Những bài toán về đa thức

Khóa luận hoàn thành trên cơ sở những kiến thức mà em đã được học, một số tài liệu tham khảo và sự chỉ bảo của các thầy cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Vương Thông..

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của sự cố gắng của bản thân emsau một thời gian học tập,nghiên cứu với sự giúp đỡ của thầy cô

Qua đây,em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến các thầy cô

giáo,đặc biệt là thầy Vương Thông - người đã tận tình hướng dẫn em trong

quá trình hoàn thành khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Thu Thủy

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình họctập, nghiên cứu của em Khóa luận hoàn thành trên cơ sở những kiến thức mà

em đã được học, một số tài liệu tham khảo và sự chỉ bảo của các thầy cô giáo,

đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Vương Thông.

Với đề tài: "Những bài toán về đa thức ", khóa luận này không có sự

trùng lặp với các khóa luận khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Thu Thủy

MỤC LỤC

Lời nói đầu 1

Chương 1: Những kiến thức cơ bản về đa thức có liên quan 2

1.1.Vành đa thức một ẩn 2

1.2 Vành đa thức nhiều ẩn 10

Chương 2: Một số bài toán về đa thức một ẩn 14

2.1 Bài toán 1: Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức Tìm dư mà không thực hiện phép chia 14

2.2 Bài toán 2: Tìm giá trị của m để f x,m g x,m 20

2.3 Bài toán 3: Đa thức bất khả quy 23

2.4 Bài toán 4: Bài toán nghiệm của đa thức Công thức Viet 27

2.5 Bài toán 5: Ứng dụng của định lí Viet vào giải hệ phương trình 32

2.6 Bài toán 6: Phương trình hàm đa thức 35

2.7 Bài toán 7: Tìm ước chung lớn nhất của đa thức 37

Chương 3: Một số bài toán về đa thức nhiều ẩn 41

3.1 Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 41

3.2 Bài toán 2: Chứng minh hằng đẳng thứ c 43

3.3 Bài toán 3: Chứng minh bất đẳng thứ c 45

3.4 Bài toán 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng 48

3.5 Bài toán 5: Giải hệ phương trình dựa vào đa thức đối xứng 51

3.6 Bài toán 6: Giải phương trình căn thức dựa vào đa thức đối xứng 53

3.7 Bài toán 7: Lập phương trình bậc hai dựa vào đa thức đối xứng 54

3.8 Bài toán 8: Tr ục căn thức ở mẫ u 55

Kết Luận ……… 59

Tài liệu tham khảo……… 60

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đại số là một bộ phận lớn trong toán học, trong đó đa thức là khái niệm

cơ bản và quan trọng Lý thuyết đa thức được sử dụng nhiều trong toán caocấp, toán ứng dụng, toán sơ cấp Trong chương trình phổ thông, đại số hầu hếtnghiên cứu về đa thức bậc nhất, đa thức bậc hai và một số đa thức dạng đặcbiệt bậc cao

Tuy vậy vấn đề đa thức trình bày rải rác, chưa được phân loại và hệthống một cách chi tiết, chưa đưa ra phương pháp giải tường minh Tài liệuviết về đa thức chưa nhiều nên việc nghiên cứu về đa thức còn khó khăn

Với những lí do trên tôi đã chọn đề tài “Những bài toán về đa thức”

nhằm phân loại, hệ thống một số bài toán về đa thức và ứng dụng của nó đểgiải một số bài toán có liên quan

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các bài toán về đa thức một ẩn, đa thức nhiều ẩn và một số bàitoán liên quan

3 Đối tượng nghiên cứu.

Các dạng toán cơ bản về đa thức

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa

CHƯƠNG 1: NHỮNG KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC CÓ LIÊN QUAN

1.1 Vành đa thức một ẩn

1.1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn

Cho A là vành giao hoán có đơn vị kí hiệu 1

Kí hiệu P = { a0 , a1, , a n , , a i A, i  , a i 0 hầu hết }

Trên P’ ta xác định 2 quy tắc cộng và nhân như sau:

i jk i jk

 Phép nhân trong A có tính chất kết hợp và phân phối đối vớiphép cộng nên phép nhân trong P cũng có tính chất kết hợp, phânphối đối với phép cộng

a0 a1x

Dạng này được gọi là dạng chính tắc của đa thức Khi đó P thay bằng A[x]

và gọi là vành đa thức của ẩn x

n

A là vành cơ sở, các phần tử của nó được gọi là các đa thức của ẩn x, thường

được gọi là hệ tử cao nhất

Định nghĩa 1.2: Cho đa thức

của đa thức f xlà

bậc của đa thức Kí hiệu : deg

Định lí 1.1: Cho hai đa thức

Định lí 1.2: Nếu A là một miền nguyên,

không của vành A[x] thì

f xvà g xlà 2 đa thức khác

i

f x.g x0 và degf x.g x deg f xdegg x 

Hệ quả: Nếu A là miền nguyên thì A[x] là miền nguyên.

g xnếu tồn tại đa thức

là giá trị của đa thức

Thực hiện phép chia đa thức

f xa x n a x n1

hệ tử của đa thức thương q xb x n1 b

d, Nghiệm bội và tính chất của nghiệm bội.

Định nghĩa 1.5: Giả sử A là trường,

1

c là nghiệm bội cấp m nếu và chỉ nếu

cho x cm1

- Với m = 1 : c gọi là nghiệm đơn

- Với m =2 : c gọi là nghiệm kép

Định nghĩa 1.6: Cấu trúc đại số là bộ X 

g x n



j 0

khi chia cho  x.

khi và chỉ khi Px,Qxcho cùng một đa thức dư

không là đa thức bậc không với hệ số

trong K gọi là bất khả quy trên K nếu nó không biểu diễn như một tích của hai

đa thức khác đa thức bậc không với hệ số trong K với các bậc nhỏ hơn bậc

Định lí 1.7: Nếu Pxlà một đa thức bất khả quy trên

Định lí 1.9: Nếu một đa thức hệ số nguyên không phân tích được thành tích

hai đa thức hệ số nguyên thì nó cũng không phân tích được thành hai đa thức

là đa thức với hệ số nguyên, nếu tồn

tại số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện:

x là nghiệm của g x Việc tìm nghiệm của một đa thức với hệ số hữu tỉ

được đưa về tìm nghiệm của đa thức với hệ số nguyên

1.2.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn

Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn bằng phương pháp quy nạp

Cho A là một vành giao hoán có đơn vị 1

Ta xây dựng được vành

A1 A[x1] là vành đa

thức ẩn

x1 lấy hệ tử có đơn vị trên A

A2 A1[x2 ]=A[x1, x2 ] gọi là vành đa thức hai ẩn

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được mỗi đa thức

f x1, , x n Ax1, , x n đều biểu diễn dưới dạng:

1 1

f x1, , x n

 c x a11

x n

Ta gọi là bậc của f x1, , x n đối với

của các số 1,2,…,n đều thỏa mãn đẳng

Định lí 1.14: Tập hợp các đa thức đối xứng lập thành vành con của vành

c, Định lí cơ bản của đa thức đối xứng.

là các đa thức đối xứng cơ bản

d, Đƣa đa thức đối xứng về đa thức đối xứng cơ bản gồm :

được gọi là tổng lũy thừa bậc k của x1, , x n

Theo định lí cơ bản của đa thức đối xứng, mọi tổng lũy thừa có thể biểu diễnnhư đa thức của những đa thức đối xứng cơ bản

Định lí 1.15: Mọi tổng lũy thừa S x k

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC MỘT ẨN

2.1 Bài toán 1: Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức.

Tìm dư khi không thực hiện phép chia

- Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

* Nếu tìm số dư của phép chia ta dựa vào định lý Bơzu

chia hết cho g xx2 x

 1 với

k,l,n  tùy ý

Lời giải Cách 1: Biến đổi xuất hiện

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n *



Nhận thấy

x 2n 1 x2 n 1 x2 1 x2n1 x2

Do đó dư của phép chia là : 2x 7

Ví dụ 5: Tìm dư khi chia đa thức

f xx n x n1  x2 x 1 cho x2 1 với n > 2

Lời giải

Gọi thương là

qx, dư là

2.2 Bài toán 2: Tìm giá trị của m để

n

Dựa vào lược đồ Horner tìm

2.3 Bài toán 3: Nhận biết đa thức bất khả quy.

Đa thức bất khả quy trong □ xlà đa thức bậc nhất

Đa thức bất khả quy trong

Ví dụ 3: Xét tính bất khả quy của đa thức sau trên  x:

không là đa thức bất khả quy trên 

là đa thức bất khả quy trên 

thỏa mãn yêu cầu bài ra.

Ví dụ 2: Hãy tìm diện tích của tam giác mà ba đường cao của nó là nghiệm

1 2 3

3 3 3

2

Khi đó y  2S .

x i

Vì

y i là nghiệm của phương trình, ta thay y i vào phương trình ta nhận được

xi là nghiệm của phương trình Px0

i

 1

 c S

Bài 3: Tìm những giá trị của tham số sao cho những

của đa thức P(x) = x4 + 4x3 + 9x2 + 12x + thoả mãn điều

5 5

a2 2a 42

55

5

5

55

x2 y2 z2 4

2.6 Bài toán 6: Phương trình hàm đa thức.

Px xx 1

Đặt Pxx2 xQx *

3x4 2x3 x2  2x 2

1 x  139

x2 1

2

x3 x  2

3x  12

x2 1

x  12

Vậy ước chung lớn nhất là:

Vậy k xx3 2x2 x 2

* Tìm k x,hx  

CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC NHIỀU ẨN

3.1 Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.

3.1.1 Cơ sở lý luận.

Ta có thể phân tích thành nhân tử các đa thức đối xứng bằng cách biểudiễn đa thức đó qua các đa thức đối xứng cơ bản Việc phân tích đa thức củacác đa thức đối xứng cơ bản thường đơn giản hơn nên việc phân tích đa thứcmới thành nhân tử sẽ đơn giản hơn

3.1.2 Phương pháp giải

Bước 1: Đưa đa thức đối xứng về đa thức đối xứng cơ bản

Bước 2: Phân tích đa thức của những đa thức đối xứng cơ bản thành nhân tử

P x, y, z x3 y z y3 x z z3 x y xyz x

Lời giải

Ta thấy Px, y,

z

là đối xứng đẳng cấp bậc 4 Có hạng tử cao nhất là

x3 y Ứng với bộ số mũ 3,1,0

Dùng phương pháp hệ tử bất định với các đa thức đối xứng cơ bản

5 P x, y, z x y 3 y z 3 z t 3 t

x3 x z 3 y t 3

3.2 Bài toán 2: Chứng minh hằng đẳng thức.

3.2.1 Cơ sở lý luận.

Dùng đa thức đối xứng cơ bản và các tính chất của nó

3.2.2 Phương pháp giải.

x4 y4 z4 2xy yz zx2

Lời giải

Đặt

f x, y, z x4 y4 z4

3.3 Bài toán 3: Chứng minh bất đẳng thức.

Đặt x = ab , y = bc, z = ca Ta thay x, y, z vào (**) có:

1 2

3.4 Bài toán 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng.

1 Sau đó tìm x,y theo 1,2

1 1

1

phương trình đã cho có 2 nghiệm 0,1;1,0

3xy x y 3xy 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

3.4.4 Bài tập áp dụng.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x y 8

62

6

3.5 Bài toán 5: Giải hệ phương trình dựa vào đa thức đối xứng

3.5.1 Cơ sở lý luận và phương pháp giải:

Hệ phương trình mà vế trái là các đa thức đối xứng ẩn x,y,z… tachuyển sang các ẩn mới

x 12

3 2

 2 3

2x2 x 12x 1

Nếu mẫu số có ba (hay nhiều hơn) căn thức, ta tìm biểu thức chứa

Xét đa thức  x2x2 x 1 Ta thấy mẫu số là  3 2 

Mà đa thức tối tiểu

x 72x 13

13x 91

92

a,b,c  * 3



Quá trình hoàn thành đề tài đã giúp tôi có thêm kiến thức kinh nghiệm.

Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian và khả năng bảnthân còn hạn chế nên khóa luận của tôi không tránh khỏi những thiếu sót

Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và cácbạn Tôi xin chân thành cảm ơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức và ứng dụng, Nxb GD Hà Nội2) Bùi Huy Hiền (2000), Bài tập đại số và ứng dụng, Nxb GD Hà Nội3) Nguyễn Văn Mậu (2004), Đa thức và phân thức hữu tỷ, NxbGD HàNội

4) Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NxbGD Hà Nội

5) Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số và số học tập 1, NxbGD Hà Nội

6) Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số và số học tập 3, NxbGD Hà Nội

7) Tạp chí toán học và tuổi trẻ