Ứng dụng tam thức bậc 2 trong giải toán và sáng tạo các bài toán sơ cấp

Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và thấy được vị trí tầm quan trọng của tam thức bậc hai trong chương trình toán sơ cấp.. Nhiệm vụ nghiên cứu Ứng

Trang 1

Tr-êng §HSP Hµ Néi 2 Kho¸ LuËn tèt nghiÖp

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán sơ cấp,tam thức bậc hai là xương sống, là phần quan trọng của chương trình Khi giải toán lựa chọn được phương pháp giải là một trong những bước cần phải làm Lời giải của bài toán hay khi lựa chọn được phương pháp giải thích hợp Tam thức bậc hai là phương pháp giải hay, ứng dụng nhiều trong giải toán sơ cấp

Với những lý do trên cùng với lòng say mê tìm tòi nghiên cứu và được sự

giúp đỡ tận tình của ThS Phạm Lương Bằng tôi đã chọn đề tài:“Ứng dụng

tam thức bậc hai trong giải toán và sáng tạo các bài toán sơ cấp”, để làm đề

tài khóa luận tốt nghiệp Với mong muốn góp phần giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về các phương pháp giải cho từng bài toán

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và thấy được vị trí tầm quan trọng của tam thức bậc hai trong chương trình toán sơ cấp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Ứng dụng tam thức bậc hai trong giải toán sơ cấp và sáng tạo các bài toán

sơ cấp

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

* Đối tượng nghiên cứu

- Phương trình bậc 2, phương trình bậc cao, phương trình mũ, phương trình logarit, phương trình lượng giác

- Bất phương trình bậc 2, bất phương trình mũ…

- Hệ phương trình, hệ bất phương trình…

* Phạm vi nghiên cứu

Các bài toán trong chương trình toán sơ cấp

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu, so sánh phân tích tổng hợp

Trang 2

CHƯƠNG I: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 1.1 Kiến thức cơ bản

a

- ∆ = 0 (1) Có nghiệm kép

2

b x a

1.1.2 Dấu của tam thức bậc 2

- Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2)

a.f(x) > 0 x (-∞, x1) (x2, +∞) a.f(x) > 0 x (x1, x2)

Trang 3

y

x

2

b a

Trang 4

f(x) là tam thức bậc 2 của x có a = 2 > 0

∆ = -7 < 0 Vậy f(x) > 0 x R

- Nếu m = 1 không thỏa mãn

- Nếu m ≠ 1 thì f(x) là một tam thức bậc 2 của x

m

m m

Trang 5

Bất phương trình bậc 2 là bất phương trình có dạng ax2 + bx + c > 0 hoặc

ax2 + bx + c < 0 hoặc ax2 + bx + c ≥ 0 hoặc ax2 + bx + c ≤ 0 Trong đó a, b, c

Trang 6

Trang 7

Tập nghiệm của (2) là T= (x1, x2) (với x1> x2)

Vậy Với m 1 thì tập nghiệm của (2) là ( , 3)

4

T

Với m 3 thì tập nghiệm của (2) là T=IR

Với m 2 thì tập nghiệm của (2) là T

Với 2 m 1 thì tập nghiệm của (2) là T= (x1, x2)

Với 1 m 3 thì tập nghiệm của (2) là T= (-∞, x1) (x2, +∞)

Trang 8

y y

x x

Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức sau:

b x b c a x c (b) với x,y IR Trong đó a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC

Trang 9

a

3 2

Trang 10

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c, d theo thứ tự nào đó tạo thành một cấp số cộng, số m được chọn sao cho thỏa mãn

Nếu y là một giá trị của hàm số thì phương trình f(x) = y có nghiệm x D

Vậy y là miền giá trị của hàm số

1.4.2 Thí dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số

231

y x

Giải

Hàm số xác định trên D R\ 1

Giả sử y là một giá trị của hàm số khi đó phương trình:

231

Trang 11

y y

Vậy miền giá trị của hàm số là E ( , 9] [ 1, )

Ví dụ 2: Tìm max, min của hàm số

x với x R nên hàm số xác định trên R

Giả sử y là một giá trị của hàm số

Vậy y 1 là giá trị của hàm số

+ Với y 1 thì (2) có nghiệm x R (3) có nghiệm x R

Trang 12

miny 1 tại 4 2

1

x y

Trang 13

e) Cho x y, R sao cho

4(x x ) 25x x 1 0 (2)

Giải

Trang 14

51

Vậy với m 1 hoặc m 2 thảo mãn bài toán

Ví dụ 2: Cho x x1, 2 là nghiệm của phương trình bậc 2 thỏa mãn hệ

a)Hãy lập phương trình bậc hai đó

b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Trang 15

m m P

12

-Biết nghiệm của (1) là x x1, 2, chứng minh a,c là nghiệm (y x1)(y x2) b 2

b) Cho x,y thỏa mãn: 2 2 12

Trang 16

CHƯƠNG 2: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

2.1 Hệ bất phương trình bậc hai

2.1.1 Định nghĩa

Hệ bất phương trình bậc hai là hệ bất phương trình bậc hai có một ẩn số

2.1.2 Cách giải

- Giải từng bất phương trình của hệ

- Tìm T là giao của các tập nghiệm

- Suy ra T là nghiệm của hệ bất phương trình

c) Hệ có nghiệm duy nhất khi các tập nghiệm của các bất phương trình của hệ

có điểm chung duy nhất

d) Dùng đồ thị để biện luận nghiệm của bất phương trình

2.2 Lựa chọn phương pháp giải

2.2.1 Hệ bất phương trình có tham số

Hãy tìm giá trị của tham số để

+ Hệ đã cho vô nghiệm (2a)

+ Hệ đã cho có nghiệm (2b)

Các bài tập (2a), (2b) có hai phương án giải

* Phương án trực tiếp và phương án gián tiếp

Với bài tập (2a)

- Phương án trực tiếp: tìm giá trị của tham số để hệ vô nghiệm

- Phương án gián tiếp: tìm giá trị của tham số để hệ không vô nghiệm (có nghiệm)

Trang 17

Với bài tập (2b)

- Phương án trực tiếp: tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm

- Phương án gián tiếp: tìm giá trị của tham số để hệ vô nghiệm

2.2.2 Phương án để lựa chọn phương án tối ưu trong hai phương án đó

* TH1: Khi miền nghiệm của 2 bất phương trình cho bởi hình vẽ

x1 x2

x3 +∞

- Với bài toán (2a): x2<x3

- Với bài toán (2b): x3≤x2

Phương án được chọn tùy ý

x1 +∞

-∞ x2

- Với bài toán (2a): x2<x1

- Với bài toán (2b): x1≤x2

Phương án được chọn tùy ý

x1 x2

x3 x4

Trang 18

- Với bài toán (2a)

Phương án được chọn: giải bài toán (2a)

Trang 19

Trang 20

m m

2 1

m

m m

Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi 1

2

m và nghiệm duy nhất x 1

Trang 21

2.3.2 Hệ vô nghiệm, hệ có nghiệm

Tìm m để hệ đã cho vô nghiệm

Giá trị của m để hệ có nghiệm

Trang 22

Vậy không tồn tại m để hệ vô nghiệm

Vậy hệ đã cho có nghiệm với m

Trang 23

Trong đó x1 x2 là các nghiệm của 2

m

Tìm m để giao của 2 miền nghiệm là tập rỗng

Gọi x1 x là các nghiệm của f(x) 2

Trang 24

x

x x

22

44

m m

Trang 25

2 (2 )(4 3) 2 3

3

24

2.4.2.Tìm giá trị của tham số để hệ bất phương trình có nghiệm,vô nghiệm

a) Cho hệ bất phương trình (I)

2 2

(2)

Trang 26

CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC 2

3.1 Định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2

Trang 27

Trang 28

Có đúng một nghiệm trong khoảng (0,1)

c) Nếu c a b thì (-1,1) f x( ) không có nghiệm

3.2 So sánh 1 số với các nghiệm của tam thức bậc 2

x x

af b a

Trang 29

( ) 02

x x

af b a

( ) 02

x x

af b a

( ) 02

x x

af b a

a) f x( ) có 2 nghiệm và số 4 nằm trong khoảng hai nghiệm đó

b) f x( )có 2 nghiệm đều lớn hơn 3

Trang 30

a f b a

( ) 0

02

x x

a f b a

Trang 31

a f b a

02

f

b a

3.3.2 Thí dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định m để 2 nghiệm x x của phương trình 1, 2

2(m 2)x 2(4 3 )m x 10m 11 0 thỏa mãn 4 x1 x2 6

Trang 32

31

27

62

Trang 33

x x

x x a

000

Trang 34

5) f x( ) 0 với x ( , ]

0000

a

x x

- Nếu f x( ) có chứa tham số thì thêm trường hợp a 0

3.4.2 Tìm điều kiện để bất phương trình 2

- Cách 2: Xét bài toán ngược

Tìm điều kiện để f x( ) 0 không có nghiệm x D tức là f x( ) 0 với

Trang 35

b a

Trang 36

Trang 37

111

( 1) ( 1) 0( 1) ( 1) 02

11

Vậy m 1,7

b) f x( ) 0 với x thỏa mãn 1

0

x x

Trang 38

f x với x thỏa mãn 1

0

x x

0000

m m

m

m m

Vậy m 7, m 1 thỏa mãn đầu bài

- Nếu m 1

Trang 39

82

( 1) ( 1) 00

01

m a

m m

m m a

m m

Vậy f x( ) 0 với x 1,0 khi m 8

Vậy f x( ) 0 có nghiệm x 1,0 khi m 8

Trang 40

e) f x( ) 0 có đúng 1 nghiệm x 1

Trang 41

CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ

BẬC 2 4.1 Phương trình bậc 4

- Bước 3: Biện luận (2)

Kết luận yêu cầu bài toán

Chú ý: Ta có cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 4 như sau:

6 0

x x

1232

x x x x

Vậy (1) có 4 nghiệm phân biệt

Trang 42

P S

(1) có 3 nghiệm phân biệt

000

P S

(1) có 2 nghiệm phân biệt

000

S P

(1) có 1 nghiệm duy nhất

0000

S P S

(1) vô nghiệm 0

00000

S

P S

Trang 43

*Chú ý: Tìm điều kiện để phương trình: ax4 bx2 c 0(1) có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng

- Bước 1: Đặt t x t2( 0) (1) trở thành: 2

0(2)

at bt c

- Bước 2: (1) có 4 nghiệm phân biệt

(2) có 2 nghiệm phân biệt dương 0 t1 t 2

t t a

109

b t

a c t

a b

x a y

a b

x a y

Trang 44

(2) trở thành 4 2 2 1 4

8

y a b y a b c (3) Giải (3) có yo

2 2 2

2(y 4 )t

Trang 45

Trang 46

2 2

t

t t

1) Vô nghiệm 4) Có 2 nghiệm phân biệt

2) Có nghiệm 5) Có 3 nghiệm phân biệt

3) Có 1 nghiệm duy nhất 6) Có 4 nghiệm phân biệt

Trang 47

2 1 00

1

a a S

Trang 48

Trang 49

Giả sử x x x là nghiệm của (1) 1, 2, 3 x1 x2 x 3

Theo giả thiết x x x1, 2, 3 lập thành cấp số cộng

a) Xác định m để (1) có 3 nghiệm phân biệt

3) Xác đinh m để phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

4.3 Phương trình, bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối

4.3.1 Cách giải:

Làm mất dấu giá trị tuyệt đối bằng cách phân thành từng khoảng hoặc bình phương 2 vế

Trang 50

4.3.2 Chú ý các phương trình và bất phương trình cơ bản

Cho f x( ) xác định trên D1, g x( ) xác định trên D2

Trang 51

0 m 2 (2) có nghiệm 2

2

m x

t t mt m m (2) (1) Có nghiệm (2) có ít nhất 1 nghiệm t 0

Trang 52

a f

m b

m

a g b a

Trang 53

( ) 0( ) ( )

Trang 54

Trang 55

1 3

44

Trang 56

Đặt 4x

t (t 0)

(1) thành 2

(m 3).t (2m 1).t m 1 0 (2)

Gọi x x là nghiệm của (1) 1, 2

(1) có 2 nghiệm trái dấu 0

2

16 0

16(3 1) (1) 0

1

12

Trang 57

Trang 58

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

41

(1) 0

02

m m

2) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với 1

Trang 59

CHƯƠNG 5: SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP

Bài toán 1: Chứng minh rằng với x y, ta luôn có :

4(siny cos )y (4 cos y)(4 sin y )

( os ysinc 2 2 y 8cos siny y 16)

Trang 60

x với x R nên hàm số xác định trên R

Giả sử y là một giá trị của hàm số

Vậy y 1 là giá trị của hàm số

+ Với y 1 thì (2) có nghiệm x R (3) có nghiệm x R

Trang 61

Bài toán 5: Cho hệ bất phương trình

0

x x

Trang 62

2 1

Trang 63

Hệ có nghiệm duy nhất

22

2

m m

Trang 64

f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1 x 2

2

1

42

Trang 65

Tìm a để hệ có nghiệm

Trang 66

a (2) 2 1

22

2

a a

2

1 112

a a

- Khi A 0 2 a 1

Trang 67

1 212

Nhận thấy x 0 không là nghiệm của (1)

Với x 0 ta chia cả hai vế của (1) cho 2

Trang 68

Đặt t x 1

12

2 1 0

2 7 0 2

2

m m

m

127

2

m

m m

Trang 69

x2 2x 15 t 2

(1) Trở thành: t 15 t2 m f t( ) t2 t 15 m 0

2

f t t t m là tam thức bậc 2 của t có a=1>0

Vì f t( ) luôn có 2 nghiệm t t nên 1, 2

(1) Nghiệm đúng x 3,5 ( )f t 0 nghiệm đúng t t t1, 2 0,4

af (0) 0

Trang 70

f x với x thỏa mãn 1

0

x x

0000

1 ( 1) 0 1

2 (0) 0

- Nếu m 0

f x với x 1,0

Trang 71

0

( 1) 00

110

0 (0) 010

a

m a

m f m

m

m f m m

Vậy f x( ) 0 với x 1,0 khi 7

Trang 72

Bài toán 11: Cho bất phương trình

( 1) (1) 0 1

11

8

2 1

11

m

m m

Vậy với m 1 thỏa mãn đầu bài

Trang 73

Bài toán 12: Cho phương trình

k f

Vì k nguyên dương nên k = 1,2,3

Vậy với k=1, k=2, k=3 thỏa mãn đầu bài

Trang 74

KẾT LUẬN

Với đề tài “Ứng dụng tam thức bậc hai trong giải toán và sáng tạo các

bài toán sơ cấp”,trong phạm vi giới hạn ,em đã đưa ra:

- Một phương pháp giải cho các bài toán sơ cấp

- Sáng tạo một số bài toán sơ cấp dùng phương pháp tam thức bậc hai để giải

- Các bài toán từ dễ đến khó phù hợp với từng đối tượng học sinh

- Nâng cao tư duy toán học,có ý nghĩa thiết thực với việc học tập của học sinh,luyện thi vào đại học, cao đẳng

Trang 75

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn Văn Vĩnh, “15 phương pháp chuyên đề tam

thức bậc 2 và các ứng dụng đặc sắc” (2000)

2 Nguyễn Thái Hòe, “Giải toán bằng phương pháp tam thức bậc hai” (2006)

3 Nguyễn Đức Đồng, “Các dạng toán sơ cấp Tuyển tập 696 bài toán đại số

chọn lọc” (2001)

4 Trần Văn Hạo, “Chuyên đề luyện thi vào đại học đại số” (2001)

5 Đặng Phùng Thắng, “Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình”

(1998)

6 Tạp chí toán học tuổi trẻ

Định dạng
Số trang	75
Dung lượng	2,87 MB