Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức

Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức ..... Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các hệ số của một số phương trình bậc ba, bậc bốn khi biết mối quan hệ giữa các nghiệm của

Lời cảm ơn!

Trong quá trình làm khóa luận, em đã nhận được sự giúp đỡ và chỉ bảo rất tận tình của thầy Vương Thông Em xin chân thành cảm ơn và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy

Em cũng xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số và Thư viện trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

đã tạo điều kiện tốt nhất giúp em hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Sinh viên

Đỗ Hồng Thắm

Lời cam đoan

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy

nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của một

số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của bản thân em, không trùng với kết quả của tác giả nào khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên

Đỗ Hồng Thắm

Mục lục

Trang Mở đầu 1

Chương 1 Những kiến thức liên quan đến đề tài 2

Phần 1 Đa thức một ẩn 2

1 Xây dựng vành đa thức một ẩn 2

1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn 2

1.2 Bậc của đa thức một ẩn 3

2 Phép chia với dư 3

3 Nghiệm của đa thức 3

3.1 Định nghĩa 3

3.2 Nghiệm bội 4

3.3 Định lý Bezout 4

3.4 Công thức Viéte 4

3.5 Lược đồ Horner 5

4 Phần tử đại số, phần tử siêu việt 5

5 Đại số các đa thức 6

Phần 2 Đa thức nhiều ẩn 8

1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 8

1.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 8

1.2 Bậc của đa thức nhiều ẩn 8

2 Đa thức đối xứng 9

2.1 Định nghĩa 9

2.2 Tính chất 9

Chương 2 Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức 11

Phần 1 Đối với đa thức một ẩn 11

1 Bài toán 1 Trục căn thức ở mẫu 11

2 Bài toán 2 Nhận biết đa thức không phân tích được 15

3 Bài toán 3 Chứng minh các đa thức chia hết cho nhau 17

4 Bài toán 4 Sử dụng định lý Viéte 21

4.1 Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức đối xứng K giữa các nghiệm 21

4.2 Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các hệ số của một số phương trình bậc ba, bậc bốn khi biết mối quan hệ giữa các nghiệm của nó 24

4.3 Dạng 3: Tìm miền giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình f x m ,  0 thỏa mãn K điều kiện nào đó 30

5 Bài toán 5 Chứng minh đẳng thức 34

6 Bài toán 6 Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số 36

7 Bài toán 7 Phân tích đa thức thành nhân tử 40

Phần 2 Đối với đa thức nhiều ẩn 45

1 Bài toán 1 Trục căn thức ở mẫu 45

2 Bài toán 2 Phân tích đa thức thành nhân tử 47

3 Bài toán 3 Chứng minh hằng đẳng thức trong trường hợp có điều kiện hoặc không có điều kiện 50

4 Bài toán 4 Chứng minh bất đẳng thức 52

5 Bài toán 5 Xác định phương trình bậc hai 56

6 Bài toán 6 Giải hệ phương trình 59

7 Bài toán 7 Giải phương trình căn thức 62

8 Bài toán 8 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 65

Chương 3 Kết luận 69

Tài liệu tham khảo 70

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức quan trọng Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học và cũng là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế Môn toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy

Đại số là một bộ phận lớn của Toán học, trong đó đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng được sử dụng nhiều không những trong đại số

mà còn trong Giải tích, toán cao cấp và toán ứng dụng

Tuy nhiên cho đến nay, vấn đề đa thức mới chỉ được trình bày sơ lược, chưa được phân loại và hệ thống một cách chi tiết Tài liệu về đa thức còn

ít, chưa được hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải, cho nên việc nghiên cứu về đa thức còn gặp nhiều khó khăn

Với lý do trên, cùng với lòng say mê nghiên cứu và được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của thầy Vương Thông em đã mạnh dạn chọn đề tài:

“Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức” để làm

khóa luận tốt nghiệp, nhằm phân loại ,hệ thống một số bài toán về đa thức Bên cạnh đó, cũng thấy rõ vai trò của đa thức trong môn toán ở nhà trường phổ thông

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về những bài toán trong Đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức một ẩn và đa thức nhiều ẩn

3 Đối tượng nghiên cứu

Các dạng toán cơ bản trong Đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa

Chương 1 Những kiến thức liên quan đến đề tài

lập thành một vành giao hoán có đơn vị 1 (1, 0, 0, , 0, )  Ta gọi P là vành

đa thức, mỗi phần tử thuộc P gọi là một đa thức

Ta có thể chuyển cách viết đa thức về dạng sau:

2 Phép chia với dư

Cho  x là vành đa thức, A là một trường Khi đó,

- Nếu r x  0 thì ta nói f x g x    trong  x

- Nếu r x  0 thì ta có: degr x  degg x  và ta gọi q x  là thương, r x  là dư trong phép chia f x  cho g x  trong  x

3 Nghiệm của đa thức

3.1 Định nghĩa

Cho K là một trường nào đó, A là trường con của K Một phần tử

 gọi là nghiệm của đa thức f x   x nếu và chỉ nếu f    0

Ta cũng có thể nói  là nghiệm của phương trình đại số f x  0

Khi ta nhân các thừa số vào với nhau và nhóm các hệ số theo dạng

đa thức chuẩn tắc và so sánh các hệ số của đa thức f x , ta được công thức Viéte như sau:

a a

4 Phần tử đại số, phần tử siêu việt

Giả sử A là một trường con của một trường K Một phần tử cK , c được gọi là phần tử đại số trên trường A nếu tồn tại đa thức f x  0,f x A x :

+, X, ,  K lập thành một K_ môđun (K là vành giao hoán có đơn vị)

Có A x  là vành giao hoán có đơn vị, ta xác định thêm phép nhân vô hướng sau:

   

0

,

n i i i

          

0

i i



  cũng là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong

A và gọi là đa thức đạo hàm của đa thức f x 

Phần 2

Đa thức nhiều ẩn

1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn

1.1 Xây dựng vành đa thức nhiểu ẩn

Cho A là vành giao hoán có đơn vị (ký hiệu là 1), ta xây dựng được vành

đa thức một ẩn A1  A x 1 ,A1 là vành giao hoán có đơn vị Xây dựng được vành:

A2 A x1 2 A x  1 x2 A x x 1 , 2 gọi là vành đa thức của hai ẩn x x1, 2

Tương tự, ta có:

A3  A x2 3  A x x x 1 , 2 , 3 gọi là vành đa thức của ba ẩn x x x1, 2, 3

Lặp lại nhiều lần phép dựng trên, ta sẽ được vành:

1.2 Bậc của đa thức nhiều ẩn

với các c i  0,i 1, ,m và a i1 , ,a ina j1 , ,a jn khi i j Ta gọi là bậc của

đa thức f x x 1 , 2 , ,x n đối với ẩn x i số mũ cao nhất mà x i có được trong các hạng tử của đa thức

Nếu trong đa thức f x x 1 , 2 , ,x n ẩn x i không có mặt thì bậc của

 1 , 2 , , n

Gọi a i1 a i2   a in là bậc của hạng tử thứ i của f x x 1 , 2 , ,x n

Bậc của đa thức là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của nó

Đa thức 0 là đa thức không có bậc

Nếu các hạng tử của f x x 1 , 2 , ,x n có bậc bằng nhau và bằng k thì

 1 , 2 , , n

biệt, một dạng bậc nhất gọi là dạng tuyến tính, một dạng bậc hai gọi là dạng toàn phương, một dạng bậc ba gọi là dạng lập phương

f x x x  f x x x với i i1 , , , 2 i n là hoán vị của 1, 2, ,n.

Nói cách khác, một đa thức là đa thức đối xứng nếu nó không thay đổi khi thay đổi biến cho nhau trong dạng khai triển của nó

Những đa thức đối xứng sau được gọi là những đa thức đối xứng cơ bản

1 1 2 1

Phương pháp đưa đa thức đối xứng về đa thức của các đa thức đối xứng

cơ bản (có hai phương pháp):

- Phương pháp với hạng tử cao nhất

- Phương pháp hệ tử bất định

Chương 2

Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa

thức Phần 1 Đối với đa thức một ẩn

1 Bài toán 1: Trục căn thức ở mẫu

Bước 2: Do    0, thay  x ta có mẫu là đa thức  x nên  x

không chia hết cho m  x trong   x



Vì  3

  nên dễ thấy m  x và  x nguyên tố cùng nhau, nghĩa là tồn

tại đa thức u x v x   ,    x sao cho:

Như vậy, để giải được bài toán chỉ cần tìm dạng cụ thể của những đa thức

Bài tập 2: Trục căn thức ở mẫu phân số sau

Đa thức bất khả quy là đa thức không phân tích được Một đa thức có

hệ số thuộc trường số phức luôn phân tích được thành tích các nhân tử là các đa thức bậc nhất như cách biểu diễn đa thức qua các nghiệm Sau đây

ta chỉ xét các đa thức với hệ tử là các số thuộc trường    , ,

Nếu tồn tại một số nguyên tố p, thỏa mãn các điều kiện sau:

i) Hệ số cao nhất a n không chia hết cho p

ii) Tất cả các hệ số khác chia hết cho p

iii) Số hạng tự do a0 không chia hết cho p 2

thì f x  bất khả quy trên 

2.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh đa thức sau là bất khả quy trong   x

Giải

áp dụng tiêu chuẩn Eidenstein với p=2 ta có:

i) Hệ số cao nhất a4  1 không chia hết cho p 2

ii) Tất cả các hệ số khác: a3   8,a2  12,a1  4,a0  6 đều chia hết cho

Đặt y    x 1 x y 1, thay vào đa thức ta nhận được:

Với p=3 , ta kiểm tra 3 điều kiện:

i) Hệ số cao nhất a4  1 không chia hết cho p=3

ii) Tất cả các hệ số khác: a3  3,a2  3,a1  3,a0  3 đều chia hết cho

p=3

iii) Số hạng tự do a0  3 không chia hết cho p 2 =9

Như vậy, tiêu chuẩn Eidenstein được thỏa mãn, do đó đa thức g x 

không phân tích được Từ đây ta cũng suy ra được f x  không phân tích được

p p

Dựa vào định nghĩa chia hết và một số tính chất hoặc hệ quả của định

lý Bezout, và mệnh đề: “Nếu mọi nghiệm đơn và mọi nghiệm bội bậc m

của g x  đều là nghiệm đơn và nghiệm bội bậc m của f x  thì

Cách 1: áp dụng hệ quả của định lý Bezout

Giả sử c là nghiệm đơn của g x  Thay xc rồi biến đổi và thay vào biểu thức f x  Nếu f c  0 thì f x   x c  Sau đó kết luận

Cách 2: Biến đổi f x  để xuất hiện nhân tử là g x 

hợp ta thu được một số bài toán cụ thể hoặc có thể gán cho x những giá trị

a  để được bài toán chia hết trong vành số nguyên  )

Dựa vào hệ quả của của định lý Bezout ta có f x g x    trong  x

Các hệ tử của đa thức thương khi chia f x  cho g x  là kết quả của việc thực hiện 4 phép tính     , , , giữa các số hữu tỉ, do đó f x g x    trong

4 Bài toán 4: Sử dụng định lý Viéte

4.1 Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức đối xứng K giữa các nghiệm

4.1.1 Cơ sở lý luận

- Biểu thức K sẽ đưa được về biểu thức của các đa thức đối xứng cơ bản

- Theo công thức Viéte ta tính được các giá trị của đa thức đối xứng cơ

bản, thay vào ta tìm được K

Bước 1: Thiết lập hệ thức Viéte giữa các nghiệm của phương trình để

tìm các i

Bước 2: Biểu diễn thông qua các đa thức đối xứng cơ bản đối với các

nghiệm của phương trình

4.1.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ1 : Cho x x x1, 2, 3 là những nghiệm của phương trình 3 2

0

x  px qx r Hãy biểu diễn thông qua p q r, , những hàm của các biến x x x1, 2, 3:

Tổng quát lên ta có bài toán sau:

“ Tính tổng của x1n x2nx3n,n  , với x x x1, 2, 3 là những nghiệm của phương trình 3 2

y y y1, 2, 3 là độ dài các đường cao hạ xuống cạnh tương ứng

S là diện tích tam giác,

Bài tập 2: Cho x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình 2

x  x  Hãy tính: 5 5

Bài tập 6: Cho p p q q1, 2, 1, 2 là những số nguyên và là nghiệm của phương trình 2

4.2 Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các hệ số của một số phương trình

bậc 3, bậc 4 khi biết mối quan hệ giữa các nghiệm của nó

4.2.2 Thuật toán

Đối với một số phương trình mà các nghiệm của chúng có những mối liên hệ đặc biệt nào đó, ta có thể sử dụng định lý Viéte để tìm ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm với các hệ số của phương trình Sau đó sử dụng định lý Bezout đưa phương trình đã cho về phương trình có bậc nhỏ hơn

Từ đây, việc giải phương trình ban đầu trở thành việc giải phương trình đơn giản hơn

4.2.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giả sử phương trình 4 3 2

0

x ax bx cx d (1) có 4 nghiệm Chứng minh rằng, tích hai nghiệm bằng tích hai nghiệm còn lại khi và chỉ khi 2 2

0 0

2 2 2

2

2 2 2

0

2

2 0

Giải

Ta thấy 2  2 2 2

2 4 4.1

Dễ thấy x 0 không phải là nghiệm của phương trình   Khi đó, chia

cả hai vế của phương trình   cho 2

14 0

1 57 2

Ví dụ 2: Giả sử phương trình 4 3 2

0

x ax bx cx d (1) có 4 nghiệm Chứng minh rằng, tổng hai nghiệm bằng tổng hai nghiệm còn lại khi và chỉ khi 3

2

4 2

2 4

- Nếu   0 thì phương trình (3) có 2 nghiệm

2 1,2

3 8 2

a b X

2 1 2 1,2 3,4 1,2 3,4

0

3 2 5 4

3 2 5 4

3 2 5 4

3 2 5 4

1

3 2 5 1 2

1

3 2 5 1 2

x x

x ax bx c Biết rằng phương trình này có 3 nghiệm mà bình

phương một nghiệm bằng tổng bình phương hai nghiệm còn lại

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

4.3 Dạng 3: Tìm miền giá trị của tham số để các nghiệm của phương

trình f x m ,  0 thỏa mãn K điều kiện nào đó

4.3.1 Cơ sở lý luận

áp dụng công thức Viéte để giải toán

4.3.2 Thuật toán

Bước 1: Giả sử phương trình có nghiệm, tìm mối liên hệ giữa các

nghiệm

Bước 2: Biểu diễn điều kiện của tham số thông qua điều kiện K

Bước 3: Tìm miền giá trị của tham số và kết luận

Vậy với m 1;m 2 thì thỏa mãn điều kiện bài toán

Ví dụ 2: Hãy tìm những giá trị của tham số m sao cho những nghiệm

Lại có, x1 thỏa mãn phương trình 2

m

m m

f x x mx  x thỏa mãn điều kiện x1 x2 x x1 2

Bài tập 4: Hãy tìm m để những nghiệm x x x x1 , 2 , 3 , 4 của đa thức

g x x  x  x  xm thỏa mãn điều kiện x x1 2 x x3 4

Bài tập 5: Hãy lập đa thức bậc ba mà những nghiệm của nó là

Bài tập 7: Cho phương trình 3 2

0

x px qx r có ba nghiệm x x x1, 2, 3 Chứng minh rằng ba nghiệm lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

Chứng minh A=B, trong đó A, B là biểu thức

Bước 1: Coi A, B là biểu thức của một biến x nào đó

Bước 2: Biến đổi tương đương đưa đẳng thức A=B về dạng

   

P x Q x , trong đó P x Q x   , là 2 đa thức của biến x

Bước 3: Xác định max deg P x , degQ x  m Khi đó sẽ chỉ ra có nhiều hơn m số i sao cho P i Q i ,  i 1, 2, , ;n n m 1

Theo nguyên tắc so sánh hệ số ta có P x Q x  hay A=B

Để chứng minh đẳng thức ta chỉ ra với mọi x, P x Q x  là được

Nhận thấy, degP x  2, degQ x  2.

Vậy đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n và với mọi số nguyên

với a b c d, , , đôi một khác nhau bất kỳ

Bài tập 3: Nếu a b c d, , , là những số bất kỳ, hãy chứng minh đẳng thức sau đây đúng