Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

LờI CảM ƠN Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên, khóa luận tốt nghiệp của em đến nay đã đ-ợc hoàn thà

LờI CảM ƠN

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự quan tâm, tạo điều

kiện của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên, khóa luận tốt nghiệp của

em đến nay đã đ-ợc hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô

giáo Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga đã tận tình chỉ bảo, h-ớng dẫn em trong

suốt thời gian làm khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy, cô giáo

trong tổ Đại số nói riêng và khoa Toán tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2 nói

chung, sự động viên, giúp đỡ của gia đình, bạn bè đã dành cho em trong quá

trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và trình độ bản thân còn

hạn chế nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong

nhận đ-ợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để khóa luận đ-ợc

LờI CAM ĐOAN

Khóa luận “ Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên”

đ-ợc hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực của bản thân cùng sự giúp đỡ tận tình

của cô giáo, Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga

Em xin cam đoan khóa luận này không trùng với kết quả của các tác giả

Mục lục

Mở đầu

Nội dung

CHƯƠNG I: kiến thức chuẩn bị

1.1 Đa thức một ẩn 8

1.2 Nghiệm của đa thức một ẩn 9

1.3 Phép chia với d- 10

1.4 Công thức Viét 10

1.5 Đạo hàm của đa thức 12

1.6 Đa thức đồng d- 12

1.7 Đa thức nhiều ẩn 14

1.8 Một số tính chất cơ bản của Số học 14

CHƯƠNG II: sự tồn tại nghiệm của đa thức 2.1 Tính chất về sự tồn tại nghiệm của đa thức 19

2.2 Sự tồn tại nghiệm bội của đa thức 20

CHƯƠNG III: nghiệm nguyên của đa thức nguyên 3.1 Định nghĩa đa thức nguyên, nghiệm nguyên của đa thức nguyên 22

3.2 Một số ph-ơng pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức nguyên 23

3.2.1 Ph-ơng pháp sử dụng đa thức đồng d- 23

3.2.2 Ph-ơng pháp sử dụng các tính chất của Số học 25

3.2.3 Ph-ơng pháp đánh giá 37

3.2.4 Ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức 41

3.2.5 Ph-ơng pháp xuống thang 44

3.2.6 Ph-ơng pháp xây dựng nghiệm 49

3.2.7 Ph-ơng pháp quy về hệ ph-ơng trình bậc nhất, bậc hai 51

3.3 Nghiệm nguyên của một số ph-ơng trình đặc biệt 59

3.3.1 Ph-ơng trình Điôphăng 59

3.3.2 Ph-ơng trình Pitago 67

3.3.3 Ph-ơng trình Fermat 72

Kết luận 77

Tài liệu tham khảo 78

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Đa thức và các bài toán có liên quan chiếm vị trí quan trọng trong Toán

học, không những là một đối t-ợng nghiên cứu trọng tâm và có nhiều ứng

dụng trong Đại số mà còn là công cụ sắc bén của Giải tích trong lý thuyết nội

suy, lý thuyết tối -u… Đặc biệt, các bài toán về nghiệm nguyên là một đề tài

lý thú, đ-ợc đề cập nhiều trong ch-ơng trình toán học phổ thông, trong các kì

thi học sinh giỏi, thi Olympic Quốc tế… Có những bài toán chúng ta có thể dễ

dàng tìm ra cách giải, cũng có nhũng bài toán lôi cuốn các nhà toán học

chuyên nghiệp và nghiệp d- hàng thế kỉ Hơn nữa, trên con đ-ờng tìm cách

giải của các bài toán đó, nhiều lý thuyết toán học mới đã đ-ợc sáng tạo ra với

những kết quả rất quan trọng Quá trình tìm lời giải cho bài toán Fermat là

một ví dụ điển hình

Đối với bậc THCS , THPT, các dạng toán về đa thức và nghiệm nguyên

của đa thức cũng đ-ợc đề cập đến, tuy nhiên vẫn ở mức độ sơ l-ợc, ch-a phân

loại đ-ợc các dạng toán cũng nh- ph-ơng pháp giải

Hiện nay, ng-ời ta đã xây dựng đ-ợc nhiều ph-ơng pháp khác nhau để

giải các bài toán về nghiệm nguyên, bồi đắp cho nó trở thành một trong những

phần toán sơ cấp đẹp và lý thú

Với lý do trên cùng với lòng say mê nghiên cứu và đ-ợc sự giúp đỡ tận

tình của cô giáo, Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga, em đã chọn đề tài “Đa thức và

bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên ” làm khóa luận tốt nghiệp với

mong muốn góp phần nhỏ bé làm tăng vẻ đẹp của môn toán thông qua các bài

toán về nghiệm nguyên Hy vọng khóa luận này sẽ có ích đối với những ai

quan tâm đến đa thức và nghiệm nguyên của đa thức nguyên

2 Mục đích nghiên cứu

B-ớc đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu

hơn về nghiệm nguyên của đa thức nguyên

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tập trung phân loại, hệ thống các dạng toán về nghiệm nguyên của đa

thức nguyên

- Các ph-ơng pháp cơ bản để tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình

- Cách tìm nghiệm nguyên của một số ph-ơng trình đặc biệt

4 Đối t-ợng nghiên cứu

Nghiệm nguyên của đa thức nguyên

5 Ph-ơng pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

- So sánh, phân tích, tổng hợp

- Ph-ơng pháp đánh giá

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận

của em gồm ba ch-ơng:

Ch-ơng I : Kiến thức chuẩn bị

Ch-ơng II: Sự tồn tại nghiệm của đa thức

Ch-ơng III: Nghiệm nguyên của đa thức nguyên

CHƯƠNG I: kiến thức chuẩn bị

1.1 đa thức một ẩn

1.1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn:

Giả sử R là vành giao hoán có đơn vị là 1

Gọi A là tập hợp gồm tất cả các dãy vô hạn

trong đó ai R , i = 1,2,… và các ai = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn chỉ số i

Ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân trong A nh- sau:

Giả sử f a0,a1, ,a n, A

,

, ,, 1

a g f

,

,.g c0 c1 c n f

trong đó

k j i

j i

Khi đó: với mọi f A , tồn tại n sao cho a n 1 a n 2 0

n n

a a

a

f 0 1 , ,0,0, 0 1

1.1.2 Định nghĩa:

Vành A nói trên đ-ợc gọi là vành đa thức của ẩn x ( hoặc biến x ) với

các hệ tử trong R và đ-ợc kí hiệu là R[x] Mỗi phần tử của R[x] đ-ợc gọi là

một đa thức của ẩn x, th-ờng kí hiệu là f(x),g(x) Đa thức dạng ax n đ-ợc

a đ-ợc gọi là hạng tử , a0 gọi là hạng tử tự do

Bậc của đa thức 0 đ-ợc quy -ớc bằng

1.2 nghiệm của đa thức một ẩn

1.2.1 Định nghĩa nghiệm của đa thức:

Cho K là một vành, A là vành con của K Phần tử c K gọi là nghiệm

của đa thức f (x) A[x] nếu và chỉ nếu f (c) 0

quá n nghiệm

1.2.2 Nghiệm bội:

Phần tử c K , K A đ-ợc gọi là nghiệm bội bậc k , k *

của đa thức f (x) A[x] nếu f(x) x c k và f (x) x c k 1

Đặc biệt: Nếu k = 1 thì c đ-ợc gọi là nghiệm đơn

Nếu k = 2 thì c đ-ợc gọi là nghiệm kép

1.3 phép chia với d-

1.3.1 Định lý về phép chia với d-

Cho f(x), g(x) A[x] với A là tr-ờng và g (x) 0 Khi đó tồn tại

duy nhất các đa thức q(x), r(x) A[x] sao cho:

)()()

( )(x g x q x r x f

Nếu r (x) 0 thì deg(r(x)) deg(g(x))

1.3.2 Định lý Bezout :

Cho f (x) A[x], với A là một tr-ờng và c là phần tử thuộc A Khi đó

d- trong phép chia f (x) cho x c là f (c)

0 2

1

0 , ,

1 , ,

0

2 1

1 3

1 2 1

0

1 2

1

)1(

)1(

2 1

a a

a a

a a a

a

n n n

k k

n i i i i i

i i i

n n n

n

k k

k

1.4.2 Các dạng th-ờng gặp của công thức Viét:

* Công thức Viét đối với đa thức bậc hai:

a c bx ax

a

b x

x

2 1

2 1

* Công thức Viét đối với đa thức bậc ba:

a d cx bx ax

x x

a

c x x x x x x

a

b x

x x

3 2 1

3 2 3 1 2 1

3 2 1

1.5.1 Định nghĩa đạo hàm của đa thức

Cho P (x) là đa thức khác không: P(x) a x a 1x n1 a1x a0

n n n

Đa thức Q(x) na x 1 (n 1)a 1x n 2 a1

n n

nhất (hoặc đơn giản là đạo hàm) của đa thức P (x) kí hiệu là P ' x( ) Đạo hàm

của đạo hàm bậc nhất P ' x( ) gọi là đạo hàm bậc hai, kí hiệu: P " x( )

bậc k 1 của đa thức P (x), kí hiệu: ( )( )

()()

('')()

(

)('.')(

)(')('')()(

x Q x P x Q x P x

Q x P

x P x

P

x Q x P x

Q x P

* Định lý 2: Với P(x),Q(x) là những đa thức bất kì thì ta có :

)('.)('')(

)('.)(.')

x Q x Q P x

Q P

x P x

P n x

Cho (x) A[x] , (x) 0 Khi đó:

Nếu P(x) Q(x) mod (x) và Q(x) R(x) mod (x) thì

)(mod)

()

P

Nếu P(x) Q(x) mod (x) thì P(x).R(x) Q(x).R(x) mod (x)

d, Trong A[x] , cho những đa thức bất kì P1(x),P2(x), P n(x) và

)(

),(),

()()

()(

1 1

x x

Q x U x

P x U

n i

i i n

i

i i

e, Cho P1(x),P2(x), P n(x) và Q1(x),Q2(x), ,Q n(x) là những đa

thức bất kì thuộc A[x] Nếu P i(x) Q i(x) mod (x) , i 1,2, ,n

thì P1(x).P2(x) P n(x) Q1(x).Q2(x) Q n(x) mod (x)

Nếu P(x) Q(x) mod (x) thì P'(x) Q'(x) mod (x)

Nếu P(x) Q(x) mod (x) thì F P(x) F Q(x) mod (x)

* Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn:

Xây dựng bằng ph-ơng pháp quy nạp:

Cho R là vành giao hoán có đơn vị Ta xây dựng đ-ợc vành đa thức một

biến R1 = R[x] là vành đa thức một biến x Khi đó, R1 là vành giao hoán có

1, , , )

f n với ai R và có hữu hạn a(i) 0

Khi đó biểu thức xi1.xi2 … x in đ-ợc gọi là một đơn thức

a thì ta nói rằng b chia hết a hay b là -ớc của a và kí hiệu là b | a

Ta cũng nói a chia hết cho b hay a là bội của b và kí hiệu là a M b

+) Nếu a, b nguyên d-ơng và a M b thì a b

+) Nếu ai M b ( i = 1, n ) thì ( a1 + a2 + … + an ) M b

+) Định lý về phép chia với d-:

Cho các số nguyên a và b, với b 0 Khi đó luôn có các số nguyên q, r

duy nhất sao cho:

+) Nếu d là một -ớc chung của a1, a2 , … , an và mọi -ớc chung của

a1, a2 , … , an đều là -ớc của d thì d đ-ợc gọi là -ớc chung lớn nhất (ƯCLN)

của a1, a2 , … , an

Kí hiệu: d = ( a1, a2 , … , an )

nó là bội của mỗi số đó

+) Nếu m là một bội chung của a1, a2 , … , an và mọi bội chung của

a1, a2 , … , an đều là bội của m thì m đ-ợc gọi là bội chung nhỏ nhất (BCNN)

+) Với mọi số nguyên a, b luôn tồn tại các số nguyên x, y sao cho :

+) Hai sè a, b ®-îc gäi lµ nguyªn tè cïng nhau nÕu (a, b) = 1

Cho a, b, c lµ ba sè nguyªn d-¬ng sao cho ab M c , nÕu (a, c) =1 th×

b M c

+) Hai sè nguyªn liªn tiÕp th× nguyªn tè cïng nhau

+) Gi¶ sö (a, b) M d , d th×:

b a d d

b d

a

,1

1.8.3 ThuËt to¸n ¥clit ( T×m ¦íc chung lín nhÊt cña hai sè nguyªn)

D·y phÐp chia cã d- liªn tiÕp nµy gäi lµ ThuËt to¸n ¥clit thùc hiÖn trªn

hai sè nguyªn a vµ b D·y nµy lµ h÷u h¹n vµ thuËt to¸n ¥clit ph¶i kÕt thóc víi

Cho hai số nguyên a và b Ta nói rằng a đồng d- b theo môđun m ( ở

đây m là số nguyên d-ơng) khi và chỉ khi ( a b) M m

k a

k

n i i n

i

1 1

, với k = 1

+) Nếu ai bi ( mod m), i = 1, 2, …, n thì ta có:

n i i n

i

a

1 1

Giả sử a và b là hai số nguyên d-ơng còn p là số nguyên tố sao cho

p

ab Khi đó a p hoặc b p

1.8.6 Một số định lý của Số học:

Cho n là số nguyên ( n 0,1) Khi đó n luôn biểu diễn đ-ợc một cách

duy nhất (không tính đến việc sắp xếp thứ tự các nhân tử) d-ới dạng sau:

k

k

p p p

n 1 2

2 1

) (

m

a m

Trong đó: (m) là số các số nguyên d-ơng nhỏ hơn m và nguyên tố

cùng nhau với m ( (m) gọi là hàm Ơle của m )

Nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên tùy ý thì a p a p

Nếu (a, p) = 1 thì a p p

mod1

2.1 tính chất về sự tồn tại nghiệm của đa thức

* Định lý 1:

Một đa thức bậc lẻ với hệ số thực có ít nhất một nghiệm thực

* Định lý 2:

Cho f (x) R[x] Nếu số phức là nghiệm của f (x) thì số phức liên

hợp với nó là cũng là nghiệm của f (x)

đều có thể biểu diễn d-ới dạng: f (x) a0 x 1 x 2 x n Trong

đó 1, 2, , n là các nghiệm của đa thức trong tr-ờng mở rộng K của A

* Định lý Bezout :

Cho f (x) A[x], với A là một tr-ờng và c là phần tử thuộc A Khi đó

d- trong phép chia f (x) cho x c là f (c)

* Định lý D’Alembert:

Mọi đa thức bậc khác không với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức

Chứng minh Giả sử f (x) [x], deg(f(x)) 0

)

k j i

j i

nên các hệ số b k là các số thực

Mà “ mọi đa thức bậc lớn hơn không với hệ số thực có ít nhất một

nghiệm phức” nên có ít nhất z p qi thỏa mãn g z( ) f z f z( ) ( ) 0

Tức là f (z) 0 hay z là nghiệm của f x( )

+ Nếu f (z) 0 thì z là nghiệm của f x( )

Nh- vậy, hoặc z hoặc z là nghiệm của f x( )

Cho f(x), g(x) K[x], K là tr-ờng, deg(g(x)) m và g x( ) có đúng

nghiệm của g (x) đều là nghiệm của f x( )và mọi nghiệm bội bậc k của

( )

g x đều là nghiệm bội bậc k’ của f x( ) với k’ k

+ Nếu f x( ) 0 thì hiển nhiên f x ( ) ( ) M g x

+ Nếu mọi nghiệm củag x( ) đều là nghiệm của f x( ) và mọi nghiệm

bội bậc k của g x( )đều là nghiệm bội bậc k' của f x( ) với k' k (*)

Giả sử g x( ) có các nghiệm là 1 2 m với số bội t-ơng ứng là

3.1 định nghĩa đa thức nguyên và nghiệm nguyên của

đa thức nguyên

a x a x

a x a x

a x a x

2 Mọi nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số nguyên có hệ số cao

nhất bằng 1 đều là nghiệm nguyên

3 Nếu 1 là nghiệm nguyên của đa thức nguyên ( )f x thì (1)

1

f

và ( 1)

f f f m đều không chia hết cho m ( với m là số nguyên d-ơng

cho tr-ớc, m 2 ) thì ph-ơng trình ( )f x 0 không có nghiệm nguyên

5 Cho ( )f x là đa thức với hệ số nguyên Nếu (0) và (1) f f là những

số lẻ thì ph-ơng trình ( )f x 0 không có nghiệm nguyên

3.2 Một số ph-ơng pháp tìm nghiệm nguyên của đa

thức nguyên

3 3

2003

z y x

213210

3 3 3

z y

hay 3 3 3 0 1 2 3 6 7 8(mod9)

z y

Lại thấy: 7 2(mod9) nên 72003 ( 2)2003 (mod 9)

0, 1 hoặc -1 nên với mọi x, y, z nguyên ta có:

15 15 15 5 5 5

Do đó, x15 y15 z khi chia cho 9 có thể d- 0, 3, 1, -3 hoặc -1 15

Kết hợp với (4) suy ra ph-ơng trình (1) không có nghiệm nguyên

Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình sau trên tập số nguyên:

+ Nếu a lẻ thì a 2k 1

1)13(832

161

4

k k k

k k

a

Suy ra a4 1 (mod 16)

Nh- thế, với mọi a thì

4 4

0 (mod 16)

a 1 (mod 16)

a

Từ đó suy ra với mọi xi , i = 1, 2, … , 14 thì:

Gợi ý: Xét d- 2 vế khi chia cho 8

3.2.2.Ph-ơng pháp sử dụng các tính chất của số học

3)(

7 x y x xy y (1)

Giải:

§Æt

y x v

y x u

thÕ th× ta cã

2

2

v u y

v u x

(2)

Thay (3) vµo (2) ta ®-îc

2 2

22

22

32

2727

;5.4

;0,0

VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph-¬ng tr×nh sau:

x y xy (1)

y x

y

y

20

x x

VËy ph-¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm nguyªn lµ ( 2, 2 ) ; ( 0, 0 )

- Víi mäi sè nguyªn tè a th× sè 2 1

a kh«ng cã -íc nguyªn tè d¹ng 3

y d

x z

y x

Khi đó, vế trái của (2) chia hết cho p2, nên vế phải của (2) cũng chia

hết cho p2

p d

Vậy giả sử là sai, tức là ph-ơng trình đã cho không có nghiệm nguyên

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên:

72928

y x y

Vì vế phải của (2) chia hết cho 3 nên 18 2 27 2 2 2 3

y x y x

u

Suy ra : u1 3u2 , v1 3v2 và 19 28 2 1

2 2

* Bài tập áp dụng: Tìm nghiệm nguyên của các ph-ơng trình sau:

y x

- Số chính ph-ơng chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2

- Số chính ph-ơng chia cho 3 hoặc 4 có số d- là 0 hoặc 1

- Số chính ph-ơng chia cho 8 có số d- là 0, 1 hoặc 4

- Nếu tích ab là số chính ph-ơng và (a, b) = 1 thì a và b đều là những số

Vậy ph-ơng trình có nghiệm nguyên duy nhất là ( - 1, -1 )

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên d-ơng của ph-ơng trình sau:

x (3)

Dễ thấy x y1, , 1 z đôi một nguyên tố cùng nhau vì nếu hai trong ba số 1

1, , 1 1

hết cho d1 (mâu thuẫn với (2))

Nh- vậy : x y1, 1 1 (4)

Từ (3) và (4), ta có x và y là các số chính ph-ơng, tức là:

( t * ) (*)

Đảo lại, các số x, y, z có dạng (*) thỏa mãn (1)

Vậy ph-ơng trình đã cho có vô số nghiệm nguyên d-ơng đ-ợc cho bởi

2 2 2 2

V« lý v× sè chÝnh ph-¬ng chia cho 3 cã sè d- lµ 0 hoÆc 1

ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm

3 Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi nghiÖm nguyªn:

2 2 2 2

y x y xy x

)2003(mod0

)2003(mod1

)2003(mod0

2002 2002

a

a a

a

Nãi c¸ch kh¸c:

- NÕu 2003a M th× a2002 2003M

x y

MM

Đặt

1 1

1 2002 1 2002

x

Lập luận nh- trên ta suy ra:

1 1

2003 2003

x y

MM

00

x

00

x y

Ng-ợc lại, dễ thấy ( , )x y (0, 0) là một nghiệm của (1)

Vậy ph-ơng trình đã cho có nghiệm nguyên duy nhất là (0, 0)

Ví dụ 2: Cho k là số nguyên d-ơng cho tr-ớc Tìm nghiệm nguyên d-ơng của

hay 4 2 4 2 (mod )

p y

(4)

Từ (2), (3), (4) suy ra: 1 1(modp)

Điều này vô lý nên giả sử là sai Do đó, x M p

Lại từ x2 y2 p

, ta có y M (vì p là số nguyên tố) p

VËy x p vµ y p (§iÒu ph¶i chøng minh)

*) B©y giê xÐt ph-¬ng tr×nh (1)

Ta cã: 2 2 2011

y x

Suy ra: xy 0(mod11)

Từ đó tìm đ-ợc nghiệm của ph-ơng trình đã cho

thì y n x h n với h = 1, 2, … , (a - 1)

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:

3 3 2

Giải :

Ta có:

013

1

2 2

x x x

x

20

1910

115

711

2 2

x x

x x

Từ (1) và (2) suy ra:

75

)1

(1

1)

x (3)

Do x và y nguyên nên từ (3) ta suy ra y = x + 1

Thay vào ph-ơng trình đã cho ta đ-ợc:

133

1)

1(

1

00

)1(

x

x x

x x2( 2 1) x4 x2 10 x2 3 x2 4 (3)

Từ (2) và (3) suy ra: 2 2 1 ( 1) 2 3 2 4

x x

y y x

y y

x x

x x

Suy ra:

2

24

2

x

x x

Khi đó:

5

630

)1(

y

y y

y y

x x

2

x

x x

Khi đó:

3

412

)1(

y

y y