CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC ----phần 1---- Biên soạn: Trịnh Phương Liên I.. PHƯƠNG PHÁP THẾ Phương pháp 1.. Giải hệ phương trình 2 x xy y y xy Giải Hướn
Trang 1CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
phần 1
Biên soạn: Trịnh Phương Liên
I PHƯƠNG PHÁP THẾ
Phương pháp 1 Rút một biến để thế
Rút một ấn từ ph ơ trì h y, thay v o ph ơ trì h k a ể ợc ph ơ trì h một
ẩn gi ợc
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình
2
x xy y
y xy
Giải
Hướng dẫn: Muốn rút một ẩn từ một phương trình, ta phải coi ẩn còn lại là một số đã biết, rồi giải phương trình với ẩn cần rút, do đó ta phải chọn phương trình phù hợp Trong ví dụ 1, ta
có thể rút x từ phương trình thứ 2
2
2 5 (2)
y xy
(Lưu ý, để rút x, ta phải chú ý trường hợp y 0)
Xét y 0không là nghiệm của phương trình, ta có:
2 5 2
y x y
Thế vào phương trình (1) ta được:
2
2
2 2
24 25 0(3)
5
4 5
2
2
y y
y x y
y x
y
Giải phương trình (3) tìm được y, thế vào phương trình (4) ta tìm được các nghiệm của hệ phương trình là
x y; 2; 1 2;1
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 2 2
2
1
xy x x
Giải
Ta thấy x 0 không phải là nghiệm của hệ phương trình
Trang 2Từ phương trình (2) ta có
2
1
x x
Thế vào phương trình (1) ta được
3 2
0 1 2
x x x
x x x
x loai
x
x
Vậy hệ có nghiệm là 5
; 1; 1 , 2;
2
x y
Phương pháp 2 Rút một biểu thức để thế
Rút một biểu thức từ phương trình này, thay vào phương trình kia để được một phương trình một ẩn giải được
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 2 2
2
1
xy x x
Giải
Dễ thấy x 0không thỏa mãn phương trình thứ 2 Do đó từ phương trình thứ hai ta có
2 1
1 x
y
x
Thay vào phương trình thứ nhất ta được
2
0 1 2
x x x x
x loai
x
x
Từ đó ta có nghiệm của hệ là 5
2
x y
Trang 3Ví dụ 2 Giải hệ phương trình
2
x x y x y x
x xy x
Giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với
2 2
2 2 2
3
2
2
0 4
x
x
xy x
x x
x
x
0
x
không thỏa mãn hệ phương trình
17
4
Nghiệm của hệ phương trình 17
4
x y
Phương pháp 3 Thế hằng số bởi biểu thức
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình
2 2
3 3
y x
x y y x
Giải
2x y 2yx 2y x x 2x y 2xy 5y 0 Nhận thấy y 0không là nghiệm của hệ phương trình
Với y 0, ta chia hai vế cho 3
0
y
2
1
1 1 1
x
y
x y y
Từ đó ta có nghiệm của hệ là x y; 1;1 1; 1
Trang 4Ví dụ 2 Giải hệ phương trình
2
x y x y x x y
Giải
Từ phương trình (2) ta có x4x 1 3y 7 thế vào phương trình (1) ta được :
1
TH1
2 2
y x
Phương trình vô nghiệm
1 17
4
x
y x
y
1 17 4
3 17 4
x y
Vậy nghiệm của hệ là 1 17 3; 17 , 1 17 3; 17
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình
2
2 2
x y x y x y x
Giải
Từ phương trình thứ (2) ta có 2 2
4 8x 3x y 8y
Thay vào phương trình (1) ta được 2
5
x y
x
Với x y thay vào phương trình (2) ta được 2
4x 4
(vô nghiệm)
Với x 3 thay vào phương trình (2) ta được 2 1
7
y
y
Với x 5 thay vào phương trình (2) ta được 2
y y (vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là x y; 3; 1 3; 7
Ví dụ 4 Giải hệ phương trình
3 3
5 5
x y xy x y
Trang 5Giải
Thế từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta được
5
32 2
x y xy x y xy x y
x y
x y
Vậy nghiệm của hệ là x y; 1;1
Bài tập
Giải các hệ phương trình sau
1
5 5
2 2
1 2
x y
x y
x y
Hướng dẫn: Khai triển phương trình (1), thế 2 2
2
x y vào phương trình thu được Đáp số: x y; 1;1 , 1; 1
2 22 32 4 6
xy x y
Hướng dẫn: Biến đổi phương trình (2) về dạng 2
x y x y xy Thế
2xy 3x 4y 6 vào phương trình vừa thu được
x y
3
2
x y
xy y
Đáp số: 15 ; 3 , 15 ; 3
4 62 24
4
y x x y xy
Hướng dẫn: Hệ phương trình tương đương với
2 2
4 6
x y
5
2 2
3 2 0
y x x y
Hướng dẫn: 2 2
x y
Trang 66
y y a x x
Hướng dẫn: Thế 2 2
2
a
2 2
3
y x xy
Hướng dẫn: Thế 2 2
3
y x xy vào phương trình kia ta được 3 3
x y x y
8
2
x x y x y x
y xy x
Hướng dẫn: Thế 6 6 2
2
x x y
x
Đáp số: 4;17
4
3
x xy y
Hướng dẫn: Thế số 3 ở phương trình (2) vào vế phải ở phương trình (1)
Đáp số: x y; 2;1 , 2; 1
10
2
Hướng dẫn: Thế 2
9 3y x từ phương trình (1) vào phương trình (2), ta được phương trình bậc hai với ẩn 2
4
y x
Đáp số: x y; 3 3; 2 3 1 , 3 3; 2 3 1 ,
3 2 6 2 3 ; 6 3 2 , 3 2 6 2 3 ; 6 2 3
11
2000 0
500 0
x xy y
y yx x
Đáp số: 20 30 10 30
12
2
x y xy x y
Hướng dẫn: rút y từ phương trình (1) thế vào phương trình (2) ta được phương trình tích
Trang 7Đáp số: 16 1 1 9 3 33
x y