SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SKKN GIẢI PHÁP GIẢNG dạy PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG mẫu mực

Trong quá trình giảng dạy chương I đại số- Lớp 11: “ Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác ” tôi nhận thấy phương trình lượng giác là một trong những kiến thức cơ bản, thường gặp

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

GIÁC KHÔNG MẪU MỰC"

PHẦN I : MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Có thể khẳng định rằng nhiệm vụ cao cả của trường THPT và người giáo viên là đào tạo và xây dựng thế hệ trẻ có đầy đủ phẩm chất đạo đức và trí tuệ để làm chủ tương lai

Trong quá trình giảng dạy chương I đại số- Lớp 11: “ Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác ” tôi nhận thấy phương trình lượng giác là một trong những kiến thức cơ bản, thường gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi Trong chương học này học sinh đã nắm được các dạng phương trình lượng giác cơ bản và phương trình lượng giác thường gặp Tuy nhiên phương trình lượng giác không mẫu mực rất đa dạng và không thể có phương pháp chung nào đề giải mọi phương trình lượng giác đó nên học sinh thường thấy lúng túng trong việc phân tích, lựa chọn cách giải phù hợp, ngắn gọn

Để giúp học sinh học tập môn Toán nói chung và phương trình lượng giác nói riêng đạt kết quả tốt đã có rất nhiều tài liệu, sách báo đề cập đến, tuy nhiên tài liệu riêng về phương trình lượng giác không mẫu mực còn ít chính vì thế học sinh còn khá bỡ ngỡ và gặp khó khăn khi gặp các phương trình dạng này

Là người giáo viên trực tiếp giảng dạy cho các em tôi thấy rằng mình không chỉ nắm được các kiến thức mà điều cần thiết là vận dụng các phương pháp linh hoạt, hệ thống kiến thức một cách sáng tạo, truyền thụ cho học sinh

dễ hiểu nhất

Chính điều đó đã thôi thúc tôi suy nghĩ, thu thập tài liệu nhằm giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao nhất khi giải phương trình và đạt kết quả cao trong các kì thi tôi chọn đề tài:

“PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC ”

đích giúp các thầy cô giáo giảng dạy có hiệu quả và các em học sinh có được cái nhìn tổng quan, hiểu được bản chất của mỗi vấn đề đặt ra, từ đó đưa ra phương pháp giải mạch lạc phù hợp với mỗi bài toán Đồng thời nhằm nâng cao chất lượng hiệu quả của quá trình giảng dạy và học tập của học sinh lớp 11, mở rộng kiến thức cho học sinh, nhằm phát huy tinh thần tự giác học tập cũng như khả năng sáng tạo trong học tập của học sinh Sau khi đề tài được thực hiện, qua việc hướng dẫn phương pháp chung và giải một số bài tập mẫu học sinh có thể vận dụng giải những bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, bài tập nâng cao phần nào giúp học sinh thuận tiện hơn trong quá trình học và quá trình ôn tập củng cố kiến thức chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng

3- Đối tượng nghiên cứu

Học sinh khối 11, học sinh ôn thi đại học

4- Giới hạn phạm vi và nội dung nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu: Nội dung chương trình toán THPT

Tập trung nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn đúc rút kinh nghiệm ương

ph-pháp dạy học sinh giải các phương trình lượng giác

Có thể khẳng định phương trình lượng giác rất đa dạng nhưng có thể nói

có hai dạng riêng biệt là: Phương trình lượng giác mẫu mực và phương trình không lượng giác không mẫu mực Những phương trình lượng giác mẫu mực

đã có cách giải cụ thể ở sách giáo khoa vì vậy trong đề tài tôi chỉ nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực

Áp dụng đề tài:

Khối lớp 11 – Năm học 2011 - 2012

Khối lớp 11 – Năm học 2012 – 2013

Trường THPT Trần Nhật Duật-Yên Bình- Yên Bái

5- Nhiệm vụ của đề tài

Trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản, vững vàng khi giải phương

trình lượng giác

- Phân loại các phương trình lượng giác không mẫu mực

- Chỉ ra các phương pháp giải mỗi dạng phương trình lượng giác đó

- Giúp cho học sinh có những kỹ năng và thao tác khi giải phương trình lượng

giác

6- Phương pháp nghiên cứu

+ Nghiên cứu lý thuyết qua sách giáo khoa

+ Nghiên cứu tài liệu tham khảo

+ Điều tra, khảo sát thực tế học sinh

+ Trao đổi cùng các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn

+ Tích lũy đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy

* Xây dựng một hệ thống bài tập hợp lý, phân loại các dạng bài tập từ đó lựa chọn các ví dụ cụ thể hướng dẫn cụ thể từng loại

7- Thời gian nghiên cứu

Trong suốt quá trình được phân công giảng dạy khối 11 bậc phổ thông trung học Từ năm 2009 cho đến nay

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lí luận

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được thể chế hoá trong Luật giáo dục (2005), được cụ thể hoá trong các chỉ thị của Bộ giáo dục và đào tạo Đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hoá và hiện đại hoá với mục tiêu đến

năm 2020 Việt Nam sẽ từ một nước nông nghiệp về cơ bản trở thành nước công nghiệp, hội nhập với cộng đồng quốc tế Nhân tố quyết định thắng lợi của công cuộc

CNH- HĐH là hội nhập con người, là nguồn lực người Việt Nam được phát triển về số lượng và chất lượng trên cơ sở mặt bằng dân trí được nâng cao Vì vậy mỗi người

giáo viên phải xây dựng và hình thành một nền tảng kiến thức, kĩ năng đủ và chắc chắn

Chúng ta đều đã biết năm học này là năm học tiếp tục phát động các

cuộc vận động “Mỗi thầy giáo, cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và

sáng tạo”, “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực ”, thực hiện

tốt công tác “Đổi mới quản lý giáo dục và thực hiện đồng bộ các giải pháp để

nâng cao chất lượng giáo dục, nhằm mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh” Để hưởng ứng các cuộc vận động đó cá nhân tôi với những việc làm cụ

thể: làm đồ dùng học tập, sáng tạo trong phương pháp dạy học để tạo niềm hứng thú say mê học toán cho học sinh

Trong thực tế các đề thi vào các trường đại học đều xuất hiện phương trình lượng giác đối với học sinh nhận thức trung bình khá như đa số học sinh trong trường thì không phải lúc nào các em cũng giải thành thạo.Trong khi học

lí thuyết các em học sinh chỉ được học các phương trình cơ bản, mẫu mực chính vì vậy tôi luôn băn khoăn và tìm cách đưa đến cho học sinh những phương trình lượng giác không mẫu mực để học sinh làm quen Để giải thành thạo các phương trình lượng giác điều đầu tiên là học sinh phải nắm vững và áp dụng linh hoạt các công thức biến đổi, học sinh dựa vào kiến thức về cung và góc lượng giác, giá trị lượng giác của một cung, giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt ở đại số lớp 10, nắm vững phương pháp giải các phương trình lượng giác cơ bản và phương trình lượng giác mẫu mực (Đại số và giải tích lớp 11)

2 Cơ sở thực tiễn

- Dựa vào yêu cầu của các đề thi vào các truờng Cao đẳng và Đại học

- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục bậc THPT

Với mục đích giúp nâng cao năng lực học tập, rèn luyện kiến thức , kĩ năng nhận dạng và cách tập dượt làm bài nhanh nhất Có được điều đó thì học sinh mới có

thể đạt được kết quả tốt trong các kì thi quan trọng

CHƯƠNG 2: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Ngay từ những năm học trước tôi đã thu thập các tài liệu, các bài tập phương trình lượng giác không mẫu mực, tiếp thu các ý kiến của các đồng nghiệp để xây

dựng nội dung cho đề tài Với cách thức là phát huy các kiến thức cơ bản về phương

trình mà học sinh đã biết cách giải tôi đưa ra một số phương trình đặc biệt để

học

sinh khai thác, tôi thấy học sinh thực sự say mê và hứng thú Sau khi giảng dạy tôi đã khảo sát và bước đầu thấy kết quả khá tốt Lúc đầu chưa hướng dẫn hầu hết các

em không thể làm được, hoặc làm được rất ít sau khi học xong các em đều làm tốt

+ Học sinh kỹ năng giải bài tập còn yếu

+ Không biết phân biệt dạng bài tập

+ Học sinh yếu ở việc vận dụng kiến thức toán để giải bài toán

Qua khảo sát thực tế chất lượng tôi rất băn khoăn và tìm ra nguyên nhân chính:

+ Do giáo viên chưa có phương pháp tốt giúp học sinh nắm chắc kiến thức, có kỹ năng để giải bài tập

+ Chưa tạo ra hứng thú cho học sinh trong quá trình học tập

Từ đó tôi thiết nghĩ cần phải giúp đỡ hướng dẫn các em ngay từ những kiến thức đầu tiên Trên cơ sở đó nếu thấy học sinh yếu phần nào ta có thể bổ sung kịp thời cùng với sự hướng dẫn học sinh tham khảo tài liệu liên quan đến bài học

Trong đề tài này tôi sẽ cố gắng đưa ra một phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực để từ đó giúp học sinh có một cái nhìn tổng quát và

Chính vì thế trong nhiều năm học qua tôi đã áp dụng những gì mình được tìm

hiểu, được trao đổi với đồng nghiệp áp dụng vào việc giảng dạy Và tôi nhận thấy

hiệu quả và chất lượng dạy học được nâng lên rất rõ rệt

Để đề tài được thực hiện có hiệu quả tôi đã thực hiện theo các bước:

Giai đoạn 1: Thu thập tài liệu

Đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, đề thi tuyển sinh đại học, xem tài liệu trên mạng và qua ý kiến của đồng nghiệp nhờ vậy tôi đã có một hệ thống các dạng bài tập, tôi sắp xếp thành hệ thống từ dễ đến khó

Giai đoạn 2: Thực hiện nội dung nghiên cứu

Tôi đưa ra hai dạng phương trình không mẫu mực thường gặp nhất

* Phương trình lượng giác có sử dụng công thức hạ bậc

* Phương trình lượng giác biến đổi về dạng tích

B KIẾN THỨC CẦN NHỚ

- Thông thường để giải phương trình lượng giác ta phải thực hiện các bước sau:

* Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì sử dụng phép biến đổi tương đương đưa về phương trình chỉ chứa một hàm lượng giác

* Nếu phương trình chứa các hàm lượng giác của các cung khác nhau thì sử dụng phép biến đổi tương đương đưa về phương trình chỉ chứa các hàm lượng giác của một cung

- Biến đổi phương trình đã cho về các phương trình đơn giản quen thuộc Các

phương pháp biến đổi theo hướng này gồm có

+ Phương pháp đặt ẩn phụ : Đưa phương trình lượng giác về việc giải phương trình đại số

+ Phương pháp hạ bậc : Nếu phương trình cần giải có bậc cao thì dùng công thức hạ bậc để biến đổi về bậc thấp hơn

+ Phương pháp biến đổi thành phương trình tích

+ Phương pháp đánh giá hai vế

Dạng 1: Áp dụng phương pháp hạ bậc

Nếu phương trình cần giải có bậc cao thì dùng công thức hạ bậc để biến đổi

về bậc thấp hơn

Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa (nếu cần)

Bước 2: Thực hiện việc hạ bậc của phương trình bằng một trong các công thức

cos2x c os6x c os4x 0

2 cos 2 os4 os4 0 os4 2 cos 2 1 0 os4 0 (2)

( ) 3

4 sin cos sin

x

x x

1 cos10x  1 cos8x cosx 2 cos (4 os 3x c x 3 os3 )c x

 2 os9 cosc x x  1 cosx 2cos os9x c x

Giải: Điều kiện: sin 2 0

2

x  x k kZ

(*)

Với điều kiện (*) thì (1) 3 2 2

4(1 sin 2 ) 6 cos 2 2(2 cos 2 1) 0

Với điều kiện (*) thì (1)  6 6 

2 cos x sin x sin cosx x 0

2

cos x

cos x x k k Z cos x VN

Dạng 2: Biến đổi phương trình lượng giác đã cho thành phương trình tích

Phương pháp chung : Việc biến đổi phương trình lượng giác thành phương trình tích cần lựa chọn một trong các cách sau

Cách 1 : Biến đổi tổng, hiệu thành tích

Cách 2 : Lựa chọn phép biến đổi cos2 ;sin 2x x

Ví dụ 1: Giải phương trình cos3x 4 cos 2x 3cosx  4 0,  x 0;14

Giải: Ta có cos3x 4cos 2x 3cosx  4 0

Ví dụ 2: Giải phương trình (1 cos )2 (1 cos )2 2 1 2





Với điều kiện trên phương trình thì (1)

 2(1 cos2 ) sin32 1(1 sin ) sin22

 2cos (cosx x c os2 )x  0

2 cos3 .cos cos 0

2 3

x k

Vậy phương trình có nghiệm là ; 2 ( )

Với điều kiện (*) thì phương trình tương đương với

cos3x cosx c os2x 0

, 2

3







Nghiệm của phương trình là ; 2

Giải: Điều kiện sinx   0 x k kZ

Với điều kiện trên thì phương trình (1)

sin x(1 sin2  x cos 2 )x  2 2 sin xcosx

1 sin 2x cos 2x 2 2 cosx

Giải:

(*)  (cos 2x cos 4x)  sinx (cos 3x 2 sin 3x cos 3x)  0

 ( 2 sinxsin 3x sinx)  ( 2 sin 3xcos 3x cos 3x)  0

 ( 2 sin 3x 1 )(sinx cos 3x)  0

Ví dụ 9 : Giải phương trình tanx tan 3x 2sin 2x 1

Giải : Điều kiện cos 0, os3 0

x c x   x  k kZ

(*) Với điều kiện (*) thì phương trình

( 1)  sin 2 

2 sin 2 cos os3

c x x  k

     

2 cos 3 2 cot



Giải: Điều kiện sinx   0 x k kZ

Với điều kiện trên thì (1)

4cosx 2sinx 3 cos 2x

(1)  sin 3x 3sin 2x cos 2x 3sinx 3cosx  2 0

(sin 3x sin ) 2sinx x 3sin 2x (cos 2x 2 3cos )x 0

2

1 cos

x

cos 2x cosx 2 tan x  1 2 (1)

Giải: Điều kiện cos 0

2

x   x  k

, kZ (*) Với điều kiện (*) thì phương trình

Giải:

(1)  (cos 2x cos 4x)  sinx (cos 3x 2 sin 3x cos 3x)  0

 ( 2 sinxsin 3x sinx)  ( 2 sin 3xcos 3x cos 3x)  0

 ( 2 sin 3x 1 )(sinx cos 3x)  0

1 sin 3

2 cos 3 cos

(1) 4sin 2 12sin 3 3cos 2

8sin cos 12sin 6sin

2sin 4 cos 3sin 6 0

Ví dụ 17: Giải phương trình cos3x c os2x c x os   1 0

Giải: Ta có cos3x c os2x c x os   1 0

sin os 0 (1)

x c x x

8

x k x

24 2 2

42 7

x k k Z

k x

k x

* sinx cosx  0 ;

4

x  k k Z

* 2 2  sinx cosx sinxcosx 0 1 

Đặt tsinxcosx với t  2, 2  và 2 1

2

t sinxcosx 

Giải: Điều kiện:sinx 0 (*)

Với điều kiện (*) ta có:

2 6

4 sin 2 sin 2 3 sin cos 0

x  k  kZ

Bài tập tự rèn luyện: Giải các phương trình sau

Phần III : KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

1, Kết luận

Phương trình lượng giác không mẫu mực là một vấn đề khá khó, khá phức tạp đối với học sinh, tuy nhiên nếu được học một cách cẩn thận thì vấn đề đó trở nên bình thường và đễ dàng làm được Qua quá trình tham khảo, học hỏi của các đồng nghiệp đi trước tôi đã sử dụng các dạng toán này để dạy cho học sinh

và nhận thấy có hiệu quả cao đối với học sinh Chính vì vậy người giáo viên cần phải trang bị cho mình những hiểu biết cơ bản và cách nhìn khái quát tổng hợp Điều đó sẽ giúp cho người giáo viên khi giảng dạy về vấn đề này có được phương pháp truyền tải tốt nhất giúp học sinh tiếp thu có hiệu quả các em học sinh có sự nhìn nhận đúng đắn, đầy đủ, chắc chắn hơn về những bài toán có liên quan

Thông qua quá trình giảng dạy học sinh khối 11 tôi đã áp dụng đề tài trên và kết quả cho thấy:

+ Học sinh đã biết nhìn nhận đúng đắn hiểu rõ bản chất của mỗi bài toán và biết cách trình bày bài giải Học sinh khá giỏi rất hứng thú với các phương trình lượng giác và bài tập ra các em làm khá thành thạo

+ Học sinh đã biết chọn lựa phương pháp phù hợp cho mỗi bài toán cụ thể Trên đây là phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực trong quá trình giải toán tôi gặp phải và đã vận dụng,vì vậy tôi đưa ra một số ví dụ để các bạn đồng nghiệp cùng tham khảo

Các vấn đề đã đưa ra có thể còn có những thiếu sót nhất định, rất mong được

sự góp ý của các đồng nghiệp để bản sáng kiến này được hoàn chỉnh và mang tính khả thi hơn Tôi muốn mượn lời của một nhà khoa học để kết thúc bài viết

của mình “ Giải toán là ột nghệ thuật thực hành cũng giống nh i lội

tr ợt tuyết hay ch i đàn Có th học đ ợc nghệ thuật đó chỉ cần ắt ch ớc theo những ẫu ực đúng đắn và th ờng xuyên thực hành h ng có ch a hoá thần đ ọi c a ngõ h ng có hòn đá thần đ iến ọi i loại thành vàng”

2- Một số khuyến nghị:

Sáng kiến kinh nghiệm hay nên phổ biến rộng rãi cho giáo viên các trường

THPT