Phân loại và phương pháp giải một số bài toán dao động của sợi dây

Từ cơ sở là các phương trình Vật lý toán cơ bản, ứng với từng loại phương trình chúng ta đã xây dựng được một loạt các phương trình dao động như: Phương trình sóng một chiều, phương trìn

LỜI CẢM ƠN

Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy dỗ chỉ bảo và truyền đạt kiến thức cho em trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trường cũng như trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo: ThS Lê Khắc Quynh

đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này

Và em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, những người thân yêu, bạn bè đã động viên khích lệ em rất nhiều để em có thể hoàn thành tốt khóa luận của mình

Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của

em không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhận được những đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2013

Sinh viên

Trần Phương Thúy

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ, chỉ bảo nhiệt tình của thầy giáo: ThS Lê Khắc Quynh Công trình này không trùng lặp với các kết quả luận văn của các tác giả khác

Nếu sai xót em hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày tháng năm 2013

Sinh viên

Trần Phương Thúy

Những Phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại rất đa dạng bao gồm một khối lượng lớn các kiến thức thuộc các chuyên đề như: Hàm thực, hàm biến phức, các phương trình vi phân, các phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính… Bộ môn Phương pháp toán lý là một ví dụ ta phải dùng đến rất nhiều công thức toán học để giải về bài tập vật lý Từ cơ sở là các phương trình Vật lý toán cơ bản, ứng với từng loại phương trình chúng ta

đã xây dựng được một loạt các phương trình dao động như: Phương trình sóng một chiều, phương trình dao động màng, phương trình truyên nhiệt… Kiến thức toán này vô cùng cần thiết cho các bạn sinh viên tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu với các môn học khác trong khi học tại trường Bên cạnh những cơ sở lý thuyết là những bài tập vận dụng đòi hỏi sinh viên phải hiểu sâu sắc, nắm chắc được kiến thức Các dạng bài tập thì vô cùng phong phú và đa dạng Chính vì vậy, chúng ta cần phải làm thế nào tìm ra phương pháp tốt nhất nhằm tạo cho mình niềm say mê yêu thích môn học này Việc làm này rất có lợi giúp các bạn sinh viên trong thời gian ngắn đã nắm được các dạng bài tập, nắm được phương pháp giải và từ đó có thể phát triển hướng

tìm tòi lời giải mới cho các dạng bài tập tương tự Được sự định hướng của thầy giáo hướng dẫn ThS Lê Khắc Quynh nên em quyết định chọn đề tài

“Phân loại và phương pháp giải một số bài toán dao động của sợi dây” để nghiên cứu trong khóa luận tốt nghiệp của mình Mong rằng đề tài này sẽ là tài liệu tham khảo giúp cho các bạn sinh viên, đặc biệt là sinh viên mới bắt đầu khi học về phương trình sóng một chiều và các bạn chuẩn bị thi đầu vào cao học ngành Vật lý toán

Mặc dù có sự yêu thích, với sự nỗ lực của bản thân trong việc tìm kiếm

và thu thập tài liệu Cùng với sự giúp đỡ của thầy hướng dẫn trong khoảng thời gian ngắn, lượng kiến thức của em còn hạn hẹp nên không tránh khỏi những sai xót và hạn chế Vì vậy em rất mong được sự góp ý của hội đồng xét duyệt, của quý thầy cô và ý kiến của bạn đọc để luận văn càng ngày càng hoàn thiện hơn Những đóng góp của quý thầy cô và các bạn sẽ là hành trang giúp em phát huy và sáng tạo trên con đường sự nghiệp sau này của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về phương trình dao động sóng một chiều của sợi dây

3 Giả thuyết khoa học

Dùng các phương pháp toán học để thiết lập và giải các bài tập về phương trình dao động sóng một chiều của sợi dây

4 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán về phương trình dao động sóng một chiều của sợi dây

5 Phương pháp nghiên cứu

 Nghiên cứu lí luận:

- Vật lý lý thuyết

- Phương pháp giải thích toán học

- Trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn để hoàn thiện và kiểm tra tính chính xác của lý thuyết

3

 Thực hành

Giải các bài tập có liên quan theo các dạng đã chia

6 Ý nghĩa của đề tài

Nếu những mục tiêu đó được thực hiện một cách hiệu quả thì sẽ mang lại ý nghĩa rất lớn trong việc giúp sinh viên khoa Vật lý dễ dàng hơn trong việc giải bài tập có liên quan tới dao động của sợi dây thuộc chuyên ngành Vật lý lý thuyết

7 Cấu trúc khóa luận

 Cơ sở lý thuyết

- Đại cương về phương trình vật lý toán cơ bản

- Thiết lập phương trình dao động cơ bản của sợi dây

 Phân loại và giải một số bài tập dao động của sợi dây:

- Dao động của sợi dây vô hạn Bài toán Cô-si

- Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với các điều kiện đặc biệt

- Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn với các điều kiện đặc biệt

- Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với các điều kiện tổng quát

NỘI DUNG

Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Đại cương về phương trình vật lý toán

Các phương trình mô tả sự biến thiên của các trường theo thời gian thường là các phương trình vi phân đạo hàm riêng, trong đó chứa các hàm chưa biết (hàm nhiều biến), các đạo hàm riêng của nó và các biến số độc lập Cấp của đạo hàm là cấp cao nhất của hàm chưa biết có mặt trong phương trình là cấp của phương trình

Phương trình đạo hàm riêng gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất đối với hàm chưa biết và đạo hàm riêng của nó

Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập:

x y

G Fu y

u E x

u D y

u C y x

u B x

u

2 2

1 1 1

1 2 2 2

u D u u

0

2 2 2

(1-3)

Nghĩa là: D1E1F1G10

5

2) Nếu AC  B  0 trong một miền nào đó thì có thể đưa ra phương trình (1-1) trong miền ấy về dạng:

),(

2 2 2

2 2 2 2

u D u u

),(

2 2 2 2

3 3 3

3 2

u D

),(

3 3

Trong các phương trình (1-5) và (1-7) ta thường lấy một biến số là thời gian, còn một biến số kia là tọa độ x, khi đó ta có phương trình dao động của dây (hay phương trình sóng một chiều):

2

2 2 2 2

x

u a t

2

2 2

x

u a t

0

2 2 2

u

(1-10)

Nhiều bài toán vật lí và kĩ thuật dẫn đến các phương trình này người ta gọi chúng là những phương trình vật lí - toán cơ bản

Các phương trình (1-8), (1,9), (1-10) đều có vô số nghiệm vì vậy ta phải đặt thêm các điều kiện phụ để xác định nghiệm của chúng

Các phương trình (1-8) và (1-9) xuất hiện khi các phương trình không

dừng (biến đổi theo thời gian t) Nếu quá trình đó xảy ra trong một khoảng

không gianx hữu hạn (dao động của sợi dây có hai đầu gắn chặt, truyền nhiệt

trong thanh hữu hạn thì ta có hai loại điều kiện phụ sau:

1) Điều kiện ban đầu cho biết trạng thái lúc t0

2) Điều kiện biên cho biết quá trình xảy ra ở biên của khoảng không gian Bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn các điều kiện ban đầu và điều kiện biên gọi là bài toán hỗn hợp, nếu quá trình xảy

ra trên cả khoảng vô hạn x, thì ta chỉ cần điều kiện ban đầu Bài toán gọi là bài toán Côsi (Cauchy)

Phương trình (1-10) không chứa thời gian, cả hai biến số x, yđều là biến số không gian Nó xuất hiện khi nghiên cứu các phương trình dừng Để xác định nghiệm, ta cần các điều kiện, vì vậy bài toán này gọi là bài toán biên

Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên thường xuất phát do việc đo đạc thực nghiệm trong vật lí và kĩ thuật nghĩa là mang tính chất gần đúng Những sai số nhỏ của các điều kiện đó sẽ kéo theo những sai số nhỏ của nghiệm Do đó, ta đòi hỏi nghiệm của bài toán đặt ra phải phụ thuộc liên tục vào các điều kiện biên và điều kiện ban đầu Các bài toán được thiết lập sao cho nghiệm tồn tại, duy nhất và phụ thuộc liên tục và các điều kiện phụ, gọi là bài toán được thiết lập đúng

Trong đề tài này ta đi tìm hiểu phương trình dao động của dây (1-5) hay (1-8)

7

1.2 Lập phương trình dao động của sợi dây

Bài toán: Xét sợi dây căng là T nghĩa là mỗi điểm của sợi dây có lực T

tác dụng theo phương tiếp tuyến với nó Giả thiết sợi dây là đàn hồi, dao động

là nhỏ để có thể bỏ qua sự tăng chiều dài của sợi dây và do đó căng T là như nhau ở mọi tiết diện trong suốt quá trình dao động

Giả sử trong trạng thái cân bằng, sợi dây nằm dọc theo trục x , còn dao

động xảy ra sao cho mỗi điểm của sợi dây đều di chuyển vuông góc với trục

x và nằm cùng một mặt phẳng chứa trục x Lấy trên mặt phẳng này hệ tọa độ Đềcác vuông góc x , u , trong đó u là kí hiệu độ lệch của dây khỏi vị trí cân bằng Trong quá trình dao động, u là hàm của hoành độ x và thời gian t,

)

,

( t x

u  Ta thiết lập phương trình cho u  ( t x, )

Hình 1 Biểu thức dao động của sợi dây

Xét đoạn dây từ x1và x2 Tách đoạn này ra khỏi sợi dây ở thời điểm t

và thay thế ở hai đầu bằng các lực căng T Ta hãy xác định hình chiếu trên trục u của các lực tác dụng lên phần đang xét của sợi dây

Gọi 1là góc giữa tiếp tuyến của sợi dây với trục x tại điểm x ,1 2là góc tương ứng ở điểm x2 Tổng hình chiếu của lực căng Tsin2 Tsin1(*)

Giả sử rằng ngoài tác dụng lên sợi dây song song và ngược chiều với trục u

(chẳng hạn trọng lượng của dây) Mật độ phân bố của lực ngoài dọc theo sợi

dây kí hiệu là g ( t x, ) Thành thử hợp lực tác dụng lên phần sợi dây đang

dx t x u

x

x x

1

) , ( )

sin (sin

) , (

Ta đã biết:

x u

x u x u x

x x

1 ) ( tan 1

) ( tan )

( sin

u x

u T T

x

x x x x

2 2 1

9

Bởi vì đẳng thức này có thể xảy ra đối với bất kì (x1,x2)của dây, cho nên biểu thức dưới dấu tích phân phải bằng không ở một điểm bất kì của dây tại một thời điểm bất kì, nghĩa là có thể xảy ra đẳng thức:

0),(),(''),('' x t Tu x t  g x t 

Hay: '' ( , ) 2 '' ( , ) ( , )

t x g t x u a t x

Nếu không có ngoại lực tác dụng vào sợi dây thì g(x,t)0thì phương trình là thuần nhất, nó mô tả dao động tự do của dây Còn phương trình (1-12) với g ( x , t )  0là không thuần nhất là mô tả dao động cưỡng bức của sợi dây.Kết luận chương 1

Chương 1 đã tìm hiểu một cách khái quát lý thuyết cơ bản về dao động sợi dây như việc xây dựng phương trình, xét các điều kiện dao động

Chương 2 PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

VỀ DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY

Cơ sở để phân loại bài toán dao động của sợi dây của đề tài là dựa vào vào kích thước sợi dây, trạng thái kích thích dao động và các điều kiện ban đầu dao động của sợi dây

Trong khuân khổ của đề tài khóa luận tốt nghiệp dựa trên các bài tập hay gặp trong quá trình nghiên cứu các dạng bài tập ôn luyện thi đầu vào cao học, em chia làm bốn dạng lớn bài tập về dao động của sợi dây:

1 Dao động của sợi dây vô hạn Bài toán Cô-si

2 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với các điều kiện đặc biệt

3 Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn với các điều kiện đặc biệt

4 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với các điều kiện tổng quát

2.1 Dạng 1: Dao động của sợi dây vô hạn Bài toán Côsi

Định nghĩa sợi dây vô hạn: Sợi dây vô hạn là sự trừu tượng hóa sợi dây

có chiều dài rất lớn,đến mức các nút không ảnh hưởng gì đến dao động của sợi dây đang xét

Tính chất: Dao động của sợi dây vô hạn không chịu ảnh hưởng của điều kiện biên mà chỉ chịu ảnh hưởng của điều kiện ban đầu

Sự xuất hiện dao động của sợi dây vô hạn có thể hình dung như sau: ở thời điểm ban đầu nào đó t0 sợi dây có một hình dạng nào đó

)()0,()

,(

t x u



và mỗi điểm của sợi dây nhận một vận tốc ban đầu

 , '  ,0 ( )'

t x

t



sau đó sợi dây tự nó chuyển động

Hàm f (x) và F (x) phải xác định trên toàn bộ trục x

11

Thành thử ta có bài toán vật lí - toán sau đây:

Tìm nghiệm u ( t x, ) của phương trình 2 0

2 2 2

) (

0

0

x F t u

x f u

2

2 2 2

2 2

2 2 2

a y u

u a t

2

2 2 2

u     (2-3) Trong đó  ,  là các hàm tùy ý, khả vi liên tục hai lần để cho phép biến đổi biến số trên luôn đúng Nghiệm (2-3) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (2-1)

Ta thấy nghiệm tổng quát u ( t x, ) tổng của hai hàm Nếu coi hai hàm này

là chồng chập hai sóng, một sóng truyền sang trái, một sóng truyền sang phải

với vận tốc là a Thật vậy, hàm (x  at)lấy tại điểm x tại thời điểm t có giá trị bằng giá trị mà nó lấy tại điểm x  at ở thời điểm 0 Vậy đồ thị của hàm

x  at

 suy ra từ đồ thị của hàm  x bằng phép tịnh tiến tọa độ một đoạn

+at song song với trục hoành Vậy x  at biểu diễn một sóng truyền sang

phải với vận tốc a Tương tự như vậy hàm x  at biểu diễn một sóng truyền

sang trái với vận tốc a, a gọi là vận tốc truyền sóng Sóng truyền sang phải là

sóng thuận, sóng truyền sang trái là sóng nghịch

x a t

Hay nếu đặt C 0  0 , ta được:

    F d C

a x x

13

Giải hệ phương trình (2-4) và (2-6) ta được:

2 2

1 2

1

0

C d F a x f x

1 2

1

0

C d F a x f x

       F  d

a at x f at x f t x u

at x

Để dựng đồ thị ở thời điểm tiếp theo t, ta dịch chuyển đồ thị ban đầu

một đoạn at sang phải, và sang trái và cộng tung độ của đồ thị này lại

Các đồ thị (Hình 3.b,c,d) ứng với các thời điểm

a

l a

l a

l t

2

3 , , 2



Bắt đầu từ thờ

truyền về hai phía và sau khi

nằm yên trên trục hoành

Hình 3 Dao

Ta có thể kết lu

vẫn giữ nguyên trạng thái n

tới (sóng thuận nếu x

Điều kiện xảy ra

này, nghĩa là sau th

Hình 3 Dao động sóng ở các thời điểm khác nhau

t luận như sau: Một điểm nằm ngoài quãng

ng thái nằm yên cho đến khi một trong các sóng đ

t1  Khi sóng tương

à sau thời điểm

a

l x

t2   , một lần nữa nó lạ

thời điểm t1 mặc dầu sóng đi tới điểm

i sóng đi tới điểm x Giữa các thời điểm t1và

i vị trí cân bằng

ới nhau nữa mà lan

i dây lại trở lại vị trí

Bây giờ ta xét trư

ban đầu không có độ

l a

ta xét trường hợp ngược lại, khi dao động x

ộ lệch ban đầu nghĩa là f x  0 Khi đó nghi

at x

d F a

0

; 0

u Khi tăng thời gian t, miền lấy tích phân trong

Hình 4 biểu diễn dạng của sợi dây

u diễn dạng của sợi dây ở các thời điểm khác nhau

ng xảy ra do vận tốc Khi đó nghiệm có dạng:

Độ lệch cực đại về phía trên, nếu coi F x là va chạm xung từ phía dưới lên là:

0 0

cao cực đại ở các thời điểm

a

l x

t   sau nó vẫn trên độ cao này

Tuy nhiên, quá trình dao động mô tả ở đây có tính lí tưởng vì ta không thể

bỏ qua ảnh hưởng của trọng lực và ảnh hưởng của các đầu mút của sợi dây

Để hiểu rõ ta đi xét bài toán cụ thể:

Bài toán: Vẽ dạng của sợi dây vô hạn dao động tự do nếu vận tốc ban đầu bằng không, còn độ lệch ban đầu được cho bởi

3 2

3

2 1 1

1 0

, 0

x khi

x khi x

x khi x

x khi t

at x d F a at x f at x f t

x

2

1 2

1 ,

17

Điều kiện để xét bài toán là: F x

t

u t

3 2

3

2 1 1

1 0

0 ,

x khi

x khi x

x khi x

x khi x

f x

2 1

2

1 0

0 0

1

x khi

x khi x

x khi x

x khi x

4 3

3

3 2

2

2 0

1

x khi

x khi x

x khi x

x khi x

4 3

2 4

3 2

2 2

2 1 2

2

1 0 2

0 0

2

1 ,

x khi

x khi x

x khi x

x khi x

x khi x

x khi

x u

c) Tại thời điểm t2  1  at2  2

1 0 1

0 1 1

1 0

2

x khi

x khi x

x khi

x

x khi x

5 4

5

4 3

3

3 0

1

x khi

x khi x

x khi x

x khi x

f

khi x x khi x

5 4

2 5

4 3

2 3

3 1 0

1 0 2

1

0 1 2

1

1 0

1 ,

x khi

x khi x

x khi x

x khi

x khi x

x khi

x

x khi

x u

2

3 4

4

4

x khi

x khi

x khi

x khi

khi x x khi x

8 7

2 8

7 6

2 6

6 2

0

2 3

2 2

3 4

2 4

4 0

5 , 2 ,

x khi

x khi x

x khi x

x khi

x khi

x

x khi

x

x khi

x u

7 6

6 6

x khi

x khi x

x khi x khi

ợc vẽ ở các hình , , , Còn dcác hình , , ,

mỗi thời điểm t chỉ

ộ các sóng ấy ta sẽ

5 , 2 ,

1 t3  Các sóng Còn dạng của sợi

) (

0

0

x g t

u

x f u

t

t

và với các điều kiện biên khác nhau

Ta sử dụng phương pháp tách biến Furiê

Ta có thể chia ra một số bài toán với các điều kiện biên hay gặp, cụ thể như sau:

21

Bài toán 1:

Tìm nghiệm ux,t của phương trình

0 2

2 2 2

0 0

với điều kiện ban đầu:

) (

0

0

x g t u

x f u

x

u u

trong đó a là hằng số 0 , các hàm f x và g x giải tích trên D

Giải

Ta hãy xét một sợi dây hữu hạn chiều dài l, chiếm đoạn  0 ,l của trục

bài toán dưới dạng:

 x t X   x T t

Thay (1.1) vào phương trình 2 0

2 2 2

0 '' '' TX a2 

T

T X

T X

) 3 1 ( 0 ''

2

T ca T

cX X

x

x X x X

2 1 2

1

2 1

a

a e

a e a

a a

x

x X

x X

2

b l b

Từ điều kiện biên 

x

x X

x X

cos sin

0

2 1 2

1

2

c

x c x

c x c

l

k



Thay c2  0 và (1.10) vào (1.9) thì tương ứng với mỗi giá trị của k ta có

một giá trị tương ứng của c(

l

k a t

  

l

t ak N

l

t ak M

(trong đó M ; k N k là hệ số tích phân và nhìn chung phụ thuộc vào k)

Thay (1.11) và (1.12) vào (1.1) thì ứng với một cặp T k t;X k x ta có một nghiệm riêng u k x,t dạng:

 

l

x k A l

t ak N

l

t ak M t x

sincos

k k k A N Q

A M P

t ak Q

l

t ak P t x

sincos

các điểm đó gọi là nút sóng Các điểm    1 , 2 , , 1

2 1

k

l n

t ak Q

l

t ak P t

x u

k

k k







sincos

sin,

x f u

t t

k

k

k k

x g l

x k P l ak

x f l

x k Q

l k

dx l

x k x g ak P

dx l

x k x f l Q

0

0

sin 2

sin 2

t ak dx

l

x k x f l l

t ak dx l

x k x g ak t

sin

2 ,

25

Ta thấy rằng hàm (1.15) mô tả dao động duy trì, nghĩa là dao động giữ nguyên cường độ với mọi t 0 Điều đó là do ta bỏ qua sức cản của môi trường, nghĩa là bỏ qua sự tiêu tán năng lượng dao động

Ta xét một số ví dụ với f(x) cụ thể:

Ví dụ 1: Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x  0 và x  l, nếu dạng

của sợi dây ban đầu là cung parabol    

M

x l x x

f   và vận tốc ban đầu F x  0

Giải Theo công thức (1.17) ta có:

l

x k x l x lM

xdx l

k x l k

l x l

k x l x k

xdx l

k k

l x l

k x l k

l M

2 sin

l

k M

k

cos 1

4 cos

4

3 3 2

0 3

l

1 1 4

at k k

M

l t x u

1 3 3

at n n

M

l t x u

1 8

,

0

3 3

c c x khi v t

u u

t

t

, 0

,

0 0 0 0

Vậy Q k  0

dx l

x k a

k

v P

c k a

Do đó  

l

at k l

x k k

l

c k l

c k a

lv t x

x k l

c k l

c k k

a

pl t

1 2

c k l

k l

c k l

c k

sin sin

lim cos

cos

lim

0 0

l

c k l

x k l

c k k a

l t x u

Đây là dao động của sợi dây đứng yên ở thời điểm ban đầu và ta truyền

cho nó một xung lượng p tập trung tại điểm x  c

Ví dụ 3 Một sợi dây hữu hạn, được gắn chặt ở các đầu mút x 0 và

Giải

(1) Theo bài ra ta có

điều kiện ban đầu là:

0

2 0

t

t

t u

l

x l x u

(2); và điều kiện biên

0 0

l x

x u

t ak Q

l

t ak P t

x u t

x u

k k







sincos

sin,

4 sin

1 0

2 1

0

k k t

k k t

l

k Q t

u

l

x l x l

k Q u

2 0 2

k

l k P

dx l

x k l

x l x l

k

k P

x k k

l l

1 2 cos 1 2 sin 1 2

1 32

,

at n l

x n n

t x

2 2 2

0 0

với điều kiện ban đầu:

) (

0

0

x g t u

x f u

A u

l x

x 0

(trong đó a;A;B là các hằng số 0 ; các hàm f   x;g x giải tích trên D)

u (2.2)

ta được: 22 0

2 2 2 1 2 2 2

2 2 2

w d a x

v a t v

Giả sử vx,t;w1 x ;w2 x thỏa mãn các điều kiện

Hàm vx,t là nghiệm của phương trình 2 0

2 2 2

2 1

0

x g t v

x w x w x f v

l x

x

w

A w

w

l x x

l x

x

w

A w

2

a l a

A a

A a

Ax x

Sử dụng điều kiện biên

w

l x

2 1

0

0

x g t v

l

B l

x A x f v

t t

0

x g t v

A B l

x A x f v

ta được:

0 '' '' TX a2 

T

T X

T X

''

)18.2(0

''

2

cT a T

cX X

x

x X

x X

0

2 1 2

1

2 1

c

c e

c e c

c c

Từ điều kiện biên

x

x X

x X

2

d l d

x X

x X

0

2 1

2

x q

x q

2

l q

q



Để phương trình (2.18) có nghiệm không thuần nhất thì:

0sinl  l  k  

có một hàm X x tương ứng dạng:

l

k q x



l

k a t

l

t ak N

l

t ak M

(trong đóM ; k N k là hệ số tích phân và nhìn chung phụ thuộc vào k)

Thay (2.26) và (2.27) vào (2.16) thì ứng với một cặp T k t;X k x ta có một nghiệm riêng v k x,t dạng:

 

l

x k q l

t ak N

l

t ak M

t x

sincos

c M P

k k

k k

rồi thay vào (2.28) thì v ,x t có dạng:

 

l

x k l

t ak Q

l

t ak P t x

sincos

 

l

x k l

t ak Q

l

t ak P t

x v

k

k k







sincos

sin,

A B l

x A x f v

t t

0 0

Thay vào (2.30) ta được

k

k

k k

x g l

x k P l ak

A B l

x A x f l

x k Q

l k

dx l

x k x G ak P

k

A k k

B xdx k x f l Q

0

0

sin 2

2 cos

2 sin

k B k

dx l

x k x f l t

x v

2 sin

2 ,

 

l

x k l

l ak dx

l

x k x g ak

k B k

dx l

x k x f l

A l

x A B t x

2 sin

2 ,

 

l

x k l

t ak dx

l

x k x g ak

0 0

x f u

t t

x

x u u

alà hằng số  0 ; f x ; g x giải tích trên D

Gợi ý và đáp số

Sử dụng phương pháp tách biến, ta sẽ tìm nghiệm ux,t của bài toán dưới dạng: ux,t X   x T t (3.1) Thay (3.1) vào phương trình 2 0

2 2 2

u

ta được:

0 '' '' TX a2 

T

T X

X

Từ (3.2) ta thấy vế trái chỉ phụ thuộc vào biến x, còn vế phải phụ thuộc

vào t nên để đẳng thức xảy thì:

c const T

T X

)3.3(0''

2

cT a T

cX X

r2  0  2

 Nếu c 0 thì r  c phương trình (3.3) có nghiệm X (x)dạng

e a e a x

l x

x

x u

l x

x

x X X

2 1

c e a e a

a a

l c l

x u

l x

x

x X

x X



x

x u

u

0

0 0

l x

x

x X

x X

cos

0

2 1

2

l c c

l c c

0

1

2

l c c

c

Để hệ phương trình có nghiệm không mâu thuẫn nhất thì

0 cos  l c    

2 1

4

1 2

x

X k

2

1 2 sin

1





Thay (3.10) vào (3.4) thì ứng với mỗi giá trị của k ta xác định được một

phương trình vi phân T k t dưới dạng:

35

4

1 2 ''  2  2 T t 

l

k a t

l

t k a N l

t k a M t

2

1 2 cos 2

1 2





(trong đóM ; k N k là hệ số tích phân và nhìn chung phụ thuộc vào k)

Thay (3.11) và (3.12) vào (3.1) thì ứng với một cặp T k t;X k x  ta có một nghiệm riêng u k x,t dạng:

l

x k c

l

t k a N l

t k a M t x

2

1 2 sin 2

1 2 cos 2

1 2 sin

(3.13)

c M P

k k

k k

rồi thay vào (3.13) thì u , x t có dạng

l

x k l

t k a Q l

t k a P t x

2

1 2 sin 2

1 2 cos 2

1 2 sin

1 2 cos 2

1 2 sin ,

,

k

k k

k

k

l

x k l

t k a Q l

t k a P t

x u

x f u

t t

0 0

1 2

2

1 2 sin

k

k

k k

x g l

x k P

l

k a

x f l

x k Q

l k

dx l

x k x

g k

a P

dx l

x k x

f l Q

0

0

2

1 2 sin 1

2 4

2

1 2 sin 2

x k x

g k

a t

x u

1 2 sin 2

1 2 sin 1

2

4 ,

t k a dx l

x k x

f l

l

2

1 2 sin 2

1 2 cos 2

1 2 sin 2

0 0

với điều kiện ban đầu

x f u

t t

A u

l x

2 2 2

w d a x

v a t v

từ phương trình (4.2) và các điều kiện của hàm u , x t ta có thể tìm các hàm

 x t w x w x

v , ; 1 ; 2

Hàm w1 x là nghiệm của phương trình 21 0

2 2





dx

w d

với điều kiện ban đầu

2 1

0

x g t v

x w x w x f v

0 0

l x

x

x v

0

0

x g t

v

x F Bx A x f v

t k a Q l

t k a P t

x

v

k

k k

2

1 2 sin 2

1 2 cos 2

1 2 sin ,

l k

dx l

x k x

g k

a P

dx l

x k x

F l Q

0

0

2

1 2 sin 1

2 4

2

1 2 sin 2