Phương pháp giải toán tích phân 12_Ôn thi ĐH

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐNGIÁO VIÊN : Hoàng Sơn Hải 12&ƠN THI ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN... DẠNG IV-TÍCH PHÂN TỪNG PHẦNb a... 2Diện Tích Hình Thang Giới Hạn Bởi C và: Ox :.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

GIÁO VIÊN : Hoàng Sơn Hải

12&ƠN THI ĐẠI HỌC

TÍCH PHÂN

(x 2 )’=2x=>nguyên hàm của 2x là x 2

(x 2 +c)’=2x=>nguyên hàm của 2x là x 2 +c; Ký hiệu: 2xdx=x 2 +c

1 f(ax

hi

; 





Bài 1 : Tính nguyên hàm của

Bài 3)Tìm nguyên hàm F(x) biết f(x)=sinx.cos2x và F(/4)

3

9x a)f=

5)dxx+4

2 3

9x dx F=

1-x

1 b)f(x)=

5)dxx+4

dx F(x)=

x (1  x )

1 d)f(x)=

dx F(x)=

F(x)= ( 7-3x )2 3

+c 3



5)dx)Lập bảng dấu phá trị tuyệt đối

đối với hs chứa trị tuyệt đối

7 3

0

x x 1 1 0 0 1 ( - )| =( - )-(

1 (1-2x)

= -2 4 =0

2 1 1

π/3

2 2 π/6

dx g)

e) x (1+3x ) =E

+)Đặt biến mới t= (x) Hoặc x= g(t) dx=g’(t)dt +)Đổi cận

Bài 10: Tính tich phân

1

2 2 0

Đặt t = x 2 +4=>dt=(x 2 +4)’dx= 2xdx

=>xdx= dt/2

5)dx

5)dx 4 2

4

5)dxdt 5)dx 1 A= =- | =

2t 2t 8x



3

2 0

2u D= 2u du= | =2 3

3

2 0

f) x x +1dx=F

3 2

2 0

t 7 F= t dt=( )| =

t B= tdt= | 0

dtC=3 =3ln|t|

t

6 2

3 2 5)dx

1

d(x -x+5)dx) C2:C=3 =3ln(x -x+5)dx)|



dx G=

x



x 1 e

t 1 2 1

dx G=

u' Dang: dx;dat t=u

u



x 0 /2

t 1 0

π/2

3 0

I= sin2xcos xdx

π/2

4 0

t I=-2 t dt=2 | =

5)dx



1

7 0

3dx K=

xln x



x

t

e

3 e

3dx K=

M= e sin2xdx

sin x 2 sin x sin x

1/2

1/2

e

e 0 1

N= 2dt=2t| = /4

2 0

tgxdx P=

tgxdx P=

tP= tdt= |

2



1

sin(lnx)dx Q=

2(1+tg t)

π/3

π/3 0 0

C=  3x -6dx

6 2

2 0

a +x



sin t sin t



π/4 2

2 2 π/2

2 2

1 2

2 0

x dx D=

0

/

sin t.costdt

sin tdt (1-cos2t)dt 2cos

3 2 5)dx 3

3 0 0

4-x



3 3t 3G= t t dt= | ( 16 1)

x -1



dx J=

t(t -1) t-1 t+1 

e

2 1

dxK=

x 1-ln x



2 1

dx K=

x 1-ln x



1/2

2 0

dtK=

dx L=

e +e



ln 3

2x 1

ln 3

x -x 0

dx L=

e +e



ln 3

2x 0

dtL=

e dx M=

e +e



2x 0

ln 3 x

x -x 0

e dx M=

e +e



2x 0

dtM=

duM= =lnu

a cos x+b sin x



a cos x+b sin x



Đặt t= a cos x+b sin x 2 2 2 2

=>2tdt=(-2a 2 cosxsinx+2b 2 sinxcosx)dx

=>sinxcosxdx=tdt/(b 2 -a 2 )

b a

2 3 dx P=

=

(9 -4 ) : 4 9

-14

x x

9/4 3/2 2

x 1 2

2

x 1

(x+1)dx Q=

1 1Q= ( - )dt=(ln|t-1|-ln|t|)|

t-1 t



Bài 13: f liên tục trên [a;b] Cm:

π/4 π/4 π/4

2B= ln(1+tgx)dx= ln dx= [ln2-ln(1+tgx)]dx

t -t-12



1 0

Giả sử cần tìm I = f(x)dx và J = g(x)dx

DẠNG IV-TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

b a

0

C= xcos3xdx

u = x dv=cos3xdx

Đặt => du =dx v=(sin3x)/3

π/2

π/2 0

π/2 0

e 1

3 9

e

x

u =lnx dv=(3x+2)dx

v=(3x 2 /2 + 2x) =>

xdx H=

sin x



u =x dv=dx/sin 2 x

Đặt => du =dx v=-cotx=-(cosx)/sinx

π/3 π/4

cosxdx -π 3 π d(sinx)H=-xcotgx| + = + +

sinx 9 4 sinx

π/3 π/4

u =lnx

dv=x 2 dx

v=x 3 /3 =>

M= cos(lnx)dx

e

u =cos(lnx) dv=dx

v= x =>

e 1 1

M=xcos(lnx)| + sin(lnx)dx

e



u =sin(lnx) dv=dx

v=x

=>

e e 1 1

M=ecos1-1+[xsin(lnx)| - cos(lnx)dx]=ecos1-1+(esin1-0-M)

2M=ecos1+esin1-1

1

2 0

N= xln(1+x )dx

2 2

2xdxdu=

+xx

v=

2

1+1

-sinxdxdu=

+cosxv=-( +cosx)

11

0

N=-(1+cosx)ln(1+cosx)| - sinxdx

π/2 0

1 π/2 0

1+cosx

x e

(x+2)

1 2 x

2 0

x eA=- + xe dx

x+2 

u =x dv=e x dx

3 11 -3x 11C2:A= [- + ]dx=[ + ln|2x+3|]|

2 2(2x+3) 2 4



1 2

-2

x +5)dxx 18x.C= dx

2 3

dx E=

(2x+1)(x-3)



4 3

dx 1 1 1 1E= = ( - )dx= (ln|x-5|-ln|x-2|)|

(x+1)(x -4)



1

0

12xdx G=

x -2x -5x+6



0 2

3 2 -1

(3x +1)dx H=

3 1 5)dx 2 15)dx x-3

2 2

2 0

2 2

2 0

(3x -x-2)dxK=

x +x+1



x 0 1

t /6 /3 Đặt x+1/2 = 3tgt/2=>dx=3(1+tg 2 t)dt/2

1 2

2 0

2 3 

1

2 0

dx L=

x 1-x



dx P=

x 2x-9



t +9 t +9

t2

3(1+tg u)du 2 2Q=2 = du= u|

(u-1)dt 1 1 1R=2 =2 ( - )du=2[ln|u|+ )|

C2: Đặt x = cos2t=>dx=-2sin2tdt

1 1 cos8x cos2x

= (sin8x+sin2x)dx= ( + )|

tD= (1-t )dt=(t- )|

E= tg x[(tg x+1)-1]dx

π/4

3 0

0 π/4

4



dt 1 1 1 1G= = ( - )dt= (ln|t|-ln|t+2|)|

t(t+2) 2 t t+2 2

0

dxG=

1+t 1+t 1+t

1 0

cosxdxH=

7-5t-(1-t ) t -5t+6 (t-2)(t-3) t-3 t-2

x 0 /4

t 1

2 0

sinxcos xdxA=

dxH=

x 0 /4

t 1

π/3

5 π/4

dxB=

1

= (t +2t+ )dt

t



x /4 /2

t 1

π/2 3

2 π/4

= ( -1)+ [ (ln|2t-1|-ln|2t+1|)]

x 1/2 2

t 0 /4

2

2 1/2

dxA=

dxC=

e -1



2

dxD=

x +bx+c

 t=x+ x +bx+c2 0

2 -1

dxE=

x +x+1



ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Cho đường cong (C) : y = f(x) và (C’) : y = g(x)

2)Diện Tích Hình Thang Giới Hạn Bởi (C) và: Ox :

2 0

1

2 -1

3 y 2 (c'):x=

2 2



2 2 2 3 2

0 3

5)dx/3 2 2

0

3 y +2 y

c)y 2 =2x và phần chung với đtròn

(c’):x 2 +y 2 =8x

2 1

S =2( 2xdx+  8x x dx)

Giải hệ toạ độ giao điểm ta có:

x=2;x=-2

Gọi S1 là diện tích hình tròn g.h bởi (c)

phía bên phải 0x;S2 là phần còn lại

Do hình phẳng có 0x là trục đ.x=>ta xét phần y0

Đặt x=22sint=>dx= 22costdt

3.Tính V giới hạn bởi hình phẳng sau quay xq 0x a)P:y=x 2 ;y=0;x=0;x=1

1

2 0

V=f (x)dx

1 5)dx

0 0

V=(x -2x) dx

0 0

0

1 V=π dx=πtgx| =π

cos x



d)y=4/(x-4);0x;x=0;x=2

2

2 0 2

3.Tính diện tích giới hạn

3.Tính diện tích giới hạn

(khoiA02):Tính S hình phẳng giới hạn bởi :y=|x 2 –4x+3|, y=3

4

2 0

34)(ĐH B07):Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi y=xlnx, y=0, x=e quay xq Ox 35)dx)(CĐ A08x): Tính diện tích giới hạn bởi y= -x2 + 4x và y=x.

(ĐH B02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

4-x /4 và y=x /4 2

34)(ĐH B07):Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi y=xlnx, y=0, x=e quay xq Ox 35)dx)(CĐ A08x): Tính diện tích giới hạn bởi y= -x2 + 4x và y=x.

31)(A02): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :y=|x2–4x+3|, y=3

32)(ĐH B02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y=