Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ứng dụng công thức truy hồi giải toán sơ cấp

Một trong những chủ đề khá hay của lý thuyết tổ hợp đó là công thức truy hồi. Đây là một trong những kỹ thuật đếm cao cấp để giải các bài toán đếm và là công cụ rất hữu hiệu để giải các bài toán khác có liên quan, đề tài nghiên cứu sẽ giới thiệu tới bạn đọc vấn đề này.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRẦN THỊ THU HÀ

ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TRUY HỒI

GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KH Trần Quốc Chiến

Phản biện 1: TS Phan Đức Tuấn

Phản biện 2: GS.TS Lê Văn Thuyết

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12 năm 2015

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tổ hợp là ngành khoa học xuất hiện khá sớm vào đầu thế kỷ XVII, cho đến nay đã được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê, quy hoạch thực

nghiệm…

Các vấn đề liên quan đến lý thuyết tổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn của toán học nói chung và toán rời rạc nói riêng Nó là một nội dung phong phú và được áp dụng nhiều trong thực tế cuộc sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng xuất hiện rất nhiều trong các

bài toán hay và khó

Một trong những chủ đề khá hay của lý thuyết tổ hợp đó là công thức truy hồi Đây là một trong những kỹ thuật đếm cao cấp để giải các bài toán đếm và là công cụ rất hữu hiệu để giải các bài toán khác có liên quan

Vì vậy, tôi đã quyết định chọn đề tài : “Ứng dụng công thức

truy hồi giải toán sơ cấp” để làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu ứng dụng của công thức truy hồi trong giải toán sơ cấp

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Công thức truy hồi

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Công thức truy hồi, phương pháp giải và ứng dụng trong các bài toán sơ cấp

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết, phân tích, tổng hợp các dạng toán

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài nghiên cứu tính ứng dụng của công thức truy hồi Giải quyết được các bài toán đặt ra từ thực tế

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm ba

chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Chương 2: Công thức truy hồi

Chương 3: Ứng dụng công thức truy hồi giải toán sơ cấp

a Cấu hình tổ hợp và các dạng bài toán tổ hợp

Cho các tập hợp , , … , Giả sử là sơ đồ sắp xếp các phần tử , , … , được mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và , , …, là các điều kiện ràng buộc lên mỗi sắp xếp theo sơ đồ Khi đó mỗi sắp xếp các phần tử của , , … , thỏa mãn các điều kiện , , …, gọi là một cấu hình tổ hợp trên các tập , , … ,

Với các cấu hình tổ hợp, ta thường gặp bốn dạng bài toán sau: bài toán tồn tại, bài toán đếm, bài toán liệt kê, bài toán tối ưu

b Bài toán đếm

* Nguyên lý cộng và nguyên lý nhân

+ Nguyên lý cộng Giả sử { , , … , } là một phân hoạch của tập Khi đó

| | = | | + | | + ⋯ + | |

+ Nguyên lý nhân Giả sử một cấu hình tổ hợp được xây dựng

qua bước, bước 1 có thể được thực hiện cách, bước 2 được thực hiện cách,…, bước được thực hiện cách Khi đó, số cấu hình

Các thành phần có thể lặp lại

tử đã cho Nói cách khác, ta có thể coi một tổ hợp chập của phần

tử khác nhau là một tập con có phần từ phần tử đã cho

Gọi số tổ hợp chập của phần tử là ( , ), ta có

( , ) = ! ( − )!. !

* Các cấu hình tổ hợp mở rộng

+ Hoán vị lặp

Định nghĩa 1.5 Hoán vị lặp là hoán vị trong đó mỗi phần tử

được ấn định một số lần lặp cho trước

Định lý 1.1 Số hoán vị lặp của phần tử khác nhau, trong đó phần tử thứ nhất lặp lần, phần tử thứ hai lặp lần, …, phần tử thứ lặp lần là

( ; , , … , ) = ! !! … ! ; với = + + ⋯ +

Hệ quả 1.1

Giả sử có phần tử, trong đó có phần tử kiểu 1, phần

tử kiểu 2,…, phần tử kiểu Khi đó số các hoán vị phần tử của

là

P( ; , , … , ) = ! !! … !

+ Tổ hợp lặp

Ví dụ 1.1 Giả sử ta có 3 đầu sách: Toán, Tin, Lý và mỗi đầu

sách có ít nhất 6 quyển Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 quyển

Định nghĩa 1.6 Tổ hợp lặp chập từ phần tử khác nhau là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm phần tử trích từ phần tử

đã cho, trong đó các phần tử có thể được lặp lại

Định lý 1.2 Giả sử có phần tử khác nhau Khi đó số tổ hợp lặp chập từ phần tử của , ký hiệu ( , ) là

1.1.3 Giới thiệu phần mềm Maple

Sau khi khởi động Maple, trên màn hình hiện cửa sổ làm việc với dấu nhắc [>

1.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Định nghĩa 1.8 Phương trình sai phân tuyến tính cấp là một

Nếu ( ) ≠ 0 thì (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp với hệ số hằng

Hàm số ( ) thỏa mãn (1.1) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính (1.1)

Hàm số ( ) phụ thuộc tham số, thỏa mãn (1.2) được gọi là nghiệm tổng quát của (1.2)

Một nghiệm ∗( ) thỏa mãn (1.1) được gọi là một nghiệm riêng của (1.1)

Nghiệm tổng quát ( ) của (1.1) có dạng

( ) = ( ) + ∗( )

CHƯƠNG 2 CÔNG THỨC TRUY HỒI

2.1 KHÁI NIỆM CÔNG THỨC TRUY HỒI

Ví dụ 2.1 Xét bài toán đếm số tập con ( ) của tập

Gọi ( ) là số tập con của tập có phần tử Giả sử có phần tử Cho x là phần tử của Tách ( ) ra làm hai nhóm và , nhóm gồm các tập con chứa và nhóm gồm các tập con không

chứa Khi đó chính là ( ∖ { }) và tương đương Như vậy

ta có

| ( )| = | | + | | = 2 | ( ∖ { })|

Từ đó suy ra công thức truy hồi: ( ) = 2 ( − 1), ∀

Định nghĩa 2.1 Công thức truy hồi của dãy

2.2 GIẢI CÔNG THỨC TRUY HỒI

2.2.1 Giải công thức truy hồi bằng phương pháp lặp

Nội dung dung của phương pháp này là thay thế liên tiếp công thức truy hồi vào chính nó, mỗi lần thay bậc giảm ít nhất 1 đơn vị, cho đến khi đạt giá trị ban đầu

Ví dụ 2.2 Trên mặt phẳng kẻ đường thẳng sao cho không có

ba đường nào đồng quy và không có hai đường nào song song Hỏi

mặt phẳng được chia làm mấy phần?

2.2.2 Giải công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng

a Định nghĩa công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng

Định nghĩa 2.2

Công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng bậc có dạng

( ) = ( − 1) + ( − 2) + ⋯ + ( − ) + ( ) (2.1)

Nghiệm của phương trình đặc trưng (2.3) gọi là nghiệm đặc trưng của công thức (2.2)

trong đó

( ) = , + , + , + ⋯ + , , ∀

= 1, 2, … ,

và , ( = 0, 1, 2, … , − 1) là các hằng số

*** Ghi chú Nếu có thêm điều kiện ban đầu thì thế nghiệm

tổng quát vào các điều kiện ban đầu để xác định các hằng số

với , là các hằng số

ii Giả sử phương trình đặc trưng (2.6) có nghiệm kép thì nghiệm tổng quát của (2.5) có dạng

( ) = + , với , là các hằng số

iii Giả sử phương trình đặc trưng (2.6) có 2 nghiệm phức liên hợp là

= + , = − ( = −1) thì nghiệm tổng quát của (2.5) có dạng ( ) = λ ( cos( ) + sin( )),

ii Nếu phương trình đặc trưng (2.8) có một nghiệm thực

bội 2 và một nghiệm đơn thì nghiệm tổng quát của (2.7) có dạng

( ) = ( + ) + ,

trong đó , , là các hằng số

iii Nếu phương trình đặc trưng (2.8) có một nghiệm thực bội 3 thì nghiệm tổng quát của (2.7) có dạng

( ) = ( + + ) ,

trong đó , , là các hằng số

iv Nếu phương trình đặc trưng (2.8) có một nghiệm thực

và hai nghiệm phức liên hợp

= + = λ (cos + sin ), = −

= λ (cos − sin ) thì nghiệm tổng quát của (2.7) có dạng

Nghiệm đặc trưng của phương trình thuần nhất tương ứng của

trong đó ( ) là dạng đa thức bậc của

Định lý 2.9 Nếu ( ) = ( , ≠ 0) thì nghiệm riêng

( ) của (2.9) có dạng:

i ( ) = , nếu ≠ ,

ii ( ) = , nếu =

Định lý 2.10 Nếu ( ) = ( ) ( ≠ 0) và ( ) là đa thức bậc của thì nghiệm riêng của (2.9) có dạng:

− − = 0 (2.13)

Định lý 2.12

Nếu ( ) là đa thức bậc của , ( ) = ( ) thì nghiệm riêng ( ) của (2.12) có dạng:

i ( ) = ( ), nếu (2.13) không có nghiệm = 1,

ii ( ) = ( ), nếu (2.13) có nghiệm đơn = 1, iii ( ) = ( ), nếu (2.13) có nghiệm kép = 1,

trong đó (n) là dạng đa thức bậc của

Định lý 2.12 Nếu ( ) = ( ) ( ≠ 0) và ( ) là đa thức bậc của thì nghiệm riêng của (2.12) có dạng:

i ( ) = ( ) , nếu (2.13) không có nghiệm = ,

ii ( ) = ( ) , nếu (2.13) có nghiệm đơn = ,

iii ( ) = ( ) nếu (2.13) có nghiệm kép = , trong đó ( ) là dạng đa thức bậc của

Kết luận Việc tìm nghiệm riêng của công thức truy hồi tuyến

tính không thuần nhất hệ số hằng bậc làm tương tự như tìm nghiệm riêng của công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng bậc một, hai

Xét công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng bậc (2.2),

i Nếu ( ) là đa thức bậc và 1 là nghiệm đặc trưng bội của công thức (2.2), thì (2.2) có nghiệm riêng dạng

( ) = + + + ⋯ + ,

trong đó các hằng số , , … , được xác định bằng cách thế ( ) vào (2.2)

ii Nếu ( ) = , là nghiệm đặc trưng bội của (2.2) thì (2.2) có nghiệm riêng dạng

( ) = ,

trong đó hằng được xác định bằng cách thế ( ) vào (2.2)

Các bước giải như sau:

Bước 1 Giả sử công thức truy hồi tồn tại nghiệm dạng

( ) = Tìm phương trình đặc trưng của công thức truy hồi dạng

− − − ⋯ − = 0

Bước 2 Tìm nghiệm của phương trình đặc trưng

Bước 3 Suy ra nghiệm tổng quát có dạng

( ) = + + ⋯ +

Bước 4 Từ các điều kiện ban đầu, ta thay vào công thức

nghiệm tổng quát, giải hệ phương trình để tìm các hệ số , , … , Từ đó ta thu được kết quả

* Công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng bậc

( ) = ( − 1) + ( − 2) + ⋯ + ( − )

+ ( )

Các bước giải như sau:

Bước 1 Tìm nghiệm tổng quát ℎ( ) của công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng bậc tương ứng

Bước 2 Tìm nghiệm riêng ( ) của công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất

Bước 3 Suy ra nghiệm tổng quát của công thức truy hồi cần giải:

( ) = ℎ( ) + ( )

Bước 4 Sử dụng các điều kiện ban đầu thay vào công thức tìm

được ở bước 3, ta thu được kết quả

Ví dụ 2.3 Giải công thức truy hồi

Bước 2 Dựa vào đặc điểm của dãy { } ta tìm được ( )

Bước 3 Đồng nhất thức ta sẽ thu được dãy { }

Ví dụ 2.4 Giải công thức truy hồi

= 3 − 2 ; = 1, = 5

Ví dụ 2.5 Giải công thức truy hồi

= − + 2 + 3 ; = 2, = 4

2.2.4 Giải công thức truy hồi bằng maple

Ví dụ 2.6 Giải công thức truy hồi

−2 − 3 = − 1 + 2 ; = 1, = 0; ≥ 2

Ví dụ 2.7 Giải công thức truy hồi

= − 1 + − 1 ; = 0, ≥ 1

2.2.5 Tuyến tính hóa công thức truy hồi

Nội dung của phương pháp này là đưa một công thức truy hồi

ở dạng phi tuyến về dạng tuyến tính

Ví dụ 2.8 Tuyến tính hóa công thức truy hồi

= + 4 ; = = 2, ∀ ≥ 3

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TRUY HỒI GIẢI TOÁN SƠ CẤP

3.1 ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 3.1.1 Phương pháp giải

Thay vì đếm trực tiếp ( ) theo yêu cầu bài toán, ta thiết lập một công thức liên hệ giữa ( ), ( − 1), … để từ đó tính được

( )

Ta thực hiện qua các bước sau:

Bước 1: Tìm các giá trị ban đầu

Bài toán 3.1.1 (Bài toán tháp Hà Nội )

Có ba cọc 1, 2, 3 Ở cọc 1 có đĩa, kích thước khác nhau, xếp

chồng lên nhau sao cho đĩa nằm dưới lớn hơn đĩa nằm trên Hãy chuyển tất cả các đĩa từ cọc 1 sang cọc 3 với điều kiện mỗi lần chỉ được chuyển một đĩa từ cọc này sang cọc khác và luôn đảm bảo đĩa nằm dưới lớn hơn đĩa nằm trên Hãy tính số lần di chuyển đĩa

Bài toán 3.1.2 (Bài toán lãi suất ngân hàng)

Một người có 20000000 đồng Việt Nam, dự định của người này gửi tiền vào tài khoản tiết kiệm của một ngân hàng với lãi suất là 5% trên một năm Hỏi số tiền của người ấy nhận được là bao nhiêu (cả gốc lẫn lãi) sau 20 năm tiết kiệm? Tổng quát với số năm gửi là ( ≥ 1)

Bài toán 3.1.3

Có người ngồi thành một hàng ngang vào chiếc ghế Hỏi

có bao nhiêu cách lập hàng mới cho người đó mà trong mỗi cách

lập, mỗi người hoặc giữ nguyên vị trí của mình, hoặc đổi chỗ cho người liền bên trái, hoặc đổi chỗ cho người liền bên phải

Bài toán 3.1.4

Trên mặt phẳng kẻ đường thẳng sao cho không có 3 đường nào đồng quy và không có 2 đường nào song song Tính số đa giác được tạo thành

Bài toán 3.1.5

Trong một cuộc thi đấu thể thao có huy chương, được phát trong ngày thi đấu Ngày thứ nhất, người ta phát 1 huy chương và huy chương còn lại Ngày thứ hai, người ta phát 2 huy chương và huy chương còn lại Những ngày còn lại được tiếp tục và tương tự như vậy Ngày sau cùng còn lại huy chương để phát Hỏi có tất cả bao nhiêu huy chương và được phát trong bao nhiêu ngày?

3.2 ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ 3.2.1 Tìm công thức tổng quát của dãy số được cho bởi công thức truy hồi

Bài toán tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi thực chất là bài toán giải công thức truy hồi

a Dãy số cho bởi công thức truy hồi là một biểu thức tuyến tính

Bài toán 3.2.1

Tìm tất cả các dãy số ( ) thỏa mãn: = 3 − 5 và ( ) là một dãy tăng

b Dãy số cho bởi công thức truy hồi là một hệ biểu thức tuyến tính

Nếu dãy số cho bởi công thức truy hồi là một hệ biểu thức

tuyến tính có dạng:

= ; = = +

= +

( , , , , , ∈ R)

Ta giải như sau:

Từ phương trình thứ hai của hệ, biến đổi ta được

Việc giải công thức truy hồi với hệ số biến thiên rất phức tạp

Trong phần này, ta chỉ xét một số bài toán được giải bằng phương pháp đặt dãy số phụ

Bài toán 3.2.3 Cho dãy số ( ) xác định bởi:

=23

=2 − 2

∀ ≥ 1

Xác định công thức tổng quát của

Bài toán 3.2.4 Tìm công thức tổng quát của dãy số (u ) thỏa mãn: = 0, = ( + 1), ∀ ≥ 2

Bài toán 3.2.5 Tìm công thức tổng quát của dãy số ( ) thỏa mãn: = 0, =( )( )( ) ( + 1), ∀ ≥ 2

Bài toán 3.2.6 Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( ) biết rằng: = > 0, = ( )( ) ;

trong đó ( − 1), ∀ ≥ 2, ∈ N∗ cho trước

d Dãy số cho bởi công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ

số hằng

Dạng 3.2.1 Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( ) cho bởi:

= , =

+ ;với ∀ ≥ 2, , , ∈ R∗, ∈ R

Bài toán 3.2.7 Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( ) thỏa mãn: = 1, =

Bài toán 3.2.9 Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( ) thỏa mãn: = 0, =

e Dãy số cho bởi công thức truy hồi dưới dạng khác

Bài toán 3.2.10 Tìm công thức tổng quát của dãy số ( ) thỏa mãn:

Bài toán 3.2.12 Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( ) thỏa mãn:

Bài toán 3.3.2 Cho dãy số ( ) thỏa mãn

b Tìm tất cả các số hạng của dãy chia hết cho 3

Bài toán 3.3.4 Cho dãy số ( ) thỏa mãn:

Chứng minh là số chính phương với mọi ≥ 0

3.4 ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Việc giải phương trình sai phân thực chất là giải công thức truy hồi

Bài toán 3.4.1 Giải phương trình sai phân

= 17 = 2 − + 2 + 1 + 6 2