Nghiên cứu phương pháp dãi hữu hạn và ứng dụng để khảo sát dao động của tấm có sườn

Tên đề tài: Lập trình tính toán kết cấu bằng phương pháp dải hữu hạn và ứng dụng trong việc tính dao động tấm có sườn.. Cho đến nay FSM đã thành công trong việc phân tích các bài toán s

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc

-oOo -

Nhiệm vụ luận án cao học

Họ và tên học viên : Lê Hiền Anh Phái : nam

Ngày, tháng, năm sinh : 13-08-1975 Nơi sinh : TP Đà Nẵng

Chuyên ngành : Xây Dựng DD & CN Khoá : 10

1 Tên đề tài:

Lập trình tính toán kết cấu bằng phương pháp dải hữu hạn và ứng dụng trong việc tính dao động tấm có sườn

2 Nhiệm vụ và nội dung:

 Nghiên cứu cơ sở lý thuyết phương pháp dải hữu hạn

 Xây dựng phần mềm tính toán

 Ưùng dụng khảo sát ảnh hưởng của các đại lượng hình học của tấm có sườn đến dao động tấm

 Kết luận và kiến nghị về phương pháp dải hữu hạn

3 Ngày giao nhiệm vụ:

4 Ngày hoàn thành nhiệm vụ:

5 Họ và tên cán bộ hướng dẫn: PGS.TS Chu Quốc Thắng

6 Họ và tên cán bộ phản biện 1:

7 Họ và tên cán bộ phản biện 2:

Cán bộ hướng dẫn

PGS.TS Chu Quốc Thắng

Cán bộ phản biện 1 Cán bộ phản biện 2

Nội dung và đề cương luận án cao học đã được thông qua hội đồng chuyên ngành

Phòng Quản Lý Khoa Học – Sau Đại Học Ngày tháng năm 2003 Chủ nhiệm ngành

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HỒ CHÍ MINH

Nhận xét của cán bộ hướng dẫn :PGS.TS Chu Quốc Thắng

Nhận xét của cán bộ phản biện 1:

Nhận xét của cán bộ phản biện 2:

Luận án cao học được bảo vệ tại Hội Đồng Bảo Vệ Luận Aùn Cao Học trường Đại Học Bách Khoa Thành Phố Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2003

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện trường đại học Bách Khoa Thành Phố Hồ Chí Minh

LỜI CẢM ƠN Xin chân thành cảm ơn cha mẹ tôi, những người thân thương nhất của tôi, đã sinh thành và nuôi dưỡng tôi đến ngày hôm nay

Xin cảm ơn PGS TS Chu Quốc Thắng đã hướng dẫn tận tình cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này

Xin cảm ơn những bạn bè; đồng nghiệp đã động viên và chia sẽ với tôi những khó khăn trong lúc thực hiện luận văn này

Lê Hiền Anh

TÓM TẮT

Phương pháp dải hữu hạn (FSM) là phương pháp phát triển từ phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) áp dụng riêng cho những kết cấu có hình học đặc biệt như : kết cấu có hình dạng thẳng, tiết diện không đổi chịu tải trọng tương đối đơn giản … FSM đã được nghiên cứu và phát triển từ cuối những năm 1960 và đến nay vẫn còn đang phát triển Tuy nhiên tại Việt Nam phương pháp này chưa được phổ biến Nghiên cứu đầu tiên về đề tài này do học viên Trần Văn Bình thực hiện chỉ mới đề cập đến vấn đề tính toán chuyển vị và ứng suất của bài toán ứng suất phẳng Luận văn này được tác giả nghiên cứu nhằm giải quyết 3 bài toán:

1 Tìm chuyển vị; ứng suất đối bài toán kết cấu tấm chịu uốn và ứng suất phẳng đồng thời

2 Tần số dao động riêng và dạng dao động tương ứng

3 Tìm tải trọng tới hạn và dạng mất ổn định

Luận văn gồm 5 chương:

Chương 1 - Chương tổng quan :

Chương 2 – Cơ sở lý thuyết của phương pháp

Chương 3 – Ví dụ minh hoạ

Chương 4 – Khảo sát ảnh hưởng của sườn gia cường đến dao động của tấm chử nhật

Chương 5 – kết luận; kiến nghị

Một số ký hiệu viết tắt

 a : khoảng cách các sườn gia cường

 b : bề rộng phần tử dải

 c : tham số hàm chuyển vị tổng quát

 f : hàm chuyển vị tổng quát

 h : chiều dày phần tử

 i : biến đếm; số phức

 j : biến đếm

 k : hệ số động

 l : chiều dài khoảng nút

 m : số đường nút

 n : số phần tử

 p : tải phân bố đường

 q : tải phân bố diện tích

 r : chuyển vị góc quanh trục y (chuyển vị đại diện cho đường nút)

 s : số thứ tự chuổi đang xét

 t : thời gian

 u : chuyển vị phương x

 v : chuyển vị phương y

 w : chuyển vị phương z

 x : tọa độ địa phương

 y : tọa độ địa phương

 z : tọa độ địa phương

 Ai : diện tích mặt cắt phần tử lăng trụ thứ i

 A : diện tích lấy tích phân

 B : ma trận tính biến dạng

 C : ma trận hệ số cản nhớt

 D : ma trận tính chất vật liệu

 E : mô dun đàn hồi Young

 F : hàm dạng tổng quát

 KG : ma trận độ cứng hình học

 L : chiều dài phần tử

 M : ma trận khối lượng

 N : hàm nội suy phương x

 P : tải tập trung

 Q : hàm tải theo thới gian

 S : tổng số chuổi cần tính toán

 T : ma trận chuyển trục

 U : năng lượng biến dạng

 V : thể tích lấy tích phân

 X : chuổi hàm nội suy phương x (bài toán lớp hữu hạn)

 Y : chuổi hàm nội suy phương y

  góc giữa hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ tổng thể

  tỷ số giữa tần số lực cưỡng bức và tần số riêng

  độ biến thiên của chuyển vị góc (thành phần thêm vào trong phần tử bậc cao HO2)

  vectochuyển vị đại diện

  vecto biến dạng

  vecto riêng mô tả mode dao động

 xy thành phần biến dạng góc = 2xy

  : hệ số xác định tải trọng tới hạn

  hệ số chu kỳ chuổi

  hệ số nở hông

  khối lượng riêng

  vecto ứng suất

  biến thời gian (biến tạm dưới dấu tích phân)

  : tham số đặc tính chuổi (trong công thức các chuổi hàm phương y)

  tần số riêng

  độ biến thiên

  thế năng biến dạng toàn phần

  : tần số tương đương

  chuyển vị tương đương

Luận văn tốt nghiệp cao hoc ngành XD DD&CN K10 GVHD:PGS.TS.CHU QUỐC THẮNG

CHƯƠNG 1

1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN (FINITE STRIP METHOD – FSM) 1

: TỔNG QUAN 1

2 QUÁ TRÌNH PHÁT TRIỂN CỦA FSM 2

CHƯƠNG 2 1 PHẦN TỬ DẢI TRONG HỆ TOẠ ĐỘ DECAC 5

: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP 5

2 PHƯƠNG PHÁP LỚP HỮU HẠN 19

3 PHƯƠNG PHÁP LĂNG TRỤ HỮU HẠN 20

4 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG 22

5 PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH BẰNG FSM 23

6 BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC GIẢI BẰNG FSM 27

7 FSM viết tronh hệ toạ độ trụ 32

8 NHẬN XÉT PHƯƠNG PHÁP 34

CHƯƠNG 3 1 BÀI TOÁN TÌM ỨNG SUẤT, CHUYỂN VỊ (VÍ DỤ 1) 35

: VÍ DỤ MINH HOẠ 35

2 BÀI TOÁN TÌM TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG CHO DẦM (VÍ DỤ 2) 38

3 BÀI TOÁN TÌM TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG CHO TẤM CÓ SƯỜN (VÍ DỤ 3) 39

4 BÀI TOÁN TÌM TẢI TRỌNG TỚI HẠN (VÍ DỤ 4) 44

5 TÌM CHUYỂN VỊ TẤM CÓ SƯỜN (NHƯ VÍ DỤ 3) CHỊU TÁC DỤNG TẢI TRỌNG ĐIỀU H OÀ – SO SÁNH VỚI BÀI TOÁN TĨNH CÓ CÙNG CƯỜNG ĐỘ (VÍ DỤ 5) 45

6 TÌM CHUYỂN VỊ TẤM CÓ SƯỜN CHỊU TÁC DỤNG TẢI TRỌNG BẤT KỲ(VÍ DỤ 6) 49

CHƯƠNG 4 1 ĐẶT VẤN ĐỀ 51

: KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA SƯỜN GIA CUỜNG ĐẾN DAO ĐỘNG CỦA TẤM CHỬ NHẬT 51

2 KHẢO SÁT TẤM KHÔNG SƯỜN 52

3 KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA CHIỀU CAO SƯỜN ĐẾN TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG VÀ MODE SHAPE TƯƠNG ỨNG 53

4 KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA KHOẢNG CÁCH CÁC SƯỜN 58

5 KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG TỶ LỆ GIỮA CHIỀU DÀI & CHIỀU DÀY TẤM ĐẾN TẦN SỐ RIÊNG THỨ NHẤT 62

6 KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA CHIỀU DÀY SƯỜN ĐỐI VỚI TẦN SỐ RIÊNG THỨ NHẤT 64

CHƯƠNG 5: GIỚI THIỆU CHƯƠNG TRÌNH

Luận văn tốt nghiệp cao hoc ngành XD DD&CN K10 GVHD:PGS.TS.CHU QUỐC THẮNG

2 SỬ DỤNG CHƯƠNG TRÌNH 70

CHƯƠNG 6 1 KẾT LUẬN 77

: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 76

2 KIẾN NGHỊ 78

TÀI LIỆU THAM KHẢO 80

vị được xấp xỉ bằng việc kết hợp chuổi hàm và đa thức nội suy Do xuất phát từ việc giải bài toán tấm chử nhật nên phương pháp có tên là FSM (strip có nghĩa là dải) Thực ra FSM bao gồm cả các phương pháp: lớp hữu hạn và lăng trụ hữu hạn Đặc điểm của FSM là kết cấu phải có đặc điểm hình học không đổi theo phương mô tả bằng chuổi hàm

Cho đến nay FSM đã thành công trong việc phân tích các bài toán sau:

 Bài toán tấm; vỏ; kết cấu 3 chiều có mặt cắt không đổi theo 1 phương – sử dụng phần tử tương tự phần tử shell trong FEM với các điều kiện biên khác nhau

 Bài toán tổ hợp kết cấu tấm và thanh (hệ dầm sàn …)

 Bài toán tấm trên nền đàn hồi; và phi đàn hồi

 Tương tự như trên nhưng sử dụng phần tử 3 chiều (lăng trụ hữu hạn)

 Bài toán tấm nhiều lớp (lớp hữu hạn)

 Cũng những bài toán như trên nhưng giải với phần tử bậc cao như trong FEM

 Aùp dụng cả trong hệ toạ độ decac và toạ độ trụ thậm chí trong hệ toạ độ không vuông góc để giải các bài thẳng, cong, xiên …

 Sử dụng phối hợp nhiều loại hệ trục toạ độ để giải bài toán dải không đều; lăng trụ không đều …

 Tấm cong ghềnh có hình chiếu chử nhật; hình bình hành hay hình quạt

 Cho phép giải các bài toán động lực học và bài toán ổn định

 Cho phép giải các bài toán phi tuyến vật liệu; phi tuyến hình học

 Cho phép kết hợp giữa FEM và FSM

Thông qua phạm vi ứng dụng nêu trên, ta có thể lầm tưởng FSM thực hiện được tất cả những bài toán mà FEM có thể giải quyết được Thực ra khi sử dụng FSM ta phải luôn nhớ là kết cấu phải có hình dạng hình học đơn giản để việc mô phỏng không cần dùng quá nhiều số hạng chuổi Chính vì vậy FSM thường hay dùng trong tính toán cầu

Trong FSM phần chuổi hàm là phần đáng để quan tâm nghiên cứu nhất, vì đây là phần khác biệt duy nhất giữa FEM và FSM Trong các loại chuổi hàm đã được nghiên cứu, chuổi lượng giác và chuổi Spline là 2 loại chuổi phổ biến nhất FSM sử dụng chuổi lượng giác, còn được gọi là phương pháp bán giải tích (semi analysis), là phương pháp cơ bản vì nó nêu bật được tất cả các đặc điểm của FSM Tuy nhiên do phạm vi ứng dụng không rộng nên chỉ thường được sử dụng để nghiên cứu FSM với chuổi Spline thực sự là 1 cuộc cách mạng trong FSM khi nó giúp các nhà khoa học mỡ rộng phạm vi ứng dụng của phương pháp

2 QUÁ TRÌNH PHÁT TRIỂN CỦA FSM

Phương pháp dải hữu hạn (FSM) do Y.K Cheung khởi xướng Tác phẩm đầu tiên được xuất bản năm 1968 đã đề cập đến lời giải cho bài toán tấm tựa đơn Năm 1969 Rowel và Orden cũng đưa ra lời giải cho bài toán cầu bản chữ nhật 1 cách độc lập với Y.K.Cheung Sau đó phương pháp này đã được nghiên cứu ở rất nhiều nước tập trung vào cuối thập niên 1960 và đầu thập niên 1970 Riêng trong việc nghiên cứu FSM để giải các bài toán thiết kế cầu đã có rất nhiều thành tựu:

• Tấm chữ nhật với điều kiện biên tổng quát của Y.K Cheung năm 1968

• Cầu dầm hộp của Y.K.Cheung 1969

• Lớp hữu hạn để giải bài toán tấm dày của Y.K.Cheung và Chakrabarti năm 1971

• Lăng trụ hữu hạn để giải cầu hộp dày của Zienkiewicz và Too năm 1972

• Tấm cong tròn và cầu dầm hộp (Y.K Cheung năm 1969 ; Y.K.Cheung và M.S.Cheung năm 1971)

• Tấm gấp khúc và cầu dầm hộp của ( Brown và Ghali, 1972 và 1975)

• Cầu bản liên tục, tiếp cận mềm (tương tự phương pháp lực) của M.S.Cheung, Y.K.Cheung và Ghali năm 1970

• Cầu dầm hộp liên tục có sườn ngang, tiếp cận mềm của Loo năm 1975

• Cầu bản và cầu dầm hộp tiếp cận cứng của Wu và Cheung năm 1974; Decourt và Cheung năm 1978)

• Tính dao động tự do (M.S.Cheung và Cheung năm 1971)

• Phản ứng động của cầu bản dưới tác động của tải trọng di động của Smith năm 1973

• Tính ổn định của Premieniecki năm 1973 Wittrick và Plank năm 1974

Năm 1976 Y.K.Cheung; năm 1978 Loo và Cusens tổng kết những lý thuyết cơ bản của phương pháp dải hữu hạn và những ứng dụng của nó trong lĩnh vực kỹ thuật cầu cùng với những thành tựu trong suốt thời gian qua

Từ giữa những năm 1970 nhựng cố gắng lớn đều tập trung cho các đề tài phức tạp với những chủ đề chính:

• Tính toán tấm tổng quát (Bucco, Mazumdar và Sved 1979)

• Tính toán cầu cong composite chịu “tương tác thiếu “ (Arizumi năm 1982)

• Ứng xử của cầu hộp composite trong quá trình thi công (Branco và Green 1985)

• Phương pháp dải vĩ mô để giải bài toán tấm với chiều dày biến đổi theo phương ngang (Arabi và Li năm 1991)

• Phương pháp dải hổn hợp để giải bài toán cầu bản và cầu dầm hộp với gối tựa trung gian và sườn cứng của Puckett năm 1983; Maleki 1987; Wiseman và Puckett 1991

• Tính toán cầu vòm bản và cầu dầm hộp của M.S.Cheung, Akhras và Li năm 1994

• Ưùng xử của cột mất ổn định và tính toán kết cấu tấm mất ổn định cục bộ của Smith và Sridharan, 1978; Hancock, 1981; Langyel và Cusens, 1983; Gierlinski và Grave-Smith, 1984; Azizian và Dawe, 1985

Grave-• Tính toán kết cấu thép phi tuyến vật liệu của Olawale và Plank 1988; M.S.Cheung,

Ng và Zong 1980; Ng và những người khác 1991

• Tính toán phi tuyến vật liệu của tấm bê tông cốt thép của Guo và những người khác 1988; M.S Cheung và Li, 1990

• Tính toán kết cấu tấm đàn dẻo biến dạng lớn của Abayakoon 1989

• Tính toán phi tuyến cầu dây văng của M.S Cheung, Li và Jaeger, 1988và 1990

Năm 1982 Y.K.Cheung và một số người khác đã đưa hàm B3 spline để mô tả chuyển vị dọc của đường nút trong bài toán tấm chử nhật Hàm spline có thể mô tải bất kỳ điều kiện biên nào và dể dàng mô tả mô men tại điểm có lực tập trung cũng như gối tựa trung gian Bằng cách biến đổi hệ trục toạ độ nó giúp ta mô tả bất kỳ dạng đường cong nào Do đó phương pháp này phổ biến hơn phương pháp dùng chuổi lượng giác

Trong những năm sau đó, phương pháp dải hữu hạn dùng hàm spline đã được mỡ rộng:

• Cho cầu dầm hộp thẳng (Y.K.Cheung và Fan 1983) ;

• Cho cầu dầm hộp cong tròn và cong không tròn (Li, Tham và Cheung 1988)

• Tính toán dải hỗn hợp (chen, Gutkowski và Puckett 1990 và 1991

• Tính toán dao động và ổn định (P.Cheung và 1 số người khác1987; Mizusawa1988)

• Tính toán cầu bản bê tông cốt thép có xét đến tính phi tuyến vật liệu ( M.S.Cheung;

Ng và Zhao 1993)

Ngoài ra còn rất nhiều thành tựu trong lĩnh vực này không thể liệt kê hết

Tại Việt Nam, FSM là phương pháp còn mới mẻ Đề tài “sử dụng dải hữu hạn bậc cao trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi” của Lê Văn Bình đã được bảo vệ tại Hội Đồng Khoa Học Trường Đại Học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh chỉ mới tập trung nghiên cứu bài toán tìm ứng suất và chuyển vị cho tấm chử nhật ứng suất phẳng Trong đó tác giả chỉ thực hiện được việc tính toán với 1 số hạng chuổi và chương trình tính toán không đáng tin cậy lắm khi các ví dụ tính toán đều cho kết quả sai Đề tài “phân tích kết cấu tấm và ứng dụng trong kết cấu cầu dầm hộp” của Phạm Sanh (Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh) sẽ được bảo vệ trong thời gian tới hy vọng là đề tài mang tính thực tiển cao

Nội dung luận văn cao học này là sự tổng hợp kiến thức cơ bản kèm theo phần mềm tính toán các bài toán tìm ứng suất; chuyển vị; tần số dao động riêng; dạng dao động; bài toán động lực học kết cấu (kết cấu chịu tác dụng tải trong điều hoà và tải trọng thay đổi bất kỳ theo thời gian); bài toán tìm tải trọng tới hạn và dạng mất ổn định tương ứng của kết cấu trong hệ không gian 3 chiều 2 đầu tựa đơn (các điều kiện biên dọc theo kết cấu là tuỳ ý) bằng FSM Sau đó sử dụng phần mềm trên để khảo sát dao động của tấm có sườn

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP

Tương tự FEM xây dựng từ điều kiện tương thích, FSM cũng lấy cơ sở là chuyển vị Các thành phần chuyển vị của 1 điểm bất kỳ được xấp xỉ bằng hàm dạng (shape function) và các

chuyển vị đại diện (đại diện cho chuyển vị đường nút, khác với chuyển vị nút như trong FEM)

Hàm dạng, như đã đề cập trên, gồm hàm nội suy (hoàn toàn tương tự FEM) và chuổi hàm (phần mang tính khác biệt giữa FEM và FSM) Chuổi hàm cần thoả đầu tiên là các điều kiện biên, điều kiện khả vi và liên tục đến đạo hàm cấp 2 Kế đến chuổi hàm phải đảm bảo tính hội tụ cho bài toán Cho đến nay 2 chuổi hàm được sử dụng phổ biến nhất là chuổi lượng giác và chuổi B3 Spline Các chuyển vị đại diện được tính từ điều kiện cực tiểu thế năng biến dạng toàn phần

1 PHẦN TỬ DẢI TRONG HỆ TOẠ ĐỘ DECAC

1.1 Mô tả phần tử:

s F x y c

 f(x,y) là hàm mô tả 1 thành phần chuyển vị nào đó như u(x,y); v(x,y); w(x,y); r(x,y) …

o Fs( ) x , y là hàm dạng thứ s của thành phần chuyển vị f Fs( ) x , y = N ( ) ( ) x Ys y (1.2)

 N ( ) x là đa thức nội suy mô tả chuyển vị phương ngang (phương cạnh ngắn)

 Ys( ) y là số hạng chuổi thứ s mô tả chuyển vị phương dọc (phương cạnh dài)

 cs mô tả các chuyển vị đại diện của đường nút

is is

s

s j js is

is s

s js is

s

s js is

Y r N w N r N w N x

y x w y x r

Y r N w N r N w N y

x w

Y v N v N y

x v

Y u N u N y

x u

y x f

1 10 9

8 7

1 6 5

4 3

2 2 1

1 2 1

),(),(

),(

),(

),(

 c s chính là u is hay v is hay w is là các thành phần chuyển vị đại diện tương ứng theo phương x, y,

z và r is là thành phần chuyển vị góc yz

 N là đa thức nội suy: ( )

x N

x x N

x x x N

x x N

2 6

3 2 5

2 4

3 2 3

2 3

2 1

2 3 1

x x b N

x x N

x x b N

2 3

6

3 4 1 6

2 10

2 9

2 8

2 7

(1.4)

 trong đó:

b x

 Y 1 ; Y 2 là chuổi hàm (ta ký hiệu khác nhau vì thành phần chuyển vị v (theo phương y) có thể có đều kiện biên khác với u; w; r)

1.2.1.1 Đối với phương pháp bán giải tích (hay phương pháp sử dụng chuổi lượng giác)

 Chuổi hàm lấy từ phương trình vi phân dao động dầm:

y L

y L

y Y

Y L

cosh sinh

cos sin

4

(1.6)

 Trong đó χ1, χ2, là các hệ số xác định từ điều kiện biên

• Bài toán dầm 2 đầu khớp

s

µ sin (Dùng cho chuyển vị u; w; r) (1.7)

y L

y L

y

s s s

s

µ µ

υ µ µ

coshcos

y L

y L

y

s s s

s

µ µ

υ µ µ

sinhsin

cosh

với

s s

s s

µ µ

υ

coshcos

sinhsin

Bảng 12 giá trị đầu tiên của µs

• Bài toán 1 đầu ngàm 1 đầu tựa đơn

L

y L

y

s s s

µ υ

µ

sinhsin −

hay

L

y L

y

s s s

µ υ

µ

cosh cos −

sinh

sin

µs là nghiệm của phương trình sau: tan µs = tanh µs

Bảng 4 giá trị đầu tiên của µs

µ1

µ2

3.92660231204792 7.06858274562873

µ3

µ4

10.21017612281303 13.35176877775409 Với s>4 có thể tính gần đúng µs = s ( + 0 25 ) π (3.17)

• Bài toán cả 2 đầu tự do (liên kết theo phương dọc kết cấu)

=

L

y L

y L

y L

y

s s s

s

µ µ

υ µ µ

coshcos

=

L

y L

y L

y L

y

s s s

s

µ µ

υ µ µ

sinhsin

cosh

với

s s

s s

µ µ

υ

cosh cos

sinh sin

−

−

µs là nghiệm của phương trình sau: tan µs = tanh µs

Bảng 14 giá trị đầu tiên của µs

Với s>14 có thể tính gần đúng µs = s ( − 1 5 ) π (1.21)

• Bài toán 1 đầu ngàm 1 đầu tựa đơn

y L

y L

y

s s s

s

µ µ

υ µ µ

coshcos

y L

y L

y

s s s

s

µ µ

υ µ µ

sinhsin

cosh

với

s s

s s

µ µ

υ

cosh cos

sinh sin

• Bài toán 1 đầu khớp 1 đầu tự do

L

y L

y

s s s

µ υ

µ

sinhsin +

hay

L

y L

y

s s s

µ υ

sinh

sin

µs là nghiệm của phương trình sau: tan µs = tanh µs

Bảng 5 giá trị đầu tiên của µs

µ1

µ2

µ3

1 3.92660231204792 7.06858274562873

µ4

µ5

10.21017612281303 13.35176877775409

Với s>5 có thể tính gần đúng µs = s ( − 0 75 ) π (1.29)

 Điểm chung của tất cả các hàm trên là:

0 2

1.2.1.2 Đối với phương pháp Spline

 Chuổi hàm là đa thức bậc 3 từng khúc viết dựa trên các yêu cầu sau:

• Độc lập tuyến tính (nghiễm nhiên thỏa nếu không chọn các node trùng nhau)

• Liên tục đến đạo hàm cấp 2

• Tổng tất cả các số hạng chuổi cho giá trị bằng 1 trên toàn miền

 Chính vì yêu cầu liên tục đến đạo hàm cấp 2 nên chuổi hàm phải là hàm bậc 3

 Và vì là hàm bậc 3 nên cần 4 hệ số độc lập tuyến tính để mô tả (viết qua 4 khoảng nút)

 Kết quả như sau:

f f f f y

y y

y y y

y y y

y y y

y y y

y y

s

s s

s s

s s

s s

1 1

1 2

− +

+

+ + +

− +

− +

+

− +

−

−

−

− +

− +

−

− +

−

−

−

− +

−

1 2 2

1 2

3 2 4

1 2 1

1 1 2 1

3 1 2 2 4

3

2 1 1 1

1 1 2

3 1 2

2 1

2

2 1 2 2

1

3 2 1

s s s s s s

s

s s s s s s s s

s s s

s s s s s s s s

s s

s

s s s s s s

s

y y y y y y

y y f

y y y y y y y y

y y y y f

f

y y y y y y y y

y y y y f

f

y y y y y y

y y f

− +

− +

+

+ +

+ +

y y y y

y

y y y y y y

y l y y l l

y y y y

y y

y l y

y l l

y y y y

y

y y

l y

Y

s

s s

s

s s

s s

s

s s

s s

s

s s

3 2

1 3

1 2

1 1

2 3

1 3 1 2

1 1

2 3

1 2

3 2

2

3

0

3 3

3

3 3

3 0

/ / /

/ /

+v w r

u S

+

r w v u S

+v w r

u S

Đây là điểm khác biệt đáng lưu ý khi dùng hàm Spline

1.2.2 Hàm chuyển vị khi mô tả bằng phần tử bậc cao

Bậc cao ở đây được hiểu là hàm nội suy theo phương x là đa thức bậc cao hơn so với đa thức mô tả trong phần tử bậc thấp Chính vì vậy phương pháp triển khai phần tử bậc cao trong FSM được thực hiện như trong FEM

1.2.2.1 Có 2 hướng tạo phần tử bậc cao:

 Thêm các thành phần mô tả đặc tính chuyển vị như độ cong dải

ℵ … Phần tử bậc cao thu được được gọi là phần tử HO2

 Thêm đường nút: Thêm 1 hay 1 vài đường nút giữa phần tử Phần tử bậc cao thu được được gọi

là phần tử HO3 hay HO4 … tuỳ theo số đường nút thêm vào

1.2.2.2 Phần tử HO2 (đối với bài toán tấm chịu uốn)

 Thoả mãn các 1 vài tính chất như mô men uốn liên tục qua các phần tử dải (thậm chí biểu đồ mô men có thể là 1 hàm trơn tại các đường nút nhờ thêm vào đại lượng ℵ) tuy nhiên điều này tỏ ra không đúng với thực tế khi áp dụng cho kết cấu tấm có chiều dày thay đổi hay tấm gấp khúc Người ta thường sử dụng phần tử HO2 với 1 đại lượng χ thêm vào để giải bài toán tấm phẳng có chiều dày không đổi

+ +

1 16 15

14 13

12 11

) , ( )

, (

) , ( ) , (

) , ( ,

x

y x w y

x

x

y x w y x r

Y N r N w N N

r N w N y

x w y x f

s

s is js

is is

is is

χ

χ χ

−

=

− +

−

=

− +

−

=

2 3 2

3 7 4

6 15 10

2 3

3 1

3 8 6 1

6 15 10 1

3 2 2

16

4 3 2 15

5 4 3 14

3 2 2

13

4 3 2 12

5 4 3 11

x x x x N

x x x x N

x x x N

x x x x

N

x x x x N

x x x N

++

+

=

++

=

++

Y r N w N r N w N r N w N y

x w

Y v N v N v N y

x v

Y u N u N u N y

x u

y x f

s

s ks ks

is js

is is

s

s ks js

is s

s ks js

is

,,,,

,

1 29 28

27 26

25 24

2 23 22

21

1 23 22

2 22

2 21

2

4 4

2 3 1

x x x N

x x x N

x x x

N x

−

=

− +

−

=

+

− +

−

=

+

− +

−

=

4 3 2 29

5 4

3 2

28

4 3 2

27

4 3 2

26

4 3 2 25

5 4

3 2

24

4 8 5

24 52

34 7

16 40 32

8

16 32 16

4 12 13 6 1

24 68

66 23

1

x x x x x N

x x

x x

N

x x x

x x N

x x x

N

x x x x x N

x x

x x

xy xy y x

ε γ ε

ε ε

2

(1.65)

 { } [ ]p { }p

xy xy y

x

B

x

v y u y v x u

e e

e

δ γ

Y Y

x

Y x Y

x

b

Y b

Y

x

Y N y

Y N x

Y N y

Y N

y

Y N y

Y

Y N x

Y N

Bp

2 ' 1 2

' 1

' 2 '

2

1 1

2 2 1

2 2

1 1

1

2 2 2

1

1 2 1

1

1

0 1

0

0 0

0 0

0 0

x

w z u

(1.69)

⇒ { } z[ ]B b { }b

y x

w z y

w z x

w z

2 '

1 2

2 '

1 2

2 '

1 2

2

"

1 2

2

"

1 3 3 2

2

"

1 2

2

"

1 3 3 2 2

1 2

2 3 1

2 1

2 3

1 6 2 1

5 2 1

4 2 1

3 2

2 1 6 2 2

1 5 2 2

1 4 2 2

1 3 2

2 1 6 2 2

1 5 2 2

1 4 2 2

1 3 2

2 3 12

4 3 12

2 3 2

1 2

3 1

2 6 6

12 4

6 6

12

2 2

2 2

Y b

x b

x Y b

x b

x b

Y b

x b

x Y

b

x b

x b

Y b

x b

x x Y b

x b

x Y

b

x b

x x

Y b

x b x

Y b b

x Y

b b

x Y

b b

x Y

b b x

y x

Y N y

x

Y N y

x

Y N y

x

Y N

y

Y N y

Y N y

Y N y

Y N

x

Y N x

Y N x

Y N x

Y N

Chỉ áp dụng cho bài toán tấm chịu uốn

x

w z u

⇒ { } z [ ] Bb{ }b

y x

w z y

w z x

w z

Y N y

x

Y N y

x

Y N y

x

Y N y

x

Y N y

x

Y N

y

Y N y

Y N y

Y N y

Y N y

Y N y

Y N

x

Y N x

Y N x

Y N x

Y N x

Y N x

Y N

Bb

1 16 2 1

15 2 1

14 2 1

13 2 1

12 2 1

11 2

2 1 16 2 2

1 15 2 2

1 14 2 2

1 13 2 2

1 12 2 2

1 11 2

2 1 16 2 2

1 15 2 2

1 14 2 2

1 13 2 2

1 12 2 2

1 11 2

2 2

2 2

2 2

(1.73)

b w1 r1 χ1 w2 r2 χ2

1.3.3 Các thành phần biến dạng khi mô tả bằng phần tử HO3

1.3.3.1 Bài toán ứng suất phẳng

xy xy y

x

B

x

v y u y v x u

e e

Y N x

Y N y

Y N x

Y N y

Y N

y

Y N y

Y N y

Y N

x

Y N x

Y N x

Y N

Bp

2 23 1

23 2

22 1

22 2

21 1

21

2 23 2

22 2

21

1 23 1

22 1

21

0 0

0

0 0

x

w z u

⇒ { } z[ ]B b { }b

y x

w z y

w z x

w z

2

Với

Y N y

x

Y N y

x

Y N y

x

Y N y

x

Y N y

x

Y N

y

Y N y

Y N y

Y N y

Y N y

Y N y

Y N

x

Y N x

Y N x

Y N x

Y N x

Y N x

Y N

B b

1 29 2 1

28 2 1

27 2 1

26 2 1

25 2 1

24 2

2 1 29 2 2

1 28 2 2

1 27 2 2

1 26 2 2

1 25 2 2

1 24 2

2 1 29 2 2

1 28 2 2

1 27 2 2

1 26 2 2

1 25 2 2

1 24 2

22

22

22

b = w1 r1 w2 r2 w3 r3

1.4 Xác định các thành phần ứng suất trong tấm

Bài toán USP: { } σp =[ ]D{ } εp (1.79)Hay

p xy

y x y y

x

y x

y x

x x y

x x

p xy y x

E

E E

E E

γ ε

ε ν

ν ν

ν

ν ν

ν σ

σ σ

00

01

1

01

1

(1.80)

Bài toán tấm chịu uốn : { } σb = [ ] D { } εb = z [ ][ ] D Bb { } δb (1.81) Với vật liệu đẳng hướng:

 Ex = Ey = E (mô đun đàn hồi Young) (1.82)

 νx=νy=ν (hệ số nở ngang Poisson) (1.83)

 Exy = G = E/[2(1+ν)] (mô đun đàn hồi trượt) (1.84)

1.5 Thế năng biến dạng của tấm:

T

dV B D B dV

2

1 2

A A b

q b L

q L P

 Trong đó xp, yp : là tọa độ lực tập trung P

 L : biên chịu tải trọng qL phân bố đường (dọc theo trục y đi qua x = xq)

 b : biên chịu tải trọng qb phân bố đường (dọc theo trục x đi qua y = yq)

 A : diện tích chịu tải phân bố mặt

Hay viết đơn giản: W = ∫ q [ ] N Y { } δ dxdy (1.87)

1.7 Thế năng toàn phần:

1.8.1 Phương trình cực trị thế năng biến dạng toàn phần khi mô tả bằng dải bậc thấp LO2

Mỗi phần tử có 8 thành phần chuyển vị

++

++

++

++

++

++

++

++

++

++

0

0

0

0

;

; 2 8 8 2

; 1 9 8 1

; 2 8 8 1

; 1 2 8 1

; 1 1 8

; 1 99 1

; 2 98 1

; 1 92 1

; 1 91 2

; 1 89 1

; 2 88 1

; 1 82 1

; 1 81 1

; 1 29 1

; 2 28 1

; 1 22 1

; 1 21 1

; 1 19 1

; 2 18 1

; 1 12 1

; 1 11 1

;

1

2 1 2 1 1

S s r S s S S s

S s

S s

S s

S S

s

s u S s S s

s s

s s

s r S s S s

s s

s s

s v S s S s

s s

s s

s u S s S s

s s

s s

P r

K u

K r

K v

K u

K

r

P r

K u

K r

K v

K u

K u

P r

K u

K r

K v

K u

K r

P r

K u

K r

K v

K u

K v

P r

K u

K r

K v

K u

K u

(1.91)

1.8.2 Phương trình cực trị thế năng biến dạng toàn phần khi mô tả bằng dải bậc cao HO3

Mỗi phần tử có 12 thành phần chuyển vị

{ } { δ s = u1 v1 w1 r1 u2 v2 w2 r2 u3 v3 w3 r3}s (1.92)

K cũng có dạng tương tự

1.9 Phương trình để giải:

2 / 0 0

2 1

2

2 /

2 / 0 0

2 1

h

h

L b

s p T s p s

s

dxdydz B

D B z

dxdydz B

D B K

Bài toán ứng suất phẳng (1.94)Bài toán uốn (1.95)

L b

s p T s p s

s

dxdy B

D B h

dxdy B

D B h K

0 0

2 1

3

0 0

2 1

dxdy y Y y x q x N

s T

b

L b

s T

p s

0 0

0 0

, , Bài toán ứng suất phẳng (1.98)

Bài toán uốn (1.99)

Đặt:

y x y y

x

E E

ν ν ν

ν = −

−

=

1 1

b

b b

b

p p p

p

p p

p

b b b

p p

p

k k k

k

k k

k

k k k

k

k k

k

k k

dx k

k k

k

K

2 3 6

5

1 5

4

2 3 5

6

1 6

4

2 3 1

2 3

1

0 0 0

0

0 0 0

0

0 0

0 0

0 0

0 0

6 2

2 1

1

µ +

2 2

1

4 3

1

6 5

6 5

12 70

13

L E b

L E b

L E Lb h

xy s s

2 2

6

Lb E b

L

xy p

µ +

2 2

1

4 3 3 1

2 15

2 15

4 210

L E

Lb E

Lb E

Lb h

xy s s

x s

+

1

2 5

3 5

420

11

L E

L E

L E Lb h

xy s s

12 2

2 1

4

µ +

−

2 2

1

4 3

1

6 5

6 5

12 140

9

L E b

L E b

L E Lb h

xy s s

2 5

12

Lb E b

L

xy p

µ +

−

2 2

1

4 2 3

1

3 10

5 840

13

L E

L E

L E Lb h

xy s s

x s

280

L E

Lb E

Lb E Lb h

xy s s

Các ma trận độ cứng phần tử khác do quá phức tạp nên không được trình bày ở đây Hơn nữa để tránh nhầm lẫn, công thức ma trận K nên được thiết lập thông qua các chương trình toán học như matlab; maple …

1.10 Ghép nối phần tử

Ma trận chuyển trục:

0)cos(

0)sin(

0010

0)sin(

0)cos(

0

01

000

0)cos(

0)sin(

0010

0)sin(

0)cos(

α α

α α

α α

α α

Trong đó α là góc từ trục X tổng thể đến trục x địa phương

Quy trình ghép nối ma trận độ cứng cũng như vecto tải trọng được thực hiện hoàn toàn như bài toán khung phẳng trong FEM Do đó ở đây xin không nhắc lại

Gọi S là số chuổi; m là số đường nút; mỗi đường nút có 4 thành phần chuyển vị (đối với phần tử bậc thấp, đối với phần tử bậc cao số thành phần chuyển vị sẽ nhiều hơn) vậy ta có n=4*m*S là số phương trình và cũng là số ẩn số

1.11 Rút gọn lời giải đối với phương pháp bán giải tích

Khi tính toán giá trị các phần tử Kij ta luôn bắt gặp các thừa số sau:

2 1 0

2

1

0

02

s s

s s

L dy Y

Y

L

s

Vì vậy các giá trị Kij tính với các số hạng chuổi s1≠s2 đều bằng 0

K có dạng sau:

m s

s s

S s

S s s s

s m m m

m s

s

S s s s

s s

s m m m

m

K K

K K

K K

K K

K K

K K

2 1 4

; 4 1

; 4

4

; 1 11

2 2

; 1 1 1

2

; 1

2 1

2 2 1 4

; 4 1

; 4

4

; 1 11

1 2

; 2 1

2

; 1 1 2

2

; 1 1

1 2 1 4

; 4 1

;

4

4

; 1 11

0

m s

P P

Do đó từ 1 hệ 4mS phương trình 4mS ẩn suy biến thành S hệ phương trình 4m ẩn Và đó chính là lý do ta có thể giải theo từng số hạng chuổi

1.12 Nhận xét FSM với chuổi lượng giác

 Ưu điểm: vì có thể giải theo từng số hạng chuổi nên bài toán trở nên rất gọn nhẹ, cho kết quả nhanh

 Nhược điểm thứ nhất: chỉ đơn giản với bài toán 2 đầu tựa đơn Đối với bài toán biên ngàm; ngàm trượt hay tự do công thức ma trận độ cứng phần tử rất phức tạp

 Nhược điểm thứ 2: chỉ giải được với điều kiện biên không đổi (tự do, khớp, ngàm …) chính vì vậy không thể ghép các phần tử theo chiều dọc kết cấu Do đó hạn chế rất nhiều trong việc

 Kết luận: FSM với chuổi lượng giác chỉ phù hợp với những bài toán đơn giản: 2 đầu tựa đơn; tải trọng phân bố đều …

1.13 Rút gọn lời giải với phương pháp Spline

Tương tự như phương pháp bán giải tích Tuy nhiên khi tính toán giá trị các phần tử Kij ta luôn bắt gặp các thừa số lần này có dạng sau:

∫ ==≠ −− >≤

20

20

2 1

2 1 2

1

s s khi

s s khi dy

s S s ij S

s S s ij

S s S s ij S

s S s ij S

s S s ij

S s S s ij S

s S s ij S

s S s ij

s s ij s

s ij s

s ij

s s ij s

s ij s

s ij s

s

ij

s s ij s

s ij s

s ij s

s

ij

s s ij s

s ij s

s

ij

K K

K

K K

K

K K

K

K K

K

K K

K K

K K

K K

K K

K

2

; 1 1

2

; 1 2

2

; 1

2

; 1 1 1

2

; 1 1 2

2

; 1 1

2

; 2 1 1 2

; 2 1 2

2

; 2 1

4 2

; 4 1 3

2

; 4 1 2

2

; 4 1

4 2

; 3 1 3

2

; 3 1 2

2

; 3 1 1

; 2 1 3

2

; 2 1 2

2

; 2 1 1

; 1 1 2

2

; 1 1 1

00

0

00

00

00

0

0

00

0

00

0

00

00

00

00

0

(1.109)

1.14 Nhận xét FSM khi dùng chuổi hàm Spline

 Ưùu điểm thứ nhất: FSM cho lời giải chính xác hơn FEM trong trường hợp có cùng cách chia lưới với FEM Vì hàm B3 Spline chính là hàm xấp xỉ là đa thức bậc cao bậc 3 Nếu FEM dùng hàm xấp xỉ là đa thức có bậc ≥ 3 thì phần tử phải có nhiều hơn 10 nút (phần tử bậc cao) Tuy nhiên thực tế khi sử dụng FEM, phần tử bậc cao ít là sự chọn lựa so với phần tử bậc thấp nếu tải trọng không có dạng quá phức tạp

 Ưu điểm thứ 2: có phạm vi ứng dụng rộng (so với FSM dùng chuổi lượng giác)

 Nhược điểm thứ 1: Với ma trận K có dạng như vậy rõ ràng ta không thể giải theo từng số hạng chuổi Nếu chọn số khoảng nút bằng với lưới chia theo phương y trong FEM thì ta thu được 2 ma trận độ cứng trong 2 phương pháp FEM và FSM có cùng kích thước như nhau

 Nhược điểm thứ 2: FSM cho ma trận độ cứng K có cùng cỡ với FEM (phần tử shell phẳng, biên thẳng, 4 nút) nhưng có bề rộng dải lớn gấp 2,5 lần => tính toán lâu hơn

 Nhược điểm thứ 3: Lỏi của chương trình viết theo FSM luôn nặng hơn rất nhiều so với FEM

 Nhược điểm thứ 4: Chuổi hàm spline không có tính kế thừa Nếu như khi dùng chuổi lượng giác kết quả có độ hội tụ chưa như ý muốn thì ta có thể giải thêm với các số hạng chuổi tiếp theo (các kết quả với số hạng chuổi trước đó vẫn giữ nguyên giá trị) Còn khi sử dụng chuổi hàm Spline ta phải giải lại từ đầu (từ việc thiết lập lại lưới chia cho đến việc giải bài toán)

 Nhược điểm thứ 5: việc ghép nối phần tử theo chiều dọc là cực kỳ phức tạp vì mỗi thành phần chuyển vị nút bao giờ cũng bằng tổng của 3 thành phần chuổi (Không thể giải bài toán kết cấu theo FSM với chuổi hàm Spline mà dùng dưới 4 khoảng nút Tốt nhất số khoảng nút phải lớn hơn 8)

 Kết luận: FSM với chuổi hàm Spline hiếm khi nào là phương án tốt hơn FEM Đối với những bài toán đơn giản (biên tựa đơn 2 đầu; tải trọng phân bố đều …) thì ta nên dùng FSM với chuổi lượng giác Cò đối với những bài toán phức tạp hơn, FSM với chuổi lượng giác không thể giải quyết thì ta nên dùng FEM

2 PHƯƠNG PHÁP LỚP HỮU HẠN

2.1 Mô tả phần tử

1 2

2

; 1 2

;

,,

S s S s

s s s

c z

y x

Các thành phần chuyển vị

s s j j j i i i s

2

; 1 2

s s j i

S s S s

s s j i

S s S s

s s j i

y Y x X w z N w z N w

y Y x X v z N v z N v

y Y x X u z N u z N u

2 1 2

1

' 2 1 2

1

2 ' 1 2

1

hay ở dạng ma trận { f ( x , y , z ) } = ∑∑ NXY { } δ (2.4) Trong đó các hàm Xs1(x) và Ys2(y) được lấy tương tự như trong phần tử dải

N là đa thức nội suy

Với phần tử bậc thấp: { ( ) } ( )

x N

x N

2

(1.4)≡(2.5) ( )



2 3

1 x x x

2.3 Thiết lập phương trình

Vì đây là bài toán 3 chiều nên có đủ 6 thành phần ứng suất cũng như biến dạng

 Tính các thành phần biến dạng: { } [ ] { } δ

γ γ γ ε ε ε

x

w z u y

w z v x

v y u x w x v x u

zx yz xy z y x

ν ν

ν ν

ν ν

ν ν ν

ν ν ν

ν ν

0 0 0

0 2

2 1 0 0

0 0

0 0

2

2 1 0 0 0

0 0

0 1

0 0

0 1

0 0

0 1

2 1

 Vecto tải phần tử : { } = ∫ ( )

V

dV z y x NXYp

 Phương trình thu được vẫn là : [ ] K { } { } δ = P (1.93)≡(2.11)

3 PHƯƠNG PHÁP LĂNG TRỤ HỮU HẠN

3.1 Mô tả phần tử

3.2 Hàm chuyển vị

 Đối với phần tử tiết diện tam giác:

X,u Z,w

Y,v

i

j

k

= +

+

=

+ +

s k j

i

S s

S s

s s s

k j

i

S s

s k j

i

y Y v z x N v z x N v z x N z

y x w

Y N y

Y v z x N v z x N v z x N z

y x v

y Y u z x N u z x N u z x N z

y x u z

1

3 2

1

1

3 2

1

, ,

, ,

,

, ,

, ,

,

, ,

, ,

, ,

s k k k j j j i i i

−

−

=

2 1

2 2 2

1 3

1 3

1 1 1

3 2

3 2

3 3 3

2 1

2

1,

2

1,

2

1,

y y x x x x y y A z

x

N

y y x x x x y y A z

x

N

y y x x x x y y A z

x

N

i i

i

Với Ai là diện tích tiết diện phần tử thứ i

Y là chuổi hàm hoàn toàn giống như phần tử shell

 Đối với tiết diện chữ nhật:

+

=

= +

+ +

=

+ +

s l k

j i

S s

S s

s s s

l k

j i

S s

s l k

j i

y Y v z x N v z x N v z x N v z x N z

y x w

Y N y

Y v z x N v z x N v z x N v z x N z

y x v

y Y u z x N u z x N u z x N u z x N z

y x u

2 1

4 3

2 1

1

4 3

2 1

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, , ,

s l l l k k k j j j i i i

z x

z x

z x

a

z a

x N

a

z a

x N

a

z a

x N

a

z a

x N

1

1

11

4 3 2 1

(3.6)

Y là chuổi hàm hoàn toàn giống như phần tử shell

3.3 Thiết lập phương trình tương tự như phương pháp lớp hữu hạn

4 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG

Nói đến bài toán dao động ta có rất nhiều vấn đề cần nghiên cứu trong đó tần số riêng là 1 trong những thông số cơ bản đáng quan tâm nhất

4.1 Thiết lập phương trình

 Từ phương trình cân bằng, thay vecto tải trọng bằng vecto lực quán tính theo định luật II

Newton ta thu được:

[ ] { } { } ( ) { } ( ) [ ] { } ( ) t

t M t

q P t

t y

Y x N h y Y x N t

q d y Y x N t

q

s A

1

sinω δ

x N x N

 Phương pháp ghép thành ma trận khối lượng tổng thể tương tự như với ma trận độ cứng

 Tần số riêng

 Từ phương trình cơ bản ta có : [ ] { } ( ) [ ] { } ( ) t

t M t

4.2 Nhận xét lời giải

Trong công thức (4.7) ta thấy luôn xuất hiện các thừa số sau:

2 1 2

0 1 0

2

1

02

sinsin

s s khi

s s khi

hL dy

L

y s L

y s h dy

Y

hY

L L

s

s

ρ π

π ρ

ma trận K (đã đề cập trên) Phương trình trị riêng khi đó suy biến thành

Điều này sẽ không đúng nếu dùng chuổi hàm Spline Khi đó việc giải phương trình trị riêng sẽ trỡ nên khó khăn hơn rất nhiều Vì vậy đối với bài toán động lực học không nên dùng chuổi Spline

5 PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH BẰNG FSM

Khi không xét đến hiện tượng mất ổn định người ta xem như hiện tượng uốn và ứng suất phẳng diển ra độc lập Kết quả cuối cùng của bài toán tổng hợp là tổng đại số 2 kết quả của 2 bài toán (uốn và ứng suất phẳng) theo nguyên lý cộng tác dụng Tuy nhiên nếu độ võng do uốn của những phần tử kết cấu là lớn thì có thể phát sinh ra lực màng (gây ứng hiện tượng ứng suất phẳng) trong kết cấu Hoặc khi các thành phần ứng suất phẳng tương đối lớn, ứng suất nén có khuynh hướng làm tăng độ võng và ứng suất kéo thì ngược lại Như vậy là có sự tương tác giữa hiện tượng uốn và ứng suất phẳng

Như ta đã biết 1 kết cấu mà tổng hợp lực tác dụng lên hệ bằng 0 thì hệ kết cấu đó ở trạng thái cân bằng Có 3 dạng cân bằng: cân bằng bền; cân bằng không bền và cân bằng phiếm định Hiện tượng gia tăng các lực tác dụng lên hệ làm hệ chuyển từ trạng thái cân bằng bền sang trạng thái cân bằng không bền (hoặc có khi là cân bằng phiếm định) gọi là hiện tượng mất ổn định Lực lớn nhất tác dụng lên hệ làm cho hệ vẫn còn ở trạng thái cân bằng bền gọi là lực tới hạn

Hiện tượng mất ổn định trong kết cấu tấm là hiện tượng kết cấu tấm xuất hiện lực nén trong mặt phẳng tấm dưới tác dụng của tải trong làm tấm bị biến dạng uốn cong vênh ra ngoài mặt phẳng tấm khiến tấm bị phá hoại 1 cách đột ngột Tải trọng tương ứng gây ra ứng suất tới hạn là tải trọng tới hạn Ưùng suất lớn nhất tại chổ phá hoại gọi là ứng suất tới hạn

5.1 Thiết lập mối quan hệ giữa biến dạng uốn và biến dạng do ứng suất phẳng

 Xét 1 đoạn vi phân chiều dài phương x (có 2 đầu là A và B như hình vẽ)

 Bỏ qua biến dạng dọc trục do tính chất của vật liệu, chỉ xét đến sự thay đổi chiều dài hình chiếu lên phương x đoạn vi phân dx (AB trên hình vẽ) ta có :

w

x

w w

∂

∂+A’

o x

w y

x

w z x

v y u

y

w y

w z y v

x

w x

w z x u

2 1 2 1

2

2

2 2

2 2

+ +

+ +

+ +

+

+ +

+ +

+

−

− +

−

− +

+

−

− +

−

− + +

−

− +

=

j y j

y i

y i

y j x j

x i

x i

x

j y j

y i

y i

y

j x j

x i

x i

x

j xy j

xy j

x j y i xy i

xy i

x i

y

j y j

y j

y i

y i

y i

y

j x j

x j

x i x i x i

x

r f w f r f w f r f w f r f w

f

r f w f r f w f

r f w f r f w f

r zf w zf v f u f r zf w f z v f u

f

r zf w zf v f r

zf w f z v f

r zf w zf u

f r zf w f z u

f

' '

' '

' '

' '

' '

' '

' '

' '

"

"

' '

"

"

' 0

"

"

' 0

"

"

0 '

"

"

0 '

6 5

4 3

6 5

4 3

2 6 5

4 3

2 6 5

4 3

6 5

2 2

4 3

1 1

6 5

2 4

3 1

6 5

2 4

3 1

*

2 2

2 2

2 2

2 2

p xy

y x y y

x

y x

y x

x x y

x x

E E

D

γ ε

ε ν

ν ν

ν

ν ν

ν ε

σ

σ

σ

00

01

1

01

 Lần lượt lấy đạo hàm 2 lần thế năng biến dạng đàn hồi Π∗ theo các cặp biến số:

(ui; ui); (ui; vi); (ui; wi); (ui; ri); (ui; uj); ; (ui; rj);

(vi; ui); (vi; vi); (vi; wi); (vi; ri); (vi; uj); ; (vi; rj);

(rj; ui); (rj; vi); (rj; wi); (rj; ri); (rj; uj); ; (rj; rj);

(tổng cộng 64 phương trình)

 Kết quả ta được phương trình sau:

 Nhận xét: KGcr phụ thuộc vào các thành phần chuyển vị ui; vi; wi; ri; uj; vj; wj; rj Cho đến nay người ta chưa giải quyết được bài toán tổng quát là tìm phổ của tất cả các tải trọng tới hạn Để giải quyết bài toán này ta phải giả thiết các thành phần chuyển vị là phụ thuộc tuyến tính với nhau Với 1 hệ các thành phần chuyển vị như vậy ta tìm được 1 hệ lực tương ứng mà tỷ số giữa các lực là không đổi Để thuận tiện cho việc tính toán, người ta chọn 1 lực bất kỳ trong hệ ngoại lực tác dụng lên hệ làm đại diện Lực đại diện này thường có độ lớn bằng 1 (nếu giá trị tải này khác 1 ta làm cho nó bằng 1 bằng cách chia toàn bộ hệ lực cho 1 số có độ lớn bằng độ lớn lực đại diện Tải trọng tới hạn chính là hệ lực tác dụng lên kết cấu

5.2 Công thức tính ma trận độ cứng hình học KG

5.2.1 Cách thứ nhất: khai triển biểu thức thế năng biến dạng toàn phần rồi lấy đạo hàm

T

o

dV E E

E E

E dV

+++

+

++

++

++

++

j x j

x i

x i

x x x

o

dV r

f w f r f w f f E f

r f w f r f w f f E f

''

''

0'

''

'

6 5

4 3

' 3 '

1

6 5

4 3

' 3 1 ' 1 2

(5.13)



( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )

++

+

++

++

++

++

y i

y i

y y x

j x j

x i

x i

x y

j y j

y i

y i

y x xy y

j x j

x i

x i

x x x

i i

o

dV

r f w f r f w f f E f

r f w f r f w f f

r f w f r f w f f E f

r f w f r f w f f E f

r

u

0'

''

'

''

''

''

''

0'

''

'

6 5

4 3

' 4 1 ' 1

6 5

4 3

' 4

6 5

4 3

' 4 '

1

6 5

4 3

' 4 1 ' 1 2

ν

(5.14)



( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )

++

+

++

++

++

++

x i

x i

x x y

j x j

x i

x i

x y

j y j

y i

y i

y x xy x

j y j

y i

y i

y y y

i i

o

dV

r f w f r f w f f E f

r f w f r f w f f

r f w f r f w f f E f

r f w f r f w f f E f

w

v

''

''

0

''

''

''

''

''

''

0

6 5

4 3

' 3 1 ' 1

6 5

4 3

' 3

6 5

4 3

' 3 '

1

6 5

4 3

' 3 1 ' 1 2

ν

(5.15)

 Tương tự cho các cặp biến số là tổ hợp của ui, uj, vi,vj với wi, ri, wj, rj cụ thể là

j i o j

i

o

r u w

j

o

r u w

j

o

r u w

i o i

i

o

r v w v r

j o i

j

o

r v w v r

−+

++

+

−+

+

−

++

x y i

x y

x y y

y x i

y x

y x xy y xy xy xy

x xy i

y x xy xy

y x y

x x i

y y

x x x

x x i

x x

i

o

dV

b f d f f w f f z E

b f d f f w f f z E

f f b f

d f z c f f z w f f f z E

b f d f f w f f z E

b f d f f w f f z E

w

2 ' 3 '

3

"

3 2

' 3

"

3 1

2 ' 3 '

3

"

3

2 ' 3

"

3 1

' 3 ' 3 '

3

"

3 '

3

"

3 '

3 ' 3

"

3

2 ' 3 '

3

"

3

2 ' 3

"

3 1

2 ' 3 '

3

"

3 2

' 3

"

3 1

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

23

23

33

3

23

23

ν ν

(5.16) Với : b x =( )f1 'x u i−z( )f4 "x2r i +( )f2 'x u j−z( )f5 "x2w j −z( )f6 "x2r j (5.17)

i o i

i

o

r w w

w r

j o i

j

o

r w w

w r

j i o i

i

o

r r r

 Cách này thoạt tiên trông có vẻ phức tạp, tuy nhiên nếu biết vận dụng matlab hay các phần mềm toán học tương đương thì việc thực hiện sẽ rất đơn giản vì cách thiết lập tương đối chính thống

5.2.2 Cách thứ 2 (theo M.S Cheung)

 Tương tự như trên ta cũng có:

wo

σ , & ta có: ngoài công thực hiện trên biến dạng do vật liệu, công thực hiện trên biến dạng hình học được tính như sau:

w y

w x

w

xy o

y o

x

2 2

2

1 2

w x

w

y o xy

o xy o x o

σ σ

σ σ2

o xy o

σ σ

5.3 Nhận xét về ma trận độ cứng KG

 Khác với ma trận độ cứng K, trong công thức KGij luôn xuất hiện đủ 4 thành phần:

 sin(µs1y)sin(µs2y); cos(µs1y)cos(µs2y); sin(µs1y)cos(µs2y); cos(µs1y)sin(µs2y)

 Nên nhìn chung KG không có dạng như K Do đó bài toán phải được giải từ ma trận ghép từ tất cả các số hạng chuổi chứ không thể giải theo từng số hạng chuổi như trong bài toán dao động

6 BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC GIẢI BẰNG FSM

6.1 Phương trình cơ bản

 Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài này, bỏ qua ảnh hưởng gây uốn của các thành phần

 Phương trình viết lại như sau: [ ] M { } δ ( ) t + [ ] K { } { } δ ( ) t = 0 (6.2)

 Từ phương trình trên ta đưa về bài toán trị riêng như đã trình bày ở phần trên:

s dkbien m

4

2 1

1 4

2 1

ω

ω ω ω

ω ω

dkbien m

dkbien m

m m

s m dkbien m

dkbien m

dkbien m

m m

S s dkbien m s

dkbien m

4

; 4

2

; 4

1

; 4

4

; 2

22 21

4

; 1

12 11

1 4

; 4

2

; 4

1

; 4

4

; 2

22 21

1 1

4 2

1

φ

φ φ

φ

φ φ

φ

φ φ

φ

φ φ

φ φ

 Điểm khác so với FEM là nghiệm ω và φ có nhiều hơn S lần số thành phần

 Ví dụ như φ có kích thước 4m x (4m-dkbien)S

6.3 Biểu diễn chuyển vị theo mode dao động

M

M

φ φ

δ φ

=

Ψ với i = 1; 2; (4m-dkbien)*S (6.6)

 { } [ ] { }i

T i

 Tương tự cho vecto các thành phần chuyển vị {δ}, i nằm trong khoảng của số hạng chuổi nào thì [δ] tính theo số hạng chuổi đó

 Hệ phương trình vi phân khi này trỡ thành: MiΨ i( ) t + KiΨi( ) t = Pi( ) t (6.10)

là hệ phương trình dạng “tách rời” (uncouple) Việc giải hệ phương trình trên được tiến hành theo từng phương trình riêng biệt

 Kết quả được chuyển đổi như sau:

 Làm rõ công thức (6.11)

 Các “thành phần chuyển vị” được hiểu là các hàm mô tả các thành phần chuyển vị dọc theo đường nút, trong khi các tính toán lại thực hiện trên các chuyển vị đại diện Chính

vì vậy mà ta không thể tuỳ tiện cộng các thành phần chuyển vị đại diện được Trong công thức (6.11) ma trận [G] là ma trận hiệu chỉnh [G] có công thức như sau:

m

I L

y Y

I L

y Y G

4

4 1

00

00

00

 Đối với bài toán đối xứng qua mặt phẳng vương góc với trục Y đi qua điểm Y=L/2, các số hạng chuổi chẵn đều bằng 0 Vì vậy các thành phần chuyển vị tại mặt cắt giữa nhịp (là vị trí đáng quan tâm nhất) có thể tính theo công thức sau:

 Trong công thức (6.11) {φ} là ma trận có các cột là các vecto riêng Các vecto riêng được sắp xếp theo thứ tự thành phần chuyển vị hết số hạng chuổi thứ nhất rồi đến số hạng chuổi thứ 2 … Với cách sắp xếp như trên {d} đã xét đến việc tính tổng tất cả các số hạng chuổi

 Để giải hệ phương trình (6.10) ta đặt

i

i i

M

K

=

Ω và giải như hệ dao động 1 bậc tự do Giá trị

Ω gọi là tần số tạm

6.4 Phản ứng dưới tác dụng của tải trọng điều hoà

 Hàm tải trọng có dạng: Q ( ) t = ( q ( ) x , y + px( ) ( ) ( x , yp + py xp, y + P xp, yp) ) sin ( ) ω t (6.14)

 Không làm mất tính tổng quát ta xem như: Q( ) ( )t =q x,y sin( ) ωt (6.15)

 Vecto tải trọng: { } ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y x r y x q

t dxdy

y x u y x q

t dxdy

y x r y x q

t dxdy

y x w y x q

t dxdy

y x v y x q

t dxdy

y x u y x q

t p

t p

t p

t p

t p

t p

t p

A

m A

A A A A

m r

u r w v u

ω ω ω ω ω ω

sin,

,

sin,

,

sin,

,

sin,

,

sin,

,

sin,

,

4 2 1 1 1 1

4

2 1 1 1 1

 Chuyển đổi kết quả theo (6.11)

6.5 Phản ứng dưới tác dụng của tải trọng tuần hoàn

 Khai triển tải trọng theo chuổi Fourier:

=

1 2 1

1

j j j

p p

 Hàm tải trọng có dạng: Q( ) ( )t =q x,y sin( ) ωt Với: 0≤t≤t1=π ϖ (6.15)

 Tính các đại lượng trung gian Pi theo (6.16) và (6.17)

 Đặt ϕ = t / t1

πϕ β πϕ

β sin sin 1

1

2

i

i iP

 Pha 1 khi β = 1: (sinπϕ πϕcosπϕ )

=Ψ

i

i i

π ϕ

β

π β

π β

β

i

i i

P

6.6.2 Xung chữ nhật

 Tải trọng có dạng: { } P ( ) t = { p ( ) x , y } với: 0 ≤ t ≤ t1 (6.27)

 Vecto tải trọng: { }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A A A A

m r

u r w v u

dxdy y x r y x q

dxdy y x u y x q

dxdy y x r y x q

dxdy y x w y x q

dxdy y x v y x q

dxdy y x u y x q

p

p p p p p

p

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

4 2 1 1 1 1

4

2 1 1 1 1

6.7 Phản ứng dưới tác động của tải trọng bất kỳ

 Tải trọng có dạng: { } P ( ) t = { p ( x , y , t ) } với: 0 ≤ t ≤ t1 (6.32)

 Vecto tải trọng: { } ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A A A A

m r

u r w v u

dxdy y x r t y x q

dxdy y x u t y x q

dxdy y x r t y x q

dxdy y x w t y x q

dxdy y x v t y x q

dxdy y x u t y x q

t p

t p

t p

t p

t p

t p

t p

,,

,

,,,

,,,

,,,

,,,

,,,

4 2 1 1 1 1

4

2 1 1 1 1

M

K

=

7 FSM VIẾT TRONG HỆ TOẠ ĐỘ TRỤ

7.1 Mô tả phần tử

X

x,u j

i

w r

v ϕ