Ứng dụng đa thức và phân thức hữu tỉ vào đại số sơ cấp

Muốn học giỏi, đặc biệt học giỏi môn toán thì phải luyên tập, thực hành nhiều.Ngoài việc nắm rõ lí thuyết, phải làm nhiều bài tập.Đối với học sinh, bài tập thì rất nhiều và đa dạng nhưng

Lời cảm ơn

Sau một thời gian nghiên cứu, dới sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, khoá luận của em đến nay đã hoàn thành

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy

cô trong tổ Đại số đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện tốt nhất cho em trong thời gian làm khoá luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình

tới cô Hà Thị Thu Hiền đã giúp đỡ em tận tình trong quá trình chuẩn bị và

hoàn thành khoá luận

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thân còn hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi thiếu xót Em rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khoá luận của em đ-

ợc hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2008

Sinh viên

Nguyễn Thị Dịu

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp này là công trình nghiên cứu của riêng tôi, không trùng với kêt quả nghiên cứu của tác giả khác

Nếu sai, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên

Nguyễn Thị Dịu

Lời nói đầu

Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan trọng Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học, là công cụ để giải quyết nhiều vấn đề trong đời sống thực tế

Muốn học giỏi, đặc biệt học giỏi môn toán thì phải luyên tập, thực hành nhiều.Ngoài việc nắm rõ lí thuyết, phải làm nhiều bài tập.Đối với học sinh, bài tập thì rất nhiều và đa dạng nhưng thời gian học tập thì hạn hẹp.Đồng thời các em khó có điều kiện chọn lọc những bài tập hay có tác dụng thiết thực cho việc học tập, rèn luyện và phát triển tư duy học toán của mình

Trong môn toán, đa thức giữ một vị trí hết sức quan trọng Nó không những là đối tượng nghiên cứu của đại số mà còn là công cụ đắc lực của giải tích Tuy nhiên cho đến nay, tài liệu về đa thức chưa có nhiều, các dạng bài tập về đa thức chưa được phân loại rõ ràng và hệ thống hoá chưa đầy đủ

Với những lí do trên em chọn đề tài “ứng dụng đa thức và phân thức hữu tỉ vào đại số sơ cấp” nhằm phân loại, hệ thống một số bài toán về đa

thức, phân thức hữu tỉ và ứng dụng của nó để giải các bài toán có liên quan

Từ đó giúp các em học sinh THPT có thêm tài liệu để luyện tập và thực hành Bên cạnh đó ta cũng thấy rõ hơn vai trò của đa thức, phân thức hữu tỉ trong nhà trường phổ thông

Hà Nội, tháng 05 năm 2008

Sinh viên

Nguyễn Thị Dịu

Mục lục

đầu……….1

Mục lục……… 2

Chương 1 Những kiến thức liên quan ……… 3

1.1 Vành đa thức một ẩn……… 3

1.2 Vành đa thức nhiều ẩn………11

1.3 Đa thức đồng dư………13

1.4 Phân thức hữu tỉ………14

Chương 2 ứng dụng của đa thức một ẩn……….18

2.1 ứng dụng 1: Xác định đa thức………18

2.2 ứng dụng 2: Chứng minh một số bài toán chia hết ……… 23

2.3 ứng dụng 3: Tìm giá trị của biểu thức đối xứng đối với các nghiệm

của đa thức ………26

2.4 ứng dụng 4: Giải phương trình……… 30

2.5 ứng dụng 5: Tìm điểm cố định của họ hàm số ……… 33

Chương 3 ứng dụng của đa thức nhiều ẩn……… 36

3.1 ứng dụng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ……….36

3.2 ứng dụng 2: Chứng minh hằng đẳng thức……… 38

3.3 ứng dụng 3: Chứng minh bất đẳng thức ………40

3.4 ứng dụng 4: Giải hệ phương trình……… 44

3.5 ứng dụng 5: Phương trình Điôphăng……… 47

Chương 4 ứng dụng phân thức hữu tỉ vào tìm nguyên hàm, tích phân…… 50

Kết luận……… 56

Tài liệu tham khảo……… 57

chương 1 Những kiến thức liên quan

P (a ,a ,a , )/ a A, i 0,1 ,a 0hÇu hÕt

Trên P xác định 2 qui tắc sau:

Tương tự : a ,bi i A a bi i  A ck A

Mặt khác ai , bi = 0 hầu hết nên ck = 0 hầu hết

Vậy a.b P

+ (P,+,.) là vành giao hoán có đơn vị

- Phép + trong A có tính chất kết hợp, giao hoán nên phép + trong P cũng có tính chất kết hợp và giao hoán

Phần tử đơn vị là 0 = (0,0,…,0,…)

Phần tử đối của a là -a = ( a , a , , a , )  0 1  n

- (P,.) là một vị nhóm giao hoán

Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng trong vành A; phép cộng

và phép nhân có tính chất kết hợp, giao hoán nên phép nhân trong P có tính chất kết hợp, giao hoán

Phần tử đơn vị 1 = (1,0,…,0,…)

- Ta cũng kiểm tra được phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng

* Đưa cách viết tổng quát về cách viết thông thường

ánh xạ f : AP

a(a,0 ,0) là một đơn cấu vành

Do đó ta đồng nhất a A với f (a) P  A P.Các phần tử của A cũng được gọi là các đa thức

Nếuf (x)0thì n đƣợc gọi là bậc của đa thức f(x) và đƣợc kí hiệu là:

Định lí: Cho vành đa thức A[x], A_ trường

Với hai đa thức bất kỳ f (x),g(x)A[x],g(x)0 thì tồn tại duy nhất các đa thức q(x), r(x) A [x] sao cho :

q(x) = h(x) + h1(x), r(x) = 0

Nếu f2(x) 0

+) Nếu deg f2(x) < deg g(x)  q(x) = h(x)+h1(x), r(x) =f2(x)

+) Nếu deg f2(x) > deg g(x) ta lại tiếp tục quá trình như vậy thu được dãy các

đa thức f(x), f1(x), f2(x),… mà:

deg f(x) > deg f1(x)> deg f2 (x)>…

Vì bậc của những đa thức là những số nguyên không âm nên quá trình trên không thể kéo dài vô hạn mà phải dừng lại ở bước thứ k, tức là ta có:

Với fk(x)= 0 hoặc fk(x) 0 thì deg fk(x) < deg g(x), khi đó ta chọn

q(x) = h(x) + h1(x) +…+ hk-1(x), r(x) = fk(x), thoả mãn điều kiện q(x): thương, r(x): dư

deg (g(x)(q(x) – q’(x))) = deg (g(x)) + deg (q(x) – q’(x))

deg g(x) > deg r’(x), deg r(x)

Ta thấy ngay nếu P(x)  Q(x) thì deg P(x) deg Q(x)

Phép chia đa thức có một số tính chất sau:

1 Với  P(x) A[x],   0, P(x) P(x)

2 Nếu P(x)  Q(x) và Q(x)  P(x) thì P(x) = Q(x) , 0

3 Nếu P(x)  Q(x) và Q(x)  S(x) thì P(x)  S(x)

4 Nếu Pi(x)  Q(x), i1,n và S 1(x), S2(x),…, Sn(x) là những đa thức bất kì thì

c Nghiệm của đa thức

+) Định nghĩa: Cho P(x)  A [x], deg P(x) 1, A Nếu P() = 0 thì 

gọi là nghiệm của đa thức P(x) trong A và  cũng gọi là nghiệm của phương trình P(x) = 0

+) Định lí d’Alembert: Mọi đa thức bậc khác không với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức

+) Hệ quả định lí Bezout: Số  là nghiệm của đa thức P(x) khi và chỉ khi P(x)  (x –)

a

a

a

a ( 1)

a

a ( 1)

1.1.3 Đa thức với hệ số nguyên

a Các định nghĩa

- Định nghĩa 1: Đa thức P(x) L[x] đƣợc gọi là không bất khả quy trong L[x] nếu tồn tại các đa thức Q(x)  L[x] , S(x) L[x] với bậc 1 sao cho

Ngƣợc lại P(x) đƣợc gọi là bất khả quy trong L[x]

- Định nghĩa 2: Đa thức f(x)  Z[x] đƣợc gọi là đa thức nguyên bản nếu các

hệ số của nó nguyên tố cùng nhau

b Các tính chất

- Tính chất 1: Nếu f(x)  Q[x] thì tồn tại duy nhất g(x) nguyên bản và p

q là phân số tối giản sao cho:

p

f (x) g(x)

q



- Bổ đề Gauss: Tích của hai đa thức nguyên bản là một đa thức nguyên bản

- Định nghĩa: Hai đa thức P(x), Q(x) đƣợc gọi là nguyên tố cùng nhau nếu

ƢCLN của chúng là một đa thức hằng số hay(P(x), Q(x)) = 1

- Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai đa thức P(x), Q(x) nguyên tố cùng nhau

là tồn tại cặp đa thức U(x) và V(x) sao cho:

U(x).P(x) + V(x).Q(x) = 1

Chứng minh:

Vì (P(x), Q(x)) = 1 nên tồn tại đa thức U(x), V(x) sao cho:

- Tính chất 3: Hai đa thức U(x) và V(x) trong định lí trên là tồn tại duy nhất

Ngoài ra còn có deg U(x) < deg Q(x); deg V(x) < degP(x)

- Tính chất 4: Nếu (P(x), Q(x)) = 1 và (P(x), S(x)) = 1 thì

(P(x), Q(x).S(x)) = 1

- Tính chất 5:

P(x) Q(x)P(x) : S(x) P(x) Q(x).S(x)(Q(x),S(x)) 1

Ta xây dựng vành đa thức nhiều ẩn bằng phương pháp quy nạp

Cho A là vành giao hoán có đơn vị Ta xây dựng được vành đa thức một ẩn

A1 = A[x1] là vành giao hoán có đơn vị Trên vành A1 ta xây dựng vành đa thức A2 = A1[x2]

Tương tự ta cũng xây dựng được An-1[xn] = An có n ẩn

An được gọi là vành đa thức n ẩn x1, x2,…,xn

Kí hiệu An = A[x1, x2,…,xn] Mỗi phần tử của An là một đa thức n ẩn:

- Gọi ai1 + ai2 +…+ ain là bậc của hạng tử thứ i của f(x1, x2,…, xn)

- Gọi số lớn nhất trong các số là bậc của các hạng tử là bậc của đa thức f(x1,

x2,…, xn)

- Nếu các hạng tử của f(x1, x2,…, xn) có bậc bằng nhau và bằng k thì ta gọi f(x1, x2,…, xn) là đa thức đẳng cấp bậc k hay một dạng bậc k

1.2.2 Đa thức đối xứng

- Định nghĩa: Đa thức f(x1, x2,…, xn)  A[x1, x2,…, xn] đƣợc gọi là một đa

thức đối xứng nếu và chỉ nếu với mọi phép thế

1 2 3 n

1 2 3 ni

Định lý cơ bản( về đa thức đối xứng)

Mọi đa thức đối xứng f(x1, x2,…, xn)  A[x1, x2,…, xn] đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng một đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản với hệ

Cho (x)là đa thức khác không Nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức thì

P(x)Q(x)(mod (x)) khi và chỉ khi P(x) và Q(x) cho cùng một đa thức dư khi chia chúng cho (x)

1.3.3 Các tính chất:

(x)

 là đa thức khác không,(x)A x , 

1 P(x)P(x)(mod (x))

5 Nếu P(x)Q(x)(mod (x)) thìP(x).R(x)Q(x).R(x)(mod (x))

6 NếuP(x)Q(x)R(x)(mod (x)) thì P(x)R(x)Q(x)(mod (x))

7 NếuP(x)Q(x)(mod (x)) thì P (x)n Q (x)(mod (x)), nn   

1.4 Phân thức hữu tỉ

1.4.1 Trường các phân thức hữu tỉ

Cho hai đa thức f(x), g(x)  A[x], g(x)0, A – trường thì f (x)

g(x) được gọi là một phân thức hữu tỉ sao cho thoả mãn:

f (x) f '(x)

f (x).g '(x) f '(x).g(x)g(x) g '(x)  

f(x) được gọi là tử thức, g(x) là mẫu thức của phân thức hữu tỉ

- Mọi đa thức f(x) A[x] đều là phân thức hữu tỉ vì ta luôn viết được

1.4.2 Phân thức thực sự

a Định nghĩa: Một phân thức hữu tỉ f (x)

g(x) mà degf(x) < degg(x) gọi là phân thức thực sự

Ngược lại, ta gọi phân thức đó là phân thức không thực sự

Nhận xét: Chop(x)  

A xq(x) , A – trường Theo định lý phép chia với dư trong trường thì:

p(x) p (x)1

E(x)q(x)   q(x)

E(x) là phần nguyên của phân thức

- Định nghĩa: Phân thức thực sự đơn là phân thức thực sự mà mẫu của nó là

luỹ thừa của đa thức bất khả quy trong A[x]

- Phân tích một phân thức thực sự thành tổng các phân thức thực sự đơn:

Cho phân thức thực sự r(x) A[x]

deg(VT) = deg b1b2 + deg (c1 + c2) = deg b + deg (c1 + c2) deg b

deg(VP) = max{ degr; deg r2b1; deg r1b2} < deg b

ta suy ra điều vô lí Vậy c1+ c2 = 0

Nếu b1, b2 bất khả quy thì r

bđược phân tích thành phân thức thực sự đơn Nếu b1 hoặc b2 khả quy (giả sử b1 không bất khả quy) thì ta làm lại quá trình tương tự như trên ta nhận được

- Các đa thức bất khả quy trong  x là các đa thức bậc nhất có dạng ax+b

- Các đa thức bất khả quy trong  x là các đa thức bậc nhất hoặc các đa thức bậc hai có  0

Chương 2 ứng dụng của đa thức một ẩn

Ta thường gặp bài toán xác định đa thức khi giải phương trình hàm trên tập các đa thức Để xác định đa thức ta có thể xác định bậc của đa thức rồi lần lượt xác định các hệ số, cũng như sử dụng các tính chất của vành đa thức

- Dùng kết quả của phép chia đa thức

2.1.2 Phương pháp giải

- Dùng các phép biến đổi ẩn, hoặc cho ẩn những giá trị đặc biệt x = 0,1, 2, 3,…rồi tính giá trị của đa thức tại những giá trị đó, ta được hệ phương trình

Theo giả thiết ta có: f(x) = (x – 2).A(x) + 5 (1)

Vậy đa thứcphải tìm là: f(x) = ( x - 2)(x – 3)(1 – x2

) + 2x +1 hay f(x) = -x4 +5x3 – 5x2 – 3x + 7

Ví dụ 2: Tìm đa thức bậc hai P(x) với hệ số thực, biết rằng P(0) = 19, P(1) =

Ví dụ 3: Xác định f (x) x sao cho f(x) = 2x4 + ax2 + bx + c chia hết cho

x – 2 và khi chia cho x2 – 1 thì đƣợc phần dƣ là x

Ví dụ 5: Tìm tất cả cá đa thức thoả mãn điều kiện

Đạo hàm hai vế ta đƣợc :

f’(x) f(2x2) + 4x f(x) f’(2x2

) = (6x2+ 2x) f’(2x3

+ x2) (3) thay x= 0 vào (3) f’(0) = 0

Khi đó theo giả thiết : P(9) = an9n + an-19n-1 +… + 9a1+ a0 = 32078

Do 0 ak 8 nên a0 là số dƣ của phép chia 32078 cho 9 suy ra a0 = 2

3) P(x) P(x-1) = P( x2 + x + 1)  x 

4) P ( x2 + y2) = P (x + y) P( x-y) x, y

Bài 2: Tìm đa thức bậc 2 thoả mãn: P(0) = 19, P(1) = 85, P(2) = 1985

Bài 3: Xác định P(x)  [x] thoả mãn : P(x) chia cho x + 3 dư 1 , chia

cho x - 4 dư 8 , chia cho ( x + 3) ( x – 4) được thương là 3 và còn dư

Bài 4:Cho a, b Tìm đa thức P(x) *  [x] thoả mãn :

x P( x – a) = ( x- b) P(x)  x 

Bài 5: Cho đa thức bậc bốn P(x) thoả mãn :

P(-1) = 0 và P( x – 1) = x(x + 1)(2x + 1)

a) Xác định P(x)

b)Suy ra giá trị của tổng S = 1.2.3 + 2.3.5 + … +n( n + 1)(2n + 1)

2.2.ứng dụng 2 Chứng minh một số bài toán chia hết

2.2.1 Cở sở lí luận

+) f (x) (x    ) f ( ) 0

+) f (x) g(x), h(x)

f (x) g(x).h(x)(g(x), h(x)) 1

2.2.2 Phương pháp giải

+) Chọn  để f() = 0

+) f()g(); h(); g().h( ) được xem là đa thức của

Từ lí luận trên ta có kết quả

2.2.3 Các ví dụ

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a & số nguyên dương n ta có:

Hay (a + 1)2n + 1 = -a 4n + 2 mod (a)

P(a) = ( a +1) 2n + 1 + an+2 = (-a 4n + 2 + an+2 ) mod (a)

Từ (1), (2), (3) điều phải chứng minh

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với 3 số nguyên không âm m, n, k và mọi số thực

a3n + 1 a mod q(a); a3k + 2  a2 mod q(a)

P(a) = a3m + a3n + 1 + a3k + 2  (1 + a + a2) (mod q(a)) 0 mod q(a)

Vậy P(a)q(a) ( điều phải chứng minh)

Ví dụ 4: Chứng minh với mọi số tự nhiên n 2 với mọi số thực a & b thì:

P = b (bn – 1 – n.an -1) + an (n – 1) chia hết cho ( b – a)2

Bài 2: Chứng minh rằng mọi số nguyên không âm a, b, c, d và với  m 

thì P = m4a + m4b +1 + m4c+2 m4d + 3 chia hết cho m3 +

m2 + m + 1

Bài 3: Hãy tìm những số tự nhiên n sao cho đa thức P(x) = (x+1)n

- xn - 1 chia hết cho x2

2.3.2 Phương pháp giải

+ Đƣa các đa thức đã cho về dạng biểu thức của đa thức đối xứng cơ bản

+ Tính cáci theo hệ số của các đa thức

2.3.3 Các ví dụ

Ví dụ 1:

Cho x1, x2, x3 là các nghiệm của phương trình x3 + px2 + qx + r = 0

Hãy biểu diễn thông qua p, q, r những hàm của các biến x1, x2, x3

+ x3 2

x1 2

)( x1 + x2 + x3) = x1

2

+ x2

2

+ x3 2

+ x1 2

Ví dụ 2: Nếu x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình x3 + ax2 + x + b = 0 với

(*) (tgA cot gA)(tgB cot gB) (tgB cot gB)(tgC cot gC)

(tgC cot gC)(tgA cot gA) 4

( 2cot g2A)( 2cot g2B) ( 2cot g2B)( 2cot g2C)

( 2cot g2C)( 2cot g2A) 4

Dựa vào định lí Viet ta xác định được nghiệm của phương trình.

+) Nếu phương trình không chứa tham số, biến đổi về dạng

Lời giải:

Đặt f(x) = 12x4

– 8x 3 + 18x2 + mx – 3 = 0 (1) Theo Viet ta có:

+) Tương tự với x x1 2 3, x x3 4  1

2.4.4 Bài tập áp dụng

Giải phương trình sau:

Bài 1: x3 + 4x2 – 16x + 2 = 0, biết rằng trong số các nghiệm có 2 nghiệm có tích bằng -1

Bài 2: 3x4 - 2x3 + 3x2 + mx – 4 = 0 , biết rằng phương trình có 4 nghiệm

x1, x2, x3, x4 thoả mãn x1 + x2 = x3 + x4

2.5 ứng dụng 5: Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số

2.5.1 Cơ sở lí luận

- Dựa vào tính chất đa thức bằng nhau

Cho đa thức f(x) = 0 khi đó các hệ tử của đa thức bằng không Từ đó suy ra đa thức bậc n có nhiều hơn n nghiệm thì đa thức đó là đa thức 0

2.5.2 Phương pháp giải

- Gọi M(x0, y0) là điểm cố định cần tìm của họ đồ thị y = f(m, x), mA Khi

đó ta có y0 = f(m, x0),  m A hay y0 – f(m, x0) = 0  m A (1)

Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định (2, 0)

Ví dụ 2: Tìm các điểm cố định của họ đường cong:

Với m = -1 dạng hàm số suy biến thành y x 2, x1

Gọi(x , y ) là điểm cố định cần tìm Khi đó 0 0

Điểm A(1, -1) là điểm cố định của họ đồ thị (vì m1)

B(-1, 1) không là điểm cố định vì với m = -1, đường thẳng y x 2 không qua B

x 1



Chứng minh rằng đồ thị của hàm số không có diểm cố định Tuy nhiên tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định

Bài 4: Xác định các giá trị ,  sao cho đồ thị hàm số: