ + = a b c
d
+
Vậy giỏ trị x tỡm được thỏa món là : x =
3
1
; x = - 1
Bài 2:
Cho dãy tỷ số bằng nhau:
x
t z y
x+ + +
2
= x+2y y+z+t =
z
t z y
x+ +2 +
=
t
t z y
x+ + +2
(2) Tính M =
t z
y x
+
+ +
t x
z y
+
+ + x z++y t + y t++x z
* Với bài toán trên qua khảo sát các đội tuyển chọn HSG ở trờng tôi thấy
65 % học sinh có lời giải nh sau:
Lời giải sai lầm: áp dụng tính chất dạy tỷ số bằng nhau ta có :
x
t z y
x+ + +
2
=
y
t z y
x+2 + +
=
z
t z y
x+ +2 +
=
t
t z y
x+ + +2
=
t z
t z y x
+
+ + +2 3 3 2
=
t x
y z t x
+
+ + +3 2 2 3
=3x+3x y++y2z+2t =3z+3y y++2z x+2t (3)
Từ (3) suy ra : 3 +
t z
y x
+
+ ) ( 2
= 3 +
t x
z y
+
+ ) ( 2
= 3 + 2x(z++y t) = 3 + 2(y t++z x)
Trang 6t
z
y
x
+
+ )
(
2
=
t x
z y
+
+ ) ( 2
= 2x(z++y t) = 2(y t++z x) = 24((x x++ y y++z z++t t)) = 2 (***)
⇒
t
z
y
x
+
+ =
t x
z y
+
+ =
y x
t z
+
+ =
z y
x t
+ + = 1
Vậy M =
t z
y x
+
+ +
t x
z y
+
+ + x z++t y + y t++x z = 4 Phõn tớch sai lầm: Cũng nh bài tập 1 lời giải trên là sai vì ngoài giá trị M=
4 thì M còn có giá trị bằng - 4
Lời giải đỳng : áp dụng tính chất dạy tỷ số bằng nhau ta có :
x
t z y
x+ + +
2
= x+2y y+z+t =
z
t z y
x+ +2 +
=
t
t z y
x+ + +2
=
t z
t z y x
+
+ + +2 3 3 2
=
t x
y z t x
+
+ + +3 2 2 3
=3x+3x y++y2z+2t =3z+3y y++2z x+2t (3)
Từ (3) suy ra : 3 +
t z
y x
+
+ ) ( 2
= 3 +
t x
z y
+
+ ) ( 2
= 3 + 2x(z++y t) = 3 + 2(y t++z x)
⇒
t
z
y
x
+
+ )
(
2
=
t x
z y
+
+ ) ( 2
= 2x(z++y t) = 2(y t++z x) = 24((x x++ y y++z z++t t)) = 2 (***)
+ Với x + y + z+ t ≠ 0 ⇒
t z
y x
+
+ ) (
=
t x
z y
+
+ ) (
= (x z++y t) = 1
⇒ M =
t z
y x
+
+
+
t x
z y
+
+ + x z++y t + y t++x z = 4 + Với x + y + z+ t = 0 thì: x+ y = -(z + t); y + z = -( x + t )
⇒ M =
t z
y x
+
+
+
t x
z y
+
+ +
y x
t z
+
+ +
z y
x t
+
+ = - 4 Vậy ta có M = 4 ; M = - 4
Bài 3:Cho 3 số x ,y , z khỏc 0 thỏa món điều kiện : y z x+ −x = z x y+ −y = x y z+ −z
Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức : B = 1 x 1 y 1 z
+ + +
ữ ữ ữ
(Đề thi HSG Toán 7 , Trờng THCS A Huyện Vũ Quang
Năm học 2011 - 2012)
Qua nghiên cứu đề thi và đáp án của trờng Ân Giang tôi thấy đáp án của
đề thi có lời giải nh sau:
Lời giải sai lầm:
Từ y z x z x y x y z
+ − = + − = + − ⇒
+ − = + − = + − ⇒ y z z x x y
+ = + = +
Áp dụng tớnh chất dóy tỷ số bằng nhau ta cú:
Trang 7+ =
x
z
y
x z
z
y
x+ = 2((x x+ y y+z z))
+ +
= 2 ( x + y + z ≠ 0)
Do đú :
B = 1 x 1 y 1 z
+ + +
ữ ữ ữ
z x z
y z x
x
= y+z x.z+x y.x+y z
= 2 2 2 = 8 Phõn tớch sai lầm: Ta thấy rõ ràng là đáp án trên cha đúng, vỡ chắc gỡ x + y +
z ≠ 0, trường hợp x + y + x = 0, cũng thỏa món giả thiết và điều kiện bài toỏn đó cho Nờn ngoài giá trị B = 8 thì biểu thức B còn có giá trị bằng -1
Lời giải đúng:
Từ y z x+ −x = z x y+ −y = x y z+ −z ⇒
+ − = + − = +
− ⇒ y z z x x y
+ = + = +
Áp dụng tớnh chất dóy tỷ số bằng nhau ta cú:
+ =
x
z
y
x z
z
y
x+ = 2((x x+ y y+z z))
+ +
+ Với x + y + z ≠0 ta cú : + =
x
z
y
x z
z
y
x+ = 2((x x+y y+z z))
+ +
=2
Do đú :
B = 1 x 1 y 1 z
+ + +
ữ ữ ữ
z x z
y z x
x
y
z x x
y z z
x
y+ . + . +
= 2 2 2 = 8 + Với x + y + z = 0 ta cú y + x = -z ; z + y = - x ; x + z = y
Do đú :
B = 1 x 1 y 1 z
+ + +
ữ ữ ữ
z x z
y z x
x
= y+z x.z+x y.x+y z
= (-1) (-1) (-1) = -1
1 5 Sai lầm do khụng nắm vững định nghĩa giỏ trị tuyệt đối của một số hữu.
Bài tập 1:Tỡm x biết 1 60
x
x
− = −
* Với bài toán trên qua khảo sát các đội tuyển chọn HSG ở trờng tôi thấy
45 % học sinh có lời giải nh sau:
Lời giải sai lầm: 1 60
x
x
− = −
x-1=30 suy ra x=31
! Cú thể thay x = -29 vào (*) ta được ( -29 – 1) 2 = (- 30)2 = 302 = 900 Chứng tỏ cỏch giải trờn cũn thiếu Vỡ sao ? HS nờn nhớ rằng : x = x nếu x ≥ 0
- x nếu < 0 Lời giải trờn HS chỉ mới lấy trường hợp x – 1 = 30, khụng lấy hợp x – 1 = -30
Lời giải đỳng là : 1 60
x
x
− = −
⇔ −(x 1)2 =302 ⇔ x - 1 = 30 hoặc x – 1 = -30
Từ đú suy ra x = 31 hoặc x = -29
Trang 8Bài tập 2: Tỡm cỏc số x,y,z biết rằng
2 3 4
x = =y zbiết rằng 2x2+3y2−5z2 = −405
Lời giải sai lầm: Đặt
2 3 4
x = =y z=k suy ra x=2k, y=3k, z=4k
2x +3y −5z = −405 suy ra ( )2 ( )2 ( )2
2 2k +3 3k −5 4k = −405
2 2 2 2
2
9
k k
= Phõn tớch sai lầm: Sai lầm học sinh suy ra k =3,cỏch giải trờn cũn thiếu Vỡ sao? Vỡ k2 = 9 phải suy ra k= ±3 Từ đú suy ra x, y ,z
1 6 Sai lầm do khụng quan tõm đến giả thiết bài toỏn đó cho.
Bài 1: Cho a,b,c khỏc nhau từng đụi một : + =
c
b
a
c b
b
a
c+
Tớnh giỏ trị biểu thức: N =
+
b
a
+
c
b
+
a
c
1
*Với bài toán trên qua khảo sát đội tuyển chọn HSG ở trờng, và nhiều đội tuyển HSG ở cỏc trường bạn tôi thấy 100 % học sinh có lời giải nh sau:
Lời giải sai lầm: Áp dụng tớnh chất dóy tỷ số bằng nhau ta cú:
+ =
c
b
a
c b
b
a
c+ =
c b a
c b b
+ +
+
( 2
+ Với a+b+c ≠0, ta cú : + =
c
b
a
c b
b
a
c+ =
c b a
c b b
+ +
+
( 2
= 2
Do đú :
N =
+
b
a
+
c
b
+
a
c
a
c a c
b c b
a
c
b
a+
a
c
b+
b
a
c+
= 2 2 2 = 8 + Với a + b + c = 0 ta cú a + b = -c ; c + b = - a ; a + c = -b
Do đú :
+
b
a
+
c
b
+
a
c
a
c a c
b c b
a
b+ . + . +
=
c
b
a+
a
c
b+
b
a
c+
=(-1) (-1) (-1) = -1 Phõn tớch sai lầm: Rõ ràng là đáp án trên cha đúng.Vì giá trị N = 8 thì a
= b,
b = c; c = a trỏi với giả thiết bài toỏn cho a,b,c khỏc nhau từng đụi một Nguyờn nhõn HS giải sai là chưa quan tõm đến giả thiết bài toỏn cho, mà đang giải rập khuụn như cỏc bài tập ở phần trờn
Lời giải đúng:
Áp dụng tớnh chất dóy tỷ số bằng nhau ta cú:
Trang 9+ =
c
b
a
c b
b
a
c+ =
c b a
c b b
+ +
+
( 2
+ Với a + b + c ≠0, ta cú : + =
c
b
a
c b
b
a
c+ =
c b a
c b b
+ +
+
( 2
= 2 (1)
Từ (2) ⇒ a + b = 2c ⇒ a - c = 2( a - c) ⇒ a - c = 0 ⇒ a = c
b + c = 2a
Tương tự ta cú : a = b ; b = c
Điều đú chứng tỏ trỏi với giả thiết bài toỏn cho a,b,c khỏc nhau từng đụi một
Vậy với a + b + c ≠0, biểu thức N khụng cú giỏ trị nào thỏa món với giải thiết bài toỏn cho. + Với a + b + c = 0 ta cú a + b = -c ; c + b = - a ; a + c = -b
Do đú :
+
b
a
+
c
b
+
a
c
a
c a c
b c b
a
c
b
a+
a
c
b+
b
a
c+
=(-1) (-1) (-1) = -1 Vậy cho a,b,c khỏc nhau từng đụi một và + =
c
b a
=
+
a
c b
b
a
c+ thỡ N = -1
Bài 2 : Tìm x, y,z biết rằng:
x
z
y+ +1
=
y
z
x+ +2
=
z
y
x+ −3
=
z y
x+ +
1
(5) ( VD 10 trang 20- Nâng cao và phát triển Toán 7 - Tập 1 - Nhà xuất bản giáo dục)
Có một số HS đã giải nh sau:
Lời giải sai lầm: Theo tính chất dạy tỷ số bằng nhau:
x
z
y+ +1
= x+y z+2 =
z
y
x+ −3
=(y+z+1)+(x x++z y++2z)+(x+y−3)=2(x x++y y++z z) (6) +) Với x + y+ z ≠ 0 Từ (5) ; (6) ⇒ x+ y + z = 0,5
Thay kết quả này vào (5) và giải ta đợc: x =
2
1
;
6
5
=
y ; z =
6
5
− +) Với x + y+ z = 0 Từ (6) suy ra: x = 1 ; y = 2 ; z = -3
Vậy các giá trị x, y, z là: x =
2
1
;
6
5
=
y ; z =
6
5
−
và x = 1 ; y = 2 ; z = -3
Phõn tớch sai lầm :Lời giải trên là sai vìVì x = 1; y = 2 ; z = -3 thì
x
z
y+ +1
=
y
z
x+ +2
=
z
y
x+ −3
= 0; còn x+1y+z =
0
1
không xác định.Nguyờn nhõn HS giải sai, vỡ chưa chỳ ý đến cỏc tỉ số trong dóy tỉ số bằng nhau khi cho như trờn có nghĩa là x+y+z ≠0 , thì biều thức đã cho mới có nghĩa; khụng phải xột cả hai trường hợp như ở các vớ dụ trờn
Lời giải đúng: Theo tính chất dạy tỷ số bằng nhau :
Trang 10z
y+ +1
= x+y z+2=
z
y
x+ −3
=(y+z+1)+(x x++z y++2z)+(x+y−3)=2(x x++y y++z z)= 2 (vì x+y+z ≠0 ) Do đó x+ y + z = 0,5
Thay kết quả này vào (6) và giải ta đợc: x =
2
1
;
6
5
=
y ; z =
6
5
−
2 Một số giải phỏp để học sinh giải cỏc bài toỏn về tỉ lệ thức khụng cũn mắc sai lầm:
2.1) Giải phỏp 1: Khắc sõu lý thuyết
2.1 1.Khi dạy cỏc tớnh chất của tỷ lệ thức và cỏc tớnh chất của dóy tỷ số bằng nhau luụn cho học sinh lưu tõm đến sự tồn tại của biểu thức
Khi ghi cỏc tớnh chất thỡ phải ghi đầy đủ
Chẳng hạn phải ghi:
d
c b
a
= ⇒
d
c b
a
= =
d b
c a
+
+ ( Khi b + d ≠0 ) Cần nhấn mạnh: Khi sử dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau, cần chỳ ý mẫu cỏc tỉ số luụn phải khỏc 0
Khụng được ghi thiếu như:
d
c b
a = ⇒
d
c b
a = =
d b
c a
+ +
Khụng được sử dụng đối với phộp nhõn và chia:
d
c b
a = ⇒
d
c b
a = =
d b
c a
( sai)
d
c b
a = ⇒
d
c b
a = =
d b
c a
:
:
( sai) Trường hợp này đỳng khi:
d
c b
=
ữ ữ
= b d
c a
2.1.2 Cần cú những vớ dụ để minh họa:
Chẳng hạn :
5
3 5
3
−
−
= nhưng khụng thể suy ra được:
5
3
5
3
−
−
) 5 ( 5
) 3 ( 3
− +
− +
vỡ biểu thức53++((−−53)) khụng xỏc định
Chẳng hạn : Tìm x và y biết :
2 5
= và xy=90
2 5
x = y =
5 2
xy
=
10
90
= 9 Suy ra x = 2 9 = 18
y = 5 9 = 45
Ta thấy x.y = 18 45 ≠ 90 ( do đú tớnh chất dóy tỷ số bằng nhau khụng sử dụng đối với phộp nhõn và chia)
2.1.3.Trong quỏ trỡnh biến đổi nờn nhắc học sinh chỳ ý đến số 0 khụng chỉ ở mẫu số mà cả
tử số
Từ 7x = 7y thì x = y
Nhng từ x0 = 0y suy ra x = y là sai ( trờng hợp này x có thể khác y)