Điều kiện cần và đủ cực trị cho bài toán quy hoạch toàn phương trên tập lồi đa diện

Nguyễn Quốc Tuấn khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành Toán với đề tài “Điều kiện cần và đủ cực trị cho bài toán quy hoạch toàn phương trên tập lồi đa diện” được hoàn thành bởi chính

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn, giảng viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ để em hoàn thành khóa luận này

Trong quá trình học tập, đặc biệt là trong suốt quá trình làm khóa luận 

em  đã  nhận được sự dạy  dỗ ân cần cũng như  những động  viên, chỉ bảo, tạo điều kiện của các thầy cô giáo tham gia giảng dạy, công tác tại trường Đại học 

Sư phạm Hà Nội 2. Qua đây, em xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong  tổ  Giải  tích,  khoa  Toán  trường  Đại  học  Sư  phạm  Hà  Nội  2,  cùng  các thầy cô giáo giảng dạy khóa học. 

LỜI CAM ĐOAN

Dưới  sự  hướng  dẫn  của  thầy  ThS.  Nguyễn  Quốc  Tuấn  khóa  luận  tốt nghiệp đại học chuyên ngành Toán với đề tài “Điều kiện cần và đủ cực trị cho bài  toán  quy  hoạch  toàn  phương  trên  tập  lồi  đa  diện”  được  hoàn  thành  bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận khác

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, em đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với lòng trân trọng và biết ơn. Một số kết quả 

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu 1 

Chương 1 Bài toán quy hoạch toàn phương 4 

1.1. Bài toán quy hoạch toán học 4 

1.2. Bài toán toàn phương 14

Chương 2  Điều  kiện  tối  ưu  cần  và  đủ  cực  trị  cho  bài  toán  quy  hoạch  toàn  phương 22 

2.1. Điều kiện cực trị đầu tiên 22 

2.2. Điều kiện cực trị thứ hai 33 

Kết luận 55

Tài liệu tham khảo 56 

LỜI MỞ ĐẦU

Hiện nay, tối ưu hóa đã trở thành một lĩnh vực rất phát triển, góp phần quan trọng trong việc ứng dụng khoa học công nghệ vào cuộc sống và sản xuất. 

Từ  thế  kỉ  XVIII,  một  hướng  của  Giải  tích  toán  học,  gọi  là  Phép  tính biến phân, chuyên nghiên cứu các bài toán cực trị với hàm mục tiêu là phiếm hàm tích phân được phát triển mạnh mẽ và trở thành ngôn ngữ của khoa học 

  Trong thực tế, bài toán quy hoạch tuyến tính với hàm  mục tiêu và các ràng  buộc  tuyến  tính  có  một  số  lượng  lớn  các  ứng  dụng.  Bài  toán  mà  hàm mục tiêu của chúng không ở dạng tuyến tính mà có dạng bậc hai được gọi là bài toán quy hoạch toàn phương. Với bài toán này thì các phương pháp giải có mối quan hệ tới các mở rộng của bài toán quy hoạch tuyến tính. 

Điều kiện tối ưu đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu hóa. Năm 1965, A. Ya. Dubovitskii và A. A. Milyutin đã đưa ra lý thuyết các điều kiện cần tối ưu dưới ngôn ngữ giải tích hàm và cho ta phương pháp giải tích hàm hiệu quả để nghiên cứu các bài toán tối ưu và điều khiển. 

Ngày nay, điều kiện cần và đủ cực trị đầu tiên cho bài toán quy hoạch toàn  phương  (không  lồi)  trong  định  lý  2.1  đã  được  chứng  minh  trong  nhiều sách.  Nó  được  xem  như  là  một  mở  rộng  tự  nhiên  của  định  lý  Fermat. McCormick (1967) là người đầu tiên đặt nền móng cho điều kiện cần và đủ cực trị thứ hai của bài toán toàn phương (xem [8]). Sau đó, Majthay (1971), Mangasarian (1980) và Contesse (1980) đã từng bước hoàn thiện chứng minh điều kiện cần và đủ cực trị thứ hai (định lý  2.42.5) cho bài toán quy hoạch toàn phương. 

Là  một  sinh  viên  sư  phạm  chuyên  ngành  Toán,  tôi  mong  muốn  được tìm  hiểu  sâu  hơn  về  lý  thuyết  tối  ưu  nói  chung  cũng  như  quy  hoạch  toàn phương nói riêng. Đặc biệt, dưới sự gợi mở, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của 

thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn, tôi đã chọn đề tài

“Điều kiện cần và đủ cực trị cho bài toán quy hoạch toàn phương

trên tập lồi đa diện”. 

Khóa luận tập trung làm rõ một số nội dung liên quan đến bài toán quy hoạch toán học, quy hoạch toàn phương, điều kiện cần và đủ cực trị cho bài 

toán  quy  hoạch  toàn  phương  trên  tập  lồi  đa  diện.  Ngoài  phần mở  đầu,  kết 

luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2 chương: 

Chương 1 Bài toán quy hoạch toàn phương 

Chương 2 Điều kiện cần và đủ cực trị cho bài toán quy hoạch toàn phương 

  Do thời gian nghiên cứu có hạn và khả năng của bản thân còn hạn chế nên  khóa  luận này  mới chỉ dừng  lại ở  việc  tìm hiểu,  trình bày  các  nội  dung chính theo chủ đề đặt ra. Trong quá trình viết khóa luận cũng như trong quá trình xử lý văn bản, đề tài không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Vì vậy, tôi rất  mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn. 

Bài toán quy hoạch toàn phương

Bài  toán  quy  hoạch  toàn  phương  là  một  phần  của  bài  toán  học  quy hoạch  phi  tuyến.  Chương  này,  trình  bày  một  số  nội  dung  liên  quan  đến  quy hoạch  toán  học,  bài  toán  quy  hoạch  toàn  phương.  Chẳng  hạn,  khái  niệm  bài toán quy hoạch toán học, nghiệm toàn cục, nghiệm địa phương, bài toán quy hoạch  toàn  phương,  ma  trận  xác  định  dương  (tương  ứng,  xác  định  âm),  ma trận xác định nửa dương (tương ứng, xác định nửa âm)…

1.1 Bài toán quy hoạch toán học 

Trong phần này, ta ký hiệu      ,         là đường thẳng thực mở rộng,  n  là không gian Euclid  n  chiều với chuẩn 

1/2 2 1

,

n i i



với  mọi  xx x1, 2, ,x n,  yy y1, 2, ,y n n.  Trong  đó,  x   là  ma  trận  T

chuyển  vị  của  ma  trận  x   Trong  tính  toán ma  trận,  vector  được  hiểu  như  là 

một ma trận cột những số thực. 

  Hình cầu mở trong  n  có tâm tại  x  với bán kính    được ký hiệu là 0

 , 

B x   Hình cầu đóng tương ứng được ký hiệu là B x ,. 

  Vì  vậy, B x ,y n: yx , B x ,y n: yx . Hình cầu đóng đơn vị B0,1 được kí hiệu là B n. Cho một tập   n, các 

kí hiệu  int  ,    và  bd  được sử dụng tương ứng để biểu thị phần trong của 

  , điểm x  ,v n. Khi đó, ta ký hiệu f x  là đạo hàm của hàm 

f   tại  điểm  x ,  ký  hiệu  2  

f x

   là  đạo  hàm  cấp  hai  (ma  trận  Hessian)  của 

hàm  f  tại điểm  x  và ký hiệu  fx v,  là đạo hàm theo hướng  v  của hàm  f  tại điểm x  Ta có, 

Nếu   n thì ta nói bài toán  P  là một bài toán không có ràng buộc, 

Ta nói, x   là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán  P nếu

Nếu    thì qui ước ( ) P  . 

Nhận xét 1.1 Hiển nhiên, ta có  Sol P loc P , vì theo định nghĩa 

Ví dụ 1.3. Xét bài toán  P  với  f x cos ,x x     Khi đó, min f x   ,

Nhận xét 1.2. Nói chung, loc P( ) \Sol P    ( )

   Hình 1.4 

      Hình 1.5 

Rõ  ràng,  x   là  nghiệm  tối  ưu  (tương  ứng,  nghiệm  tối  ưu  địa  phương) 

của bài toán  P  khi và chỉ khi  x  là nghiệm tối ưu (tương ứng, nghiệm tối ưu 1

f x

x

  , mâu thuẫn. Vì vậy, Sol P  ( ) . 

1.2 Bài toán toàn phương 

Định nghĩa 1.4 Chúng ta nói rằng, hàm f : n  là một hàm toàn phương nếu tồn tại một ma trận vuông D n n cấp n , một vector c  n và một số thực  thỏa mãn

1

n

x x x

1( )2

Rõ  ràng,  nếu  xóa  hằng  số    của  f   trong  công  thức  (1.3)  thì  chúng 

không  làm  thay  đổi  các  giả  thiết  của  bài  toán  minf x( ) :x     trong  đó 

n

    là một tập lồi đa diện.  

Vì vậy, để đơn giản hóa hàm mục tiêu, chúng ta thay (1.3) bằng công thức 

1( )2

Vẫn dùng  các thuật ngữ trong quy  hoạch tuyến tính, chúng ta gọi  các dạng của bài toán toàn phương  

mọi v  n \ 0  Nếu v Dv  T 0, (tương ứng, v Dv  T 0) với mọi v  n thì ma

trận D được gọi là nửa xác định dương (tương ứng, nửa xác định âm)

Mệnh đề 1.1.  Cho ( ) 1

2

f x  x Dxc x , trong đó D n n S , c  n và

Chứng minh Ta  biết,  f : n ,xc x T   là  hàm  lồi  và  tổng  của  hai 

Cho  ,x y  bất kỳ, với  , x y  n và t 0,1, đặt ztx1t y  Khi đó, 

Do đó,  f tx1( (1t y) ) f z1( )tf x1( )(1t f y) ( ). 

Vì vậy,  f1 là một hàm lồi.        

Nếu  D  là ma trận nửa xác định âm, thì hàm  f  được cho bởi 1.3  là lõm, tức là với bất kỳ  , n

Trong  trường  hợp  ma  trận  D   không  phải  là  nửa  xác  định  dương  và 

cũng không phải là  nửa  xác  định  âm,  ta  nói rằng  ( ) 1

Ví dụ 1.12. Cho  x n:Axb Cx, d, với A m n ,C S n , b  m 

và d  S.  (Đẳng  thức Cxd  có  thể  vắng  mặt  trong  công  thức.  Tương  tự 

như vậy, bất đẳng thức  Axb cũng có thể vắng mặt). 

Cho i(i1, , ),n  i(i1, , ),n    và   là  2n 2  số  thực thỏa  mãn các điều kiện  

i i i

i i i

Dễ dàng chứng minh được, nếu chúng ta chọn  

Chương này, tập trung làm rõ điều kiện cần và đủ cực trị cho bài toán quy hoạch toàn phương. Cụ thể, chúng ta nghiên cứu điều kiện cần và đủ cực trị đầu tiên (định lý 2.1), điều kiện cần và đủ tối ưu thứ hai (định lý 2.4-2.5) 

2.1 Điều kiện cực trị đầu tiên

  Khẳng định đầu tiên của những mệnh đề sau đây là một dạng của quy tắc Fermat, điều kiện cần cực trị cơ bản, cho bài toán quy hoạch toàn phương. Khẳng định thứ hai được gọi là điều kiện đủ cho bài toán quy hoạch toàn phương. 

Định lý 2.1. Cho x là vector chấp nhận được của bài toán tối ưu

trong đó, D n n S , c  n và   n là một tập lồi đa diện

i) Nếu x là nghiệm địa phương của bài toán này thì

Dx c xx  , x    (2.2) 

ii) Nếu Dxc x, x  , 0   x \ x , (2.3)  thì x là nghiệm địa phương của (2.1) và hơn nữa, tồn tại   và 0 ñ0 sao cho

( ) f x  f x( )ñ xx ,    x B x ,       (2.4)  Chứng minh. 

  i)  Cho  x   là  nghiệm  địa  phương  của  bài  toán  (2.1).  Chọn     thỏa 0

mãn f x( ) f x , với mọi x  B x ,

  Với bất kỳ x \ x , ta thấy tồn tại    sao cho 0

  Thật vậy, giả sử điều kiện (2.3) đúng nhưng với mọi  0 và ñ0 thì tồn tại x  B x , sao cho  ( )f x  f x( )ñ xx  

  Khi đó, tồn tại dãy  k

x  trong  n , sao cho với mọi  k   chúng ta có, 

1,

Rõ ràng, tồn tại 1  sao cho 0 a x i, tv i,    và i I1 t0,1. Vậy, ta có 

x tv  ,  với  mọi t0,1.  Thay  xxtv,  với  mọi t0,1  vào  điều kiện (2.3) ta được  Dxc x, x t Dx cT v  , mâu thuẫn với (2.5). 0  Vậy định lý được chứng minh.         

  Để  nghiên  cứu  điều  kiện  cực  trị  đầu  tiên  cho  bài  toán  toàn  phương chúng ta quan tâm đến các nhân tử Lagrange.  

  Ta sử dụng bổ đề Farkas để chứng minh một số kết quả cơ bản về nhân 

tử Lagrange.  

Định lý 2.2 (Bổ đề Farkas) 

  Cho a a0, , ,1 a là vector trong k n Bất đẳng thức a x  là một hệ 0, 0

quả của a x  , i, 0 i1, 2, ,k khi và chỉ khi tồn tại số thực không âm

1, , k

0 1

k

i i i

Chứng minh Chúng ta kí hiệu  A  là ma trận hàng thứ  i  của ma trận  A ,  i b  là  i

tọa độ thứ  i  của vector  b  và đặt  a i A i T, i 1, ,n  Giả sử  x  là nghiệm địa 

phương của bài toán với tập ràng buộc   A b, x n:Axb. 

  Đặt I 1, ,m, I0 iI: a x i, b i  và I1i: a x i, b i.  Giả sử bất  kì v  n  thỏa  mãn  a v  i, 0,  với  mọi iI0,  phân  tích  tương  tự  như trong chứng minh định lý 2.l ii) suy ra tồn tại 1  sao cho 0 a x i, tv b i, 

với mọi  i  và I t0,1. Thay  xx tv, với t0,1 vào (2.2) ta được 

  Từ định lý 2.3, chúng ta có thể suy ra hai hệ quả  2.1 2.2  Một trong hai hệ quả đó là ứng dụng trong trường hợp tập ràng buộc    có dạng chính tắc  x n:Axb x, 0,  hệ  quả  còn  lại  ứng  với  trường  hợp  tập  ràng buộc    có dạng tổng quát  x n:Axb Cx, d. 

Hệ quả 2.1. Nếu x là nghiệm địa phương của bài toán

 

0,0

00

Định nghĩa 2.1 Nếu cặp x, n m thỏa mãn (2.6), (tương ứng, (2.8))

toàn phương chuẩn tắc

  Phần này, trình bày chi tiết điều kiện cần và đủ cực trị thứ hai của bài toán quy hoạch toàn phương.  

  Vậy, v  f x    Khi đó, 

Để  có  điều  ngược  lại,  giả  sử  , 0 0, 0,    

T n

Định lý 2.5. Điều kiện cần và đủ để điểm x  n là nghiệm địa phương của bài toán (PT) là hai tính chất sau:

M   là phép chiếu trực giao của  n  vào  M. 

  Mặt  khác,  vK ,  từ  công  thức  (2.16)  chúng  ta  có  vM   Vì  vậy, 

chứng minh điều này, ta giả sử ngược lại với giả thiết K 0  0 và tất cả các vector z j j1, ,q thuộc K K  \ 0

  Giả  sử, 

1

q j j j



   trong  đó t  ,  với  mọi  j 0 j ,  là  vector  khác  không 

thuộc K  Từ ít nhất một trong các giá trị  0 t  khác không, dựa vào công thức  j

  Nếu K 0  0  thì không mất tính tổng quát, giả sử có q  vector đầu tiên 0

của hệ sinh z j j1, ,q0 thuộc K0 và vector z j jq01, ,q khác thuộc 

  Trường hợp 2. Tồn tại một số  k  sao cho k 0, với mọi  k k.   Nếu trường hợp 1 xảy ra, không làm mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng dãy    k  k  Khi đó x k x u k v k, dựa vào điều kiện (2.18), 

T T

t t

   

0 0

1 1

120

12

T q

t  không hội tụ về  0  

với  k    Khi đó, tồn tại  0 và dãy    k  k  sao cho 

1

k j

j q

k j j

t t

j j

Cho  k    được  0  z , vô lý .        

Định nghĩa 2.2.  Điểm x   được gọi là nghiệm địa phương duy nhất của bài toán minf x :x   , với  f : n  là hàm số thực và   n là một tập hợp cho trước, nếu tồn tại   sao cho 0

   

f x  f x ,    x  B x , \ x

  Thật vậy, nếu  x  là nghiệm địa phương duy nhất của bài toán cực tiểu thì 

nó cũng là nghiệm địa phương của bài toán này. Ngược lại, điều đó không đúng.   Các định lý sau đây mô tả điều kiện cần và điều kiện đủ để điểm x là nghiệm địa phương duy nhất của bài toán quy hoạch toàn phương tổng quát. 

Định lý 2.6. Điều kiện cần và đủ để điểm x  n là nghiệm địa phương duy

nhất của bài toán (PT) là tồn tại một cặp vector

Điều kiện cần: Giả  sử  x   là nghiệm  địa phương  duy nhất của  bài  toán (PT). 

Điều kiện đủ: Giả sử  x  n như vậy tồn tại  ,  m n sao cho i) và ii) 

  Trường hợp 1. Tồn tại một dãy    k  k  sao cho k  , với mọi  k  0(Nếu K K  \ 0 , thì k không có trong công thức (2.22), với mọi k  ) 

  Trường hợp 2. Tồn tại một số  k  sao cho  0,  k k. 

  Nếu  trường  hợp  1  xảy  ra,  không  làm  mất  tính  tổng  quát  ta  giả  sử  

   k  k   Lập  luận  tương  tự  như  trong  chứng  minh  trường  hợp  1  ở  phần trên, chúng ta được 

  Nếu  trường  hợp  2  xảy  ra,  không  làm  mất  tính  tổng  quát  ta  giả  sử 0

  Chia  bất  đẳng  thức  (2.29)  cho  t k j

,  lưu  ý  rằng  0 k j 1

j

t t

Định lý 2.7 Điều kiện cần và đủ để điểm x  n là nghiệm địa phương duy

nhất của bài toán (PT) là thỏa mãn hai tính chất sau:

i) f x v , Dx cT v  , 0  v T x v n:A v I0 0, Cv0 , trong đó I0 iI A x: i b i

ii) v Dv  với mọi vector T 0 v T  x   f x   khác vector không, trong đó f x   v n: f x ,v 0

  Như đã được lưu ý sau việc chứng minh định lý 2.5, tính chất đầu tiên tương đương với sự tồn tại của một cặp  ,  m s thỏa mãn hệ (2.11). 

Sự tương đương giữa tính chất ii) trong định lý 2.7 và tính chất ii) trong định 

trong đó  x n:Axb Cx,  d  là sự ràng buộc của bài toán (PT)

Chứng minh Giả  sử,  x  n  là  nghiệm  địa  phương  duy  nhất  của  bài  toán (PT). Từ định lý 2.6, tồn tại một cặp vector  

  Từ vT x   f x   , từ bổ đề 2.1 và ii’) thì  v Dv   Điều này  T 0mâu thuẫn với giả thiết bài toán. Vậy, định lý được chứng minh.         

KẾT LUẬN

  Khóa luận được hoàn thành dựa theo chương 1, chương 3 trong  7  và một số tài liệu khác. Trong khóa luận này, tác giả đã trình bày, làm rõ một số nội dung liên quan đến bài toán quy hoạch toán học, bài toán quy hoạch toàn phương, điều kiện cần và đủ cực trị đầu tiên (định lý 2.1), điều kiện cần và đủ tối ưu thứ hai (định lý 2.4-2.5) của bài toán quy hoạch toàn phương và điều kiện để bài toán có nghiệm duy nhất (định lý 2.6-2.7). Cụ thể, khóa luận đã: 

 Đưa ra một số ví dụ minh họa cho định nghĩa bài toán quy hoạch toán học và định nghĩa bài toán toàn phương. 

 Đưa ra ví dụ, hình vẽ minh họa làm rõ thêm các nhận xét. 

 Với những hiểu biết của bản thân, tôi làm rõ hơn nội dung chứng minh các định lý về điều kiện cần và đủ cực trị đầu tiên (định lý 2.1), điều kiện cần 

và đủ tối ưu thứ hai (định lý 2.4-2.5) của bài toán quy hoạch toàn phương và điều kiện để bài toán có nghiệm duy nhất (định lý 2.6-2.7). 

  Đề tài điều kiện cần và đủ cực trị cho bài toán quy hoạch toàn phương trên tập lồi đa diện là đề tài có tính thời sự và đang được nghiên cứu rất nhiều trong  những  năm  gần  đây.  Em  hi  vọng  rằng  trong  tương  lai  sẽ  có  thể  có những đóng góp có ý nghĩa cho hướng nghiên cứu này. 

TÀI LIỆU THAM KHẢO 

[A] Tài liệu tiếng việt