Ứng dụng của bất đẳng thức vào giải một số bài toán và sáng tạo một số dạng toán đại số sơ cấp

Lí do chọn đề tài Trong chương trình toán phổ thông, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức luôn là bài toán hấp dẫn, lôi cuốn tất cả người học Toán và làm toán.. Các bài toán này rất

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình toán phổ thông, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức luôn là bài toán hấp dẫn, lôi cuốn tất cả người học Toán và làm toán Các bài toán này rất phong phú và đa dạng vì vậy các bài toán về bất đẳng thức thường xuyên có mặt trong các kỳ thi phổ thông trung học, cũng như trong các

kỳ thi học sinh giỏi và các kì thi đại học, cao đẳng

Để giải quyết nó đòi hỏi người học Toán và làm toán phải linh hoạt và vận dụng một cách hợp lý trong từng bài toán Tất nhiên đứng trước một bài toán về bất đẳng thức thì mỗi người đều có một xu hướng phát triển riêng cuả mình Nói như vậy có nghĩa là có rất nhiều cách để đi dến kết quả cuối cùng của bài toán này Điều quan trọng là ta phải lựa chọn phương pháp nào cho lời giải tối ưu của bài toán Thật là khó nhưng thật thú vị nếu ta tìm được đường lối đúng đắn

để giải quyết nó

Với những lý do trên cùng với sự đam mê của bản thân và cùng với sự

hướng dẫn tận tình của thầy giáo - Thạc sỹ Phạm Lương Bằng, em mạnh dạn

thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình với đề tài: “ Ứng dụng của bất đẳng thức vào giải một số bài toán và sáng tạo một số dạng toán đại số sơ cấp ”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu ứng dụng của bất đẳng thức vào giải một số bất đẳng thức

và sáng tạo bất đẳng thức

3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán liên quan đến bất đẳng thức

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc, nghiên cứu tài liệu

So sánh, phân loại, tổng hợp kiến thức

Tổng hợp, sắp xếp, giải bài tập

CHƯƠNG 1: BẤT ĐẲNG THỨC ỨNG DỤNG VÀO GIẢI

Từ (5) và (6) ta suy ra:

   (12)

Nhân từng vế (10), (11), (12) suy ra:

Bài 1.1.5: Cho hàm số f x y z ; ; x y z xét trên miền

2000 2.

2002

x x



 (18)

Tương tự ta có:

2002 2

2000 2.

2002

y y

2000 2.

2002

z z

1      x x y z x 4 x yz (23)

1y   x y z y44 y xz2 (24)

2 4

Ta có kết quả tổng quát sau: max f x x 1 ; 2 ; ;x n  n 1 , x x1 ; 2 ; ;x nD, trong đó D x y z; ; :x i  0,  i 1,n và x1 x2  x n  1

Bài 1.1.7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

f x y z  x y z trên miền D x y z; ; :x 0,y 0,z 0;xy 1

Lời giải:

Lấy x y z; ; D Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

 

2 1

1

x x

 

  (27)

 

2 1

1

y y

1

z z

y

z x

y z

3 9

Bài 1.1.11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Bài 1.1.12: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

Lấy x y z; ; D tùy ý Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai dãy số 1;1;1 và  1 t anx tan ; 1 tan tan ; 1 tan t anx  y  y z  z  ta được:

3 1 t anx.tan   y  1 tan tan  y z  1 tan t anx  z 

Từ đó suy ra: f x y ; sin 1004 x cos 1004x2 (39)

Ta có bổ đề: cho a 0,b 0 và a b  1 Khi đó với mọi n nguyên ta có:

1

1 2

n n

n

a b   ( chứng minh bằng phương pháp quy nạp)

Áp dụng bổ đề này với a sin x b, cos xta có:

Tính chất 4: Nếu ab  acbc nếu c 0 hoặc acbc nếu c 0

1.2.2.2 Giải phương trình, bất phương trình và hệ

 Với phương trình ta sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu |a b | | |  a  | |b ab 0

Tính chất 2: Nếu | |a  | |b a b 0

0

a b

x x x x x

Vậy phương trình có nghiệm là 0;1  3; 4

Bài 1.2.2: Giải phương trình

 x  1 1 2  0

1 1 2

x x

Vậy phương trình có nghiệm là x 2

Bài 1.2.3: giải phương trình sau:

3 | 1| 2

x x

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x 2;x  4

Bài 1.2.4: Giải phương trình:

y x

Vậy phương trình có họ nghiệm là 2; ,

 9x  3x  10x 2, dấu đẳng thức xảy ra khi x 1

Vậy phương trình có 2 nghiệm x 0 và x 1

Bài 1.2.7: Giải phương trình:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 7x 4 x  x 3

1 7

x x

Vậy phương trình có nghiệm x 1 hoặc x 7

Bài 1.2.8: Giải phương trình :

Dấu đẳng thức xảy ra khi vầ chỉ khi x 1

Vậy phương trình có nghiệm khi x 1

Bài 1.2.9: Giải phương trình sau:

Bài 1.2.10: Giải phương trình sau:

 

4

2 4

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x y;   x0 ; 1 ,   x0   1;3

Bài 1.2.12: Giải bất phương trình sau:

2

x x

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với x  a

Bài 1.2.14 : giải bất phương trình:

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x 0

Bài 1.2.15: Giải bất phương trình sau:

Vậy phương trình có nghiệm là S   3;5

Bài 1.2.16: Giải hệ phương trình:

(4) 0

0 1

y x x y x y

x y xy x y x y

y x x y x y

Vậy hệ đã cho có nghiệm là: 0;1 , 1; 0 , 0; 1     

Bài 1.2.17: Giải hệ phương trình sau:

Vậy nghiệm của hệ là x 2

Bài 1.2.18: Giải hệ phương trình sau:

x y x y

Vậy hệ phương trình có 4 cặp nghiệm

Bài 1.2.19: giải hệ phương trình sau:

Vậy phương trình có 3 cặp nghiệm x y;  là  1;1 , 1; 1 , 1; 2 

1.3.1.2.Bất đẳng thức Chebyshev trên 2 dãy đơn điệu ngược chiều

Cho 2 dãy số hữu hạn các số thực a a1, 2, ,a n và b b1, 2, ,b n khi đó:

Không mất tính tổng quát, giả sử

Bài 1.3.5: Cho a b c, , sao cho 1 1 1, ,

a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác

1 1

4 1 4

n n

Bài 1.4.2: Cho a b c, , là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC, chứng minh bất

Bài 1.4.4: Cho a b c, , là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

pa2 qb2  pqc2với mọi p q, thỏa mãn: pq 1

Với a b c, , là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và pq 1

Bài 1.4.5: Cho ABC có 3 cạnh là a b c, , Chứng minh rằng:

Vậy (1) đã được chứng minh

b) Gọi x là độ dài đường phân giác trong AD của tam giác ABC

Áp dụng định lí hàm sin vào các tam giác ABD và ABC ta có:

Bài 1.4.6: Cho a b c, , là độ dài 3 cạnh của một tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của:

3 3

Bài 1.4.8: Cho ABC có độ dài các đường trung tuyến lần lượt là m m m a, b, c

và độ dài các đường phân giác trong là l l l a, ,b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

CHƯƠNG 2: SÁNG TẠO RA MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

Bài 10: Cho a b c, , là độ dài 3 cạnh của một tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất

Vậy nghiệm của phương trình là 5 x 10

Bài 12: Giải phương trình:

Vậy nghiệm của (1) là x 1

Bài 13: Giải phương trình:







Vậy phương trình có 2 nghiệm x 1;x 3

Bài 14: Giải bất phương trình sau:

x x2   1 x x2  1  2 (1)

Hướng dẫn:

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x 0

Bài 17: Giải hệ phương trình sau:

x y x y

Vậy hệ phương trình có 4 cặp nghiệm

Bài 18: Giải hệ bất phương trình:

KẾT LUẬN Trong chương trình toán phổ thông, bài toán về bất đẳng thức là phần hấp dẫn, lôi cuốn tất cả những người học Toán và làm Toán Trong khóa luận này

em đã trình bày các ứng dụng của bất đẳng thức vào giải một số bài toán và sáng tạo bất đẳng thức Em thực hiện khóa luận này với mong muốn đóng góp kinh nghiệm trong việc nghiên cứu và học tập môn toán Từ khóa luận này có thể giúp bạn đọc biết thêm một số ứng dụng của bất đẳng thức vào giải một số bài toán và sáng tạo ra một số bài toán sơ cấp

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế mặc dù đã cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo trong khoa toán cùng với sự đóng góp của các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Trần Phương, Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học, NXB Tri thức

2 Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri thức 2006

3 Phan Huy Khải, 500 bài toán bất đẳng thức, NXB Hà Nội

1994

4 Tạp chí toán học tuổi trẻ, NXB Giáo dục

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình

của thầy giáo, thạc sĩ Phạm Lương Bằng, khóa luận của em đến nay đã hoàn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Dương Thị Phúc

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: 3

BẤT ĐẲNG THỨC ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN 3

1.1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki trong bài toán cực trị của hàm số 3

1.1.1 Bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki 3

1.1.2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 4

1.1.3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 13

1.2 Ứng dụng bất đẳng thức trong giải phương trình, bất phương trình và hệ 19

1.2.1 Tính chất cơ bản của bất đẳng thức 19

1.2.2 Bất đẳng thức liên quan đến trị tuyệt đối 20

1.2.Bài tập rèn luyện: 21

1.3 Ứng dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức 35

1.3.1 bất đẳng thức Chebyshev: 35

1.3.2 Bất đẳng thức Bernoulli 36

1.3.3 Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev: 36

1.3.4 Áp dụng bất đẳng thức bernoulli: 43

1.4 Ứng dụng bất đẳng thức trong hình học 49

CHƯƠNG 2: SÁNG TẠO RA MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ SƠ CẤP 58

KẾT LUẬN 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 71

s