Coù theå giaûi baèng caùc pp bieán ñoåi töông ñöông, ñaët aån phuï, baát ñaúng thöùc.. CAÙC VÍ DUÏ[r]
Trang 1Bài 5:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC
Có thể giải bằng các pp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, bất đẳng
thức
I CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1:
Cho hệ phương trình:
2
x y m (x 1)y xy m(y 2)
+ =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
1 Giải hệ khi m = 4
2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nhiều hơn 2 nghiệm
(ĐH Quốc Gia TPHCM Khối A năm 1997) Giải
1 m = 4
Hệ x y 42
(x 1)y xy 4(y 2)
+ =
⎧⎪
⇔ ⎨
⎪⎩
2
= ∨ = ±
⎩
⇒ nghiệm (2, 2); (3− 5,1+ 5),(3+ 5,1− 5)
b Hệ x m y3 2 (*)
y my 2m 0 (1)
⎧⎪
⇔ ⎨
⎪⎩
(*) có hơn 2 nghiệm, (1) phải có 3 nghiệm
Đặt f(y) y= 3−my2+2m
2
f '(y) 3y 2my
2m
f '(y) 0 y(3y 2m) 0 y 0 y
3
Nếu m 0 : (1)≠ có 3 nghiệm phân biệt f(0).f 2m 0
3
⇔ ⎜ ⎟<
2
⇔ > ⇔ < − ∨ >
Vậy m 3 6 m 3 6
< − ∨ > hệ có hơn 2 nghiệm
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình:
2 2
xy 3x 2y 16
x y 2x 4y 33
⎧⎪
⎨
⎪⎩
(ĐH Giao Thông Vận Tải TPHCM năm 1999)
Giải Đặt u x 1,= − ∨ = − hệ trở thành: y 2,
2 2
u (u v) 23
∨ − + =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
Đặt s u v,p u.v= + = p s 23 (1)2
s 2p 38 (2)
− =
⎧⎪
⇒ ⎨
⎪⎩
s 2s 84 0
s 1 85
⎡ = +
= −
⎢⎣
s 1= + 85 : (1)⇒ =p 24+ 85 u,v
⇒ là nghiệm phương trình: α − α + = 2 s p 0 Với s2−4p (1= + 85)2−4(24+ 85)= − −10 2 85 0<
⇒ VN s 1= − 85 : (1)⇒ =p 24− 85 u,v
⇒ là nghiệm phương trình: α − α + = 2 s p 0 Với s2−4p= − +10 2 85 0>
Trang 21 85 10 2 85 3 85 10 2 85
hoặc:
Ví dụ 3:
Giải và biện luận theo a hệ phương trình:
x 2y
x 2y a
x 2y
⎪ −
⎪
⎨ +
⎪ −
⎩ (ĐH Kinh Tế TPHCM năm 1995) Giải
Đặt u 1 0, x 2y
x 2y
−
u v 5
u.v a
+ =
⎧
⎩ nên u, v là nghiệm phương trình:
2 5 a 0 (*)
25 4a
α − α + =
∆ = −
Để phương trình có nghiệm 0 a 25
4
⇔ ∆ ≥ ⇔ ≤
* a 25
4
≤ và a 0≠ : nghiệm 1 2
∨
⎨ = α ⎨ = α
⎩ ⎩ với α α là nghiệm 1, 2 phương
trình (*)
* a = 0: u v 5
u.v 0
+ =
⎧
⎩ mà u 0≠ ⇒ ∨ =0,u 5=
⇒hệ
1
1
x 2y 0
20
⎧
* a 25 4
> hệ vô nghiệm
II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
5.1 Giải hệ phương trình:
3 2
3 2
3 2
⎧ = + + −
⎪⎪ = + + −
⎨
⎪ = + + −
⎪⎩
(ĐH Ngoại Thương TPHCM năm 1996)
5.2 Giải hệ phương trình: x22 xy 62
⎪
⎨
⎪⎩
(ĐH Giao Thông Vận Tải TPHCM năm 1996)
5.3 Giải hệ:
2 2 82
9
⎪⎪
⎨
⎪⎩
Trang 3Hướng dẫn và giải tóm tắt
5.1 Ta có:
3 2
3 2
3 2
x y y y 2 (1)
y z z z 2 (2)
z x x x 2 (3)
⎧ = + + −
⎪⎪ = + + −
⎨
⎪ = + + −
⎪⎩
2
(1)⇔ =x y(y + + − y 1) 2
Xét y 0≤ ⇒ ≤ − ⇒ ≤ − ⇒ ≤ − x 2 z 2 y 2
(1) (2) (3)+ + ⇒y +y +x +x +z +z = 6
y (y 1) x (x 1) z (z 1) 6 (4)
Vì x≤ −2,y≤ −2,z≤ − ⇒ + <2 y 1 0,x 1 0,z 1 0+ < + <
y (y 1) x (x 1) z (z 1) 0 (4)
⇒ + + + + + < ⇒ không thỏa
Xét y 0 : z 0> ⇒ > và x > 0
0 y 1: y< < ⇒ 3+y2+ < ⇒ < < ⇒y 3 0 x 1 x3+x2+ < ⇒ < < x 3 0 z 1
y y x x z z 6 : (4)
⇒ + + + + + < không thỏa
y > 1 : ⇒ =x y3+y2+ − > ⇒ > y 2 1 z 1
⇒ + + + + + > (4) không thỏa
* y = 1 : (1) ⇒ = và (3) x 1 ⇒ = (2) z 1, ⇒ = y 1
Vậy hệ chỉ có 1 nghiệm là x = y = z = 1
5.2 x22 xy 6 (1)2
x y 5 (2)
⎪
⎨
⎪⎩
(1) y 6 x2(x 0)
x
−
⇔ = ≠ thế vào (2): 2 2 2
2
(6 x )
x
−
2
= ⇔ = ± x 3 2
2
= ±
y 1,
⇒ = y= − 1, y 2,
2
2
= −
5.3
2 2 82
9
⎪⎪
⎨
⎪⎩
⇔ + + − + =⎜ + ⎟ ⎜+⎝ − + ⎟⎠
2 10
y x
⎧
⎪
+ ≥ ≥ −
Xét 2 trường hợp:
TH 1: y < 0 Hệ
2 2
2
10
3
⎧
2 2
2
⎡
Là nghiệm của hệ
TH 2: y > 0: x2 82 y2
9
+ Nếu x 0 x 82 y2 82 100 10 y
≥ ⇒ = − < < < +
Trang 4⎧
⎪ − + > ⎪ = − >
+ Nếu x < 0
2
2
⇔ − ≤ (vì y > 0)
2
2
y 3
82
3 9
⎢ ≤
⎣ Vậy hệ có nghiệm:
2 2
0 y
3
⎧
⎪